Variáveis aleatórias contínuas e distribuiçao Normal. Henrique Dantas Neder

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1 Variáveis aleatórias contínuas e distribuiçao Normal Henrique Dantas Neder

2 Definições gerais Até o momento discutimos o caso das variáveis aleatórias discretas. Agora vamos tratar das variáveis aleatórias contínuas. Começaremos com a variável aleatória contínua mais simples que é chamada de variável aleatória contínua uniforme. Suponhamos que temos um relógio com um ponteiro que funcione como uma roleta de cassino. Giramos aleatoriamente este ponteiro e verificamos em que posição ele para. De um ponto de vista matemático, temos um número infinito de pontos na circunferência do relógio. Então teóricamente a probabilidade do ponteiro parar exatamente em um ponto é igual a zero, porque aquele ponto é matematicamente infinitesimal. Ou seja, ele é apenas um ponto dentro do conjunto infinito de pontos que estão contidos na circunferência do relógio.

3 No entanto se quisermos calcular a probabilidade de que o ponteiro do relógio pare em um determinado intervalo de pontos, por exemplo, caia entre o número 12 e o número 3 do relógio, teremos um valor distinto de zero para esta probabilidade. A probabilidade do ponteiro parar neste intervalo é numericamente igual a 1/4 porque sabemos que este intervalo corresponde a esta fração do conjunto total de pontos do relógio (mesmo que este seja infinito!). Desta forma, qualquer intervalo de pontos finito tem uma probabilidade associada distinta de zero. E a probabilidade do ponteiro parar em exatamente um ponto (digamos o número 12 exatamente) é igual a zero. Porque este é apenas um pequeno ponto infinitesimal diante de um número infinito de pontos ao redor da circunferência do relógio. Quando estamos afirmando isto, estamos seguindo a definição clássica de probabilidade, que afirma que a probabilidade de um evento é o número de eventos favoráveis dividido pelo número de eventos possíveis e equiprováveis do espaço amostral. O número de eventos favoráveis neste caso é igual a 1 e o

4 número de eventos possíveis e equiprováveis é igual a e a divisão de 1 por é (pelo menos no limite) igual a zero. Para representar tudo isto temos que usar o conceito de função densidade de probabilidade (ou simplesmente função densidade). Para uma variável aleatória contínua não podemos usar uma função de probabilidade, tal como no caso de uma variável aleatória discreta. Para esta última, a variável aleatória só assume um determinado número supostamente finito de valores. Desta forma podemos associar valores de probabilidade para cada valor da variável aleatória. Isto não ocorre com as variáveis aleatórias contínuas. Neste caso, como vimos no exemplo do relógio, temos um número infinito de valores para uma variável aleatória contínua. Não temos como associar um valor de probabilidade para cada valor da variável aleatória e sabemos que todos estes valores são nulos. Podemos definir uma função matemática que será chamada de função densidade cujas propriedades serão: ˆ + f (x)dx = 1 (1)

5 e P(a X b) = ˆ b a f (x)dx (2) No caso do experimento aleatório do relógio temos uma função densidade: f (x) = 1/12 para qualquer valor de x no intervalo 0 X 12. Se quisermos calcular a probabilidade de que o ponteiro do relógio pare no intervalo que vai de 6 a 8, teremos: P(6 X 8) = 8 6 f (x)dx = dx = x = = 1 6 Então podemos dizer que uma função densidade é um instrumento matemático definido para variáveis aleatórias contínuas e que pode ser usada para calcular probabilidade de ocorrência destas variáveis em determinados intervalos. Estamos aqui definindo um exemplo de função densidade, chamado de função densidade uniforme que está associada a uma variável aleatória contínua uniforme. De uma forma geral uma função densidade uniforme pode ser qualquer função constante que respeite as condições (1) e (2).

6 O valor constante da ordenada desta função irá depender do intervalo de variação definido para esta função. Digamos, de uma forma geral que a função é definida no intervalo fechado de números reais [a,b]. Então f (x) = 1 b a. Especificamente, no caso do relógio, quando a = 0 e b = 12, f (x) = 1 12.

7 Esperança matemática e variância de uma variável aleatória contínua De uma forma análoga ao caso de uma variável aleatória discreta, para o caso de uma variável aleatória contínua X com função densidade f (x), definimos esperança matemática de X como sendo: E(X) = ˆ + Xf (x)dx (3) No caso de uma variável aleatória contínua uniforme na sua forma geral, com função densidade igual a f (x) = 1 (b a) temos: E(X) = + Xf (x)dx = b a X 1 (b a) dx = x 2 2(b a) b a = b2 a 2 2(b a) = a+b 2 A variância de uma variável aleatória contínua pode ser definida como sendo: var(x) = ˆ + (X E(X)) 2 f (x)dx = ( ˆ + X 2 f (x)dx) E(X) 2 (4)

8 Novamente, no caso de uma variável aleatória contínua uniforme na sua forma geral, com função densidade igual a f (x) = 1 (b a) temos: var(x) = ( + b 3 a 3 3(b a) ( a+b 2 )2 X 2 1 (b a) dx) ( a+b 2 )2 = x 3 3(b a) b a ( a+b 2 )2 = Podemos ter uma variável aleatória contínua com uma função densidade com forma triangular: { cx/k para 0 x k f (X) = 2c cx/k para k x 2k Exercício: Determine as condições para c e k de forma que f(x) seja uma função densidade e determine as expressoes para a esperança matemática e variância para esta variável aleatória.

9 Variável aleatória Normal Uma variável aleatória normal é uma variável aleatória contínua que tem a seguinte função densidade: f (x) = 1 σ (X µ) 2 2π e 2 (5) A mais importante (e mais utilizada na prática) variável aleatória contínua é a variável aleatória normal. A variável aleatória normal tem uma função densidade de probabilidade (chamada de curva normal) que apresenta a forma de um sino e é unimodal no centro exato da distribuição. A média, mediana e a moda da distribuição normal são iguais e localizadas no pico da distribuição. Metade da área sob a curva está acima do ponto central (pico) e a outra metade está acima dele. A distribuição de probabilidade normal é simétrica em relação a sua média.

10 Ela é assintótica: a curva aproxima-se cada vez mais do eixo X mas nunca toca efetivamente ele. scalar sigma = 1 scalar mu = 0 twoway function y = (1/(sigma*sqrt(2*_pi)))*exp(-(x-mu)^2/2), range(-3 3) Para desenhar a função de densidade da variável aleatória normal vamos usar alguns recursos gráficos do Stata, de acordo com a segueinte sequência de comandos:

11 y x Figura : Função densidade da variável normal padrão

12 De propósito, definimos que a nossa função densidade normal tem como parâmetros µ = 0 e σ = 1. Este é um caso particular de função densidade normal, chamado de função densidade normal padrão associada a variável aleatória normal padrão. A maior parte dos livros de Estatística apresentam tabelas que contem as probabilidades observadas em diversos intervalos de valores para a variável normal padrão. Vamos aproveitar o Stata para calcular valores de probabilidades para determinados intervalos da variável normal padrão. Por exemplo, desejamos calcular a probabilidade de que a variável normal padrão esteja contida no intervalo [1,3]. Para isto usamos o seguinte comando Stata: disp normal(3) - normal(1) O resultado é , o que significa que P(1 < X < 3) = Como é uma função densidade (associada a uma variável aleatória contínua), podemos dizer que: P(1 < X < 3) = P(1 X < 3) = P(1 < X 3) = e

13 que P(X = 1) = P(X = 3) = 0. twoway (function X1 = (1/(2*sqrt(2*_pi)))*exp(-(x-2)^2/2), range(-3 8)) (function X2 = (1/(4*sqrt(2*_pi)))*exp(-(x-2)^2/2), range(-3 8)) Vamos agora construir dois gráficos de função densidade justapostos - um com desvio padrão 2 e outro com desvio padrão 4, ambos com média 2:

14 x X1 X2 Figura : Duas funções densidade para variáveis aleatórias normais com distintos desvios padrões

15 O mais interessante deste último gráfico é que nele é mostrado que a função densidade com desvio padrão menor (curva em azul) abarca ( encompasses ) a distribuição com maior (curva em vermelho) desvio padrão. Poderiamos querer calcular o valores de probabilidades para as duas variáveis aleatórias normais do ultimo gráfico. Chamemos a variável normal que tem desvio padrão igual a 2 de X 1 e a variável normal que tem desvio padrão igual a 4 de X 2. Para calcularmos P(3 < X 1 < 5) temos que fazer a seguinte transformação: P(3 < X 1 < 5) = P( < z < ) = P(0, 5 < z < 1, 5) = O comando Stata para fazer este último cálculo é: disp normal(1.5)-normal(.5) Da mesma forma podemos calcular: P(3 < X 2 < 5) = P( < z < ) = P(0, 25 < z < 0, 75) = Estes resultados estão bastante coerentes com o que mostra o último gráfico: a distribuição com maior desvio padrão tem uma

16 probabilidade menor (para o mesmo intervalo da variável aleatória normal X). Temos que explicar dois pontos importantes: 1) Porque fizemos a transformação anterior? 2) Podemos igualar probabilidades a áreas abaixo da função densidade? Fizemos a transformação P(3 < X 1 < 5) = P( < z < ) porque as probabilidades não sçao calculadas diretamente para qualquer variável normal, mas indiretamente a partir de probabilidades para a variável normal padrão. Assim podemos converter qualquer variável aleatória normal em uma normal padrão através da seguinte expressão de transformação: z = X µ σ Utilizamos esta expressão para converter a probabilidade de uma variável normal qualquer estar contida em um determinado intervalo para achar o correspondente intervalo para a variável normal padrão. Todas as funções densidade de variáveis aleatórias normais (sejam o não padrão) devem ter uma área total sob a (6)

17 curva da função densidade igual a 1, ou seja, devem cumprir a condição (1) para uma função densidade. Vimos que a propriedade (2) de uma função densidade f(x) é: P(a X b) = b a f (x)dx. Como a integral definida da função densidade é numericamente igual a área abaixo da curva (e delimitada no intervalo [a,b]), podemos dizer que probabilidades de ocorrência de uma variável aleatória contínua podem ser medidas como sendo a área abaixo da curva correspondente a função densidade. Podemos definir função de distribuição cumulativa F(x), como sendo: F (x) = ˆ x f (x)dx (7) Particularmente, para a função densidade normal padrão temos a função de distribuição cumulativa da normal padrão que é simbolizada por φ(x). Então, se P( < z < 1) = então podemos dizer que φ(1) = e que P(a < z < b) = φ(b) φ(a) onde z é a variável aleatória normal padrão.

18 Exemplos 1) Numa distribuição normal, 30% dos elementos são menores que 45 e 10% são maiores que 64. Calcular os parâmetros que definem a distribuição (média e desvio-padrão). Solução: P(X < 45) = 0, 30 P(X > 64) = 0, 10 P(z < 45 µ X σ x ) = 0, 30 Determinamos um valor de z = z de tal forma que P(z < z ) = 0, 30. Isto corresponde a função inversa da distribuição normal cumulativa da normal padrão. No Stata basta digitar o comando: disp invnormal(.30) O resultado é: Ou seja P(z < ) = 0, 30

19 Desta forma descobrimos que 45 µx σ x = De forma análoga obtemos que P(z > ) = 0, 10 através do comando disp invnormal(.90) e descobrimos que: 64 µ x σ x = Agora basta resolver o seguinte sistema de duas equações a duas incógnitas: 45 µ x σ x = µ x σ x = Que resultarão em: σ x µ x = σ x µ x = 64 Multiplicando a primeira equação por (-1) e somando-se a segunda equação, temos: ( ) σ x = σ x = µ x = = ) O tempo de vida de transistores produzidos pela Indústria Zeppelin Ltda. tem distribuição aproximadamente normal, com valor esperado e desvio-padrão igual a 500 horas e 50 horas,

20 respectivamente. Se o consumidor exige que pelo menos 95% dos transistores fornecidos tenham vida superior a 400 horas, pergunta-se se tal especificação é atendida. Justifique! Solução: P(X > 400) = P( X > ) = P(z > 2) = 1 φ( 2) = = A especificação é atendida já que 97,72% dos transístores atende a especificação. 3) Seja X normalmente distribuída com média µ X = 100 e desvio padrão σ X = 7 (daqui a diante indicaremos tal distribuição como X ~ N(100;7) ). Determinar: a. P(X = 80) b. P(X > 100) c. P( X 95 < 5)d. P( X 100 < 10) Solução: a. P(X = 80) = 0 b. P(X > 100) = P( X ) = P(z > 0) = 0.50 c. Se X 95 0 então P( X 95 < 5) = P(X 95 < 5) = P(X < 100) = 0.50 Se X 95 < 0 então P( X 95 < 5) = P(95 X < 5) = 7 > P( X < 90) = P(X > 90) = P( X > ) = P(z >

21 ) = 1 φ( ) = ). Os pesos de certos produtos em quilogramas são normalmente distribuídos com média µ X = 180 e desvio padrão σ X = 4. Se uma unidade deste produto é escolhida aleatoriamente, qual é o peso desta unidade se a probabilidade de ocorrência: a. De um peso maior é igual a 0,10? b. De um peso menor é igual a 0,05? Solução: a. P(X > x ) = 0.10 Portanto P(z > x ) = 0.10 Temos que achar no Stata o valor de z tal que φ(z) = 0.90 Isto pode ser feito através do comando: disp invnormal(.90) Resultado: Portanto: x = e x = = ) Se uma distribuição normal tem média 200 e desvio padrão 20, ache K tal que a probabilidade de que um valor amostral seja menor do que K é 0,975. Solução: P(X < k) = Portanto P(z < k ) = 0.975

22 Através do comando disp invnormal(.975) achamos o valor Portanto k = e k = = Uma alternativa ao Stata para fazer cálculos de probabilidades correspondentes a variáveis aleatórias normais é o Excel. Por exemplo se quisermos calcular φ( ) colocamos em qualquer célula a função =DIST.NORMP( ) e retorna o resultado Para a função inversa da distribuição normal cumulativa da normal padrão se quisermos calcular φ 1 (.90) colocamos em uma célula a função =INV.NORMP(0.9) e retornamos ao valor anterior Vamos gerar no Stata uma Tabela da Função de Distribuição Cumulativa da Variável Normal Padrão φ(x), através da seguinte sintaxe (do file): * SINTAXE PARA GERAR UMA TABELA PARA A FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO phi(x) matrix C = J(31,11,0) forvalues j = 2(1)11 { matrix C[1, j ] = j - 2

23 } forvalues i = 2(1)31 { matrix C[ i,1] = ( i - 2)/10 } forvalues i = 2(1)31 { forvalues j = 2(1)11 { scalar x = ( i -2)/10 + ( j -2)/100 scalar phi = normal(x) matrix C[ i, j ] = phi } } matrix list C svmat C, names(c) format C2-C11 %5.4f xmlsave "D:\ECN26\APOSTILA DE ESTATISTICA\TABELA DISTRIBUIÇÃO NORMAL.xml", doctype(excel) replace

24 Tabela da distribuição cumulativa da variável normal padrão φ(x)

25 Tabela da distribuição cumulativa da variável normal padrão φ(x) (cont.)

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