Intervalo de Confiança e cálculo de tamanho de amostra. Henrique Dantas Neder

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1 Intervalo de Confiança e cálculo de tamanho de amostra Henrique Dantas Neder

2 Intervalo de confiança para a média da população µ X Até o momento discutimos as propriedades da distrbuição normal e vimos que dentro de certa condição (amostras grandes) podemos generalizar o seu uso para calcular probabilidades referentes a valores da média da amostra X e a soma da dos valores amostrais S = n i=1 X i. Verificamos que para qualquer tamanho de amostra (mesmo para amostras pequenas) a distribuição amostral das médias amostrais terá média igual a média da população (E(X) = E(X) ou dito de outra forma µ X = µ X ) e que a variância das médias amostrais será igual a variância de X dividido por n (σ 2 X = σ2 X n ). Verificamos também que a média de S será igual a média da população multiplicada pelo tamanho da população (µ S = µ N) e a variância de S = n σ 2 X. Estas propriedades são válidas para qualquer tamanho da amostra. Somente é necessário ter tamanho grande de amostra para a distribuição de X e de S serem normais.

3 Intervalo de confiança para a média da população µ X Quando selecionamos aleatoriamente (amostra aleatoria simples) uma amostra de tamanho n > 30 de uma população qualquer a probabilidade do valor da média da amostra X ser menor do que um determinado valor X k : P(X < X k ) = P(z < X k µ X σ X ) Por exemplo, se n = 40, µ X = 50 e σ X = 20, a probabilidade de X ser menor do que X k = 55 é: P(X < 55) = P(z < 20/ 40 ) = Podemos também afirmar que: Esta expressão é equivalente a: P( 1.96 < z < 1.96) = 0.95 P( 1.96 < X µ σ X < 1.96) = 0.95

4 Intervalo de confiança para a média da população µ X Manimulando algebricamente a desigualdade temos: P( 1.96 σ X < X µ < 1.96 σ X ) = 0.95 P( X 1.96 σ X < µ < X σ X ) = 0.95 P(X σ X > µ > X 1.96 σ X ) = 0.95 Reordenando os termos da desigualdade temos: P(X 1.96 σ X < µ < X σ X ) = 0.95

5 Intervalo de confiança para a média da população µ X Esta última expressão indica que podemos construir um intervalo de confiança de 95% de probabilidade para o valor do parâmetro µ X conhecendo-se o valor de X. Por exemplo, de acordo com o exemplo anterior, suponhamos que não conhecemos µ X e que X = 40,σ X = 20 e n = 40: P( σ X < µ < σ X ) = 0.95 P( < µ < ) = 0.95 P( < µ < ) = 0.95 Então podemos afirmar que existe uma probabilidade de 95% de que o valor do parâmetro µ X esteja contido no intervalo indicado nesta última expressão. Observe que não termos certeza absoluta (probabilidade de 100%) de que este valor esteja contido nos limites do intervalo.

6 Intervalo de confiança para a média da população µ X Mas é um grande avanço a uma simples estimativa de ponto (simplesmnete afirmarmos que a média amostral X = 40). Com isto podemos determinar uma região na qual existe uma determinada probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro desconhecido. É importante observar que jamais conheceremos o verdadeiro valor do parâmetro µ X. Isto aconteceria apenas se conhecessessemos toda a população. Mas já é uma grande vantagem podermos construir este intervalo. Neste caso estamos realizando uma operação de inferência. Inferência significa desenvolver qualquer afirmativa a respeito do valor de um parâmetro a partir de resultados amostrais. Não conhecemos a população completa, conhecemos apenas os valores de uma única amostra selecionada desta população, mas a partir desta informação podemos estabelecer algumas afirmativas a respeito de um determinado parâmetro (no caso deste exemplo de intervalo estamos tratando do parâmetro µ X que é a média desconhecida da população.

7 Intervalo de confiança para a média da população µ X Chamamos 1 α de nível de confiança do intervalo. Se 1 α = 0.95, então α = No caso do exemplo anterior (X = 40,σ X = 20 e n = 40), podemos calcular um intervalo de confiança de 80% de probabilidade (1 α = 0.80) para o parâmetro µ X como: Se 1 α = 0.80 então α = 0.20 e 1 α/2 = 1 0.2/2 = 0.9. Portanto: z 1 α/2 = z 0.9 = φ 1 (0.9) = Desta forma, um intervalo de confiança de 80% para a média populacional será: P( σ 2 < µ < X σ2 ) = 0.80 X P( < µ < ) = 0.80 P( < µ < ) = 0.80

8 Intervalo de confiança para a média da população µ X Observe que, em relação ao intervalo de 95% de probabilidade, este intervalo ficou com uma amplitude menor. A amplitude do intervalo de confiança dependerá do valor da expressão: z 1 α/2 σ X n (2) Desta forma a amplitude aumenta quando σ X aumenta. Isto ocorre quando temos uma população com maior variância.então, para populações de maiores variâncias teremos (mantido o mesmo tamanho n de amostra e o mesmo nível de confiança 1 α) maiores amplitudes de intervalos de confiança. A amplitude do intervalo de confiança também pode aumentar (de acordo com a expressão anterior) com a redução do tamanho da amostra n.

9 Intervalo de confiança para a média da população µ X Uma terceira forma de aumentar a amplitude do intervalo de confiança (para mesmo tamanho de amostra e mesma variância da população) é aumentar z 1 α/2. Para fazermos isto temos que aumentar o nível de confiança 1 α do intervalo. Aumentar o tamanho (amplitude) do intervalo de confiança significa reduzir a precisão da estimativa por intervalo. Para aumentar a precisão da estimativa temos que reduzir o tamanho (amplitude) do intervalo. Só podemos fazer isto através de três maneiras: 1) reduzir o grau de confiança 1 α do intervalo; 2) aumentar o tamanho n da amostra e 3) reduzir a variância σ 2 X da população. Como a variância da população geralmente é um dado do problema, temos apenas as duas primeiras opções.

10 Intervalo de confiança para a média da população µ X A esta altura já deu para perceber que existe uma espécie de trade-off entre precisão do intervalo e nível de confiança do intervalo. Se não podemos auterar o tamanho n da amostra, quando aumentamos a precisão do intervalo somos obrigados a reduzir o seu grau de confiança e quando diminuimos a precisão automaticamente aumentamos o seu grau de confiança.

11 Intervalo de confiança para a média da população µ X Na verdade só existe uma maneira de aumentarmos simultaneamente a precisão e confiança do intervalo: aumentarmos o tamanho da amostra. Todo este raciocínio pode ser obtido da análise da expressão (2) anterior. O intervalo de confiança pode ser interpretado de duas formas: 1) Um intervalo de confiança de 1 α de probabilidade significa que existe esta probabilidade de que o verdadeiro valor desconhecido do parâmetro µ esteja contido entre os limites inferior e superior do intervalo. 2) Se selecionassemos 100 amostras de mesmo tamanho n a partir de uma população com parâmetro (média populacional) µ e fossem construidos 100 intervalos de confiança a partir de cada X usando a expressão (1) anterior, 100 (1 α) destes intervalo conteriam o valor de µ desconhecido.

12 Intervalo de confiança para a média da população µ X Vamos verificar esta última interpretação fazendo a simulação no computador de 100 intervalos de 95% de confiança construidos a partir de 100 amostras de tamanho n = 50 e selecionadas a partir de uma população com média µ = 40. A partir da construção destes 100 intervalos de confiança iremos contar quantos contem µ.

13 * ROTINA PARA CONSTRUÇÃO DE 100 INTERVALOS DE CONFIANÇA clear set seed 9999 * GERA 10 MIL OBSERVAÇÕES VAZIAS set obs * GERA VALORES ALEATORIOS DE UMA POPULAÇÃO NORMAL * COM MÉDIA MU = 40 E DESVIO PADRÃO SIGMA = 20 gen x = rnormal(40, 20) * SALVA ESTES DADOS COMO UMA POPULAÇAO DE DADOS save "D:\ECN26\pop.dta", replace * CRIA UMA VARIAVEL ESCALAR COM O VALOR DA MÉDIA DA POPULAÇÃO scalar mu = 40 * CRIA UMA MACRO LOCAL PARA CONTAR (INICIALIZA COM ZERO) local contador = 0 * INICIA LOOP COM 1000 LAÇOS PARA SELECIONAR 1000 * AMOSTRAS DA MESMA POPULAÇÃO E CALCULAR A MÉDIA * AMOSTRAL E OS LIMITES DOS INTERVALOS forvalues i=1(1)1000 { * ABRE A POPULAÇÃO CRIADA ANTERIORMENTE use "D:\ECN26\pop.dta", clear * SELECIONA UMA AMOSTRA ALEATORIA DE TAMANHO n = 50 sample 50, count * CALCULA A MÉDIA DA AMOSTRA (VALOR ARMAZENADO EM r(mean) summa x * CALCULA LIMITES DO INTERVALO DE CONFIANÇA scalar li = r(mean) - invnormal(.975)*20/sqrt(50) scalar ls = r(mean) + invnormal(.975)*20/sqrt(50) * TESTA SE MU CAI DENTRO DOS LIMITES

14 if mu > li & mu < ls { local contador = contador + 1 } } * APRESENTA O VALOR DO CONTADOR APÓS AS 1000 REALIZAÇÕES disp "contador = ", contador * APAGA O ARQUIVO DE DADOS DA POPULAÇÃO erase "D:\ECN26\pop.dta"

15 Intervalo de confiança para a média da população µ X O resultado apresentado a partir da execução desta rotina é que sendo selecionadas 1000 amostras da mesma população, construindo-se 1000 intervalos de confiança, 950 destes intervalos contem o valor do parâmetro µ = 40. Neste caso conhecemos o valor de µ para podermos realizar a simulação. Na prática não conhecemos µmas podemos construir um intervalo em torno de X e fazermos uma afirmação (com base neste intervalo) a respeito da probabilidade de µ estar contido neste único intervalo.

16 Intervalo de confiança para amostras pequenas Quando temos uma amostra pequena (n < 30) e desconhecemos o valor de σ não podemos usar o valor do desvio padrão amostral n i=1 (s = (X i X) 2 n 1 ) no lugar de σ e não podemos usar a distribuiçao normal padrão. Se a distribuição de X for normal temos que usar a distribuição t de Student de acordo com a seguinte expressão: P(X t 1 α/2 s X < µ < X + t 1 α/2 s X ) = 1 α (3) O valor da variável aleatória t de Student irá depender do número de graus de liberdade e do nível de confiança 1 α. O número de graus de liberdade é igual a n 1, porque perdemos um grau de liberdade ao estimarmos a média amostral X. Vamos desenvolver uma pequena rotina do Stata para calcular alguns valores de t para algusn pares de valores de 1 α e do número de graus de liberdade df :

17 Distribuição t de Student * ROTINA STATA PARA CONSTRUIR PEQUENA TABELA PARA A DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT * clear matrix C = J(27,7,0) forvalues i=2(1)27 { matrix C[ i,1] = i + 3 } local j = 1 foreach k in { local j = j + 1 matrix C[1, j ] = k } forvalues i = 2(1)27 { local j = 1 foreach k in { local j = j + 1 matrix C[ i, j ] = invttail( i + 3, k ) } } matrix list C svmat C, names(c) format C2-C5 %5.4f xmlsave "D:\ECN26\APOSTILA DE ESTATISTICA\TABELA DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT.xml", doctype(excel) replace

18 Distribuição t de Student Esta rotina gera a seguinte tabela: 1 α/ graus de liberdade

19 Distribuição t de Student 1 α/ graus de liberdade

20 Intervalo de confiança para a proporção populacional Da mesma forma que construimos um intervalo de confiança para a média µ X da população, também podemos construir um intervalo de confiança para a proporção populacional p Suponhamos que em uma população eleitores, uma proporção p de eleitores tenha intenção de votar em determinado candidato. Iremos definir uma variável aleatória de Bernoulli X de forma que: X i = 1 se a i-ésima pessoa tenha a intenção de votar no candidato X i = 0 se a i-ésima pessoa não tenha a intenção de votar no candidato

21 Intervalo de confiança para a proporção populacional Se selecionarmos aleatoriamente (amostra aleatória simples com reposição) uma amostra de tamanho n de eleitores, o número total de eleitores dentro da amostra que tem a intenção de votar no candidato ( n i=1 X i ) segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. A proporção amostral de eleitores ˆp = n i=1 X i /n que pode ser interpretada como sendo uma média amostral de uma variável aleatória Bernoulli. Pelo Teorema do Limite Central ˆp terá distribuição normal quando n.

22 Intervalo de confiança para a proporção populacional A questão é saber qual é a média (esperança matemática) de ˆp, ou seja, E(ˆp) e qual é a variãncia de ˆp, ou seja, var(ˆp) = σ 2ˆp. Podemos demonstrar que E(ˆp) é p, ou seja, ˆp é um estimador não viesado para p. Isto significa que se slecionarmos todas as amostras de mesmo tamanho n e calcularmos para cada uma delas uma proporção amostral ˆp, a média de todas estas proporções amostrais será igual ao valor do parâmetro p.

23 Intervalo de confiança para a proporção populacional Para demonstrar isto basta pensar ˆp como sendo uma média de uma variável aleatória Bernoulli calculada para os n elementos de uma amostra. Como a média amostral é um estimador não viesado para a média populacional mostramos que E(ˆp) = p. A variância de ˆp é dada por var(ˆp) = var( 1 ni=1 n X i ) = 1 np(1 p) = p(1 p) n 2 n já que o somatório é uma variável aleatória binomial. Podemos então dizer que para n, ˆp segue aproximadamente uma distribuição normal com média E(ˆp) = p e variância var(ˆp) = p(1 p) n

24 Intervalo de confiança para a proporção populacional Para construirmos um intervalo de confiança para a proporção populacional (e seguindo as mesmas operações que usamos no caso da média da população µ X podemos utilizar a expressão: P(ˆp z 1 α/2 p(1 p) < p < ˆp +z n 1 α/2 p(1 p) ) = 1 α n (4) Observe que na expressão (3) caimos em um círculo vicioso; para construirmos um intervalo de confiança para p precisamos do valor de p. Na prática, temos apenas o valor de ˆp e substituimos este valor na expressão (3) conduzindo a: ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) P(ˆp z 1 α/2 < p < ˆp +z n 1 α/2 ) = 1 α n (5)

25 Intervalo de confiança para a proporção populacional Um exemplo: suponhamos que uma amostra de tamanho n = 50 de eleitores tenha 30 eleitores a favor de um determinado candidato. O intervalo de confiança de 95 % de probabilidade para a proporção populacional p será: P( , ( ) 50 < p < , ( ) 50 ) = 0, 95 P(0, 4642 < p < 0, 7358) = 0, 95 Se quisermos calcular um intervalo de confiança de 80 % de probabilidade: P( φ 1 (1 50 (.90) ) 50 < p < φ 1 (.90) P(0, < p <.68878) = 0, ( ) 50 ) = 0, 80

26 Intervalo de confiança para a proporção populacional Duas questões sobre este último intervalo: 1) Porque usamos φ 1 (.90)? Como o intervalo é de 80% deverá deixar 10% em cada cauda. Então o limite superior terá que deixar uma área a esquerda de 90% e o limite inferior deixará uma área a esquerda de 10%. 2) Repare que o intervalo (quando passamos de 90% para 80%) contrai-se. O que já havíamos dito: mantido o mesmo tamanho da amostra, quando diminuimos o nível de confiança a precisão do intervalo aumenta (porque a amplitude do intervalo reduz).

27 Determinação do tamanho da amostra Até o momento mostramos como calcular os limites de um intervalo quando conhecemos X ou ˆp e o tamanho da amostra n. Mas se quisermos resolver o problema inverso: temos o tamanho do intervalo e desejamos conhecer o tamanho da amostra n. Este deve ser o tamanho da amostra necessário para construir um intervalo de confiança com determinado nível de confiança e determinado erro de amostragem. Para o caso da estimação do parâmetro µ, a metade do tamanho do intervalo, que chamamos erro de amostragem, é igual a: e = z 1 α/2 σ X = z 1 α/2 σ X / n (6)

28 Determinação do tamanho da amostra Fazendo uma manipulação algébrica da expressão (5) temos: ( z1 α/2 σ X n = e )2 (7) Por exemplo, desejamos estimarmos µ X, com um erro de amostragem e = 10, com σ X = 20 e nível de confiança 1 α = 0, 95. Para 1 α = 0, 95 então, 1 α/2 = 0, 975 e φ 1 (0, 975) = ( )2 z1 α/2 ( ) σ n = X 2 e = = 15.36

29 Determinação do tamanho da amostra Então concluimos que para estimar a média populacional µ X e com um erro de amostragem e = 10, com σ X = 20 e nível de confiança 1 α = 0, 95, precisamos de uma amostra de tamanho n = 16. Para uma amostra com as mesmas características e nível de confiança 1 α = 0, 99, precisamos de n = 27 (faça as contas). Podemos observar que para determinar o tamanho da amostra para estimar µ X sempre precisamos do valor de σ X. Na prática, este valor é desconhecido. Precisamos primeiro realizar uma amostra piloto para estimar σ X através de s X = n i=1 (X i X) 2 n 1 viesado para σ X, ou seja E(s X ) = σ X. (que é um estimador não

30 Determinação do tamanho da amostra (amostragem pelas proporções) Para o caso da determinação do tamanho da amostra quando o objetivo é estimar p, o erro de amostragem é dado por: p(1 p) e = z 1 α/2 σˆp = z 1 α/2 (8) n Manipulando os termos da expressão (7), temos: n = z2 1 α/2 p(1 p) e 2 (9) Se o objetivo da amostragem é o de justamente estimar p, substituimos na expressão (8), o valor de p que torna máximo o valor de n (ou seja, trabalhamos a favor da segurança). Neste caso p = 0, 5.

31 Determinação do tamanho da amostra (amostragem pelas proporções) Até o momento estamos considerando que a nossa amostra é realizada com reposição e neste caso não precisamos fazer correção de população finita no caso em que n N > 0, 05. Quando a amostragem é feita com reposição, uma expressão mais exata para o erro de amostragem é: p(1 p) e = z 1 α/2 σˆp = z 1 α/2 N n (10) n N 1 Exercício: determinar uam expressão para n a partir da expressão (9).

32 Intervalo de Confiança - exercícios 1) Numa fábrica de computadores a administração pretende-se uma estimativa para o tempo médio de vida de um determinado tipo de disco rígido. Para tal, foi seleccionada uma amostra constituída por 15 computadores. Com base nesta amostra obteve-se um tempo médio de vida igual a horas. Supondo que o tempo de vida segue uma distribuição normal com σ igual a 3000 horas, construa um intervalo de confiança a 99% para o tempo médio de vida dos discos rígidos. Solução: P(27350 z 1.99/ < µ X < z 1.99/ ) = 0.99 P( < µ X < ) = 0.99

33 Exercícios 2) Com o objectivo de prever a produção de trigo duma certa região dividiu-se a mesma em pequenos talhões, procedendo-se em seguida ao registo, ao acaso, da produção de alguns desses talhões. Admita que a quantidade de trigo produzida por talhão tem distribuição normal com desvio padrão igual a 60 Kg. a) Determine o número mínimo de talhões que o experimentador deverá analisar se desejar garantir, com uma confiança de pelo menos 95%, que a média da amostra difira no máximo 30 Kg do verdadeiro valor da produção média por talhão. b) Qual o número mínimo de talhões que será necessário analisar se o nível de confiança exigido for de 99%? c) Acha que a hipótese de normalidade é essencial na resolução das alíneas a) e b)? Justifique a resposta.

34 Exercícios Solução: a) n = ( )2 z1 α/2 ( σ X e = φ 1 (1.05/2) ( )2 z1 α/2 ( σ X e = φ 1 (1.01/2) ) 2 ( ) 2 = = 15, 36 ) 2 ( ) 2 = = b) n = 26, 53 c) A hipótese de normalidade é essencial pois do contrário X não teria distribuição normal para os tamanhos de amostra.

35 Exercícios 3) Um fabricante produz peças que obedecem a uma norma que especifica que o seu diâmetro deve ser igual a 100 mm. Admita que os diâmetros das peças produzidas são N(μ, σ ) e que uma amostra aleatória de 20 peças conduziu aos resultados seguintes: 20 i=1 x i = 1999, 60 e n i=1 (x i x) 2 = 111, 91 a) Construa um I. C. a 95% para o diâmetro médio das peças. b) Construa um I. C. a 95% para a variância do diâmetro das peças.

36 Exercícios Solução: Quando o tamanho da amostra é pequeno e não se conhece o valor de σ não é apropriado usar no lugar de σ o valor n i=1 do desvio-padrão da amostra (s = (X i X) 2 n 1 ) pois isto produz resultados incorretos. Ao invés disso, utiliza-se a distribuição t de Student. Para isto é necessário que a distribuição de X seja normal. A regra geral é que quando temos uma amostra grande (n 30) utiliza-se a distribuição normal padrão e quando temos uma amostra pequena (n < 30), utiliza-se a distribuição t de Student, desde que a distribuição de X seja normal. Utilizaremos a expressão: P(X t 1 α/2 s X < µ < X + t 1 α/2 s X ) = 1 α P( t 1 α/ < µ < t 1 α/ ) = 0.95 O valor de t 1 α/2 para um intervalo de 95% de probabilidade é o valor que deixa uma cauda a direita de e com 19 graus de liberdade este valor é t = Portanto: P( < µ < ) = 0.95 P( < µ < ) = 0.95

37 Exercícios 4) Num determinado período pré eleitoral foi realizada uma sondagem com o objectivo de analisar a popularidade de dois candidatos A e B num determinado distrito. Para tal, foram inquiridas 780 pessoas residentes nesse distrito manifestando-se 55% dos inquiridos a favor do candidato A. a) Construa um intervalo de confiança a 90%, 95% e 99% para a percentagem de pessoas do distrito que são a favor do candidato A. Comente as diferenças obtidas para os três intervalos. b) Suponha que a percentagem obtida resultou de uma amostra de 1020 pessoas. Determine um intervalo de confiança a 95% para a percentagem de pessoas a favor do candidato A. Comente o resultado obtido. Solução: a) P(ˆp z 1 α/2 P(0.55 z /2 ˆp (1 ˆp) n < p < ˆp + z 1 α/ (1 0.55) 780 < p < z / (1 0.55) ) = 0.90 ˆp (1 ˆp) n ) = 1 α

38 Exercícios P( < p <.5793) = 0.90 Da mesma forma: P(0.55 z / (1 0.55) 780 < p < z / (1 0.55) 780 ) = 0.95 z /2 = z = φ 1 (0.975) = (1 0.55) P( < p < (1 0.55) 780 ) = 0.95 P( < p < ) = 0.95 Da mesma forma: P(0.55 z / (1 0.55) 780 < p < z / (1 0.55) 780 ) = 0.99 z /2 = z = φ 1 (0.995) = (1 0.55) P( < p < (1 0.55) 780 ) = 0.99 P( < p <.5959) = 0.99

39 Exercícios b) P(0.55 z / (1 0.55) 1020 < p < z / (1 0.55) 1020 ) = 0.95 z /2 = z = φ 1 (0.975) = (1 0.55) P( < p < (1 0.55) 1020 ) = 0.95 P( < p <.5805) = 0.95 O resultado mostra que quando aumentamos o tamanho da amostra, mantendo o mesmo nível de confiança (95%), o tamanho (amplitude) do intervalo diminui (aumenta a precisão da estimativa).

40 Exercícios 5) Admita que a direcção de determinada Universidade se dispõe a oferecer aos seus 3800 alunos a possibilidade de estes frequentarem aulas ao Sábado de manhã se a procura para este horário for suficientemente alta. a) Determine a dimensão apropriada da amostra de alunos a inquirir para que a amplitude do intervalo de confiança a 95% para a proporção de alunos com interesse por aquele horário não exceda 0.1? b) Suponha que após realizada a amostragem com o tamanho indicado pelo dimensionamento, o valor da proporção amostral é de 50%. Determine um intervalo de confiança para a proporção populacional de 95% de probabilidade. Solução: O erro de amostragem paar uma estimativa de proporção populacional p (quando consideramos que a amostragem é realizada sem reposição) é dado pela seguinte expressão: e = z 1 α/2 σˆp N n N 1 = z 1 α/2 p (1 p) n N n N 1

41 Exercícios Elevando ambos os termos desta expressão, temos: e 2 = z1 α/2 2 p (1 p) n N n N 1 e 2 n (N 1) = z1 α/2 2 p (1 p) (N n) e 2 n (N 1)+z1 α/2 2 p (1 p) n = z2 1 α/2 p (1 p) N n(e 2 (N 1) + z1 α/2 2 p (1 p)) = z2 1 α/2 p (1 p) N z 2 1 α/2 p (1 p) N n = e 2 (N 1)+z 2 1 α/2 p (1 p) Esta é a expressão para determinar o tamanho de uma amostra para estimarmos a proporção populacional e quando a amostragem é sem reposição. Neste caso temos que considerar o fator de correção da população finita nos cálculos.

42 Exercícios Substituindo os valores do enunciado na expressão anterior: n = (1 0.5) 3800 = (3800 1) (1 0.5) b) P( (1 0.50) (1 0.50) < p< ) = P( < p < ) = 0.95 Reparem que o erro de amostragem do intervalo é praticamente igual a Seria isto uma coincidência?

43 Exercícios 6) Num estudo de mercado quantas pessoas devem ser inquiridas para, com 95% de confiança, se cometer um erro de estimativa da verdadeira proporção de potenciais clientes de um novo produto inferior a 3%? E para se cometer um erro de estimativa inferior a 1%?

44 Exercícios 7) Considere uma amostra aleatória obtida no mercado de trabalho de uma grande cidade, constituída por 2000 indivíduos. Das entrevistas efectuadas constatou-se que 165 pessoas responderam não ter emprego. a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a proporção média de indivíduos desempregados na referida cidade. b) Caso pretenda reduzir para metade a amplitude do intervalo relativo à alínea anterior, mantendo o mesmo grau de confiança, qual a dimensão da amostra adequada? Justifique a resposta.