CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos

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1 INTRODUÇÃO À PROAILIDADE Exemplos: O problema da coincidência de datas de aniversário O problema da mega sena A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade é o suporte para os estudos de estatística e experimentação. A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um). Observações: a probabilidade de um evento qualquer é um número real não negativo a probabilidade de evento certeza é igual a 1 existem tipos de probabilidades: - a priori ou matemática, calculada a partir de hipóteses segundo um modelo matemático e sem experimentação, determinando as probabilidades de acontecimentos futuros; -a posteriori, que é a estimativa por meio de dados experimentais, da verdadeira probabilidade ou valor mais provável. CONCEITOS Processo aleatório: qualquer processo que gere resultado casual ou incerto Espaço Amostral Ω: Conjunto de todos os possíveis resultados de um processo aleatório. Exemplos 1) Em um experimento cujo objetivo é verificar a face superior de um dados, temos: Ω = S= {1,,3,4,5,6} este espaço amostral é classificado como finito e discreto, pois tem um número finito de possibilidades e ocorre apenas valores discretos. ) Em um experimento cuja finalidade é verificar a altura de uma planta (cm), temos: Ω = S = { x > 0} neste caso o espaço amostral é contínuo e infinito. Eventos Teoria de conjuntos Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade # eventos favoráveis P = # eventos possíveis S = {1,, 3, 4, 5, 6} S A = {1,, 3} (números menores que 4) = {1, 3, 5} (números ímpares) C = Ø (números múltiplos de 7) D = S (números maiores que 0) S S = {1,, 3, 4, 5, 6} P(S) = 1 A = {1,, 3} = {1, 3, 5} C = Ø D = S P(A) = 0,5 P() = 0,5 P(C) = 0 P(D) = 1 0 P(evento qualquer) 1 1

2 Exercícios: a)qual a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino? b)um pesquisador verifica que, dentre 1000 casos de cirrose hepática, 40 evoluíram para câncer. Com base nessa experiência, qual a probabilidade da cirrose se tornar cancerosa? Definição de Probabilidade Se um evento ocorre de n maneiras igualmente possíveis e se, destas, exatamente m maneiras correspondem ao evento A, então a probabilidade do evento A é dada pela razão: Em outras palavras: m P(A) = n P(resultad o favorável) = número de resultados favoráveis nº de resultados igualmente possíveis Exemplo 1: Suponha que ocorreram 100 nascimentos de crianças gêmeas e 3 de trigêmeos de um total de partos anotados de uma maternidade. Quais as probabilidades de nascimentos de gêmeos e de trigêmeos? A ocorrem A e simultaneamente? S Diagrama de Venn ocorre A ou? A A Operações com eventos e probabilidades ocorre somente A? A não ocorre nem A e nem? A = A não ocorre A? A A = A não ocorrem A e simultaneamente? Teorema da adição Se A e são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos A e é igual a adição das probabilidades de A e, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto A e. P(A ) = P(A) + P() - P(A ) Observação: Se A e forem dois eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos), a probabilidade da reunião dos subconjuntos A e é simplesmente igual a adição de suas probabilidades individuais. P(A ) = P(A) + P() Teorema do produto Eventos dependentes são aqueles que exercem influência recíproca. P(A ) P(A) P() Exemplo Lançamento de dois dados. Verificar se o evento A (valores pares em ambos os dados) e o evento (soma igual a 6) são independentes. 9 5 P(A) =, P() =, P(A ) =

3 Eventos independentes são aqueles que não exercem ação entre os mesmos, isto é, cada evento comportando-se da maneira que lhe é própria. A condição necessária e suficiente para que dois eventos sejam independentes é que a probabilidade do produto seja igual ao produto das probabilidades. Exemplo 3: Acasalamento de dois indivíduos tirados ao acaso da população. Suponha o loco M com alelos(m,m). Se o evento A (Prob. do espermatozóide levar o alelo m) e o evento (Prob. do óvulo levar o alelo m). Pergunta-se os eventos A e são independentes. P(A ) = P(A) P() Exemplo 4: Considere um local contendo 40 genes de igual tamanho e material, 30 dos quais são vermelhos e 10 de cor preta. Assuma ainda que dentre os 30 genes vermelhos, 0 tem uma mancha branca. Pergunta-se: a) P(gene vermelho) Se diferenciarmos as genes vermelhos com mancha branca, teremos: c) P(Vb) d) P(VV) b) P(gene preto) e) P(Vb/V) f) P(VV/V) Probabilidade condicional Se A e são dois eventos, a probabilidade de ocorrer, depois de A ter acontecido, é definida por P(/A) e é denominada probabilidade condicional de, depois de A ter ocorrido. Se a ocorrência ou não de A não afetar a probabilidade da ocorrência de, então P(/A) = P(). Neste caso, A e são independentes. A formula geral da probabilidade condicionada é: P( A ) P( A/ ) = P( ) Exemplo 5 Na tabela a seguir são apresentados os resultados. de um experimento sobre a incidência da doença X em cães machos e cães fêmeas Sexo Doença Macho Fêmea Total Sim Não Total Se selecionarmos aleatoriamente um animal: a) Qual a probabilidade de ser macho? b) Qual probabilidade de ser fêmea ou ter a doença? c) Qual a probabilidade de ser macho e não ter a doença? d) O evento não ter a doença é independente do evento macho? e) Sabendo que o animal selecionado tem a doença, qual a probabilidade de ser fêmea? 3

4 EVENTO COMPLEMENTAR Em resumo temos: Sendo A um evento do espaço amostral Ω, temos: Ω A = A c = A É o evento que ocorre se A não ocorre. A PA ( ) = PA ( ) + P ( ) PA ( ) = PA ( ) + P ( ) PA ( ) eventos mutuamente exclusivos A PA ( ) = 1 PA ( ) A P( A ) = P( A). P( / A) = P( ). P( A/ ) PA ( ) = PAP ( ). ( ) eventos independentes A PA ( ) = 1 PA ( ) Árvore de probabilidades Muito útil quando o problema apresenta várias fases. Exemplos de aplicação 1) Na venda de um determinado produto sabe-se que a probabilidade de que um homem adquira o produto é /5; a probabilidade de que a mulher adquira é /3. Determinar a probabilidade de que na abordagem de dois clientes (um homem e outro mulher), a) ambos adquiram o produto; b) somente o homem adquira; c) somente a mulher adquira; d) nenhum adquira; e e) pelo menos um adquira. ) Sejam A e eventos tais que P(A) = 0,; P() = p; e P(A ) = 0,6. Calcular p considerando A e : a) mutuamente exclusivos; b) independentes. 3) Considere 3 fábricas A, e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 00 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: a) ser da fábrica A; b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A; c) ser defeituosa; e d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa. Exemplo 4) Para selecionar seus funcionários uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana. No final do curso eles são submetidos a uma prova e 5% são classificados como bons (), 50% como médios (M) e os restantes 5% como fracos (F). Para facilitar a seleção, a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e específicos. Para isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano, antes do inicio do curso, os candidatos foram submetidos ao teste e receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado (R). No final do curso, obtiveram-se as seguintes informações: i) Dentre os ons 80% foram aprovados; ii) dentre os médios a aprovação foi de 50% e iii) dos fracos 0% foram aprovados. Determine a probabilidade de fraco sabendo que é aprovado usando as fórmulas. 4

5 5) Você entrega a seu amigo uma carta, destinada `a sua namorada, para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1. Se não se esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0,1. Finalmente, se foi enviada a probabilidade de que sua namorada não receba a carta é de 0,1. Avalie as possibilidades do namoro continuar se isto depender desta carta. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS O resultado do lançamento de uma moeda pode ser utilizado para tomar decisões, por exemplo: O árbitro de uma partida de futebol sorteia quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda o ganhador do sorteio escolhe a metade do campo onde sua equipe iniciará o jogo. Outras vezes, o resultado da moeda é para realizar uma tarefa agradável ou não etc. Embora o resultado do sorteio possa ser utilizado com diferentes finalidades, o experimento aleatório lançamento de uma moeda permanece o mesmo, mantendo os mesmos resultados. Um experimento é aleatório se não for possível antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento. Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo cada resultado denominando ponto amostral Em vez de operar com o espaço amostral, agora utilizaremos um conceito mais amplo denominado variável aleatória, que adota valores de acordo com os resultados de um experimento aleatório. Variável aleatória VA é uma variável cujo valor é o resultado numérico de um experimento aleatório. A VA é uma função formada por valores numéricos definidos sobre o espaço amostral de um experimento: A cada resultado do experimento aleatório corresponderá apenas um único valor numérico da VA. Entretanto, um valor numérico da VA poderá corresponder a um ou mais resultados de um experimento. Dependendo dos valores numéricos, a variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Se os valores numéricos da VA se referem a contagens, então a VA será uma variável aleatória discreta. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por lote numa linha de produção é uma VA discreta. Se os valores numéricos da VA pertencem ao conjunto dos números reais, então a VA será uma variável aleatória contínua. Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é uma VA contínua. Entretanto, nem sempre a separação entre variável discreta e variável contínua fica clara. Experimento: jogar moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa) X: número de caras em lances de moeda KK CK KC CC S X = 0 CC X = 1 KC CK X = KK 0 1 (imagem) P(X = 0) = P(CC) P(X = 1) = P(KC CK) P(X = ) = P(KK) 5

6 Portanto, variáveis aleatórias são funções que associam números inteiros (discretos) ou reais (contínuos) às probabilidades de ocorrências dos eventos do espaço amostral. Estas variáveis podem ser classificadas em: unidimensionais discretas ou contínuas, quando a variável de estudo é única; bidimensionais discretas ou contínuas, quando se tem a análise conjunta de duas variáveis multidimensionais quando se trabalha com k variáveis. Variável Aleatória Discreta Unidimensional Definição: uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for finito ou infinito enumerável. A condição para se considerar uma variável vel como sendo uma v.a discreta é: P(X = x i ) 0 para todo i i= 1 PX ( = x) = 1 i Exemplo 1: Suponha um experimento cujo objetivo seja o de verificar o número de respostas corretas de candidatos a um emprego em um teste com três questões. 1 P(X=x) X A tabela da VA foi obtida a partir de uma população conhecida. Além disso, a VA representa uma distribuição de freqüências relativas, como mostra o gráfico de barras acima. Função de Probabilidade f ( x) = P( X = x) A função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente, é chamada de distribuição de probabilidade ou função de probabilidade A função que associa a cada valor observado a probabilidade acumulada até aquele valor é chamada de Função Distribuição Acumulada. Função de Distribuição Acumulada F( x) = P( X x) = f( x ) para todo j onde x j < x j j Principais propriedades da função distribuição F(x) 1. 0 < F(x) < 1. F( - ) =0 3. F(+ ) = 1 4. P(a < X < b) = F(b) F(a) 5. P(a < X < b) = F(b) F(a) + P(X=a) 6. P(a < X < b) = F(b) F(a) P(X = b) 7. F(x) é uma função não decrescente 6

7 Exemplo de gráfico de F(x) para v. a. discreta Exemplo : Jogar um dado e considerar : X = o dobro do valor obtido menos 1. Exemplo 3: Jogar 4 moedas honestas e definir Y = número de caras. Parâmetros de uma função de probabilidade Existem características numéricas que são muito importantes em uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta. São os parâmetros das distribuições, são eles: Esperança matemática (ou simplesmente média) - E (x) é um número real, é também uma média aritmética. Variância - VAR (x) é a medida que dá o grau de dispersão ( ou de concentração) de probabilidade em torno da média. O fato de conhecermos a média de uma distribuição de probabilidades já nos ajuda bastante, porém precisamos de uma medida que nos dê o grau de dispersão de probabilidade em torno dessa média. Desvio Padrão DP(X) é a raiz quadrada da variância Dada a v.a. discreta X, assumindo os valores x 1, x,, x k, temos: Esperança matemática (média) E( X ) = x p( x) Variância Var( X ) = E( X onde E( X Desvio padrão ) [ E( X )] ) = x p( x) DP ( X ) = Var( X ) Propriedades da Esperança Matemática Supondo k uma constante e X e Y variáveis aleatórias, podemos definir as seguintes propriedades da esperança matemática: Para o exemplo, temos: Para o exemplo 3, temos: i) E(k) = k ii) E(kX) = ke(x) iii) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) iv) E(X ± k) = E(X) ± k v) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, entaão: E(XY) = E(X). E(Y) 7

8 Exemplo 4 Considere que o tempo t, em minutos, necessário para um funcionário processar operação, seja uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade: t P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0, 0, 0,1 a) Calcule o tempo médio e a variância de processamento. b) Para cada operação processada, o funcionário ganha um fixo de R$,00; mas se ele processa a operação em menos de 6 minutos ganha R$0,50 por cada minuto poupado. Encontre a função de probabilidade, a média e a variância da variável aleatória G: quantia (em R$) ganha por operação. 8

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