Grupo A - 1 o semestre de 2014 Gabarito Lista de exercícios 5 - Variáveis Aleatórias e Distribuição Binomial C A S A

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1 Exercício 1. (2,0 pontos). Dados sobre acidentes automobilísticos levantados por uma companhia de seguros informaram o seguinte: a probabilidade de que um motorista segurado sofra um acidente automobilístico em um ano é de 0,15. Se um acidente ocorrer, os danos com o veículo montam a 20% do seu valor de mercado, com probabilidade de 0,8, enquanto a probabilidade de esses danos atingirem 60% do seu valor de mercado é de 0,12, e uma perda total tem probabilidade de 0,08. Que prêmio deve a companhia cobrar sobre um automóvel com valor de R$ ,00, a fim de que o lucro esperado da companhia seja nulo? OBS: prêmio é o valor anual que a companhia de seguros cobra do segurado. Considere os seguintes eventos: A : o motorista segurado sofre um acidente automobilístico em um ano dado, D 1 : os danos com o veículo montam a 20% do seu valor de mercado, D 2 : os danos com o veículo montam a 60% do seu valor de mercado, D 3 : os danos com o veículo montam a totalidade do seu valor de mercado, Temos do enunciado do exercício que: P(A) = 0,15, P(D 1 A) = 0,80, P(D 2 A) = 0,12 e P(D 3 A) = 0,08. D 1 0,15 0,80 = 0,120 (R$ ,00) 0,80 A 0,12 D 2 0,15 0,12 = 0,018 (R$ ,00) 0,15 0,08 0,85 D 3 0,15 0,08 = 0,012 (R$ ,00) A c 0,85 (R$ 0,00) O prêmio que a companhia deve cobrar sobre um automóvel com valor de R$ ,00, a fim de que o lucro esperado da companhia seja nulo é: E(X) = 0, ,00+0, ,00+0, ,00+0,85 0 = 2.340,00. Página 1 de 9

2 Exercício 2. (3,0 pontos). Numa universidade relata-se que 4% dos alunos que realizam seu vestibular cada ano recebem bolsa de estudos. Considere selecionar uma amostra de 30 estudantes que fizeram o último vestibular. (a) (0,75 pontos). Qual é a probabilidade de exatamente 2 receberem bolsas de estudos entre Passo 1: os 30 selecionados? Seja a variável aleatória X que conta o número de estudantes na amostra de 30 que fizeram o último vestibular e receberam bolsa de estudo. Então X tem distribuição binomial com parâmetros n = 30 e p = 0,04 e sua função densidade de probabilidade é dada por: P(X = k) = ( ) 30 (0,04) k (0,96) 30 k k = 0,1,...,30 k Usaremos o R-commander para calcular as probabilidades da distribuição binomial escolhendo as seguintes opções: Distribuições Distribuições Discretas Distribuição Binomial Probabilidades da binomial... e escrevemos 30 em Experimentos da Binomial, 0.04 em Probabilidade de sucesso e clicamos Ok. Passo 2: Página 2 de 9

3 Obtemos os seguintes resultados:.table Pr e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-42 A probabilidade de exatamente 2 receberem bolsas de estudos entre os 30 selecionados é P(X = 2) = 0, (b) (0,75 pontos). Qual é a probabilidade de no máximo 3 receberem bolsas de estudo entre os 30 selecionados? Página 3 de 9

4 P(X 3) =P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3) =0, , , , =0, (c) (0,75 pontos). Qual é a probabilidade de que o número dos que não recebem a bolsa, dentre os 30 selecionados, esteja entre 24 e 27 (inclusive)? Defina la variável aleatória Y que conta o número de estudantes na amostra de 30 que fizeram o último vestibular e não receberem bolsa de estudo. Então temos que Y tem distribuição binomial com parâmetros n = 30 e p = 0,96. Além disso temos que P(Y = k) = P(X = 30 k), para k = 0,1,...,30. Assim a probabilidade de que o número dos que não recebem a bolsa, dentre os 30 selecionados, esteja entre 24 e 27, inclusive é: P(24 Y 27) =P(Y = 24)+P(Y = 25)+P(Y = 26)+P(Y = 27) =P(X = 6)+P(X = 5)+P(X = 4)+P(X = 3) =0, , , , =0, (d) (0,75 pontos). Qual é a probabilidade de pelo menos 1 receber bolsa entre os 30 selecionados? P(X 1) =1 P(X < 1) = 1 P(X = 0) =1 0, = 0, Página 4 de 9

5 Exercício 3. (3,0 pontos). Um estudo realizado por uma empresa de turismo indica que 30% dos passageiros que utilizam certo aeroporto realizam voos de curta distância, de até 500 milhas. Selecionandose aleatoriamente 25 passageiros desse aeroporto, determine: (a) (0,75 pontos). A probabilidade de que pelo menos 12 sejam passageiros de voos de curta distância; Seja X a variável aleatória que conta o número de passageiros que utilizam o aeroporto e realizam voos de curta distância de até 500 milhas. Então X tem distribuição binomial com parâmetros n = 25 e p = 0,30 e sua função densidade de probabilidade é dada por: P(X = k) = ( ) 25 (0,30) k (0,70) 25 k k = 0,1,...,25 k precisamos encontrar então P(X 12) = 1 P(X 11). Para calcular esta probabilidade no R-commander escolhemos as seguintes opções: Distribuições Distribuições Discretas Distribuição Binomial Probabilidades das caudas da binomial... e escrevemos 11 em Valores da Variável, 25 em Experimentos da Binomial, 0.3 em Probabilidade de sucesso, escolhemos a opção Cauda inferior e clicamos Ok. Obtemos o seguinte resultado: pbinom(c(11), size=25, prob=0.3, lower.tail=true) [1] A probabilidade de que pelo menos 12 sejam passageiros de voos de curta distância é P(X 12) =1 P(X 11) =1 0, = 0, Página 5 de 9

6 Passo 1: Passo 2: (b) (0,75 pontos). A probabilidade de que no máximo 13 sejam passageiros de voos de curta distância; P(X 13) =0, (c) (0,75 pontos). A probabilidade de que exatamente 10 não sejam passageiros de voos de curta distância; Defina a variável aleatória Y como o número de passageiros que utilizam o aeroporto e não realizam voos de curta distância. Então Y tem distribuição binomial com parâmetros n = 25 e p = 0,70. Além disso temos que P(Y = k) = P(X = 25 k), para k = 0,1,...,25. Assim a probabilidade de que exatamente 10 não sejam passageiros de voos de curta distância é P(Y = 10) = P(X = 15) = 0, Página 6 de 9

7 (d) (0,75 pontos). O número esperado de passageiros de voos de curta distância? E qual é o desvio padrão? número esperado de passageiros de voos de curta distância, µ = E(X) = np = 25 0,30 = 7,5. desvio padrão, σ = Var(X) = np(1 p) = 25 0,30 0,70 = 5,25 = 2, Exercício 4. (2,0 pontos). Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de uma outra fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adiçãodeágua, enquantoqueparaf2ef3, essaproporçãoerade5%e2%, respectivamente. Na indústria de sorvetes, os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas. (a) (1,0 ponto). Qual é a probabilidade de selecionar ao acaso um galão adulterado do refrigerador? Considere os seguintes eventos: A : o leite produzido estava adulterado por adição de água, F1 : o fabricante de sorvetes recebe o leite que utiliza da fazenda F1, F2 : o fabricante de sorvetes recebe o leite que utiliza da fazenda F2, F3 : o fabricante de sorvetes recebe o leite que utiliza da fazenda F3, Temos do enunciado do exercício que: P(F1) = 0,20, P(F2) = 0,30, P(F3) = 0,50, P(A F1) = 0,20, P(A F2) = 0,05 e P(A F3) = 0,02. Página 7 de 9

8 0,20 A 0,20 0,20 = 0,040 F1 0,80 A c 0,20 0,80 = 0,160 0,20 0,30 F2 0,05 0,95 A 0,30 0,05 = 0,015 0,50 A c 0,30 0,95 = 0,285 0,02 A 0,50 0,02 = 0,010 F3 0,98 A c 0,50 0,98 = 0,490 A probabilidade de selecionar ao acaso um galão adulterado do refrigerador é: P(A) = P(F1 A)+P(F2 A)+P(F3 A) = P(F1)P(A F1)+P(F2)P(A F2)+P(F3)P(A F3) = 0,20 0,20+0,30 0,05+0,50 0,02 = 0,040+0,015+0,010 = 0,065 (b) (1,0 pontos). Selecionando-se, ao acaso, 10 galões, qual é a probabilidade de que pelo menos 1 esteja adulterado? Defina la variável aleatória X como o número de galões na amostra de 10 selecionada que estão adulterados. Então X tem distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,065 Página 8 de 9

9 e sua função densidade de probabilidade é: P(X = k) = ( ) 10 (0,065) k (0,935) 10 k k = 0,1,...,10 k Asim, P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 0, = 0, Página 9 de 9