UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ (UFPI) ENG. DE PRODUÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 2

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ (UFPI) ENG. DE PRODUÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 2 LISTA N O 2 Prof.: William Morán Sem. I ) Considere a seguinte função distribuição conjunta: 1 2 Y 0 0,7 0,0 1 0,0 0,3 a) Calcule as distribuições de probabilidade marginais de e Y. b) Calcule a covariância e a correlação entre e Y. c) Calcule a média e a variância para a função linear W = 3 + 4Y. 2) Um agente imobiliário encontra-se a estudar a relação entre o número de linhas nos anúncios em jornais relativos à venda de um apartamento () e o número de pedidos de esclarecimento resultantes deste anúncio (Y). Seja a variável aleatória, o número de pedidos de esclarecimento, composta de três categorias 0, pouco interesse, 1, algum interesse e 2, muito interesse. O agente imobiliário estimou a seguinte probabilidade conjunta: ,09 0,14 0,07 Y 4 0,07 0,23 0,16 5 0,03 0,10 0,11 a) Qual o valor da função probabilidade conjunta quando =1 e Y=4? Interprete o valor. b) Deduza a função probabilidade condicionada de Y dado =0. c) Deduza a função probabilidade condicionada de dado Y=5. d) Calcule e interprete a covariância entre e Y. e) Conclua se as variáveis são ou não independentes. 3) A seguinte tabela mostra para os titulares de cartões de crédito a probabilidade conjunta do número de cartões de crédito () e o número de compras a crédito realizadas numa semana (Y). Y ,08 0,13 0,09 0,06 0,03 2 0,03 0,08 0,08 0,09 0,07 3 0,01 0,03 0,06 0,08 0,08 a) Para uma pessoa escolhida aleatoriamente deste grupo de titulares de cartões de crédito qual a função probabilidade para o número de compras numa semana? b) Para uma pessoa possua três cartões de crédito qual a função probabilidade para o número de compras numa semana? c) Serão o número de cartões de crédito e o número de compras a crédito realizadas numa semana variáveis estatisticamente independentes? 4) Num estudo de mercado pretende-se saber se um novo modelo de computador pessoal que foi promovido num programa televisivo conseguiu tornar-se numa marca conhecida entre as pessoas que assistem ao programa regularmente. Depois de realizado um inquérito concluiu-se que 15% das pessoas assistem com regularidade ao programa e reconhecem a marca. Também se concluiu que 16% das pessoas assistem regularmente ao programa e que 45% das pessoas conhecem a marca. Defina o seguinte para de variáveis aleatórias:

2 2 = 1 se assiste regularmente ao programa = 0 caso contrário Y = 1 se a marca é identificada Y = 0 caso contrário a) Descreva a função probabilidade conjunta de e Y. b) Deduza a função condicionada de Y dado =1. c) Calcule a covariância entre e Y. 5) Um sinal consiste numa serie de vibrações de magnitude, tendo os valores -1, 0, 1, cada um com probabilidade 1/3. Um ruído consiste numa série de vibrações, de magnitude Y, tendo os valores -2, 0, 2, com probabilidades 1/6, 2/3, 1/6, respectivamente. Combinando-se o sinal com o ruído, obtemos o sinal efetivamente observado, Z=+Y. Construa a função de probabilidade para Z e calcule a sua média e variância, admitindo que sinal e ruído são independentes. 6) Numa comunidade onde apenas dez casais trabalham, fez-se um levantamento no qual foram obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais: Casal Rendimento do Homem () Rendimento da mulher (Y) a) Um casal é escolhido ao acaso entre os dez. Seja o rendimento do homem e Y o da mulher. b) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de e Y. c) Determine as distribuições marginais de e Y. d) e Y são va independentes? Justifique. e) Calcule as médias e variâncias de e Y e a covariância entre elas. f) Considere a va Z igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcule a média e a variância de Z. g) Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano disponível, e que se oferecerá ao casal escolhido possibilidade de comprar uma casa pelo preço de 20, qual a probabilidade de que o casal escolhido posa efetuar a compra? 7) Suponha que realizemos um experimento e os resultados possíveis sejam ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 e ω 5. Definamos as va e Y cujos valores em CAD a ponto são dados BA tabela a seguir. Resultado Y ω ω ω ω ω Obtenha a distribuição de probabilidade de, Y, +Y, -Y-1 e -Y, supondo que os cinco resultados tenham a mesma probabilidade. Faça um diagrama de dispersão para as variáveis e Y. Idem para e +Y. 8) Numa sala estão cinco crianças cujas idades são (em anos): 3, 3, 4, 5, 5. Escolhem-se três crianças ao acaso para formar uma trinca. indica a idade da mais nova da turma e Y a da mais velha. a) Escreva a fdp conjunta de e Y b) Calcule E(x) e var(x). c) Calcule Cov(,Y) d) Calcule Var(+Y).

3 3 9) A distribuição de notas de certo tipo de teste é normal com µ H = 70 e σ H = 10 para os homens e µ M = 65 e σ M = 8 para as mulheres. Se esse teste for proposto numa classe na qual o numero de homens é igual ao dobro do número de mulheres, qual a porcentagem de pessoas que deverá ter nota maior que 80? 10) Se E()= µ e Var(x)= σ 2, escreva em função de µ e σ 2 as seguintes expressões: a) E ( 2 ) b) E [(-1)] 11) Num estudo sobre rotatividade de mão de obra, foram definidas para certa população as va = número de empregos que um funcionário teve no ultimo ano e Y= salário. Observe a seguinte distribuição conjunta: ,00 0,00 0,10 0,10 Y ,05 0,05 0,10 0, ,05 0,20 0, ,10 0,05 0,05 0 São dados E() = 2,5, DP() =1,0, E(Y) = 2.120, DP(Y) = 1.505,2 (DP significa desvio padrão) a) Calcule P(=2) e P(=2/Y=1.200); e Y são independentes? b) Obtenha o coeficiente de correlação entre e Y e interprete esse coeficiente para as variáveis em estudo. 12) Uma urna contém três bolas numeradas 0, 1, 2. Duas bolas são retiradas ao acaso e sucessivamente. Sejam as va = número da primeira bola retirada e Y = número da segunda bola retirada. Calcule: a) E(Y) b) Cov(,Y) c) Var(+Y), Nos casos em que as bolas são retiradas (i) com reposição; (ii) sem reposição. 13) Se ρ(,y) for o coeficiente de correlação entre e Y, e se tivermos que Z=A + B, W = CY+D, com A > 0, C >0, prove que ρ(,y) = ρ(z,w). 14) Uma urna contém n bolas numeradas de 1 ate n. Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição. Determine a distribuição do modulo da diferença entre os dois números observados. 15) Suponha que e Y sejam va com Var() = 1, Var(Y)=2 e ρ(,y) = 1/2. Determine Var(-2Y). 16) Sejam e Y variáveis com E() = E(Y) = 0 e Var(Y) = 1. Prove que ρ(z, U) = 0, se Z = +Y e U= -Y. a) Se ~ N(µ 1,σ 2 1) e Y~N(µ 2,σ 2 2), e se e Y são indepedentes, encontre a distribuição, a media e a variância da va a + y, a e b constantes. b) Um fato importante é o seguinte: se 1,..., n são va normais e independentes, n é uma va normal. Qual é a media e a variância de n se cada ~N(µ i,σ 2 i), i=1,...,n? 17) Se 1,..., n são va independentes, cada i com media µ i e variância σ 2 i, i= 1, 2,...,n, calcule E( ) e Var( ), com = ( n)/n. 18) Refaça o problema anterior para o caso de as va terem todas as mesmas medias µ e a mesma variância σ 2. 20) Supondo que ~ b(n,p) e Y ~ b(m,p), sendo ainda e Y va independentes. Mostre que +Y ~ b(m+n;p). 21) Se e Y forem va independentes, com distribuição de Poisson, com parâmetros λ 1 e λ 2, respectivamente, mostre que + Y terá distribuição de Poisson com parâmetro λ 1 + λ 2. 22) Uma variável aleatória bidimensional contínua (,Y) tem a função densidade de probabilidade: f(x,y) = kx 2 y, definida no triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,2). Determinar:

4 4 a) O valor da constante k. b) P(Y < 1). c) P(Y < ). d) As distribuições marginais de e Y. 23) Demonstre que: a) E(+Y) = E() + E(Y) b) E(Y) = E().E(Y) quando e Y são variáveis aleatórias independentes. 24) Suponha que a tabela seguinte represente a distribuição de probabilidade conjunta da variável aleatória discreta (,Y). Calcule todas as distribuições marginais e verifique se são variáveis aleatórias independentes /12 1/6 0 Y 2 0 1/9 1/5 3 1/18 1/4 2/15 25) As variáveis aleatórias e Y são discretas em N = {0,1,2,...} com distribuição conjunta: 7 m n m e 4 3, m 0, 1, 2,...,n P( m; Y n) m! (n m)! 0, caso contrário Verifique se e Y são variáveis aleatórias independentes. com n N 26) Assuma que a variável aleatória (,Y) tem f.d.p. conjunta: f(x,y) = 1/2 para (x,y) dentro do quadrado (a, a), (a, -a), (-a, a) e (-a, -a) e f(x,y) = 0 caso contrário. a) Encontre o valor de a b) Encontre as funções de densidade marginais. 27) Assuma que duas pessoas estão um uma fila do guichê do Banco do Brasil. Seja o tempo que a pessoa A demora para ser atendida e Y o tempo que a pessoa B demora para ser atendida. Se a pessoa A está na frente da pessoa B, certamente será atendida primeiro, isto é, < Y. Seja a função de probabilidade conjunta: f (x, y) = 2 e y, 0 < x < y, > 0 a) Verifique se essa função é uma função de distribuição de probabilidade conjunta. b) Calcule as probabilidades marginais. c) Calcule P( < 1/, Y< 1/ ). 28) Dada a função c(x + y), a) Determine o valor de c que faz a função c(x + y) ser uma função de densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa 0 < x < 3 e x < y < x + 2. b)p ( < 1; Y < 2) c) P (1 < < 2) d) P (Y > 2) e) P ( < 2; Y < 2) f) E() g) a distribuição de probabilidades marginais da va. h) a distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado = 1. i) E(Y x = 1) j) a distribuição de probabilidades condicionais de, dado que Y = 2.

5 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ (UFPI) ENG. DE PRODUÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 2 LISTA N O 1 Prof.: William Morán Sem. I ) Num esforço por melhorar a qualidade de uma fita de gravação marca, três novos tipos de fitas são testadas. Um mesmo som é gravado e comparado, obtendo-se os seguintes dados de distorção do som nas fitas de teste (valores de distorção de som menores são melhores): Fita A 66,7 65,7 60,3 Fita B 56,7 50,6 56,5 49,6 44,7 Fita C 65,4 55,9 57,5 61,3 a) Ao nível de 0,05 de significância, teste se as diferenças entre as três médias amostrais podem ser atribuídas ao acaso. Se existem diferenças significativas, determine qual das fitas é a melhor. Rta.: y 64,233; y 51,62; y 60, SST = 347,578 v1 = 2 SSE = 180,242 v2 = 9 F = 8,68 F(, v1, v2) = F(0,05; 2; 9) = 4,26 Existem diferenças significativas Q(, k, n k) = Q(0,05; 3; 9) = 3,86 A melhor fita é a fita B. b) Comente as condições do problema. Rta.: Revisar se as variâncias estão próximas, deve ser feito um amostragem aleatório, e deve ser feito um planejamento do experimento. 2) Testam-se 5 tipos de creme dental para reduzir a caries dental. Para tamanhos de amostras de n = 4, os valores da redução média das caries dentais para cada tipo de creme são: 1 = 1,976; 2 = 2,156; 3 = 1,798; 4 = 2,042; 5 = 2,282. Se a hipótese nula (H o = μ i, i = 1,..5) foi rejeitada (ou seja, pelo menos uma média é diferente), se pede determinar qual é a melhor creme dental, para = 0,01, v 1 = 4, v 2 = 15, com MSE = 8,3766 e ICi = 1,794. 3) O gerente de varejo de uma cadeia de alimentos deseja determinar se a localização do produto tem algum efeito sobre a venda de brinquedos para animais domésticos. Três diferentes localizações em corredores serão consideradas: frente, meio e fundo. Uma amostra aleatória de 18 lojas é selecionada, com 6 lojas, designadas aleatoriamente, para cada localização no corredor. O tamanho da área de exposição e o preço do produto são constantes para todas as lojas. Ao final do período de teste de 1 semana, os volumes de vendas (em milhares de reais) do produto em cada loja foram os seguintes: Frente 8,6 7,2 5,4 4,0 5,0 6,2 Meio 2,0 3,2 2,4 1,8 1,4 1,6 Fundo 4,6 2,8 6,0 2,2 2,8 4,0 a) Ao nível de significância de 0,05, há evidências de diferença na média de vendas entre as várias localizações nos corredores?. Se for apropriado, utilize comparações múltiplas para determinas a melhor localização. b) Para um caso real, comente as condições do problema. c) Utilize o anova de dois fatores para responder as questões anteriores. 4) O gerente de pessoal de uma grande seguradora deseja avaliar a eficácia de quatro diferentes programas de treinamento de vendas, desenvolvidos para novos empregados. Um grupo de 16 alunos recém-formados na faculdade é aleatoriamente indicado para os quatro programas, de modo que existam

6 quatro sujeitos em cada programa. Ao final do período de treinamento, cuja duração foi de um mês, é aplicado um exame padrão aos 16 sujeitos; os resultados são apresentados na tabela a seguir: 6 Programa y 75,75 1 Programa y 2 60,25 Programa y 3 59,50 Programa y 4 71,00 a) A variação dentro dos grupos parece ser semelhante para todos os grupos? A idéia aqui é calcular a variância de cada programa (linha). S 1 = 42.91; S 2 = 75.33; S 3 = 3; S 4 = 119.3; Como a variação dentro de cada tratamento não é semelhante, então a aplicação da ANOVA não é confiável. b) Se as condições forem apropriadas, em um nível de significância = 0,05, utilize o teste F de fator único para determinar se há evidências de diferença entre os programas de treinamento de vendas. Fazendo as contas, F = 5,25 e de tabelas F(4; 12; 0,5) = 3,26 Como F > F(4; 12; 0,05) então as médias dos programas são diferentes. c) Faça comparações múltiplas dos programas de treinamento e determine que programa é o melhor. Utilize = 0,05. Resposta: os melhores programas são o programa 1 e o programa 4 d) Utilize o anova de 2 fatores para responder as questões anteriores.