Estatística II. Aula 7. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 Estatística II Aula 7 Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Análise da Variância

3 Objetivos do Aprendizado Nesta aula você aprenderá: A utilizar a análise de variância de fator único para testar diferenças entre as médias aritméticas de diversos grupos A identificar os grupos diferentes A testar a homogeneidade da variância entre os diversos grupos

4 Visão Geral do Capítulo Análise da Variância (ANOVA) ANOVA Fator Único Teste F Teste Tukey- Kramer ANOVA Dois Fatores Efeitos da Interação

5 ANOVA Descrição Geral O pesquisador controla um ou mais fatores de interesse Cada fator contém dois ou mais níveis Os níveis podem ser numéricos ou categóricos Diferentes níveis produzem diferentes grupos Pense nos grupos como populações Observe os efeitos na variável dependente Os grupos são iguais?

6 Análise da Variância de Fator Único Avaliar a diferença entre as médias de três ou mais grupos Exemplos: Taxas de acidentes para o 1o., o. e 3o. turnos de uma fábrica Milhagem esperada para cinco diferentes tipos de pneus Premissas Populações são normalmente distribuídas Populações têm variâncias iguais Amostras extraídas de forma aleatória e independente

7 Hipótese: ANOVA de fator único H0 : μ1 μ μ3 μc H 1 As populações têm médias iguais i.e., não há efeito de tratamento (não há variações entre as médias dos grupos) : Nem todas as médias populacionais são iguais Pelo menos uma população tem média diferente das demais i.e., há um efeito de tratamento (grupos) Não significa que todas as médias são diferentes entre si (pelo menos uma das médias é diferente das demais)

8 Hipótese: ANOVA de fator único H H 0 : μ1 μ μ3 μc 1 : Nem todas μ j são iguais Todas as médias são iguais: A hipótese nula é verdadeira (Não há efeito do grupo) μ 1 μ μ3

9 Hipótese: ANOVA de fator único H H 0 : μ1 μ μ3 μc 1 : Nem todas μ j são iguais Pelo menos uma média é diferente: A hipótese nula NÃO é verdadeira (há efeito de tratamento) ou μ1 μ μ3 μ1 μ μ3

10 Dividindo a Variação A variação total pode ser dividida em duas partes: STQ = SQE + SQD STQ = Soma total dos quadrados (Variação Total) SQE = Soma dos quadrados entre grupos (Variação entre grupos) SQD = Soma dos quadrados dentro dos grupos (Variação dentro dos grupos)

11 Dividindo a Variação STQ = SQE + SQD Variação Total = mede a dispersão de cada dado individual em torno da grande média. A grande média é a média aritmética de todos os valores em todos os grupos combinados. (STQ) Variação entre grupos = mede a dispersão entre os grupos. Baseada nas diferenças entre as médias de cada grupo e a grande média. (SQE) Variação dentro dos grupos = dispersão existente dentro de cada grupo. Baseada nas diferença entre cada observação e a média do seu grupo. (SQD)

12 Dividindo a Variação Variação Total (STQ) Variação entre grupos (SQE) = + Variação dentro dos grupos (SQD)

13 Tabela ANOVA de um fator Fonte da Variação Entre Grupos Dentro dos Grupos g.l. Soma dos Quadrados c-1 SQE MQE n-c SQD MQD Total n-1 STQ = SQE + SQD Média dos Quadrados (Variância) F F MQE MQD c = número de grupos n = soma dos tamanhos de amostra de todos os grupos gl = graus de liberdade

14 A soma total dos quadrados STQ = SQE + SQD Onde: STQ j c n j 1 i 1 ( X ij X ) STQ = Soma total dos quadrados c = número de grupos n j = número de valores no grupo j X ij = i ésimo valor do grupo j X = grande média (média de todos os valores)

15 A soma total dos quadrados STQ c n j j 1 i 1 ( X ij X ) STQ ( X X 11 X ) ( X1 X )... ( X nc )

16 Variação dentro dos grupos STQ = SQE + SQD Onde: SQD c n j 1 i 1 j ( X X j SQD = Soma dos quadrados dentro dos grupos c = número de grupos n j = número de valores no grupo j X j = média aritmética da amostra do grupo j X ij = i ésimo valor no grupo j ij )

17 Variação dentro dos grupos SQD j c 1 n j i 1 ( X ij X j ) SQD ( X 1 11 X 1 ) ( X 1 X )... ( X nc X c ) j

18 Variação entre grupos STQ = SQE + SQD Onde: SQE c j 1 n j ( X X ) SQE = Soma dos quadrados entre grupos c = número de grupos n j = número de observações no grupo j X j = média aritmética da amostra do grupo j X = grande média (média de todos os valores) j

19 Variação entre grupos SQE n 1 (X1 X) n(x X)... nc(xc X) SQE j c 1 n j (X j X) µ 1 µ µ c

20 Médias dos Quadrados MQE MQD MTQ SQE c 1 SQD n c STQ n 1 Média dos quadrados entre grupos Média dos quadrados dentro dos grupos Média total dos quadrados

21 Tabela ANOVA de um fator Fonte da Variação g.l. Soma dos Quadrados Média dos Quadrados (Variância) F Entre Grupos Dentro dos Grupos c-1 SQE MQE n-c SQD MQD Total n-1 STQ = SQE + SQD F MQE MQD c = número de grupos n = soma dos tamanhos de amostra de todos os grupos gl = graus de liberdade

22 ANOVA de um fator Teste Estatístico H 0 : μ 1 = μ = = μ c H 1 : Pelo menos duas populações têm médias diferentes Estatística de teste: F MQE MQD MQE média dos quadrados entre grupos MQD média dos quadrados dentro dos grupos Graus de liberdade gl 1 = c 1 (c = numero de grupos) gl = n c (n = soma de todos os tamanhos de amostras)

23 Distribuição F de Snedecor O valor crítico de F pode ser encontrado nas tabelas F Há dois graus de liberdade: numerador e denominador. Na tabela F, Graus de liberdade do numerador determinam a coluna Graus de liberdade do denominador determinam a linha

24 Como encontrar os valores críticos da Distribuição F Para encontrar os valores críticos de F: 1. Encontre F S na tabela F para n 1 1 numerador e n 1 denominador graus de liberdade.. Encontre F I usando a fórmula: F I 1 F S* Onde F S* vem da tabela F com n 1 numerador e n 1 1 denominador graus de liberdade (i.e., inverta os g.l. de F S )

25 Como encontrar os valores críticos da Distribuição F Exemplo: encontre os valores críticos superior e inferior da distribuição F com 15 g.l. no numerador e 5 g.l. no denominador para um nível de confiança de 10% bicaudal 1. Encontre F S : =,09 (coluna 15; linha 5). Encontre F I usando a fórmula: F I 1 F S* F S* para 5 g.l. (aproxima-se para 4) no numerador e 15 g.l. no denominador é igual a,9 (coluna 4; linha 15) F I = 1 /,9 = 0,4367

26 ANOVA de um fator Teste Estatístico A estatística F é a razão entre as variações entre e dentro dos grupos A razão será sempre positiva gl 1 = c -1 será em geral pequeno gl = n - c será em geral grande Decisão: Rejeita H 0 se F > F S, senão não rejeita H 0 =.05 0 Não rejeita H 0 F S Rejeita H 0

27 ANOVA de um fator Exemplo Você quer verificar se três diferentes fabricantes de sorvetes têm custos diferentes de fabricação por mil litros de sorvete. Você aleatoriamente escolhe cinco medidas de custos feitas em momentos diferentes no tempo para cada fabricante. A um nível de significância de 5%, há diferenças entre os custos? Fab. 1 Fab. Fab

28 ANOVA de um fator Exemplo Custo Fab. 1 Fab. Fab x1 49. x 6.0 x3 x X 1 X 1 3 Fabricante X 3 X

29 ANOVA de um fator Exemplo X 1 = 49. X = 6.0 X 3 = 05.8 X = 7.0 n 1 = 5 n = 5 n 3 = 5 n = 15 c = 3 SQE = 5 (49. 7) + 5 (6 7) + 5 (05.8 7) = SQD = (54 49.) + (63 49.) + + (51 49.) + + (34 6) + (34 6) + + (34 6) + + (00 05,8) + ( 05,8) + + (04 05,8) + =

30 ANOVA de um fator Exemplo MQE = / (3-1) = 358. MQD = / (15-3) = 93.3 F Valor Crítico: F S = 3.89 =.05 0 Não rejeita H 0 Rejeita H 0 F S = 3.89 F = 5.75 Fs para (c-1) = g.l. no numerador e (n-c)=(15-3)=1 g.l. no denominador

31 ANOVA de um fator Exemplo H 0 : μ 1 = μ = μ 3 H 1 : μ j não são todas iguais =.05 gl 1 = gl = 1 Decisão: Rejeita H 0 a α = 0.05 Conclusão: Há evidências de que pelo menos uma μ j seja diferente das demais.

32 ANOVA de um fator no Excel Anova: fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Fab , 108, Fab ,5 Fab ,8 94, ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valor-p F crítico Entre grupos 4716,4 358, 5, ,9854E-05 3, Dentro dos grupos 1119,6 1 93,3 Total EXCEL: Selecione: Ferramentas => Análise de dados => ANOVA: fator único

33 O Procedimento de Tukey-Kramer Mostra que população tem média significativamente diferente ex.: μ 1 = μ μ 3 Feito após a rejeição da hipótese de igualdade de médias através da ANOVA Permite múltiplas comparações Compara diferenças em valor absoluto com intervalo crítico μ 1 = μ μ 3 x

34 Intervalo Críticio para o Procedimento detukey-kramer Intervalo Critico QS MQD 1 n 1 j n j' Onde: Q S = Valor crítico da cauda superior, a partir da distribuição de intervalos de Student, com c g.l. no numerador e n - c g.l. no denominador para determinado nível de (ver tabela E.9) MQD = Média dos Quadrados dentro dos Grupos n j e n j = Tamanho das amsotras para os grupos j e j

35 O Procedimento de Tukey-Kramer Fab. 1 Fab. Fab Calcule as diferenças de médias em valores absolutos: x x x 1 1 x x x , 49, 6,0 6,0 05,8 05,8 3, 43,4 0,. Encontre Q S na Tabela E.9 com c = 3 e (n c) = (15 3) = 1 graus de liberdade para o nível desejado de ( =.05 neste exemplo): Q S 3,77

36 O Procedimento de Tukey-Kramer 3. Calcule o intervalo crítico: Intervalo Crítico Q S MQD 1 n j 1 n j' 3,77 93, ,85 4. Compare: x1 x 3, x1 x3 43,4 x x3 0, 5. Todos os valores absolutos das diferenças são maiores que o intervalo crítico. Portanto há uma diferença significativa entre cada par de médias a um nível de significância de 5%.

37 Premissas ANOVA Aleatoriedade e Independência Selecione amostras aleatórias a partir das c populações ou designe aleatoriamente os itens aos c níveis do fator Normalidade As amostras são extraídas de populações distribuídas nos moldes da distribuição normal Se violado, use teste não-paramétrico de Kruskal Wallis Homogeneidade das Variancias O teste F é pouco afetado se as amostras são de mesmo tamanho, se os tamanhos forem diferentes o teste é prejudicado Essa premissa pode ser verificada pelo Teste de Levene

38 Teste de Homogeneidade das Variâncias Teste de Levene Testa a premissa de homogeneidade de variâncias. Primeiro, defina as hipóteses nula e alternativa: H 0 : σ 1 = σ = =σ c H 1 : Nem todas as σ j são iguais Segundo, calcule os valores absolutos das diferenças entre cada um dos valores e a mediana de seu grupo. Terceiro, faça um teste ANOVA de um fator para esses valores absolutos de diferenças.

39 Nesta aula, nós vimos: Resumo do Capítulo Descrição da análise de variância de um fator A lógica da ANOVA Premissas da ANOVA Teste F para a diferença nas c médias O Procedimento de Tukey-Kramer para comparações múltiplas Teste de Levene para a Homogeneidade das Variâncias