Capítulo 11 Análise da Variância. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-1

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1 Capítulo 11 Análise da Variância Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-1

2 Objetivos do Aprendizado Neste capítulo você aprenderá: Os conceitos básicos da modelagem do experimento A utilizar a análise de variância de fator único para testar diferenças entre as médias aritméticas de diversos grupos A utilizar a análise da variância de dois fatores e interpretar o efeito da interação Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-2

3 Visão Geral do Capítulo Análise da Variância (ANOVA) ANOVA Fator Único Teste F Teste Tukey- Kramer ANOVA Dois Fatores Efeitos da Interação Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-3

4 ANOVA Descrição Geral O pesquisador controla um ou mais fatores de interesse Cada fator contém dois ou mais níveis Os níveis podem ser numéricos ou categóricos Diferentes níveis produzem diferentes grupos Pense nos grupos como populações Observe os efeitos na variável dependente Os grupos são iguais? Planejamento do experimento: o plano usado para coletar os dados Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-4

5 Planejamento Completamente Aleatorizado As unidades ou objetos do experimento são designadas aleatoriamente para os diferentes grupos Assume-se que os objetos são homogêneos Somente um fator ou variável independente Com dois ou mais níveis (grupos) Abordagem através da análise da variância com um fator (ANOVA de um fator) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-5

6 Análise da Variância de Fator Único Avaliar a diferença entre as médias de três ou mais grupos Exemplos: Taxas de acidentes para o 1o., 2o. e 3o. turnos de uma fábrica de pneus Premissas Milhagem esperada para cinco diferentes tipos Populações são normalmente distribuídas Populações têm variâncias iguais Amostras extraídas de forma aleatória e independente Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-6

7 Hipótese: ANOVA de fator único H0 :μ1 μ2 μ3 μ H 1 c As populações têm médias iguais i.e., não há efeito de tratamento (não há variações entre as médias dos grupos) : Nem todas as médias populacionais são iguais Pelo menos uma população tem média diferente das demais i.e., há um efeito de tratamento (grupos) Não significa que todas as médias são diferentes entre si (pelo menos uma das médias é diferente das demais) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-7

8 Hipótese: ANOVA de fator único H H 0 :μ1 μ2 μ3 μc 1 : Nem todasμ j são iguais Todas as médias são iguais: A hipótese nula é verdadeira (Não há efeito do grupo) μ 1 μ2 μ3 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-8

9 Hipótese: ANOVA de fator único H H 0 :μ1 μ2 μ3 μc 1 : Nem todasμ j são iguais Pelo menos uma média é diferente: A hipótese nula NÃO é verdadeira (há efeito de tratamento) or μ 1 μ2 μ3 μ1 μ2 μ3 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-9

10 Dividindo a Variação A variação total pode ser dividida em duas partes: STQ = SQE + SQD STQ = Soma total dos quadrados (Variação Total) SQE = Soma dos quadrados entre grupos (Variação entre grupos) SQD = Soma dos quadrados dentro dos grupos (Variação dentro dos grupos) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-10

11 Dividindo a Variação STQ = SQE + SQD Variação Total = mede a dispersão de cada dado individual em torno da grande média. A grande média é a média aritmética de todos os valores em todos os grupos combinados. (STQ) Variação entre grupos = mede a dispersão entre os grupos. Baseada nas diferenças entre as médias de cada grupo e a grande média. (SQE) Variação dentro dos grupos = dispersão existente dentro de cada grupo. Baseada nas diferença entre cada observação e a média do seu grupo. (SQD) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-11

12 Dividindo a Variação Variação Total (STQ) Variação entre grupos (SQE) = + Variação dentro dos grupos (SQD) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-12

13 Tabela ANOVA de um fator Fonte da Variação Entre Grupos Dentro dos Grupos g.l. Soma dos Quadrados c-1 SQE MQE Média dos Quadrados (Variância) n-c SQD MQD Total n-1 STQ = SQE + SQD F F MQE MQD c = número de grupos n = soma dos tamanhos de amostra de todos os grupos gl = graus de liberdade Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-13

14 A soma total dos quadrados STQ = SQE + SQD Where: STQ c n j j1 i1 ( X ij X STQ = Soma total dos quadrados c = número de grupos n j = número de valores no grupo j X ij = i ésimo valor do grupo j 2 ) X = grande média (média de todos os valores) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-14

15 A soma total dos quadrados STQ c n j j1 i1 ( X ij X 2 ) STQ ( X X X ) ( X 12 X )... ( X nc ) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-15

16 Variação dentro dos grupos STQ = SQE + SQD Onde: SQD c j1 n j i1 ( X X j SQD = Soma dos quadrados dentro dos grupos c = número de grupos n j = número de valores no grupo j X j = média aritmética da amostra do grupo j X ij = i ésimo valor no grupo j ij ) 2 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-16

17 Variação dentro dos grupos SQD c j1 n j i1 ( X ij X j ) 2 SQD ( X X ) 1 ( X 21 X )... ( X nc X c ) j Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-17

18 Variação entre grupos STQ = SQE + SQD Onde: SQE c n j1 j ( X X ) SQE = Soma dos quadrados entre grupos c = número de grupos n j = número de observações no grupo j X j = média aritmética da amostra do grupo j X = grande média (média de todos os valores) j 2 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-18

19 Variação entre grupos SQE n (X1 X) n2(x2 X)... nc(xc X) SQE c n j1 2 j (X j X) µ 1 µ 2 µ c Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-19

20 Médias dos Quadrados SQE MQE c 1 Média dos quadrados entre grupos MQD SQD n c Média dos quadrados dentro dos grupos STQ MTQ n 1 Média total dos quadrados Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-20

21 Tabela ANOVA de um fator Fonte da Variação Entre Grupos Dentro dos Grupos g.l. Soma dos Quadrados c-1 SQE MQE Média dos Quadrados (Variância) n-c SQD MQD Total n-1 STQ = SQE + SQD F F MQE MQD c = número de grupos n = soma dos tamanhos de amostra de todos os grupos gl = graus de liberdade Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-21

22 Estatística de teste: ANOVA de um fator Teste Estatístico H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ c H 1 : Pelo menos duas populações têm médias diferentes MQE F MQD MQE média dos quadrados entre grupos MQD média dos quadrados dentro dos grupos Graus de liberdade gl 1 = c 1 (c = numero de grupos) gl 2 = n c (n = soma de todos os tamanhos de amostras) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-22

23 ANOVA de um fator Teste Estatístico A estatística F é a razão entre as variações entre e dentro dos grupos A razão será sempre positiva gl 1 = c -1 será em geral pequeno gl 2 = n - c será em geral grande Decisão: Rejeita H 0 se F > F S, senão não rejeita H 0 0 =.05 Não rejeita H 0 F S Rejeita H 0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-23

24 ANOVA de um fator Exemplo Você quer verificar se três diferentes clubes de golfe têm circuitos com diferentes distâncias. Você aleatoriamente escolhe cinco medidas de jogadas em carrinhos automatizados para cada clube. A um nível de significância de 5%, há diferenças entre as distâncias? Clube 1 Clube 2 Clube Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-24

25 ANOVA de um fator Exemplo Clube 1 Clube 2 Clube x x x3 x Distância X 1 X 2 X Clube X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-25

26 ANOVA de um fator Exemplo X 1 = X 2 = X 3 = X = n 1 = 5 n 2 = 5 n 3 = 5 n = 15 c = 3 SQE = 5 ( ) ( ) ( ) 2 = SQD = ( ) 2 + ( ) ( ) 2 = Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-26

27 ANOVA de um fator Exemplo MQE = / (3-1) = MQD = / (15-3) = 93.3 F Valor Crítico: F S = 3.89 =.05 0 Não rejeita H 0 Rejeita H 0 F S = 3.89 F = Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-27

28 ANOVA de um fator Exemplo H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 H 1 : μ j não são todas iguais =.05 gl 1 = 2 gl 2 = 12 Decisão: Rejeita H 0 a α = 0.05 Conclusão: Há evidências de que pelo menos uma μ j seja diferente das demais. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-28

29 ANOVA de um fator no Excel Anova: fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância Clube ,2 108,2 Clube ,5 Clube ,8 94,2 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valor-p F crítico Entre grupos 4716, ,2 25, ,98524E-05 3, Dentro dos grupos 1119, ,3 Total EXCEL: Selecione: Ferramentas => Análise de dados => ANOVA: fator único Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-29

30 O Procedimento de Tukey- Kramer Mostra que população tem média significativamente diferente ex.: μ 1 = μ 2 μ 3 Feito após a rejeição da hipótese de igualdade de médias através da ANOVA Permite múltiplas comparações Compara diferenças em valor absoluto com intervalo crítico μ 1 = μ 2 μ 3 x Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-30

31 Intervalo Críticio para o Procedimento detukey-kramer Intervalo Critico QS MQD 2 1 n 1 j n j' Onde: Q S = Valor crítico da cauda superior, a partir da distribuição de intervalos de Student, com c g.l. no numerador e n - c g.l. no denominador para determinado nível de (ver tabela E.9) MQD = Média dos Quadrados dentro dos Grupos n j e n j = Tamanho das amsotras para os grupos j e j Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-31

32 O Procedimento de Tukey- Kramer Clube 1 Clube 2 Clube Calcule as diferenças de médias em valores absolutos: x x x x Encontre Q S na Tabela E.9 com c = 3 e (n c) = (15 3) = 12 graus de liberdade para o nível desejado de ( =.05 neste exemplo): x x Q 3.77 S Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-32

33 O Procedimento de Tukey- Kramer 3. Calcule o intervalo crítico: Intervalo Crítico Q S MQD 2 1 n j 1 n j' Compare: x x x1 x x2 x Todos os valores absolutos das diferenças são maiores que o intervalo crítico. Portanto há uma diferença significativa entre cada par de médias a um nível de significância de 5%. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-33

34 Premissas ANOVA Aleatoriedade e Independência Selecione amostras aleatórias a partir das c populações ou designe aleatoriamente os itens aos c níveis do fator Normalidade As amostras são extraídas de populações distribuídas nos moldes da distribuição normal Se violado, use teste não-paramétrico de Kruskal Wallis (Capítulo 12) Homogeneidade das Variancias O teste F é pouco afetado se as amostras são de mesmo tamanho, se os tamanhos forem diferentes o teste é prejudicado Essa premissa pode ser verificada pelo Teste de Levene Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-34

35 Premissas ANOVA Teste de Levene Testa a premissa de homogeneidade de variâncias. Primeiro, defina as hipóteses nula e alternativa: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 = =σ 2 c H 1 : Nem todas as σ 2 j são iguais Segundo, calcule os valores absolutos das diferenças entre cada um dos valores e a mediana de seu grupo. Terceiro, faça um teste ANOVA de um fator para esses valores absolutos de diferenças. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-35

36 ANOVA de dois fatores Examina os efeitos de: Dois fatores de interesse na variável dependente ex., efeito de diferentes lançadores e combustíveis no alcance de mísseis Interação entre os diferentes níveis desses dois fatores ex., é possível que determinado lançador tenha desempenho melhor com determinado tipo de combustível? Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-36

37 ANOVA de dois fatores Premissas Populações são normalmente distribuídas Populações têm iguais variâncias Amostras independentes extraídas de forma aleatória Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-37

38 ANOVA de dois fatores Fontes de Variação Dois fatores de interesse: A e B r = número de níveis do fator A c = número de níveis do fator B n = número de réplicas (valores) em cada célula n = número de valores em todo o experimento (n = rcn ) X ijk = valor da k-ésima observação para o nível i do fator A e o nível j do fator B Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-38

39 ANOVA de dois fatores Fontes de Variação STQ = SQA + SQB + SQAB + SQR STQ Variação Total n - 1 SQA Variação do Fator A SQB Variação do Fator B SQAB Variação decorrente da interação entre A e B SQR Variação Aleatória (Erro) Graus de liberdade: r 1 c 1 (r 1)(c 1) rc(n 1) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-39

40 ANOVA de dois fatores Equações Variação Total: STQ r c n i1 j1 k1 ( X ijk X 2 ) Variação do fator A: SQA cn r i1 ( X X 2 i.. ) Variação do fator B: SQB rn c j1 ( X X 2. j. ) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-40

41 ANOVA de dois fatores Equações Variação decorrente da interação: SQAB n r c i1 j1 ( X X 2 ij. X i.. X. j. ) Soma dos quadrados do Erros: SQR r c n i1 j1 k1 ( X ijk X ij.) 2 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-41

42 ANOVA de dois fatores Equações X r c n i1 j1 k1 rcn X ijk Grande Media X i c n j1 k1 X ijk ésimo.. Media do i nível do fator A (i 1, 2,..., cn r) r = número de níveis do fator A c = número de níveis do fator B n/ = número de replicações em cada célula Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-42

43 ANOVA de dois fatores Equações X.j. r i1 n k1 rn X ijk Media do j ésimo nível do fator B (j 1, 2,..., c) X ij. n k1 X ijk n Media da celula ij r = número de níveis do fator A c = número de níveis do fator B n/ = número de replicações em cada célula Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-43

44 ANOVA de dois fatores Equações MQA Media dos quadrados do fator A SQA r 1 MQB Media dos quadrados do fator B SQB c 1 MQAB Media dos quadrados da interação ( r SQAB 1)( c 1) MQR Media dos quadrados dos erros SQR rc( n' 1) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-44

45 H 0 : μ 1.. = μ 2.. = = μ r.. H 1 : Nem todas μ i.. são iguais H 0 : μ.1. = μ.2. = = μ.c. H 1 : Nem todas μ.j. são iguais ANOVA de dois fatores: O teste da Estatística F Teste F para o efeito do fator A: F Teste F para o efeito do fator B: F MQA MQR MQB MQR Rejeita H 0 se F > F S Rejeita H 0 se F > F S H 0 : a interação entre A e B é igual a zero H 1 : interacão entre A e B não é zero Teste F para o efeito da interação: F MQAB MQR Rejeita H 0 se F > F S Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-45

46 ANOVA de dois fatores: Tabela Resumo Fonte de Variação Graus de liberdade Soma dos Quadrados Média dos Quadrados (Variância0 F Fator A r 1 SQA Fator B c 1 SQB MQA = SQA/(r 1) MQB = SQB /(c 1) MQA/ MQR MQB/ MQR AB (Interação) (r 1)(c 1) SQAB MQAB = SQAB / (r 1)(c 1) MQAB/ MQR Erro rc(n 1) SQR MQE = SQE/rc(n 1) Total n 1 STQ Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-46

47 ANOVA de dois fatores: Características Graus de liberdade podem ser somados n-1 = rc(n / -1) + (r-1) + (c-1) + (r-1)(c-1) Total = erro + fator A + fator B + interação O denominador do teste F é sempre o mesmo mas o numerador é diferente A soma dos quadrados também totalizam STQ STQ = SQR + SQA + SQB + SQAB Total = erro + fator A + fator B + interação Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-47

48 Média Respostas Média Respostas ANOVA de dois fatores: Interação Sem efeito de interação: Efeito interação presente: Fator B Nível 1 Fator B Nível 3 Fator B Nível 2 Fator B Nível 1 Fator B Nível 2 Fator B Nível 3 Fator A Níveis Fator A Níveis Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-48

49 Resumo do Capítulo Neste capítulo, nós vimos: Descrição da análise de variância de um fator A lógica da ANOVA Premissas da ANOVA Teste F para a diferença nas c médias O Procedimento de Tukey-Kramer para comparações múltiplas Descrição da análise de variância de dois fatores Exame dos efeitos de múltiplos fatores Exame dos efeitos de interação ente fatores Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-49