Especialização em Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção

Transcrição

1 Especialização em Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção Projetos de Experimento e Confiabilidade de Sistemas da Produção Prof. Claudio Luis C. Frankenberg 3ª parte

2 Conforme foi apresentado anteriormente, o teste na análise de variância assume que as observações são independentes e normalmente distribuídas, com a mesma variância para cada tratamento. A validade, dessas suposições, deve ser verificada por meio da análise de resíduos.

3 ANOVA um fator A decomposição da variabilidade na análise de variância é puramente algébrica. Entretanto para realização de testes estatísticos e a obtenção de intervalos de confiança, utilizamos as seguintes hipóteses: Os erros são normais e independentes, com média e variância constante; e As observações são descritas por meio de modelo Na prática, precisamos verificar se estas suposições são válidas. Violações nestas suposições são verificadas através dos resíduos. O resíduo para a j-ésima observação do nível i é definido por em que é uma estimativa da observação em que y ij é uma estimativa da observação

4 Exemplo 17 Resíduos para a Resistência da Fibra. Algodão Resíduos 15-2,8-2,8 5,2 1,2-0,8 9,8 20-3,4 1,6-3,4 2,6 2,6 15,4 25-3,6 0,4 0,4 1,4 1,4 17,6 30-2,6 3,4 0,4-2,6 1,4 21,6 35-3,8-0,8 0,2 4,2 0,2 10,8

5 Gráfico dos resíduos versus ordem de coleta dos dados

6 GRÁFICO DOS RESÍDUOS CONTRA O TEMPO A validade da suposição de independência pode ser verificada por meio do gráfico de resíduos contra o tempo (ordem de coleta das observações). Se, neste gráfico, os resíduos (e i ) estiverem situados, aproximadamente, em torno de uma faixa horizontal centrada em e i = 0, então será obtida uma indicação da validade da suposição de independência. Por outro lado, configurações especiais, tais como a presença de sequencias de resíduos positivos e negativos, ou padrões de alternância de sinais, podem indicar que as observações não são independentes.

7 Um resíduo é definido como: Isto é, o resíduo é obtido da diferença entre uma observação e a média do tratamento correspondente. Configurações especiais, no gráfico de resíduos, contra a ordem de obtenção dos dados, indicam que as observações não são independentes.

8 Note-se que a violação da suposição de independência dos erros e ij pode exercer sérios efeitos sobre a validade das inferências realizadas por meio da análise de variância. Como esse é um problema difícil de ser corrigido, é importante tentar impedir a sua ocorrência. Geralmente, o emprego de uma aleatorização adequada para a coleta dos dados faz com que a condição de independência não seja violada.

9 Exemplos de gráficos de resíduos contra o tempo, Indicando: (a) validade da suposição de independência. (b) violação da suposição de independência.

10 Influência do R 2 na ANOVA Uma maneira de verificarmos se o modelo ajustado é adequado é olharmos o resultado do coeficiente de determinação (R 2 ). Este coeficiente mede o quanto a variável resposta é explicada pelo modelo. Quanto maior o valor de R 2 melhor! Dizemos que, com um valor de R 2 acima de 70%, o modelo está explicando bem a variação na variável resposta. A expressão usada para calcular o R 2 é dada por:

11 A expressão usada para calcular o R 2 é dada por: Em uma análise de variância com efeito fixo, estamos interessado em determinar se existe diferença entre os níveis dos fatores. Aqui (exemplo), não temos interesse em utilizar o modelo para previsão.

12 R 2 = 1 (162,1/636,96) = 0,7469 Logo R 2 > 0,7, o modelo está explicando bem a variação na variável resposta

13 Análise dos resíduos Na sequência, vamos fazer a análise de normalidade, independência e igualdade da variância dos resíduos. Grande parte dos problemas que encontramos na prática, são solucionados, considerando algumas suposições iniciais, tais como, assumir uma função de distribuição para os dados amostrados.

14 Análise dos resíduos Nesse sentido, surge a necessidade de certificarmos se essas suposições podem, realmente, ser assumidas. Em alguns casos, assumir a normalidade dos dados é o primeiro passo que tomamos para simplificar sua análise. Para dar suporte a esta suposição, consideramos, o teste Anderson-Darling, o teste Kolmogorov - Smirnov e o teste Shapiro - Wilk. Além disso, fazemos o gráfico "papel de probabilidade".

15 Teste de Normalidade Os testes de normalidade são utilizados para verificar se a distribuição de probabilidade associada a um conjunto de dados pode ser aproximada pela distribuição normal. As principais técnicas discutidas são: Papel de Probabilidade Teste de Kolmogorov-Smirnov Teste de Anderson-Darling Teste de Shapiro-Wilk

16 Papel de Probabilidade O Papel de Probabilidade é uma técnica gráfica utilizada para verificar a adequação de um determinado modelo estatístico aos dados. A técnica é simples de utilizar e pode ser aplicada a inúmeros tipos de modelos estatísticos. Considerar o modelo Normal com média μ e variância σ 2.

17 Se X ~ N(μ,σ 2 ), a transformação tem distribuição normal padrão (média zero e variância 1). Denotar a distribuição acumulada de Z por Φ. Se F é a função distribuição acumulada da distribuição normal com média μ e variância σ 2, temos que

18 Aplicando a função Φ -1 em ambos os lados, temos de onde obtemos que onde Φ -1 (F(x)) é o quantil da distribuição Normal padrão, calculado no ponto F(x).

19 Como a expressão anterior tem o formato de uma expressão linear, ao fazermos o gráfico entre x e Φ -1 (F(x)) devemos esperar um comportamento linear dos pontos, se a distribuição Normal for realmente adequada.

20 Com isso, construimos o Papel de Probabilidade a partir das seguintes etapas: Considere uma amostra x 1,..., x n ; Ordene os elementos da amostra, ou seja, x (1) x (2)... x (n) ; Calcule n valores d i = (i-0,3)/(n+0,4), com i = 1,..., n. A correção de 0,3 no numerador e 0,4 no denominador é necessário para que não tenhamos d i = 1, pois neste caso, temos que Φ -1 (1) =.

21 Calcule os quantis da distribuição Normal padrão para cada um dos valores d i, isto é, Faça um gráfico com os pontos E avalie a normalidade dos dados.

22 Teste de Anderson-Darling O teste Anderson-Darling (STEPHENS, 1974) é usado para testar se uma amostra de dados provém de uma determinada distribuição. Trata-se de uma modificação do teste Kolmogorov- Smirnov (KS). O Teste KS é de distribuição gratuita, no sentido de que os valores críticos não dependem da distribuição específica para calcular valores críticos. Isto tem a vantagem de permitir um exame mais sensível e a desvantagem de que os valores críticos devem ser calculados para cada distribuição.

23 O teste Anderson-Darling é definido como: sendo onde F é a distribuição cumulativa dos dados. As hipóteses do teste são: H0: Os dados seguem uma distribuição especificada; H1: Os dados não seguem uma distribuição especificada.

24 Os valores críticos para o teste Anderson- Darling, são dependentes da distribuição específica, sendo testada. Testar a hipótese de que a distribuição é feita de uma forma específica é rejeitada se a estatística de ensaio, A 2 for superior ao valor crítico.

25 Exemplo Avaliamos a normalidade dos resíduos através do gráfico "papel de probabilidade" e do teste de Anderson-Darling. No nosso caso, tomamos como hipótese nula a normalidade dos resíduos, e utilizamos a estatística de Anderson-Darling para testar esta hipótese. Para o exemplo, como o P-valor é alto (aproximadamente 0,16) não rejeitamos a hipótese de normalidade dos resíduos.

26 Exemplo 1-3,8 0, , ,6 0, , ,4 0,1063-1, ,4 0, , ,8 0, , ,8 0, , ,6 0, ,

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28 Resíduos versus valores ajustados Com esse gráfico temos indícios sobre o comportamento da variância dos resíduos com relação aos valores ajustados. Uma análise mais detalhada sobre a igualdade da variância pode ser obtida através dos testes de igualdade das variâncias.

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30 Resíduos versus a ordem de coleta dos dados A seguir elaboramos o gráfico dos Resíduos versus a Ordem de Coleta dos dados. Com esse gráfico obtemos indícios da independência ou não entre os resíduos. Se algum comportamento sistemático for observado no gráfico, temos indícios de que alguma variável "extra" influenciou nos resultados do experimento, fato que viola uma das premissas básicas da ANOVA e compromete nossas conclusões.

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32 ANOVA - Dois Fatores A decomposição da variabilidade na análise de variância é puramente algébrica. Entretanto, para realizarmos os testes estatísticos e os intervalos de confiança, utilizamos as seguintes hipóteses: Os erros são normais e independentes, com média 0 e variância constante σ 2 e As observações são descritas através do modelo

33 ANOVA - Dois Fatores Na prática, precisamos verificar se estas suposições não são absurdas. Violações nestas suposições são verificadas através dos resíduos. O resíduo para a k-ésima observação do nível i do fator A e nível j do fator B é definido por:

34 ANOVA - Dois Fatores Onde é uma estimativa da observação, obtida por: Portanto

35 Exemplo 18 Tipo de Caixa Redutora Tipo de eixo Rolado Cortado Importado Nacional 1,29-1,91 0,19 1,19-1,91-0,71-0,51 2,89-0,51-1,86 2,24 0,44-2,66 1,24 1,24-3,06 2,04 0,34-0,12 0,98-0,42-0,32 0,38 0,28-1,62 0,28 0,58 Importado -2,03-0,73-1,73-1,43-0,63-0,63 6,77-0,63 1,07 0,07-0,73 0,07 5,57-1,33-1,13-0,93-1,93 0,37 1,9 0,4-1 -0,8 0,3-0,5 2,2-1,5-1

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37 GRÁFICO DE RESÍDUOS CONTRA AS MÉDIAS DOS TRATAMENTOS Para se avaliar a validade da suposição de igualdade de variâncias em todos os níveis do fator, deve-se traçar o gráfico dos resíduos contra as médias dos tratamentos ẍ i e analisar a dispersão dos resíduos. Se a suposição é válida, essa dispersão não deve depender do valor de ẍ i.

38 Padrões para os gráficos de resíduos contra as médias dos tratamentos: (a) satisfatório, (b) funil, (c) laço duplo

39 Se a faixa de dispersão no gráfico de resíduos contra as médias dos tratamentos depender do valor de ẍ i, terá sido obtida uma indicação de que a suposição de igualdade de variâncias não é válida. A abordagem mais usual, para lidar com situações onde a variação não é constante, consiste em utilizar-se transformações para estabilizar a variância e, então, aplicar as técnicas já abordadas, aos dados transformados. É importante notar que, nesse caso, as conclusões da análise de variância se aplicam aos dados transformados e devem ser estendidas, com cuidado aos dados originais.

40 É importante destacar que, lidar com situações nas quais ocorre a violação das suposições de igualdade de variâncias, muitas vezes é um problema complexo. Nem sempre é possível encontrar uma transformação que estabilize a variância. Isso pode ocorrer, por exemplo, quando as observações de tratamentos incluídos no estudo apresentam uma variabilidade, significativamente, diferente da variabilidade das demais observações.

41 A solução de problemas desse tipo envolve, primeiramente, um entendimento das causas que geraram as diferenças na variabilidade. Muitas vezes, essas diferenças podem ser conseqüência da ocorrência de situações anormais no processo que está sendo avaliado. Caso isso seja constatado, é recomendável coletar novas observações para os tratamentos correspondentes às medidas com grandes diferenças na variabilidade, se este procedimento for possível de ser realizado.

42 Por outro lado, se for uma característica própria do processo, a existência de alguns tratamentos, para os quais as observações apresentam uma variabilidade muito diferente da variabilidade das observações coletadas sob os demais tratamentos, é sugerida a adoção de um outro tipo de modelo que leve esse fato em consideração.

43 Na análise de variância com amostras de mesmo tamanho, o teste F será ligeiramente afetado, caso a suposições de igualdade de variâncias seja violada.

44 GRÁFICO DA PROBABILIDADE NORMAL A validade da suposição de normalidade pode ser verificada por meio de um gráfico de probabilidade normal para os resíduos. Neste gráfico, cada resíduo é representado em função de seu valor esperado, o qual é calculado supondo que os resíduos seguem uma distribuição normal.

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46 É importante destacar que, se a distribuição dos resíduos εij não segue uma distribuição normal, apresentando pequenos desvios em relação a esta distribuição, esse fato não exerce grandes efeitos sobre o teste F, para os intervalos de confiança para as médias e para o método de Duncan de comparações múltiplas.