Prof. Lorí Viali, Dr. Mat2282 Análise Estatística Não Paramétrica
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- Célia Leveck Marinho
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1 Prof. Lorí Viali, Dr.
2 Objetivos Testar o valor hipotético de um parâmetro (testes paramétricos) ou de relacionamentos ou modelos (testes não paramétricos).
3 Envolvem parâmetros populacionais. Um parâmetro é qualquer medida que descreve uma população.
4 Os principais parâmetros são: μ (a média) σ (a variância) σ (o desvio padrão) π (a proporção)
5 Média Uma amostra Proporção Variância Diferença Dependentes de médias Duas amostras Independentes Diferença de médias Diferença de proporções Igualdade de variâncias
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7 Média ( μ ) Proporção ( π ) Variância ( σ )
8 H 0 : μ μ 0 H 1 : μ > μ 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) μ < μ 0 (teste unilateral/unicaudal à esquerda) μ μ 0 (teste bilateral/bicaudal).
9 Neste caso a variável teste é: Z X μ σ X X X σ μ n
10 Z> z c (teste unilateral/unicaudal à direita) Z< z c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Z > z c (teste bilateral/bicaudal).
11 Onde z é tal que: c Φ(z c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) 1 α/ (teste bilateral/bicaudal).
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13 A experiência passada mostrou que as notas de Probabilidade e Estatística, estão normalmente distribuídas com média μ 5,5 e desvio padrão σ,0. Uma turma de n 64 alunos deste semestre apresentou uma média de 5,9. Teste a hipótese de este resultado mostra uma melhora de rendimento a uma significância de 5%.
14 Hipóteses: H 0 : μ 5,5 H 0 : μ > 5,5 Dados: σ,0 n 64 X 5,9 α 5% Trata-se de um teste unilateral à direita com σ conhecido.
15 A variável vel teste é: Z X μ σ X X X σ μ n Então: X μ 5,9 5,5 0,4 3, Z σ n,0 64,0 8,0 1,60
16 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) 1-α 1 0,05 95%. Então z c Φ 1 (0,95) 1,645. Assim RC [1,645; ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como z 1,60 RC ou 1,60 < 1,645, Aceito H 0, isto é,, a 5% de significância não se pode afirmar que os resultados desta turma são melhores.
17 α 5% Região de Não Rejeição 1,60 RC [ 1, 645; )
18 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (1,60), isto é,, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z > 1,60), isto é,, p P(Z > 1,60) 1 Φ(1,60) Φ(-1,60) 5,48%. Como a significância do resultado (5,48% 5,48%) é maior que a significância do teste (5% 5%) ) não é possível rejeitar a hipótese nula.
19 Neste caso a variável vel teste é: t n 1 X μ σˆ X X X s μ n
20 t n-1 > t c (teste unilateral/unicaudal à direita) t n-1 < t c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) t n-1 > t c (teste bilateral/bicaudal).
21 Onde t é tal que: c P(t < t c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) P(t < t c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P(t < t c ) α/ ou P(t > t c ) α/ (teste bilateral/bicaudal).
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23 Suponha que a sua empresa comprou um lote de lâmpadas. Você precisa testar, a 5% de significância, a afirmação do fabricante de que a duração média das lâmpadas é maior que 800 horas. Para isto você usa uma amostra de 36 lâmpadas e encontra uma média 80 horas com desvio de 70 horas. Isto confirma a afirmação do fabricante?
24 Dados: Hipóteses: H 0 : μ 800 horas H 0 : μ > 800 horas n 36 X 80 horas s 70 horas α 5% Trata-se de um teste unilateral à direita com σ desconhecido.
25 A variável vel teste é: t n 1 X μ ˆσ X X X s μ n Então: X μ t35 s n , 714
26 O valor crítico t c é tal que: P(T > t c ) 1-α Então t c 1,690. Assim RC [1,690; ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t 1,714 RC ou 1,714 > 1,690, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de significância, pode-se afirmar que a duração média m das lâmpadas é superior a 800 horas.
27 α 5% Região de Não Rejeição 1,714 RC [ 1, 690 ; )
28 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (1,714), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(T 35 > 1,714). Utilizando o Excel, tem-se:
29 Como a significância do resultado (4,77% 4,77%) é menor que a significância do teste (5% 5%) é possível rejeitar a hipótese nula.
30 H 0 : π π 0 H 1 : π > π 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) π < π 0 (teste unilateral/unicaudal à esquerda) π π 0 (teste bilateral/bicaudal).
31 Neste caso a variável teste é: Z P μ P P π σ P π( 1 π ) n
32 Z> z 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) Z< z 0 (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Z > z 0 (teste bilateral/bicaudal).
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34 Afirma-se que 40% dos alunos de uma universidade são fumantes. Uma amostra de 5 estudantes selecionados ao acaso mostrou que apenas 7 eram fumantes. Teste a 1% a hipótese de que a afirmação foi exagerada.
35 Dados: Hipóteses: H 0 : π 40% H 0 : π < 40% f 7 n 5 p 7/53% α 1% Trata-se de um teste unilateral à esquerda para a proporção. A variável teste é:
36 Z P μ σ P P P π( π 1 π ) n Então: Z P μ σ P P 0,3 0,40 0,40( 1 0,40 ) 5 0,08 0,036,45
37 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) α 0,01 1%. Então z c Φ 1 (0,01) -,33. Assim RC (- ;-,33] DECISÃO e CONCLUSÃO: Como z -,45 RC ou -,45 < -,33. Rejeito H 0, isto é, a 1% de significância posso afirmar que a afirmação é exagerada.
38 α 1% RC ( ;,33] Região de Não Rejeição,45
39 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (-,45), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z < -,45), isto é, p P(Z < -,45) Φ(-,45) 0,71%. Como a significância do resultado (0,71%) é menor que a significância do teste (1%) é possível rejeitar a hipótese nula.
40 H 0 : σ H 1 : σ > σ 0 σ 0 (teste unilateral/unicaudal à direita) σ < σ 0 (teste unilateral/unicaudal à esquerda) σ σ 0 (teste bilateral/bicaudal).
41 Neste caso a variável vel teste é: ( n 1 ) s n 1 σ χ
42 χ > χ n 1 c (teste unilateral/unicaudal à direita) χ < χ n 1 c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) χ n 1 > χ c ou χ < χ n 1 (teste bilateral/bicaudal). c
43 Onde é tal que: χ c P ( χ > χ n 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) c ) P ( χ n 1 < χ c ) 1 - α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P( χ < χ ) α/ ou P ( χ > χ n 1 c n 1 c ) α/ (teste bilateral/bicaudal).
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45 O fabricante de uma certa marca de surdina de carro divulga que as suas peças tem uma variância de 0,8 anos. Uma amostra aleatória de 16 peças mostrou uma variância de um ano. Utilizando uma significância de 5%, teste se a variância de todas as peças é superior a 0,8 anos.
46 Dados: Hipóteses: H 0 : σ 0,8 anos H 0 : σ > 0,8 anos n 16 s 1 ano α 5% Trata-se de um teste unilateral à direita para a variância.
47 Então: A variável vel teste é: ( n 1 ) s n 1 σ χ ( n 1 ) s ( 16 1 ).1 15 χ 15 σ 0,8 0,8 18, 75
48 O valor crítico χ é tal que: c P(χ > χ ) α 5%. Então: c χ c 4,996. Assim: RC [4,996; ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como χ 15 18,75 RC ou 18,75 < 4,996, Aceito H 0, isto é, a 5% de significância, não se pode afirmar que a variância é maior que 0,80 anos.
49 α 5% Região de Não Rejeição 18,75 RC [4,996 ; )
50 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (18,75), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(χ 15 > 18,75). Utilizando o Excel, tem-se:
51 Como a significância do resultado obtido (,59%) é maior que a significância do teste (5%) não é possível rejeitar a hipótese nula.
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53 Dependentes Teste t para amostras emparelhadas Variâncias Teste z Conhecidas Independentes Variâncias Desconhecidas Supostas iguais Supostas diferentes
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55 Diferença entre duas médias (μ - μ Δ) 1 Diferença entre duas proporções (π - π Δ) 1 Igualdade entre duas variâncias X Y ( σ σ )
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57 Neste caso a variável vel teste é: Z X Y σ X μ Y X Y X σ Y X + Δ σ Y n m
58 Z> z c (teste unilateral/unicaudal à direita) Z< z c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Z > z c (teste bilateral/bicaudal).
59 Onde z é tal que: c Φ(z c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) 1 α/ (teste bilateral/bicaudal).
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61 Uma grande empresa quer comprar peças de dois fornecedores diferentes. O fornecedor A alega que a durabilidade é de 1000 horas com desvio de 10 horas, enquanto que o fornecedor B diz que a duração média é de 1050 horas com desvio padrão de 140 horas.
62 Para testar se a durabilidade de B é realmente maior, duas amostras de tamanho n m 64, de cada um dos fornecedores, foram obtidas. A duração média da amostra A foi de 995 horas e a B foi de 105. Qual a conclusão a 5% de significância?
63 Dados: Hipóteses: H 0 : μ 1 μ n m 64 σ 1 10; σ 140 H 1 : μ 1 < μ X 995 e Y 105 α 5% Trata-se de um teste unilateral à esquerda com σ 1 e σ conhecidos.
64 A variável vel teste é: Z X Y σ X μ Y X Y X σ Y X + Δ σ Y Então: n m Z X σ X n Y + Δ σ Y m ,30
65 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) α 0,05 5%. Então z c Φ 1 (0,05) -1,645. Assim RC (- ; -1,645] DECISÃO e CONCLUSÃO: Como z -1,30 RC ou -1,30 > -1,645, Aceito H 0, isto é,, a 5% de significância não se pode afirmar que a média m de A é menor que a média m de B
66 α 5% 1,30 RC ( ; 1,645;] Região de Não Rejei Região de Não Rejeição
67 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (-1,30),( isto é,, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z < -1,30), isto é,, p P(Z < -1,30) Φ(-1,30) 9,68%. Como a significância do resultado (9,68% 9,68%) é maior que a significância do teste (5% 5%) ) não é possível rejeitar a hipótese nula.
68 Neste caso a variável vel teste é: t υ X Y σˆ X μ Y X Y X s Y Δ n m
69 Onde s é dado por: s ( n 1 ) s + ( m 1 ) s Y n X + m e v é dado por: n + m -
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71 Um relatório da defesa do consumidor mostrou que um teste com oito pneus da marca A apresentaram uma vida média de km com um desvio padrão de 3500 km e que doze de uma marca concorrente B, testados nas mesmas condições, tiveram uma durabilidade média de km com variabilidade de 400 km.
72 Supondo que as variâncias populacionais sejam as mesmas e admitindo uma significância de 5%, verifique se é possível afirmar que as duas marcas diferem quanto a durabilidade média. E se a significância fosse 1% qual seria a conclusão?
73 Dados: Hipóteses: H 0 : μ 1 μ H 1 : μ 1 μ n 8; m 1 s A 3500; s B 400 X 37500; Y α 5% ; σ A σ B Trata-se de um teste t bilateral com σ 1 e σ supostamente iguais.
74 A variável vel teste é: t n+ m Onde: X Y σˆ μ X Y X Y X s. Y Δ n m s (n 1)S A n + + (m m 1)S B
75 s ,9651 Então: t 18 X S. Y Δ n m , ,19
76 O valor crítico t c é tal que: P( Τ 18 > t c ) α 0,05 5%. Então t c T 1 (0,9750),101. Assim RC (- ; -,101] [,101; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t -,19 RC ou -,19 < -,101, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de significância posso afirmar que a vida média m das duas marcas difere.
77 ν n + m t ν t18,19 α,5% Região de Não Rejeição α,5% RC ( ;,101] U[,101; + )
78 O valor crítico t c é tal que: P( Τ 18 > t c ) α 0,01 1%. Então t c T 1 (0,9950),878. Assim RC (- ; -,878] [,878; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t -,19 RC ou -,19 > -,878, Aceito H 0, isto é,, a 1% de significância não posso afirmar que a vida média m das duas marcas difere.
79 ν n + m t ν t18,19 α 0,5% Região de Não Rejeição α 0,5% RC ( ;,878] U[,878; + )
80 Neste caso a variável vel teste é: t υ X Y σˆ X μ Y X Y X Y s X + Δ s Y n m
81 Onde v Onde v é dado por: dado por: 1 m m S 1 n n S m S n S Y X Y X + + υ
82 t v > t c (teste unilateral/unicaudal à direita) t v < t c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) t v >t c (teste bilateral/bicaudal).
83 Onde t é tal que: c P(t v < t c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) P(t v < t c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P(t v < t c ) α/ ou P(t v > t c ) α/ (teste bilateral/bicaudal).
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85 Uma empresa fabrica transistores do tipo A e do tipo B. A marca A, mais cara, é supostamente pelo menos 60 horas mais durável do que a marca B. Um usuário quer saber se vale a pena pagar mais pela marca A e resolve testar se, de fato, ela é mais durável.
86 Testa 0 itens de A encontrando uma vida média de 1000 horas com desvio de 60 horas, enquanto que 0 itens da marca B apresentam uma vida média de 910 horas com desvio de 40 horas. Qual a conclusão a 5% de significância?
87 Dados: Hipóteses: H 0 : μ 1 - μ 60 H 1 : μ 1 - μ > 60 n m 0 s A 60; s B 40 X 1000; Y 910 α 5% ; σ A σ B Trata-se de um teste t unilateral à direita com σ 1 e σ supostamente desiguais.
88 Onde: Onde: A vari A variável teste vel teste é: m s n s Y X ˆ Y X t Y X Y X Y X + Δ σ μ υ ( ) ( ) 1 m m S 1 n n S m S n S Y X Y X + + υ
89 E: t υ υ X s Y n m s X Y + Δ ,861
90 O valor crítico t c é tal que: P(Τ 33 > t c ) α 0,05 5%. Então t c T 1 (0,95) 1,69. Assim RC [ 1,69; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t 1,861 RC ou 1,861 > 1,69, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de significância posso afirmar que a vida média m da marca é pelo menos 60 horas maior que a marca B.
91 υ tν t33 α 5% Região de Não Rejeição 1,861 RC [1,69 ; )
92 H 0 : π 1 π Δ H 1 : π 1 π > Δ (teste unilateral/unicaudal à direita) π 1 π < Δ (teste unilateral/unicaudal à esquerda) π 1 π Δ (teste bilateral/bicaudal).
93 Neste caso a variável vel teste é: Z P 1 P μ P1 P ˆσ P1 P P 1 P Δ P 1 ( 1 P 1 ) + P ( 1 P ) n m
94 Z> z c (teste unilateral/unicaudal à direita) Z< z c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Z >z c (teste bilateral/bicaudal).
95 Onde z é tal que: c Φ(z c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) 1 -α/ (teste bilateral/bicaudal).
96
97 A reitoria de uma grande universidade entrevistou 600 alunos, 350 mulheres e 50 homens, para colher a opinião sobre a troca do sistema de avaliação da universidade. Da amostra 140 mulheres e 115 homens estavam a favor. Teste a 5% se existe diferença significativa de opinião entre homens e mulheres.
98 Dados: Hipóteses: n 350; m 50 p 1 140/350 40% H 0 : π 1 π p 115/50 46% H 1 : π 1 π α 5% Trata-se de um teste bilateral para a proporção.
99 A variável vel teste é: Z P 1 ( P 1 1 P n P 1 ) P + Δ ( 1 P m ) 0,40( 0,40 0, ,40 ) 350 0,46( + 1 0,46 ) 50 0,06,1 0,0718
100 O valor crítico z c é tal que: P( Ζ > z c ) α 0,05 5%. Então z c Φ 1 (0,05) -1,96. Assim RC (- ; -1,96] [ 1,96; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como z -,1 RC ou -,1 < -1,96, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de significância posso afirmar que as opiniões diferem entre homens e mulheres.
101 α,1,5% Região de Não Rejeição α,5% RC ( ; 1,96] U[1,96; + )
102 σ 1 H 0 : σ H 1 : σ 1 σ 1 σ 1 > (teste unilateral/unicaudal à direita) σ < (teste unilateral/unicaudal à esquerda) σ (teste bilateral/bicaudal). σ
103 Neste caso a variável vel teste é: F n 1, m 1 S S Y X
104 F n -1,m-1 > f c (teste unilateral/unicaudal à direita) F n -1,m-1 < f c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Fn -1,m-1 > f ou Fn-1,m-1 < (teste bilateral/bicaudal). c f c
105 Onde F n-1;m 1;m-1 é tal que: P ( F n 1, m -1 > F c ) α (teste unilateral/unicaudal à direita) P ( F n 1, m -1 < F c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P(F n 1, m-1 > Fc ) α/ ou P( Fn 1, m-1 < F c ) α/ (teste bilateral/bicaudal).
106
107 O desvio padrão de uma dimensão particular de um componente de metal é satisfatório para a montagem do componente. Um novo fornecedor está sendo considerado e ele será preferível se o desvio padrão é menor do que o do atual fornecedor. Uma amostra de 100 itens de cada fornecedor é obtido.
108 Fornecedor atual: s 1 0,0058 Novo fornecedor: s 0,0041 A empresa deve trocar de fornecedor se for considerado uma significância de 5%?
109 Dados: Hipóteses: H 0 : σ 1 σ H 1 : σ 1 > σ n m 100 s 1 0,0058 s 0,0041 α 5% Trata-se de um teste unilateral à direita para a igualdade de variâncias.
110 A variável vel teste é: F S S 1 Que apresenta uma distribuição F com n 1 g.l. no numerador e m 1 g.l. no denominador. Então: f s s 1 0,0058 0,0041 1,41
111 O valor crítico f c é tal que: P( F > f c ) α 0,05 5%. Então f c F 1 (0,05) 1,39. Assim RC [ 1,39; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como f 1,41 RC ou 1,41 < 1,39, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de significância posso afirmar que a variância do fornecedor atual é maior do que a do novo fornecedor.
112 F -1;m-1 F99; 99 n α 5% Região de Não Rejeição RC [ 1,39 ; ) 1,41
113
114 H 0 : μ D Δ H 1 : μ D > Δ (teste unilateral/unicaudal à direita) μ D < Δ (teste unilateral/unicaudal à esquerda) μ D Δ (teste bilateral/bicaudal).
115 Neste caso a variável vel teste é: t υ D μ σˆ D D D Δ S D n
116 Onde : d d n i s ( d i d n 1 ) d i n n d 1 e v é dado por: n 11 m - 1
117 t n-1 > t c (teste unilateral/unicaudal à direita) t n-1 < t c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) t n-1 > t c (teste bilateral/bicaudal).
118 Onde t é tal que: c P(t n-1 < t c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) P(t n-1 < t c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P(t n-1 < t c ) α/ ou P(t n-1 > t c ) α/ (teste bilateral/bicaudal)
119
120 Um laboratório possui dois equipamentos de precisão. O diretor suspeita que existe uma pequena diferença de calibração entre os dois (ele não sabe em qual deles) de modo que um tende a dar leituras um pouco maiores do que o outro.
121 Ele propõe testar os dois aparelhos através da leitura de 10 medidas (tabela na próxima lâmina) em cada um dos aparelhos. Faça o teste adequado a uma significância de 5%.
122 Aparelho A 1, 1,1 10,55 13,33 11,4 10,30 1,3 13,7 11,93 1,50 Aparelho B 1,5 1, 10,57 13,3 11,47 10,30 1,36 13,9 11,91 1,61
123 Hipóteses: H 0 : μ D 0 Dados: n m 10 α 5% H 1 : μ D 0 Uma vez que as amostras não são independentes, trata-se do teste t para amostras emparelhadas.
124 A variável vel teste é: Onde: t n 1 D μ ˆσ D D D Δ SD n d d n i s ( d i d n 1 ) d i n n d 1
125 A 1, 1,1 10,55 B 1,5 1, 10,57 d i 0,30 0,10 0,0 d i 0,0900 0,0100 0, ,33 13,31-0,0 0, ,4 10,30 1,3 11,44 10,30 1,36 0,0 0,00 0,04 0,0004 0,0000 0, ,7 11,93 13,9 11,90 0,0-0,03 0,0004 0,0009 1,50 1,61 0,11 0, ,56 0,116
126 Tem-se: d d n i 0, ,0560 s d i n n d 1 0, , ,0971 A variável vel teste é: D Δ 0, , tn 1 SD 0,0971 0,0971 n 10 1,84
127 O valor crítico z c é tal que: P( T > t c ) α 0,05 5%. Então t c T 1 (0,05),6. Assim RC [,6; + ] DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t 1,84 RC ou 1,84 <,6, Aceito H 0, isto é,, a 5% de significância não se pode afirmar que as leituras são diferentes.
128 tν t10 α 5% Região de Não Rejeição 1,84 RC [,6 ; )
Prof. Lorí Viali, Dr.
Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.ufrgs.br/~viali/ Dependentes Teste t para amostras emparelhadas Variâncias Teste z Conhecidas Independentes Variâncias Desconhecidas Supostas iguais
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Prof. Lorí Viali, Dr. http://www. ://www.mat mat.ufrgs..ufrgs.br br/~viali/ viali@mat mat.ufrgs..ufrgs.br Média Uma amostra Proporção Variância Dependentes Diferença de médias m Duas amostras Independentes
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