Profa.: Patricia Maria Bortolon, D.Sc. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-1

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1 MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À CONTABILIDADE Profa.: Patricia Maria Bortolon, D.Sc. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-1

2 Fundamentos de Testes de Hipóteses: Testes para Uma Amostra Cap. 9 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-2

3 Exercício 1 Defina a hipótese nula e a hipótese alternativa para a seguinte situação: inspeciona-se uma amostra de 142 peças de uma grande remessa, encontrando-se 8% defeituosas. O fornecedor garante que não haverá mais de 6% de peças defeituosas em cada remessa. O que tentamos descobrir é se a afirmação do fornecedor é verdadeira. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-3

4 Exercício 2 Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar para uma firma lotes que não contenham mais de 2% de defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a remessa, para verificar a qualidade. a.indique Ho e H1 b.o fornecedor não deseja remeter lotes com elevado risco de devolução em razão de número excessivo de unidades defeituosas, mas também não deseja remeter lotes com percentagem de defeituosos muito menor que a estabelecida, de modo que ele também, fornecedor, faz seu teste antes de proceder à remessa. Indique Ho e H1. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-4

5 Exercício 3 Via de regra, em um tribunal os integrantes do júri não se deixam enganar por provas falsas, quer sejam a favor ou contra o réu. Tais enganos ocorrem sim, mas com baixa probabilidade. Tendo em mente a filosofia do teste de hipóteses da inferência estatística com qual alternativa se deve trabalhar? (a) (b) O réu é inocente até prova em contrário. O réu é culpado até prova em contrário. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-5

6 Teste de Hipóteses: σ conhecido Para um teste bi-caudal da média, σ conhecido: Converta a estatística da amostra ( X ) em uma estatística de teste X μ Z σ Determine o valor crítico de z para o nível de confiança especificado a partir de uma tabela ou usando o Excel n Decisão: se a estatística de teste cair na região de rejeição, rejeite H 0 ; caso contrário não rejeite Ho Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-6

7 Teste de Hipótese: σ conhecido Há dois valores críticos definindo as regiões de rejeição /2 H 0 : μ = 3 H 1 : μ 3 /2 3 X Rejeita H 0 -Z Valor crítico inferior Não rejeita H 0 0 +Z Rejeita H 0 Valor crítico superior Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-7

8 Teste de Hipótese: σ conhecido Exemplo: Teste a afirmação de que o verdadeiro peso médio das barras de chocolate produzidas em uma fábrica é igual a 3 onças. Declare as hipóteses nula e alternativa H 0 : μ = 3 H 1 : μ 3 (este é um teste bi-caudal) Especifique o nível desejado de significância Suponha que =.05 seja escolhido para este teste Escolha um tamanho de amostra Suponha que um tamanho de amostra n = 100 seja escolhido Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-8

9 Teste de Hipótese: σ conhecido Determine a técnica adequada σ é conhecido então pode-se usar o teste Z Estabeleça os valores críticos Para =.05 os valores críticos de Z são ±1.96 Colete os dados e calcule a estatística de teste Suponha que os resultados da amostra sejam: n = 100, X = 2.84 (σ = 0.8 é presumido a partir de dados históricos da empresa) Então a estatística de teste é: Z X μ σ n Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-9

10 Teste de Hipótese: σ conhecido A estatística de teste está na região de rejeição? =.05/2 =.05/2 Rejeita H 0 se Z < ou Z > 1.96; caso contrário não rejeite H 0 Rejeita H 0 Não rejeita H 0 -Z= Rejeita H 0 +Z= Aqui, Z = -2.0 < -1.96, então a estatística de teste está na região de rejeição de Ho Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-10

11 Teste de Hipótese: σ conhecido Decida e interprete o resultado Como z = -2.0 < -1.96, você rejeita a hipótese nula e conclui que há evidências suficientes de que a média do peso das barras de chocolate não é igual a 3 onças. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-11

12 Teste de Hipótese: σ conhecido As 6 etapas do Teste de Hipóteses: 1. Defina a hipótese nula, H 0 e a hipótese alternativa H 1 2. Escolha o nível de significância, α, e o tamanho da amostra n. 3. Determine a técnica estatística adequada e o teste a ser realizado. 4. Encontre os valores críticos e determine a região de rejeição. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-12

13 Teste de Hipótese: σ conhecido 5. Colete os dados e calcule a estatística de teste a partir da amostra. 6. Compare a estatística de teste com o valor crítico para determinar se a estatística de teste caiu na região de rejeição. Faça a decisão estatística: Rejeitar H 0 se a estatística de teste cair na região de rejeição. Escreva a decisão no contexto do problema em questão. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-13

14 Teste de Hipótese: σ conhecido A abordagem do p-valor O valor-p é a probabilidade de ser obtida uma estatística de teste igual ou mais extrema do que o resultado da amostra, considerando que a hipótese nula H 0 seja verdadeira Também conhecido como nível observado de significância Menor valor de a partir do qual H 0 pode ser rejeitada Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-14

15 Teste de Hipótese: σ conhecido A abordagem do p-valor Converta a estatística da amostra (ex. X) para a estatística de teste (ex. Estatística Z) Obtenha o p-valor em uma tabela ou usando o Excel Compare o p-valor com Se p-valor <, rejeita H 0 Se p-valor, não rejeita H 0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-15

16 Teste de Hipótese: σ conhecido A abordagem do p-valor Exemplo: Quão provável é encontrar uma amostra com média igual a 2,84 (ou algo mais distante da média, em qualquer direção) se a verdadeira média é = 3.0? X = 2.84 é traduzida para uma estatística Z = -2.0 /2 =.025 /2 =.025 P(Z 2.0) P(Z 2.0).0228 p-valor = = Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-16

17 Teste de Hipótese: σ conhecido A abordagem do p-valor Compare o p-valor com Se p-valor <, rejeita H 0 Se p-valor, não rejeita H 0 Aqui: p-valor =.0456 =.05 Como.0456 <.05, você rejeita a hipótese nula /2 = /2 = Z 2.0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-17

18 Teste de Hipótese: σ conhecido Relação com Intervalo de Confiança Para X = 2.84, σ = 0.8 e n = 100, o intervalo para um nível de confiança de 95% é: (1.96) a (1.96) μ Como o intervalo não contém o valor da média especificado na hipótese (3.0), você rejeita a hipótese nula a um nível de significância =.05 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-18

19 Teste de Hipótese: σ conhecido Testes Unicaudais Em muitos casos, a hipótese alternativa se concentra em uma determinada direção H 0 : μ 3 H 1 : μ < 3 H 0 : μ 3 H 1 : μ > 3 Este é um teste de cauda à esquerda (ou inferior) já que a hipótese alternativa foca em valores menores do que a média 3 Este é um teste de cauda à direita (ou superior) já que a hipótese alternativa foca em valores maiores do que a média 3. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-19

20 Teste de Hipótese: σ conhecido Teste de cauda à esquerda Há somente um valor crítico, já que a área de rejeição concentra-se em uma cauda apenas. α Rejeita H 0 -Z Valor crítico Não Rejeita H 0 μ Z X Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-20

21 Teste de Hipótese: σ conhecido Teste de cauda à direita Há somente um valor crítico, já que a área de rejeição concentra-se em uma cauda apenas. α Z X Não Rejeita H 0 μ Z Rejeita H 0 Valor crítico Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-21

22 Teste de Hipótese: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Um gerente de uma companhia telefônica acha que a conta mensal de telefone celular dos clientes aumentou, e agora tem um valor médio maior do que $52 por mês. A companhia deseja testar essa afirmação. Dados históricos mostram que o desvio padrão é igual a $10. Forma do teste de hipótese: H 0 : μ 52 a média é menor ou igual a $52 por mês H 1 : μ > 52 a média é maior do que $52 por mês Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-22

23 Teste de Hipótese: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Suponha que =.10 seja escolhido para o teste Encontre a região de rejeição: Rejeita H 0 1- =.90 =.10 Não rejeita H 0 0 Z Rejeita H 0 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-23

24 Teste de Hipótese: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Qual é o Z dado a = 0.10? z Valor Crítico = 1.28 a =.10 Z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-24

25 Teste de Hipótese: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Obtenha a amostra e calcule a estatística de teste. Suponha que uma amostra com os seguintes resultados: n = 64, X = 53.1 ( =10 assume-se conhecido a partir de dados históricos) Então a estatística de teste é: Z X μ σ n Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-25

26 Teste de Hipótese: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Conclua e interprete o resultado: Rejeita H 0 1- =.90 = Z =.88 Não é possível rejeitar H 0 já que Z = i.e.: não há evidências suficientes de que a conta média de celular é maior do que $52 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-26

27 Teste de Hipótese: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Calcule o p-valor e compare com 0 Não Rejeitar H p-valor =.1894 Rejeita H 0 =.10 Rejeita H 0 P(X P(Z Z = P Z 53.1) / ) Não rejeitar H 0 já que o p-valor =.1894 > =.10 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-27

28 Teste de Hipóteses: σ desconhecido Se o desvio padrão da população não é conhecido usa-se o desvio padrão amostral S. Devido a essa mudança, deve-se usar a distribuição t ao invés da distribuição Z para testar a hipótese nula sobre a média. Todas as demais etapas, conceitos e conclusões são os mesmos. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-28

29 Teste de Hipóteses: σ desconhecido Lembre que a estatística t com n-1graus de liberdade é: t n-1 X μ S n Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-29

30 Teste de Hipóteses: σ desconhecido - Exemplo Afirma-se que o valor médio das diárias de hotel em Nova York é $168 por noite. Uma amostra aleatória de 25 hotéis resultou em X = $ e S = Teste a afirmação a um nível de significância = (Análises através de gráfico da probabilidade normal indicam que a distribuição da população pode ser aproximada pela distribuição normal) H 0 : μ = 168 H 1 : μ 168 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-30

31 Teste de Hipóteses: σ desconhecido - Exemplo H 0 : μ = 168 H 1 : μ 168 α = 0.05 n = 25 é desconhecido, então usamos a estatística t Valor Crítico: t 24 = ± α/2=.025 Determine as regiões de rejeição Rejeita H 0 α/2=.025 Rejeita H t 0 n-1,α/2 Não rejeita H -t 0 n-1,α/ Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-31

32 Teste de Hipóteses: σ desconhecido - Exemplo t n 1 X μ S n a/2=.025 a/2=.025 t n-1,α/2 -t n-1,α/ Não é possível rejeitar H 0 : não há evidências suficientes de que o custo médio verdadeiro é diferente de $168 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-32

33 Teste de Hipóteses: Relação com Intervalos de Confiança Para X = 172.5, S = e n = 25, o intervalo para um nível de confiança de 95% é: (2.0639) a (2.0639) μ Como o intervalo contém a média especificada na hipótese (168), não se pode rejeitar a hipótese nula a um nível de significância = Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-33

34 Teste de Hipóteses: σ desconhecido Lembre que assume-se que a estatística da amostra vem de uma amostra aleatória extraída de uma população com distribuição normal Se a amostra for pequena (< 30) deve-se testar a hipótese de normalidade da população. Se a amostra é grande, o Teorema do Limite Central é aplicável e a distribuição da média amostral é normal. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-34

35 Teste de Hipóteses Proporções Variáveis categóricas Dois possíveis resultados Sucesso (observa-se certa característica) Fracasso (a característica não é observada) π indica a fração ou proporção da população em que sucesso é observado. É o parâmetro da população. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-35

36 Teste de Hipóteses Proporções A proporção de sucesso na amostra é indicada por p p n X número de sucessos na amostra tamanho da amostra Quando nπ e n(1-π) são ambos maiores do que 5, a distribuição de p pode ser aproximada pela distribuição normal com as seguintes média e desvio padrão: μp σ p (1 ) n Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-36

37 Teste de Hipóteses Proporções A distribuição amostral de p é aproximadamente normal, então a estatística do teste é a Z com valor: Z p ( 1 ) n Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-37

38 Teste de Hipóteses Proporções - Exemplo Uma empresa de marketing afirma que o índice de resposta de sua mala direta é de 8%. Para testar essa afirmativa, uma amostra aleatória de 500 correspondências foi pesquisada e encontrou-se 30 respostas. Teste a afirmação com um nível de significância =.05. Primeiro, verifique: n π = (500)(.08) = 40 n(1-π) = (500)(.92) = 460 Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-38

39 Teste de Hipóteses Proporções - Exemplo H 0 : π =.08 H 1 : π.08 Determine a região de rejeição α =.05 n = 500, p =.06 Valores Críticos: ± 1.96 Rejeita.025 Rejeita z Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-39

40 Teste de Hipóteses Proporções - Exemplo Z Estatística de Teste: p (1 ) n (1.08) Decisão: Não rejeitar H 0 a =.05 Conclusão: z Não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da empresa sobre o índice de resposta ser de 8%. Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-40

41 Armadilhas potencias do teste de hipóteses e questões éticas Adote métodos aleatórios na amostragem para reduzir potenciais vieses. Não use respondentes humanos sem consentimento informado Escolha o nível de significância, α, antes da coleta de dados Não espione os dados para escolher entre teste unicaudal ou bicaudal, ou para determinar o nível de significância Não pratique descarte de dados para esconder observações que não suportem as hipóteses formuladas Divulgue todos os resultados relevantes Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-41

42 Resumo do capítulo Neste capítulo, nós vimos Apresentamos a metodologia do teste de hipóteses Usamos o teste Z para médias (σ conhecido) Discutimos as abordagens do valor crítico e o p- valor para testar as hipóteses Fizemos testes unicaudais e bicaudais Usamos o teste t para médias (σ desconhecido) Usamos o teste Z para proporções Discutimos armadilhas e questões éticas Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 9-42