Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Estatística Aplicada I

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1 8/8/05 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 8/08/05 06:55 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo VII Teste de Hipóteses Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica

2 8/8/05 VII Teste de Hipóteses Introdução Conceitos fundamentais Testes de significância VII Teste de Hipóteses Introdução Conceitos fundamentais Testes de significância

3 8/8/05 7. Introdução O teste de hipótese é outra técnica para se fazer inferência estatística. Na técnica do intervalo de confiança, o objetivo é se aproximar do parâmetro populacional desconhecido. No teste de hipótese, como o próprio nome indica, formula-se uma hipótese quanto ao valor do parâmetro populacional, e por meio dos elementos amostrais faz-se um teste que indicará a aceitação ou a rejeição da hipótese formulada previamente. VII Teste de Hipóteses Introdução Conceitos fundamentais Testes de significância 3

4 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais Hipótese estatística: É uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional, ou quanto a natureza da distribuição de probabilidade de uma variável populacional. Exemplos: - A altura média da população brasileira é,65 m, isto é: H: μ =,65 m; - A variância populacional dos salários da empresa A é $3000 : H: σ = 3000 ; - A distribuição de probabilidade das alturas dos moradores de Belém é normal. 7. Conceitos Fundamentais Teste de hipótese: É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais. Tipos de hipóteses: Hipótese nula (H o ): É a hipótese estatística a ser testada (expressa em igualdade); Hipótese alternativa (H ): É dada por uma desigualdade. 4

5 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais Tipos de hipóteses: Exemplos: H o : μ = 50,5 kg H : μ 50,5 kg H o : μ = 50,5 kg H : μ > 50,5 kg H o : μ = 50,5 kg H : μ < 50,5 kg Origina um teste bicaudal. Origina um teste unicaudal à direita. Origina um teste unicaudal à esquerda. 7. Conceitos Fundamentais Tipos de erro Erro tipo I: Rejeição de uma hipótese quando ela é, de fato, verdadeira. Erro tipo II: Aceitação de uma hipótese quando ela é, de fato, falsa. H o verdadeira H o falsa Aceitar H o Decisão correta ( α) Erro tipo II (β) Rejeitar H o Erro tipo I (α) Decisão correta ( β) - A probabilidade α do erro tipo I é denominada nível de significância do teste. 5

6 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais Tipos de erro: O tomador de decisão deseja reduzir ao mínimo as probabilidades dos dois tipos de erro. Entretanto, isso é uma tarefa muito difícil, pois para uma amostra de determinado tamanho, a probabilidade de se incorrer em um erro tipo II aumenta à medida que diminui a probabilidade do erro tipo I e vice-versa. A redução simultânea dos erros poderá ser atingida pelo aumento do tamanho da amostras. 7. Conceitos Fundamentais O mecanismo dos erros Testar H o : μ = 0 contra H : μ > 0; Sabe-se que a variância populacional é igual a 6 (σ = 6), e que a amostra tem 6 elementos (n = 6), ou seja: H H o : 0 : 0 6 n 6 6

7 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais O mecanismo dos erros: Como x é o estimador de μ, que por hipótese vale 0, tem-se: 0 Para valores amostrais de x próximos de 0 a hipótese H o poderá ser aceita; entretanto, como H : μ > 0, deve existir um limite crítico à direita para valores de x. Assim: 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Região de aceitação para H o : μ=0 Região de rejeição para H o : μ=0 μ = 0 x c A área cinza à direita de x c corresponde à probabilidade de rejeitar H o : μ = 0, quando esta hipótese é verdadeira; ou seja, a área representa α (probabilidade de cometer o erro tipo I). 7

8 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Para encontrar o limite crítico ( x c ) deve-se estabelecer o nível de significância do teste (probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr o risco de um erro tipo I α); Aqui será admitido α = 5%; Em seguida, passa-se da distribuição normal das médias para a distribuição normal padrão. 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: μ = 0 x c α = 5% Z 8

9 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: d d x N ; Z N( 0, ) n xc xc 0 Z ou,64 xc 4 n 6,64 Regra da decisão para H o: Re jeitar H Aceitar H o o quando x,64 quando x,64 c c 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Tem-se grande probabilidade de aceitar H o (95%) e pouca probabilidade de rejeitar H o (5%). Quando se aceita uma hipótese pode-se estar cometendo o erro tipo II (aceitar H o quando H o é falsa). No exemplo dado, essa probabilidade poderá ser de até 95%. Por outro lado, tem-se apenas 5% de chances para rejeitar H o quando H o é verdadeira; todavia, quando se rejeita H o pode-se estar cometendo o erro tipo I (rejeitar H o quando H o é verdadeira). Como a probabilidade neste caso é relativamente baixa (até 5%), a decisão de rejeitar H o é mais segura do que a decisão de aceitá-la. 9

10 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Lógica do teste de significância: Atribuem-se baixos valores para α, geralmente de % a 0%; Formula-se H o com pretensão de rejeitá-la, daí o nome de hipótese nula; Se o teste indicar a rejeição de H o tem-se um indicador mais seguro para a decisão; Caso o teste indique aceitação de H o, diz-se que, com o nível de significância α, não se pode rejeitar H o, e nestes casos a decisão não é tão segura quanto a rejeição de H o. 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Fixado α, pode-se determinar a probabilidade β de se cometer o erro tipo II (aceitar Ho quando Ho é falsa). Para o cálculo de β (probabilidade de aceitar H o, quando H o é falsa), admite-se outros valores para H o, já que o seu valor original é considerado falso (no exemplo, H o : μ = 0 seria falso, na realidade μ > 0); Essa suposição corresponde a uma infinidade de possíveis valores. Para cada um desses valores de μ > 0 pode-se determinar o valor de β condicionado à hipótese admitida. Assim, para um valor qualquer, μ > 0, tem-se a seguinte configuração de β: 0

11 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Se x, por exemplo, for igual a 0,5, será aceita a hipótese falsa H o : μ = 0, quando na realidade a verdadeira hipótese é H o : μ = μ. 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Quando se consideram valores de μ próximos de 0 tem-se elevados índices para β. Observe no gráfico o deslocamento de μ para a esquerda: Quando μ =,64 tem-se P(β/μ ) = 50%, e esse valor irá crescendo à medida que se consideram valores de μ menores que,64.

12 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Quando μ =,64 P( Deslocamento da segunda curva para a esquerda até que μ =,64 /,64 ) P( x,64,64,64 /,64 ) P Z 0 0, Conceitos Fundamentais O mecanismos dos erros: Quando μ = Deslocamento da segunda curva para a direita até que μ = P( / ) P( x,64 /,64 ) P Z 0,36 0,

13 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais O mecanismo dos erros: Assim: H o : μ = μ β - β 0,50,00,64,00 0,879 0,7389 0,5000 0,3594 0,7 0,6 0,5000 0,6406 Quando se tem hipóteses próximas à hipótese original que se está testando, os valores de β são elevados, diminuindo à medida que o valor de μ se afasta do valor testado. 7. Conceitos Fundamentais Curva característica de Operação (CCO): Curva que expressa o comportamento do erro β em função das diversas hipóteses alternativas feitas para H o, fixando-se o nível de α. No exemplo analisado, a CCO é dada por: 3

14 8/8/05 7. Conceitos Fundamentais Curva Característica de Operação (CCO): À medida que o tamanho da amostra aumenta consegue-se menores valores para o erro β, admitindo-se um valor de α baixo (entre % e 0%). VII Teste de Hipóteses Introdução Conceitos fundamentais Testes de significância 4

15 8/8/05 São os mais usados nas pesquisas; Consideram apenas o erro α Procedimento para a sua realização:. Enunciar as hipóteses H o e H ;. Fixar o limite do erro α e identificar a variável do teste; 3. Das tabelas estatísticas, considerando α e a variável do teste, determinar as regiões críticas (RC) e a região de aceitação (RA) para H o ; 4. Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste; 5. Concluir pela aceitação ou rejeição de H o pela comparação do valor obtido no 4º passo com RA e RC. Teste de significância para as médias. H o : μ = μ o H : uma das alternativas: (a) μ μ o (b) μ > μ o (c) μ < μ o. Fixar α, admitindo-se que σ é desconhecida; a variável do teste, neste caso, será t de Student, com φ = n ; 3. Com o auxílio da tabela t determinam-se RC e RA; 5

16 8/8/05 Teste de significância para as médias 4. Cálculo do valor da variável do teste; x o tcal onde : x média amostral S o valor da hipótese nula n S desvio padrão n tamanho da amostra 5. Conclusões: a) Se t α/ t cal t α/, não se pode rejeitar H o. Se t cal > t α/ ou t cal < t α/, rejeita-se H o. b) Se t cal < t α, não se pode rejeitar H o. Se t cal > t α, rejeita-se H o. c) Se t cal > -t α, não se pode rejeitar H o. Se t cal < -t α, rejeita-se H o. Teste de significância para as médias Exemplo: Os dois registros dos últimos anos de um colégio, atestam para os calouros admitidos uma nota média de 5 (teste vocacional). Para testar a hipótese de que a média de uma nova turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 0 notas, obtendo-se a média 8 e desvio padrão 0. Admitir α = 5%.. H o : μ = 5 H : μ 5. α = 0,05; Variável t com φ = 0 = 9 graus de liberdade 6

17 8/8/05 Teste de significância para as médias Exemplo: 3. α/ = 0,05 α/ = 0,05 -,093, t cal 8 5 0, Como -,093 t cal,093, não se pode rejeitar H o : μ = 5 para o nível de significância α = 5%. Teste de significância para variâncias. H o : σ = σ o H : uma das alternativas: (a) σ σ o (b) σ > σ o (c) σ < σ o. Fixar α; escolher a variável qui-quadrado com φ = n ; 3. Com o auxílio da tabela χ determinam-se RC e RA; 7

18 8/8/05 Teste de significância para variâncias 4. Cálculo do valor da variável do teste; cal ( n )S o onde : var iância amostral 5. Conclusões: a) Se χ inf χ cal χ sup, não se pode rejeitar H o. Se χ cal > χ sup ou χ cal < χ inf, rejeita-se H o. b) Se χ cal < χ sup, não se pode rejeitar H o. Se χ cal > χ sup, rejeita-se H o. c) Se χ cal > χ inf, não se pode rejeitar H o. Se χ cal < χ inf, rejeita-se H o. S n tamanho da amostra valor da hipótese nula o Testes de significância para variâncias Exemplo: Para testar a hipótese que a variância de uma população é 5, tirou-se uma amostra aleatória de 5 elementos obtendo-se S = 8,3. Admitindo-se α = 0%, efetuar o teste de significância unicaudal à esquerda.. H o : σ = 5 H : σ < 5. α = 0,0; Variável χ com φ = 5 = 4 graus de liberdade 8

19 8/8/05 Testes de significância para variâncias Exemplo: 3. φ = 4 α = 0,0 χ inf =5,7 4. cal ( 5 ) 8,3 7, Como χ cal > 5,7 não se pode rejeitar H o : σ = 5 para o nível de significância de 0%. Teste de significância para proporções. H o : p = p o H : uma das alternativas: (a) p p o (b) p > p o (c) p < p o. Fixar α; escolher a variável normal padrão Z; 3. Com o auxílio da tabela de distribuição normal padrão determinam-se RC e RA; α/ α/ α α Z α/ -Z α/ Z α Z α (a) (b) (c) 9

20 8/8/05 Teste de significância para proporções 4. Cálculo do valor da variável do teste; Z cal f p o po ( po ) n onde : f frequência relativa do evento na amostra p valor da hipótese nula S desvio padrão amostral n tamanho 5. Conclusões: a) Se Z α/ Z cal Z α/, não se pode rejeitar H o. Se Z cal > Z α/ ou Z cal < Z α/, rejeita-se H o. b) Se Z cal < Z α, não se pode rejeitar H o. Se Z cal > Z α, rejeita-se H o. c) Se Z cal > -Z α, não se pode rejeitar H o. Se Z cal < -Z α, rejeita-se H o. da amostra o Teste de significância para proporções Exemplo: As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos é de 0,6. Testar essa hipótese ao nível de 5% se em 000 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos.. H o : p = 0,6 H : p 0,6. α = 0,05; a variável escolhida é a normal (0,) 0

21 8/8/05 Teste de significância para proporções Exemplo: 3. α/ = 0,05 α/ = 0,05 -,96,96 Z 4. Z cal 530 0, ,4 0,6( 0,6 ) Como Z cal < -,96, rejeita-se H o, concluindo-se, ao nível de 5%, que p 0,6. Teste de significância para a igualdade de duas variâncias. H o : σ = σ H : σ σ (alternativa mais comum). Fixar α; escolher a variável F com φ = n graus de liberdade no numerador, e φ = n graus de liberdade no denominador. 3. Com o auxílio da tabela F determinam-se RC e RA; F inf F sup F

22 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas variâncias 4. Cálculo do valor da variável do teste; F cal S S onde : S S var iância da amostra var iância da amostra 5. Conclusões: Se F inf F cal F sup, não se pode rejeitar H o. Se F cal > F sup ou F cal < F inf, rejeita-se H o. Teste de significância para a igualdade de duas variâncias Exemplo: Dois programas de treinamento de funcionários foram executados. Os funcionários treinados no programa antigo apresentaram uma variância em suas taxas de erro de 46. No novo programa, 3 funcionários apresentaram uma variância de 00. Sendo α = 0%, pode-se concluir que a variância é diferente para os dois programas?. H o : σ = σ H : σ σ. α = 0,0; variável F com φ = = 0 e φ = 3 = graus de liberdade.

23 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas variâncias Exemplo: 3. α = 0,05 α = 0,05 F inf =0,43 F sup =,54 4. S S Fcal 46 0, Como 0,43 F cal,54, não se pode rejeitar H o ao nível de significância de 0%. Teste de significância para a igualdade de duas médias º Caso: As variâncias populacionais são conhecidas, independentes e normais. H o : μ = μ ou μ μ = d, onde d é uma diferença admitida entre as médias H : μ μ ou μ μ d (caso mais comum). Fixar α; a variável do teste é a normal padrão; 3. Com o auxílio da tabela Z determinam-se RC e RA; 3

24 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas médias 4. Cálculo do valor da variável do teste; Z cal ( x 5. Conclusões: x ) n n d onde : x média amostral valor da hipótese nula o S desvio padrão amostral n tamanho da amostra Se Z α/ Z cal Z α/, não se pode rejeitar H o. Se Z cal > Z α/ ou Z cal < Z α/, rejeita-se H o. Teste de significância para a igualdade de duas médias Exemplo: Um fabricante produz dois tipos de pneus. Para o tipo A, σ = 500 milhas, e para o tipo B, σ = 3000 milhas. Um táxi testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo duração média de 4000 e 6000 milhas, respectivamente. Adotando-se um risco α = 4%, testar a hipótese de que a vida média dos dois tipo é a mesma.. H o : μ A = μ B H : μ μ B. α = 0,04 Variável Z N(0,) 4

25 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas médias Exemplo: 3. α/ = 0,0 α/ = 0,0 -,05,05 4. Z cal ( ) 0 3,38 ( 500 ) ( 3000 ) Como Z cal -,05, rejeita-se H o, concluindo-se que as vidas médias dos pneus analisados são diferentes com risco de 4%. Teste de significância para a igualdade de duas médias º Caso: As variâncias populacionais são desconhecidas e admitidas iguais, independentes e normais.. H o : μ = μ ou μ μ = d, onde d é uma diferença admitida entre as médias H : μ μ ou μ μ d (caso mais comum). Fixar α; a variável do teste é t com φ = (n + n ); 3. Com o auxílio da tabela de t determinam-se RC e RA; φ=(n +n - 5

26 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas médias 4. Cálculo do valor da variável do teste; t cal ( x x ) d, n n Sc n n S c ( n )S ( n )S n n 5. Conclusões: Se t α/ t cal t α/, não se pode rejeitar H o. Se t cal > t α/ ou t cal < t α/, rejeita-se H o. Teste de significância para a igualdade de duas médias Exemplo: Na tabela abaixo estão registrados os índices de venda em 6 supermercados para os produtos concorrentes da marca A e marca B. Testar a hipótese de que a diferença das médias no índice de vendas entre as marcas é zero. Admitir α = 5%. Supermercado Marca A Marca B Σ

27 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas médias. H o : μ A = μ B H : μ μ B. α = 0,05; variável t com φ = = 0 graus de liberdade 3. RA e RC α/ = 0,05 α/ = 0,05 -,8,8 Teste de significância para a igualdade de duas médias Exemplo: 4. x x A B 0 7, 6,3 S S A B 5,9 0,0 S c (6 )34,8 ( 6 )00 8, 6 6 t cal ( 0 7, 6,3 ) 0, , Como -,8 t cal,8, não se pode rejeitar a hipótese de igualdade das médias, ao nível de 5%. 7

28 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas proporções. H o : p = p H : p p. Fixar α; escolher a variável normal padrão Z; 3. Com o auxílio da tabela de distribuição normal padrão determinam-se RC e RA; Teste de significância para a igualdade de duas proporções 4. Cálculo do valor da variável do teste; Z cal f f pˆ ( pˆ ) n n x x pˆ n n x f n f x n onde : 5. Conclusões: f, f frequências relativas amostrais pˆ estimador comum a p e p Se Z α/ Z cal Z α/, não se pode rejeitar H o. Se Z cal > Z α/ ou Z cal < Z α/, rejeita-se H o. 8

29 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas proporções Exemplo: Deseja-se testar se são iguais as proporções de homens e mulheres que lêem revista e se lembram de determinado anúncio. Os resultadosas de amostras aleatórias independentes de homens e mulheres encontram-se na tabela abaixo, onde x é o número de homens que se lembram do anúncio e x é o correspondente número de mulheres. Admitir α = 0%. Homens x = 70 n = 00 Mulheres x = 50 n = 00 Teste de significância para a igualdade de duas proporções Exemplo:. H o : p = p H : p p. α = 0,; variável escolhida é a normal (0,) 3. 9

30 8/8/05 Teste de significância para a igualdade de duas proporções Exemplo: f 0, pˆ 0, f Z cal 0,5 0,35 0,5 0,3( 0,3 ) 00 00,8 5. Como Z cal >,64, rejeita-se a hipótese da igualdade das proporções, concluindo-se, com risco 0%, que as proporções são diferentes. VII Teste de Hipóteses FIM 30