Estatística Aplicada

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1 Estatística Aplicada Testes de Hipóteses Professor Lucas Schmidt

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3 Estatística Aplicada TESTES DE HIPÓTESES Inferência estatística: tomar decisões sobre a população com base nos resultados de uma amostra. Definição: o teste de hipóteses é um procedimento estatístico onde se busca verificar uma hipótese a respeito da população, no sentido de rejeitá-la ou não, tendo por base dados amostrais. Exemplo 1: Moeda viesada (gambler) Hipótese de pesquisa: H 0 : a moeda é honesta H 1 : a moeda não é honesta Hipótese estatística: H 0 : π = 0,5 à P(cara) = P(coroa) = 50% H 1 : π 0,5 à P(cara) P(coroa) Podemos conhecer π? π é um parâmetro à censo. O jogador não permitiria averiguar a honestidade da moeda! Colhe-se uma amostra (tamanho n) Coletou-se uma amostra de n = 100. Possíveis resultados da amostra: Nº de caras Nº de coroas (quantidades esperadas supondo moeda honesta) Qual é o limite para rejeitarmos a hipótese nula? 3

4 O número de caras (ou coroas) em 100 jogadas pode ser aproximado pela distribuição normal (distribuição amostral da proporção). Supondo H 0 verdadeira, ou seja, que a moeda é honesta, temos: O teste de hipóteses consiste em coletar uma amostra e comparar o resultado dela com o esperado supondo H 0 verdadeira. Se o resultado for próximo ao esperado, permanecemos acreditando ser H 0 verdadeira. Se o resultado for longe o suficiente do esperado, rejeitamos a hipótese inicial, ou seja, rejeitamos H 0. Define-se um nível de significância (α), geralmente 5%. Caso o resultado da amostra esteja incluso entre os 5% dos resultados mais extremos, a decisão é rejeitar a hipótese nula. resultados mais extremos, a decisão é rejeitar a hipótese nu n=100 α=0,05 H 0 : π = 0,5 H 1 : π 0,5 Zona de rejeição de H0 0,025 0,95 Zona de rejeição de H0 0, Zona de aceitação de H0 4

5 Estatística Aplicada Testes de Hipóteses Prof. Lucas Schmidt azar. Estava no lugar errado e na hora errada. Falta de provas. n insuficiente. Erro Tipo I: Uma moeda honesta (H 0 verdadeiro), ao ser lançada 100 vezes, pode resultar em menos de 40 ou mais de 60 caras. A probabilidade disso acontecer é 5% (α). Nesse caso, se isso acontecer (resultado da amostra coletada) a decisão estatística será rejeitar H 0, mesmo quando ela era, de fato, verdadeira. n=100 α=0,05 H 0 : π = 0,5 H 1 : π 0,5 Zona de rejeição de H0 0,95 Zona de rejeição de H0 0,025 0, Zona de aceitação de H0 Erro Tipo II: Uma moeda desonesta (H 0 falso), ao ser lançada 100 vezes, pode resultar em mais de 40 ou menos de 60 caras. Nesse caso, se isso acontecer (resultado da amostra coletada) a decisão estatística será não rejeitar H 0, mesmo quando ela era, de fato, falsa. Esse Apo de erro está associado ao tamanho amostral (n). Exemplo: n = 4 (lançamentos da moeda) Resultado da amostra: 2 caras Proporção estimada: p=0,50 Decisão estatística: a moeda é honesta. 5

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7 Questões 1. (FCC DNOCS 2010) Em um teste de hipóteses estatístico, sendo H0 a hipótese nula e H 1 a hipótese alternativa, o nível de significância do teste consiste na probabilidade de: a) Aceitar H 0 dado que H 0 é verdadeira b) Rejeitar H 0 dado que H 0 é falsa c) Aceitar H 0, independentemente de falsa ou verdadeira d) Aceitar H 0, dado que é falsa e) Rejeitar H 0, dado que é verdadeira 2. (CESGRANRIO Petrobras 2010) Em um teste de hipóteses estatístico, sendo H 0 a hipótese nula e H 1 a hipótese alternativa, cometer erro tipo 2 consiste em: a) Rejeitar H 0, dado que é verdadeira b) Aceitar H 0, dado que é falsa c) Aceitar H 1, sendo H 1 verdadeira d) Rejeitar H 1, sendo H 1 falsa e) Aceitar H 0 e H 1 Gabarito: 1. E 2. B 7

8 Hipóteses estatísticas A hipótese estatística é uma suposição feita a respeito de um ou mais parâmetros (μ, σ², π, etc). Hipótese Nula (ou de nulidade) H 0 : pressuposto inicial. Hipótese Alternativa H 1 (ou H A ): hipótese oposta à hipótese nula, que será aceita caso a hipótese nula seja rejeitada. Lógica dos Teste de Hipóteses Hipótese de pesquisa: o tempo médio de processamento de um produto é 10 minutos. População μ = 10 (min) Amostra (n) " = 12 (min) A diferença encontrada do resultado esperado e observado, em relação à variação do resultado da amostra, foi devido ao acaso? Não rejeita H0 Diferença pequena Diferença grande Rejeita H0 População μ = 10 (min) " # = 12 " $ = 9 " % = 11 " & = 9 " ' = 10 " ( = 8 )X ~ N ( μ, σ²/n ) 8

9 Estatística Aplicada Testes de Hipóteses Prof. Lucas Schmidt Hipótese bilateral H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ μ 0 Zona de rejeição de H0 α/2 1-α Zona de rejeição de H0 α/2 Zona de aceitação de H0 9

10 Hipótese unilateral Zona de rejeição de H0 α H 0 : μ > μ 0 H 1 : μ < μ 0 1-α H 0 : μ < μ 0 H 1 : μ > μ 0 1-α Zona de rejeição de H0 α Zona de aceitação de H0 Zona de aceitação de H0 10

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13 Questões 3. (FCC TRF 1ª Região 2001 Adaptada) Seja uma variável aleatória X, com média µ e desvio padrão igual à 5. A partir de uma amostra aleatória de 16 elementos, observou-se uma média amostral de valor 13. Uma pessoa afirmou que a média populacional dos elementos é igual a 15, com 5% de significância. Essa afirmação mostrou-se como verdadeira? ( ) Certo ( ) Errado 4. (FCC TRF 1ª Região 2001 Adaptada) Seja uma variável aleatória X, com média µ e desvio padrão igual à 5. A partir de uma amostra aleatória de 16 elementos, observou-se uma média amostral de valor 13. Uma pessoa afirmou que a média populacional dos elementos é de, menor de 15, com 5% de significância. Essa afirmação mostrou-se como verdadeira? ( ) Certo ( ) Errado 5. (FCC TRT 2ª Região 2008) Para uma experiência realizada com referência à medição do comprimento de determinada peça fabricada por uma indústria, utilizou-se uma amostra de 16 peças, apurando-se uma média de 0,9m e um desvio padrão de 0,2m. Supondo que os comprimentos das peças tenham distribuição normal, com média µ e variância desconhecida, deseja-se saber, ao nível de significância de 5%, se o comprimento da peça não é inferior a 1m. Seja H 0 a hipótese nula do teste (µ = 1m) e H 1 a hipótese alternativa (µ < 1m) e t 0,05 = 1,75 o quantil da distribuição t de Student tabelado para teste unicaudal, com 15 graus de liberdade. Então, pelo teste t: a) A conclusão obtida seria a mesma para qualquer nível de significância. b) H0 não pode ser aceita, indicando que os comprimentos são menores que 1m. c) O número de graus de liberdade não interferiu na definição de t 0,05 = 1,75. d) Para um nível de significância superior a 5% a conclusão não poderia ser a mesma. e) O valor da estatística de teste é de 0,5. Gabarito: 3. C 4. C 5. B 13

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