1. (a) Lembre-se que a média de uma variável aleatória discreta é uma média ponderada de seus valores, com as probabilidades sendo os pesos.

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1 GET Fundamentos de Estatística Aplicada Gabarito da Lista de Exercícios Inferência rofa. Ana Maria Farias 1. a Lembre-se que a média de uma variável aleatória discreta é uma média ponderada de seus valores, com as probabilidades sendo os pesos. µ = 64 0, , , 2 = 65, 1 b Amostra Média amostral robabilidade 64, , 1 0, 1 = 0, 01 64, 65 64, 5 0, 1 0, 7 = 0, 07 64, , 1 0, 2 = 0, 02 65, 64 64, 5 0, 7 0, 1 = 0, 07 65, , 7 0, 7 = 0, 4 65, 66 65, 5 0, 7 0, 2 = 0, 14 66, , 2 0, 1 = 0, 02 66, 65 65, 5 0, 2 0, 7 = 0, 14 66, , 2 0, 2 = 0, 04 x 64 64, , 5 66 X = x 0, 01 0, 14 0, 53 0, 28 0, 04 c EX = 64 0, , 5 0, , , 5 0, , 04 = 65, 1 = µ 2. a Temos 3 mulheres numa população de 5. Logo, p = 3/5 = 0, 6 b Vamos indicar por A, B, C, D, E os estudantes Alberto, Bernardo, Cristina, Denise e Elizabeth. Há 1 amostras de tamanho 3, conforme listadas na Figura??. Daí se tira que a distribuição amostral de é dada por k 0 1/3 2/3 1 = k 8/1 36/1 54/1 27/1 c E = = 75 1 = 0, 6 = p Departamento de Estatística 1

2 Figura 1 Distribuição amostral de para a questão 4 3. Seja X = comprimento das peças; então X N172; e n = a b X 175 = 172 X 172 = 2, 4 Z 2, 4 = 2 0 Z 2, 4 = 2 tab2, 4 = 2 0, 418 = 0, 836 X > 178 = Z > = Z > 4, c X < 5 = Z < = Z < 5, Temos que X N150; 13 2 e queremos determinar n para que X µ < 6, 5 = 0, 5. Departamento de Estatística 2

3 X 150 < 6, 5 = 0, 5 6, 5 < X 150 < 6, 5 = 0, 5 6, 5 13 < X < 6, 5 13 n n = 0, 5 n 0, 5 n < Z < 0, 5 n = 0, < Z < 0, 5 n = 0, 5 0 < Z < 0, 5 n = 0, 475 tab0, 5 n = 0, 475 0, 5 n = 1, 6 1, 6 n = 0, 5 = 3, 2 n = 3, odemos aceitar que as 100 lâmpadas compradas sejam uma amostra aleatória simples da população referente às lâmpadas produzidas por esse fabricante. Como n = 100 é um tamanho suficientemente grande de amostra, podemos usar o Teorema Limite Central, que nos diz que X N 6. X N 15; 2, ; Logo, X > 50 = X > = Z > 2, 0 = 0, 5 0 Z 2 = 0, 5 tab2, 0 = 0, 5 0, 477 = 0, a b 14, 5 X = 14, Z 2, , = 0, 85 Z 1, 70 = 0, 85 Z < Z 1, 70 = 0 Z 0, Z 1, 70 = tab0, 85 + tab1, 70 = 0, X >, 1 =, 1 15 Z > 2, = Z > 1, 87 = 0, 5 0 Z 1, 87 = 0, 5 tab1, 87 = 0, Os erros são: E 1 estabelecer que são da máquina 1, quando, de fato, foram produzidos pela máquina 2 ou E 2 estabelecer que são da máquina 2, quando, de fato,foram produzidos pela máquina 1. Departamento de Estatística 3

4 A regra de decisão é a seguinte: X > 23 = máquina 2 X 23 = máquina 1 Na máquina 1 o comprimento é N20; e na máquina 2, N;. E 1 = [ X 23 X N = 23 Z 1 ; ] = Z 2 = Z 2 = 0, 5 tab2, 0 = 0, 5 0, 477 = 0, E 2 = [ X > 23 X N = Z > 1 = Z > 3 = 0, 5 tab3, 0 = 0, 5 0, 4865 = 0, ; ] 8. Note que e é igual a X menos uma constante e sabemos que EX = µ e VarX = σ2 n. a Das propriedades da média e da variância, resulta que b X Nµ; 20 2 e n = 100. Queremos Ee = EX µ = µ µ = 0 Vare = V arx = σ2 n e > 2 = e < 2 + e > 2 = X µ < 2 + X µ > 2 X µ = 20 < 2 X µ > = Z < 1 + Z > 1 = 2 Z > 1 = 2 [0, 5 tab1, 0] = 0, Departamento de Estatística 4

5 c d X µ 20 < δ n < Z < 0 e > δ = 0, 01 e < δ + e > δ = 0, 01 X µ < δ + X µ > δ = 0, 01 X µ + 20 > δ 20 = 0, Z < δ 2 0, 5 + Z > δ 2 2 Z > δ 2 Z > δ 2 0 Z δ 2 0 Z δ 2 δ tab 2 δ 2 e < 1 = 0, 5 1 < X µ < 1 = 0, < Z < 1 20 n n + 0 Z < 1 20 n 2 0 Z < 1 20 n 0 Z < 1 20 n = 0, 5 = 0, 5 = 0, 5 = 0, 475 = 0, 01 = 0, 01 = 0, 005 = 0, 005 = 0, 45 = 0, 45 = 2, 58 δ = 5, n 20 = 1, 6 n = 3, 2 n arafusos pequenos: X < 8, 5, onde X Nµ; 1 é o comprimento do parafuso. a Como X < 8, 5 = 0, 05, resulta que 8,5 tem de ser menor que µ, ou seja, a abscissa 8, 5 µ tem de estar no lado negativo da escala da normal padronizada. X < 8, 5 = 0, 05 Z < 8, 5 µ = 0, 05 1 Z > 8, 5 µ = 0, Z µ 8, 5 = 0, 45 µ 8, 5 = 1, 64 µ = 10, 14 Departamento de Estatística 5

6 b arada desnecessária: amostra indica processo fora de controle X <, quando, na verdade, o processo está sob controle µ = 10, 14. [ X < X N 10, 14; 1 ] 10, 14 = Z < 4 0, 5 = Z < 2, 28 = Z > 2, 28 = 0, 5 0 Z 2, 28 = 0, 5 tab2, 28 = 0, 5 0, 4887 = 0, 0113 c Máquina desregulada: X > ; processo operando sem ajuste: X N, 5; 1 [ X > X N, 5; 1 ] Se a proporção de votantes é de 61%, então N = Z >, 5 = Z > 1 0, 5 = 1 < Z < 0 + Z 0 = 0 < Z < 1 + Z 0 = tab1, 0 + 0, 5 = 0, , 61; 0, 61 0, 3 e, portanto , 61 Z , 61 0, 3 = Z 5, 81 = Se a proporção de votantes é de 61%, a probabilidade de encontrarmos 701 ou mais votantes em uma aas de é muito baixa. Talvez as pessoas entrevistadas não estejam sendo sinceras, com vergonha de dizer que não votaram Se meninos e meninas são igualmente prováveis, então N 0, 5 0, 5 e, por- 64 tanto , 5; 36 Z 64 0, 5 0, 5 0, 5 = Z 1 = 0, 5 tab1, 0 = 0, 5 0, 3413 = 0, Como essa é uma probabilidade alta, concluimos que é usual obtermos 36 meninas em 64 partos. 12. Seja a proporção dos que se apresentam para o voo. Então, 0, 85 0, 15 N 0, 85; 400 e, portanto , 85 Z 400 0, 85 0, 15 = Z 1, 4 = 0, 5 tab1, 4 = 0, 5 0, 412 = 0, Essa é uma probabilidade um pouco alta; talvez valha a pena a companhia rever a política de reservas e aceitar menos que 400 reservas. Departamento de Estatística 6

7 13. É dado que X Nµ;. Como n =, sabemos que X N µ; Com 1 α = 0,, temos que α = 0, 01 e α/2 = 0, 005. Assim, temos de procurar no corpo da tabela a abscissa correspondente ao valor 0, 5 0, 005 = 0, 45, o que nos dá z 0,005 = 2, 58. Então r 2, 58 Z 2, 58 = 0, r 2, 58 X µ 2, 58 = 0, r 2, 58 X µ 2, 58 r 1, 548 X µ 1, 548 = 0, rx 1, 548 µ X + 1, 548 = 0, = 0, Como a média amostral obtida é x = 60 = 2, 4, o intervalo de confiança de % de confiança é [2, 4 1, 548 ; 2, 4 + 1, 548] = [0, 852 ; 3, 48] 14. Queremos ɛ 0, 05, com σ = 4, 2 e 1 α = 0, 5. 1 α = 0, 5 z α/2 = 1, 6 Então 1, 6 4, 2 n 0, 05 1, 6 4, 2 n = 4, 64 0, 05 n 27106, 326 Logo, o tamanho mínimo necessário é n = É dado que X Nµ; 0, Como a variãncia é conhecida, o valor crítico vem da distribuição normal. Com 1 α = 0, 0, temos que α = 0, 10 e α/2 = 0, 05. Assim, temos de procurar no corpo da tabela a abscissa correspondente ao valor 0, 5 0, 05 = 0, 45, o que nos dá z 0,05 = 1, 64. Logo, a margem de erro é e o intervalo de confiança de % é ɛ = 1, 64 0, 58 5 = 0, 1024 [2, 8 0, 1024 ; 2, 8 + 0, 1024] = [2, 6076 ; 2, 024]. α = 0, 05 1 α = 0, 5 z 0,0 = 1, 6 a A margem de erro é ɛ = 1, = 1, 385 Logo, o intervalo de confiança de nível de confiança 0,5 é [42 1, 385 ; , 385] = [40, 6141 ; 43, 385] Departamento de Estatística 7

8 b Como visto em a a margem de erro é ɛ = 1, 385. c Temos de reduzir a margem de erro; logo, o tamanho da amostra terá de ser maior que 50. Logo, n deve ser no mínimo igual a A média amostral é x = = ɛ = 1, n n 1, 6 5 =, 8 n, 8 2 = 6, 04 a A margem de erro é ɛ = 1, = 30, Logo, o intervalo de confiança de nível de confiança 5% é [ , ; , ] = [34.002, 1 ; , ] b A margem de erro é ɛ = 2, = 407, 3 Logo, o intervalo de confiança de nível de confiança 5% é [ , 3 ; , 3] = [33.04, 07 ; 34.71, 3] c O gerente deve estar usando o nível de significância de 1% ou nível de confiança de %. 18. a α = 2% 1 α = 8% z 0,01 = 2, 33 p = = 0, ɛ = 2, 33 e o intervalo de confiança é 0, , = 0, 0387 [0, , 0387; 0, , 0387] = [0, 17433; 0, 227] b α = 10% 1 α = 0% z 0,05 = 1, 64 p = = 0, ɛ = 1, 64 e o intervalo de confiança é 0, 55 0, = 0, [0, 57 0, 02355; 0, , 02355] = [0, 56812; 0, 61522] 1. O problema pede a estimativa para a proporção dos que não querem a fluoração; logo, p = = 0, 4 Departamento de Estatística 8

9 a α = 5% 1 α = 5% z 0,0 = 1, 6 ɛ = 1, 6 e o intervalo de confiança é 0, 4 0, = 0, b 1 α = 6% z 0,02 = 2, 05 [0, 4 0, 05544; 0, 4 + 0, 05544] = [0, 34456; 0, ] ɛ = 2, 05 e o intervalo de confiança é 0, 4 0, = 0, 0578 [0, 4 0, 0578; 0, 4 + 0, 0578] = [0, 34202; 0, 04578] 20. É dado que n = 100, p = 0, 32 e E = 0, 03. α = 3% z 0,015 = 2, 17 ɛ = 2, 17 0, 03 = 0, 0651 [0, 32 0, 0651; 0, , 0651] = [0, 4; 0, 3851] 21. p = = 0, 38. ara uma margem de erro de 0,08 e um nível de confiança de 0%, o tamanho da amostra teria de ser 1, 64 2 n 0, 38 0, 62 =, 011 0, 08 Como o tamanho da amostra é 150, essa amostra é suficiente. 22. a p = b E = = 0, 0, 0, = 0, c 1 α = 0, 80 z 0,1 = 1, 28 [0, 1, 28 0, 0251; 0, + 1, 28 0, 0251] = [0, 2222; 0, 27771] 23. p 0 = 0, 35 Logo, n n 1, 6 2 0, 35 0, 65 = 34, 5 0, 05 afirmativa dada: µ 15 complementar: µ < 15 H 0 : µ = 15 H 1 : µ < 15 afirmativa dada: µ < 15 complementar: µ 15 H 0 : µ = 15 H 1 : µ < 15 Departamento de Estatística

10 b a afirmativa dada: µ > 15 complementar: µ 15 H 0 : µ = 15 H 1 : µ > 15 c afirmativa dada: µ = 15 complementar: µ 15 H 0 : µ = 15 H 1 : µ 15 d afirmativa dada: p 0, 60 complementar: p < 0, 60 H 0 : p = 0, 60 H 1 : p < 0, 60 e afirmativa dada: p 0, 05 complementar: p > 0, 05 H 0 : p = 0, 05 H 1 : p > 0, 05 f afirmativa dada: p > 0, 75 complementar: p 0, 75 H 0 : p = 0, 75 H 1 : p > 0, 75. a Como o teste é unilateral à esquerda, a abscissa é negativa. Olhando na tabela da normal, obtemos k = 1, 64, ou seja, a região crítica é ver Figura??: Z 0 < 1, 64 5% Figura 2 Região crítica unilateral Departamento de Estatística 10

11 Equivalentemente X 5 3 < 1, 64 X < 3, 36 elos dados do problema, temos x = Logo, o valor observado da estatística de teste é z 0 = = 2 = 3, 0 Como 2 < 1, 64 e 3, 0 < 3, 36 rejeitamos a hipótese nula. b Como z 0 = 2, o valor é = Z 2 = Z 2 = 0, 5 tab2, 0 = 0, c O erro tipo II é não rejeitar H 0 quando ela é falsa e, nesse caso, H 0 falsa significa µ = 4, 8. A região de aceitação é o complementar da região crítica. Como a região crítica é X < 3, 36, a região de aceitação é X 3, 36 e o erro tipo II será X 3, 36 X N 4, 8; 3, 36 4, 8 = Z = Z 1, 44 1 = 0, 5 + tab1, 44 = 0, a Como o teste é bilateral, dividimos o nível de significância nas 2 caudas. Veja a Figura??. Olhando na tabela da normal, obtemos k = 1, 6, ou seja, a região crítica é Z 0 < 1, 6 ou Z 0 > 1, 6 2,5% 2,5% Figura 3 Região crítica bilateral Equivalentemente X 5 3 < 1, 6 ou X 5 3 > 1, 6 X < 3, 04 ou X > 6, 6 Departamento de Estatística 11

12 elos dados do problema, temos x = 3, 5 + 2, , Logo, o valor observado da estatística de teste é = 27 = 3 z 0 = = 2 Como 2 < 1, 6, ou 3 < 3, 04, rejeitamos a hipótese nula. b Como z 0 = 2 e o teste é bilateral, o valor é = 2 Z 2 = 2 Z 2 = 2 [0, 5 tab2, 0] = 0, 0455 c O erro tipo II é aceitar H 0 quando ela é falsa e, nesse caso, H 0 falsa significa µ = 4, 8. A região de aceitação é o complementar da região de rejeição e, assim, o erro tipo II é 3, 04 X 6, 6 X N 4, 8; 3, 04 4, 8 = 1 1, 76 Z 2, = tab1, 76 + tab2, = 0, 454 Z 27. A campanha tem o objetivo de aumentar a poporção de clientes, ou seja: Logo, Estatística de teste e região crítica afirmativa dada: p > 0, 35 complementar: p 0, 35 H 0 : p = 0, 35 H 1 : p > 0, 35 6, 6 4, 8 = 1 Z 0 = p 0 p0 1 p 0 RC : Z 0 > 2, 33 Valor observado da estatística de teste Z 0 = n p p 0 p0 1 p 0 n = 02 0, , 35 0, = 1, 1321 Como o valor observado da estatística de teste não está na região crítica, os dados sugerem que a campanha não teve o efeito desejado, ou seja, não houve aumento do número de proprietários do cartão American Express. 28. a Como o tamanho amostral é grande, podemos usar o Teorema Limite Central e a estatística de teste é Z = X /, que é aproximadamente normal 38 b i Z < 2, 33 ii Z < 1, 6 Departamento de Estatística 12

13 2. a Como a população é normal com variância conhecida, a estatística de teste é Z = X 45, 6 15/, que é normal b i Z > 1, 64 ii Z > 3, a Como a população é normal com variância conhecida, a estatística de teste é Z = X , 5/, que é normal 21 b i Z > 1, 6 ou Z < 1, 6 ii Z > 1, 64 ou Z < 1, a Se o teste é unilateral à direita, a região de rejeição consiste em valores na cauda direita, ou seja, o sinal tem que ser >. Além disso, se α = 0, 05, a abscissa deve ser 1,64 1,6 corresponde a α = 0, 0, ou seja, a região de rejeição correta é Z > 1, 64 b O termo no numerador deve ser X µ 0. c O correto é dizer que não há evidência que sugira que µ > µ 0. d A hipótese nula sempre envolve o sinal de igualdade: H 0 : µ = µ a < α rejeita-se H 0 b > α não se rejeita H 0 c < α rejeita-se H 0 d > α não se rejeita H a Teste unilateral à direita: 34. a b Teste unilateral à esquerda: c Teste bilateral: = Z > 1, 43 = 0, 5 tab1, 43 = 0, 0764 > α Não se rejeita H 0 = Z < 2, 05 = Z > 2, 05 = 0, 5 tab2, 05 = 0, 0202 < α Rejeita-se H 0 = 2 Z > 1, 75 = 2 [0, 5 tab1, 75] = 0, 0802 < α Rejeita-se H 0 H 0 : µ = 35 H a : µ > 35 n grande e σ conhecido aproximação normal e estatística de teste é α = 0, 01 = RR : Z > 2, 33 Z = X 35 5,7 41 Valor observado da estatística de teste é z 0 = 36, ,7 41 = 1, Como o valor observado da estatística de teste não cai na região crítica, não há evidência suficiente para se afirmar que o comprimento médio dos barcos é maior que 35 pés. Departamento de Estatística 13

14 b Z 1, 37 = 0, 5 tab1, 37 = 0, 0853 A hipótese nula será rejeitada para qualquer nível de significância α 0, 0853, em particular, para α = 0, 10. Departamento de Estatística 14