TOMADA DE DECISÃO PARA DUAS AMOSTRAS INTRODUÇÃO ROTEIRO. Estatística Aplicada à Engenharia 1 INFERÊNCIA SOBRE A DIFERENÇA DE MÉDIAS

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1 ROTEIRO. Introdução. Inferência sobre as médias de duas populações com variâncias conhecidas TOMADA DE DECISÃO PARA DUAS AMOSTRAS 3. Inferência sobre as médias de duas populações com variâncias desconhecidas (e iguais) 4. Inferência sobre as médias de duas populações com variâncias desconhecidas (e diferentes) 5. Teste t emparelhado 6. Inferência sobre a razão de variâncias de duas populações normais 7. Referências INFERÊNCIA SOBRE A DIFERENÇA DE MÉDIAS Já vimos a respeito de testes de hipóteses e intervalos de confiança para parâmetros de uma população (média, variância, proporção) INTRODUÇÃO 3 Vamos estender os resultados para o caso de amostras independentes de duas populações As inferências são baseadas em duas amostras aleatórias de tamanhos n e n, respectivamente 4

2 INFERÊNCIA SOBRE A DIFERENÇA DE MÉDIAS X, X,..., X n é uma amostra aleatória de tamanho n com média e variância, respectivamente µ e σ X, X,..., X n é uma amostra aleatória de tamanho n com média e variância, respectivamente µ e σ Se X i e X j forem normalmente distribuídos, X ~ N µ, σ ( ) e X ~ N µ (, σ ) n Caso as amostras sejam oriundas de outras distribuições, as condições do Teorema Central do Limite se aplicarão 5 n INFERÊNCIA SOBRE A DIFERENÇA DE MÉDIAS No caso em que as amostras forem independentes, as médias amostrais também apresentarão independência. Portanto, Logo, ( + σ n n ) X X ~ N µ µ, σ Z = X X (µ µ ) ~ N(0,) σ + σ n n Esse resultado será usado no desenvolvimento de testes de hipóteses e intervalos de confiança para o parâmetro µ µ 6 SUPOSIÇÕES Suponha que estejamos interessados em testar se a diferença das médias µ µ é igual a um valor especificado, digamos Δ 0 INFERÊNCIA SOBRE AS MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES Variâncias Conhecidas 7 A hipótese nula será : µ µ O caso em que Δ 0 = 0 tem a ver com a situação em que queremos testar a igualdade de médias 8

3 SUPOSIÇÕES A estatística do teste sob será Z 0 = X X Δ 0 σ + σ n n Suponha que H : µ µ Δ 0 Um valor da amostra em que x x for consideravelmente diferente de Δ 0 pode ser considerado evidência de que H seja verdadeira HIPÓTESES A hipótese nula é um valor de referência: : µ µ A hipótese alternativa é algo que se quer avaliar Os três possíveis casos de hipóteses alternativas são: µ µ Δ 0 H : µ µ < Δ 0 µ µ > Δ ESTATÍSTICA DO TESTE A estatística do teste é baseada na hipótese nula Z 0 = X X Δ 0 σ + σ n n Se a hipótese nula for verdadeira, Z 0 ~ N(0,) O caso acima vale se as amostras forem normais, caso contrário, a distribuição será aproximada, devido ao TCL ESTATÍSTICA OBSERVADA DO TESTE Obtida uma estimativa da média de cada amostra, denotadas por x e x, o valor pode ser aplicado à estatística do teste, resultando na estatística observada do teste z 0 = x x Δ 0 σ + σ n n Como no caso de uma amostra, o valor da estatística observada auxilia na tomada de decisão, o que dependerá da formulação do teste 3

4 Teste bilateral: Teste unilateral inferior: : µ µ : µ µ H : µ µ Δ 0 H : µ µ < Δ 0 RA = { x R : x z α/ } RA = { x R : x z α } RR = x R : x > z α/ α α RR = x R : x < z α α z α 0 z α 3 z α 0 4 Teste unilateral superior: : µ µ H : µ µ > Δ 0 RA = { x R : x z α } RR = x R : x > z α 0 z α 5 α DECISÃO Rejeitamos a hipótese nula, em favor da alternativa H, quando a estatística observada do teste pertencer à região de rejeição Teste bilateral: z 0 < z α/ ou z 0 > z α/ Teste unilateral inferior: z 0 < z α Teste unilateral superior: z 0 > z α 6 4

5 Um idealizador de produtos está interessado em reduzir o tempo de secagem de um zarcão. Duas formulações de tinta são testadas: a formulação tem uma química padrão e a formulação tem um novo ingrediente, que deve reduzir o tempo de secagem. Da experiência, sabe-se que o desvio-padrão do tempo de secagem é igual a 8 minutos, e essa variabilidade não deve ser afetada pela adição do novo ingrediente. Dez espécimes são pintados com a formulação e outros dez espécimes são pintados com a formulação. Os tempos médios de secagem das amostras são, respectivamente, x = min. e x = min. 7 a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema? R O interesse reside na diferença dos tempos médios de secagem. Quer-se saber se o tempo de secagem usando a formação (µ ) é menor que o tempo médio de secagem usando a formulação (µ ). Nesse caso, tem-se que Δ 0 = 0. Logo, as hipóteses associadas ao problema são : µ µ = 0 H : µ µ > 0 ou : µ = µ H : µ > µ 8 b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. Erro Tipo I (rejeitar em favor de H quando é verdadeira): Concluir que o tempo médio de secagem usando a formação é menor que o tempo médio de secagem usando a formulação, quando na verdade não é. Ou ainda, concluir que o novo ingrediente reduz o tempo médio de secagem, quando não reduz Erro Tipo II (não rejeitar quando é falsa): Concluir que a adição do novo ingrediente não reduz o tempo médio de secagem quando, na verdade, reduz. c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 5%. R Uma vez que foi estabelecido um nível de significância de 5%, e o teste é unilateral, temos que os valores críticos são associados a z α = z 0,05 =,645. Portanto, RA = x R : x,645 RR = x R : x >,

6 d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua: R Note que x = e x =. Desse modo, a estatística observada do teste será z 0 = x x Δ 0 Em outras palavras, = σ + σ n n 0 =, z 0 RR, pois z 0 =,5 >,645 = z 0,05. Logo, rejeitamos. Portanto, ao nível de significância de 5%, concluímos que a adição do novo ingrediente ajuda a reduzir o tempo médio de secagem. NÍVEL DESCRITIVO (VALOR-P) Teste bilateral - : µ µ vs. H : µ µ Δ 0 ˆp = P(Z > z 0 ) Teste unilateral inferior : µ µ vs. H : µ µ < Δ 0 ˆp = P(Z < z 0 ) Teste unilateral superior - : µ µ vs. H : µ µ > Δ 0 ˆp = P(Z > z 0 ) TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA e) Calcule o nível descritivo do teste. Ao nível de significância de %, tome uma decisão e conclua. R Como o teste é unilateral superior e z 0 =,5, temos que o nível descritivo do teste será ˆp = P(Z > z 0 )= P(Z >,5) = 0,0059. Uma vez que ˆp = 0,0059 < 0,0= α, rejeitamos. Logo, ao nível de significância de %, concluímos que a adição do novo ingrediente ajuda a reduzir o tempo médio de secagem. Intervalo de confiança bilateral para a diferença de médias, ao nível de 00(-α)%, é desenvolvido segundo o raciocínio σ P X X z α/ + σ n ( ) = α P z α/ Z z α/ P z α/ X X (µ µ ) z σ + σ α/ = α n n σ µ n µ X X + z α/ + σ n n = α 3 4 6

7 TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA Intervalo de confiança bilateral resultante para a diferença de médias, ao nível de 00(-α)%, será X X z α/ σ + σ n σ µ n µ X X + z α/ + σ n n O erro de estimação relacionado a esse intervalo é, portanto, σ ε = z α/ + σ n n Intervalo de confiança unilateral superior, ao nível de 00(-α)%, para µ µ será µ µ X X + z α σ + σ n n Intervalo de confiança unilateral inferior, ao nível de 00(-α)%, para µ µ será O nível de confiança de -α é exato quando as populações são normais. Caso contrário, esse valor é aproximado, para amostras de tamanho grande. 5 X X z α σ + σ n n µ µ 6 f) Retornando ao exemplo do tempo secagem, calcule um intervalo unilateral inferior, com 95% de confiança, para a diferença das médias µ µ R Observe que -α=0,95. Portanto, α=0,05. Desse modo, z α = z 0,05 =,645 Então, µ µ X X z α σ + σ n m, , Logo, ao nível de 95% confiança, temos que a diferença dos tempos médios de secagem µ µ é superior a 3, minutos. 7 Testes de resistência foram feitos em duas estruturas contendo dois teores diferentes de alumínio, denotadas por e. De experiências passadas com o processo de fabricação dessas estruturas e com o procedimento de testes, os desvios padrão das resistências à tensão são considerados conhecidos. Os dados obtidos são resumidos abaixo. Apresente um intervalo com 90% de confiança para a diferença das resistências médias. Estrutura Tamanho amostral Resistência média amostra (Kg/mm ) Desvio padrão 0 87,6,0 74,5,5 8 7

8 ESCOLHA DO TAMANHO DA AMOSTRA Note que -α=0,90. Então, α=0,0. Assim, como não foi especificado o tipo de intervalo, assumimos que seja um intervalo bilateral. Então, z α/ = z 0,05 =,645. O intervalo resultante será X X z α/ σ + σ n σ µ n µ X X + z α/ + σ n n 87,6 74,5,645,0 +,5 µ µ,0 87,6 74,5 +,645 +,5 0 0, µ µ 3,98 Portanto, ao nível de confiança de 90%, temos que a diferença das resistências médias estará entre, Kg/ mm e 3,98 Kg/mm. 9 Pode-se querer estimar a diferença das médias de modo que o erro de estimação não exceda um certo valor ε Nesse caso, se os tamanhos amostrais forem iguais, pode-se obter Para intervalos bilaterais: n = z α/ σ ε ( +σ ) Para intervalos unilaterais (superior ou inferior): n = z α ε σ ( +σ ) 30 SUPOSIÇÕES X, X,..., X n é uma amostra aleatória de tamanho n com média e variância, respectivamente µ e σ INFERÊNCIA SOBRE AS MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES Variâncias Desconhecidas 3 X, X,..., X n é uma amostra aleatória de tamanho n com média e variância, respectivamente µ e σ As variâncias populacionais são desconhecidas. Portanto, já não é mais possível usar a estatística Z 0 = X X Δ 0 σ + σ n n 3 8

9 SUPOSIÇÕES Deve-se estimar as variâncias populacionais n S k = ( X n k ki X k ),k =, i= A estatística do teste dependerá de duas situações Caso : As variâncias são iguais Caso : As variâncias são diferentes CASO : VARIÂNCIAS IGUAIS Denotemos σ = σ = σ Nesse caso, Z 0 = X X Δ 0 σ n + n A variância σ pode ser estimada combinando as variâncias amostrais S e S, S p = (n )S +(n )S n + n CASO : VARIÂNCIAS IGUAIS Sob a hipótese nula : µ µ, Teste bilateral: Nesse caso, em que ν = n + n T 0 = X X Δ 0 ~ t ν, S p + n n : µ µ H : µ µ Δ 0 RA = { x R : x t α/,ν } RR = x R : x > t α/,ν α α 35 t α, ν 0 t α, ν 36 9

10 Teste unilateral inferior: Teste unilateral superior: : µ µ : µ µ H : µ µ < Δ 0 H : µ µ > Δ 0 RA = { x R : x t α,ν } RA = { x R : x t α,ν } RR = x R : x < t α,ν α RR = x R : x > t α,ν α t α, ν t α, ν 38 DECISÃO VALOR CRÍTICO Rejeitamos a hipótese nula, em favor da alternativa H, quando a estatística observada do teste pertencer à região de rejeição Teste bilateral: t 0 < t α/,ν ou t 0 > t α/,ν Teste unilateral inferior: t 0 < t α,ν Teste unilateral superior: t 0 > t α,ν Lembrando que ν = n + n O valor crítico (teste unilateral) ou t α,ν t α/,ν (teste bilateral) é calculado de acordo com o nível de significância estabelecido para o teste, satisfazendo P( X > t p,k ) = p em que X ~ t k. p 39 0 t p, k 40 0

11 Dois catalisadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador está correntemente em uso, mas o catalisador é aceitável. Uma vez que o catalisador é mais barato, ele deve ser adotado, desde que não mude o rendimento do processo. Para avaliar se o rendimento médio do processo difere de acordo com o catalisador utilizado, um teste é feito em uma planta piloto, resultando nos dados apresentados em seguida. 4 4 a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema? R O interesse está em saber se o rendimento médio do processo utilizando o catalisador, denotado por μ, difere do rendimento médio do processo usando o catalisador, denotado por μ. Portanto, as hipóteses estatísticas associadas ao problema são : µ = µ H : µ µ b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. Erro Tipo I: Concluir que o rendimento médio do processo químico usando o catalisador difere do rendimento médio do processo químico usando o catalisador, quando, na verdade, isso não acontece Erro Tipo II: Concluir que o rendimento médio do processo usando o catalisador não difere do rendimento médio do processo usando o catalisador, quando, na verdade, os rendimentos médios diferem

12 c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 5%. R Como os tamanhos amostrais são ambos iguais a 8, temos que ν=8+8-=4. Além disso, foi estabelecido um nível de significância de 5% e o teste é bilateral. Assim, temos que o valor crítico será t α/,ν = t 0,054 =,45. Portanto, RA = x R : x,45 RR = x R : x >,45 45 d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua: R Os dados apresentaram médias amostrais x = 9,55 e x = 9,733. Os desvios padrão amostrais foram, respectivamente, s =,39 e s =,98. Assim, temos que s = (n )s +(n )s = (7)(,39) +(7)(,98) = 7,30. p n + n Isso resulta em s p = s = 7,30 =,70. p 46 d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua: R A estatística observada do teste será, portanto, t 0 = x x Δ 0 9,55 9,733 0 = = 0,35. s p +,70 / 8 +/ 8 n n Como -,45<-0,35<,45, não rejeitamos. Portanto, ao nível de significância de 5%, concluímos que não há evidências que nos levem a crer que os rendimentos médios dos catalisadores diferem. e) Quais foram as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema? R Foi necessário supor que as observações são independentes, entre e dentre as amostras, e com distribuição normal. Além disso, supomos que as variâncias populacionais são iguais, apesar de desconhecidas

13 TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA Intervalo de confiança bilateral resultante para a diferença de médias, ao nível de 00(-α)%, será X X t α/,ν s p n + n µ µ X X + t α/,ν s p n + n O erro de estimação relacionado a esse intervalo é, portanto, ε = t α/,ν s p n + n Intervalo de confiança unilateral superior, ao nível de 00(-α)%, para µ µ será µ µ X X + t α,ν s p n + n Intervalo de confiança unilateral inferior, ao nível de 00(-α)%, para µ µ será X X t α,ν s p n + n µ µ f) No caso do exemplo dos catalisadores, apresente um intervalo bilateral, ao nível de confiança de 95%. R Note que o erro de estimação é igual a t α/,ν s p n + n =(,45)(,70) / 8 +/ 8 =,8958. Assim, aplicando a fórmula, obtemos X X t α/,ν s p n + n µ µ X X + t α/,ν s p n + n 9,55 9,733,8958 µ µ 9,55 9,733 +,8958 3,37 µ µ,4 5 CASO : VARIÂNCIAS DIFERENTES Hipótese nula : µ µ, Nesse caso, T 0 = X X Δ 0 ~ t S + S ν, n n em que S + S n ν = n ( S / n ) ( n + + S / n ) n + 5 3

14 Teste bilateral: Teste unilateral inferior: : µ µ : µ µ H : µ µ Δ 0 H : µ µ < Δ 0 RA = { x R : x t α/,ν } RA = { x R : x t α,ν } RR = x R : x > t α/,ν α α RR = x R : x < t α,ν α t α, ν 0 t α, ν 53 t α, ν 0 54 Teste unilateral superior: : µ µ H : µ µ > Δ 0 RA = { x R : x t α,ν } RR = x R : x > t α,ν 0 t α, ν 55 α DECISÃO Rejeitamos a hipótese nula, em favor da alternativa H, quando a estatística observada do teste pertencer à região de rejeição Teste bilateral: Lembrando que t 0 < t α/,ν ou t 0 > t α/,ν S + S Teste unilateral inferior: n ν = n t 0 < t α,ν ( S / n ) ( Teste unilateral superior: n + + S / n ) n + t 0 > t α,ν 56 4

15 Um fabricante de unidades de vídeos está testando dois projetos de microcircuitos para determinar se eles produzem correntes médias equivalentes. A engenharia de desenvolvimento obteve os dados abaixo: Projeto Tamanho amostral Média amostral Variância amostral 5 4, 0 0 3,9 0 a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema? R O interesse reside em determinar se a corrente média produzida pelo projeto, denotado por μ, difere da corrente média produzida pelo projeto, denotado por μ. Portanto, as hipóteses estatísticas associadas ao problema são : µ = µ H : µ µ b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. Erro Tipo I: Concluir que as correntes médias produzidas pelos dois projetos diferem, quando, na verdade, elas não diferem Erro Tipo II: Concluir que as correntes médias produzidas pelos dois projetos não diferem, quando, na verdade, elas diferem. 59 c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 0%. R Vamos supor que as variâncias (desconhecidas) das correntes dos dois projetos sejam diferentes. Portanto, S + S 0 n ν = n = ( S / n ) ( n + + S / n ) ( 0 /5) ( 0 /0) + n + 6 =6,

16 c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 0%. R Além disso, foi estabelecido um nível de significância de 0% e o teste é bilateral. Assim, temos que o valor crítico será t α/,ν = t 0,056 =,746. Portanto, RA = x R : x,746 RR = x R : x >,746 6 d) Ao nível de significância de 0%, tome uma decisão e conclua: R Os dados apresentaram médias amostrais x = 4, e x = 3,9. As variâncias amostrais são, respectivamente, s Assim, a estatística observada do teste =0 e s =5. será t 0 = x x s n + s n 4, 3,9 = = 0, d) Ao nível de significância de 0%, tome uma decisão e conclua: R Como -,746 < 0,8 <,746, não rejeitamos. Portanto, ao nível de significância de 0%, concluímos que não há evidências suficientes que nos levem a crer que a corrente média difere nos dois projetos. e) Quais foram as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema? R Foi necessário supor que as observações são independentes, entre e dentre as amostras, e com distribuição normal. Além disso supomos que as variâncias das correntes nos dois projetos são diferentes

17 TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA Intervalo de confiança bilateral resultante para a diferença de médias, ao nível de 00(-α)%, será X X t α/,ν s + s n n µ µ X X + t α/,ν s + s n n O erro de estimação relacionado a esse intervalo é, portanto, ε = t α/,ν s + s n n Intervalo de confiança unilateral superior, ao nível de 00(-α)%, para µ µ será µ µ X X + t α,ν s + s n n Intervalo de confiança unilateral inferior, ao nível de 00(-α)%, para µ µ será X X t α,ν s + s n n µ µ f) No caso do exemplo dos projetos de microcircuitos, apresente um intervalo bilateral, ao nível de confiança de 90%. R Aplicando a fórmula, obtemos x x t α/,ν s + s n n µ µ x x + t α/,ν s + s n n 4, 3,9, µ µ 0 4, 3,9 +, ,55 µ µ 3,5 Logo, ao nível de confiança de 90%, temos que a diferença das correntes médias dos projetos está entre -,55 e 3,5. 67 TESTE t EMPARELHADO 68 7

18 INTRODUÇÃO Um caso especial de teste t para duas amostras Útil quando as observações nas duas populações de interesse são coletadas aos pares Cada par de observações, do tipo (X i, X i ), é tomado sob condições homogêneas, embora essas condições possam mudar de um par para o outro Suponha que estejamos interessados em comparar dois tipos diferentes de ponteiras para uma máquina de teste de dureza. Essa máquina pressiona, com uma força conhecida, a ponteira no corpo de prova metálico. Medindo a profundidade da depressão causada pela ponteira, a dureza do corpo de prova pode ser determinada. Um procedimento experimental poderoso é coletar os dados em pares, isto é, fazer duas leituras de dureza em cada corpo de prova, uma com cada ponteira. O procedimento consistiria em analisar as diferenças entre as leituras de dureza em cada corpo de prova. Se não houver diferença entre as ponteiras, então a média das diferenças deveria ser nula SUPOSIÇÕES Seja (X,X ), (X,X ),..., (X n,x n ) um conjunto de n observações emparelhadas A média e o desvio padrão da população representada por X são denotadas por μ e σ, respectivamente A média e o desvio padrão da população representada por X são denotadas por μ e σ, respectivamente As diferenças entre os pares de observações são denotadas por D i = X i X i,i =,,!,n SUPOSIÇÕES As diferenças D i s são consideradas normalmente distribuídas com média µ D = E(D i )= E(X i X i )= µ µ A variância das diferenças, σ D, são desconhecidas Pode-se empregar um teste t como no caso de uma amostra para testar hipóteses a respeito de µ D Os testes a seguir são equivalentes : µ µ : µ D 7 H : µ µ Δ 0 H : µ D Δ 0 7 8

19 SUPOSIÇÕES A variância das diferenças pode ser estimada por ( ), em que D = n S D = n n D n i D D i i= i= Sob a hipótese nula, a estatística do teste será T 0 = D Δ 0 ~ t n S D / n Sempre que n 30, pode-se aplicar o Teorema Central do Limite e, sob, T 0 terá distribuição aproximadamente normal, com média zero e variância Teste bilateral: : µ D H : µ D Δ 0 RA = { x R : x t α/,n } RR = x R : x > t α/,n α α 73 t α, n 0 t α, n 74 Teste unilateral inferior: Teste unilateral superior: : µ D : µ D H : µ D < Δ 0 H : µ D > Δ 0 RA = { x R : x t α,n } RA = { x R : x t α,n } RR = x R : x < t α,n α RR = x R : x > t α,n α t α, n t α, n 76 9

20 DECISÃO Rejeitamos a hipótese nula, em favor da alternativa H, quando a estatística observada do teste pertencer à região de rejeição Teste bilateral: t 0 < t α/,n ou t 0 > t α/,n Teste unilateral inferior: t 0 < t α,n Teste unilateral superior: t 0 > t α,n 77 O valor crítico t α,n (teste unilateral) ou t α/,n (teste bilateral) é calculado de acordo com o nível de significância estabelecido para o teste, satisfazendo P( X > t p,k ) = p em que X ~ t k. VALOR CRÍTICO 0 t p, k 78 p Um artigo no Journal of Strain Analysis (983, Vol. 8, N o ) compara vários métodos para predizer a resistência de cisalhamento para traves planas metálicas. Dados para dois desses métodos, os procedimentos de Karlsruhe e Lehigh, quando aplicados a nove traves específicas, são mostrados na tabela a seguir. O principal objetivo no estudo é avaliar se, em média, há diferença entre os dois métodos. Trave Método de Karlsruhe Método de Lehigh Diferença d i S/,86,06 0,5 S/,5 0,99 0,59 S3/,3,063 0,59 S4/,339,06 0,77 S5/,00,065 0,35 S/,40,78 0,4 S/,365,037 0,38 S/3,537,086 0,45 S/4,559,05 0,

21 a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema? R O interesse está em saber a resistência média ao cisalhamento difere nos dois métodos. Em outras palavras, quer-se avaliar se a diferença na resistência média ao cisalhamento μ D é diferente de zero. Desse modo, as hipóteses associadas ao problema são : µ D = 0 H : µ D 0 b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. Erro Tipo I: Concluir que a resistência média ao cisalhamento difere nos dois métodos quando, na verdade, ela não difere Erro Tipo II: Concluir que a resistência média ao cisalhamento utilizando o método Karlsruhe é equivalente à resistência média ao cisalhamento usando o método de Lehigh quando, na verdade, essas médias diferem. 8 8 c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de 5%. R Um vez que foi estabelecido um nível de significância de 5%, o número de observações pareadas é n = 9 e o teste é bilateral, temos que o valor crítico será t α/,n = t 0,058 =,306. Portanto, RA = x R : x,306 RR = x R : x >, d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua: R A partir das observações das diferenças, obtivemos uma média amostral e um desvio padrão amostral de, respectivamente, Desse modo, d = 0,739 e s d = 0,356. t 0 = d Δ 0 = 0,739 0 = 6,08. s d / n 0,356 / 9 Logo, rejeitamos, pois t 0 = 6,08 >,306 = t 0,058. Portanto, ao nível de significância de 5%, concluímos que, em média, os métodos de previsão da resistência fornecem resultados diferentes. 84

22 TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA e) Quais foram as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema? R As observações são independentes dentro de cada amostra, normalmente distribuídas e as amostras são pareadas. Intervalo de confiança bilateral para μ D, ao nível de 00(-α)%: D ε µ D D+ε S D t D S α/,n µ D D+ t D α/,n n n O erro de estimação será, portanto, S ε = t D α/,n n TIPOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA Intervalo de confiança unilateral inferior para μ D, ao nível de 00(-α)%: S D t D α,n µ D n f) No caso do exemplo da resistência ao cisalhamento, apresente um intervalo de confiança bilateral, ao nível de 95%. R Aplicando a fórmula, obtemos Intervalo de confiança unilateral superior para μ D, ao nível de 00(-α)%: µ D D+ t α,n S D n s d t D s α/,n µ D d + t D α/,n n n 0,739 (,306) 0,356 µ D 0,739 +(,306) 0, ,7 µ D 0,

23 O periódico Human Factors (96, pp ) reporta um estudo em que se pediu a n = 4 pessoas para estacionarem dois carros, de forma paralela, tendo barras de direção e raios de giro muito diferentes. O tempo em segundos para cada pessoa foi registrado, sendo apresentado na tabela a seguir. Da coluna das diferenças observadas, calculamos a média e o desvio padrão amostrais de, e,68, respectivamente. Indivíduo Tempo Automóvel Tempo Automóvel Diferença dos tempos d i 37,0 7,8 9, 5,8 0, 5,6 3 6, 6,8-0,6 4 4, 4,4-7, 5,0,4 0,6 6 33,4 38,4-5,0 7 3,8 6,8 7,0 8 58, 3, 6,0 9 33,6 7,8 5,8 0 4,4 3,, 3,4 9,6-6,, 0,6 0,6 3 36, 3, 4,0 4 9,8 53,8-4, Apresente um intervalo de confiança para a diferença das médias, ao nível de 90%. Observe que t α/,n = t 0,053 =,77. Portanto, aplicando a fórmula, obtemos s d t D s α/,n µ D d + t D α/,n n n, (,77),68 µ D,+(,77), ,79 µ D 7, Logo, ao nível de confiança de 90%, os dados não justificam a afirmação de que os tempos médios para estacionar os dois carros diferem. 9 INFERÊNCIA SOBRE A RAZÃO DE VARIÂNCIAS DE DUAS POPULAÇÕES 9 3

24 SUPOSIÇÕES X, X,..., X n é uma amostra aleatória de tamanho n com média e variância, respectivamente, µ e σ X, X,..., X n é uma amostra aleatória de tamanho n com média e variância, respectivamente, µ e σ As variâncias amostrais são calculadas fazendo n S k = ( X n k ki X k ),k =, i= SUPOSIÇÕES Quando as amostras forem normais e independentes, pode-se verificar que F = S / σ S / σ ~ F n n A estatística acima é dita ter distribuição F com n - graus de liberdade no numerador e n - graus de liberdade no denominador DISTRIBUIÇÃO F DISTRIBUIÇÃO F Definição: Diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição F com υ graus de liberdade no numerador e ν graus de liberdade no denominador (X~F υν ) se sua função densidade de probabilidade f for escrita como υ/ Γ υ +ν υ ν f(x)= Γ υ Γ ν υ x + ν (υ+ν )/,x > f(x) F 5, 5 F 5, 5 F 5, x 96 4

25 O ponto percentil denotado por é tal que ( ) = α P F > f αυν em que F ~ F υν. Por exemplo, P F > f 0,0550 DISTRIBUIÇÃO F f αυν ( ) = P ( F > 3,33 ) = 0,05 f p, u, v 97 p Uma propriedade muito interessante da distribuição F é que f pυν = f pν υ Por exemplo, f 0,9550 = f 0,0505 = 4,74 = 0, DISTRIBUIÇÃO F f p, u, v p 98 Uma propriedade muito interessante da distribuição F é que f pυν = f pν υ Por exemplo, f 0,9550 = f 0,0505 = 4,74 = 0, DISTRIBUIÇÃO F f p, v, u p 99 TESTE DE VARIÂNCIAS Hipótese nula - : σ = σ Sob, temos que a estatística do teste será F 0 = S / σ S / σ = S / σ S / σ = S S ~ F n n Portanto, sob a hipótese nula, a estatística do teste tem distribuição F com n - graus de liberdade no numerador e n - graus de liberdade no denominador 00 5

26 Teste bilateral: Teste unilateral inferior: : σ = σ : σ = σ H : σ σ H : σ < σ RA = {x R : f x f } α/n n α/n n RR = {x R : x < f α/n n α α ou x > f α/n n } f α, n, n fα, n, n RA = x R : x f αn n RR = x R : x < f αn n α 0 f α, n, n 0 Teste unilateral superior: : σ = σ H : σ > σ RA = x R : x f αn n RR = x R : x > f αn n α f α, n, n 03 DECISÃO Rejeitamos a hipótese nula, em favor da alternativa H, quando a estatística observada do teste (f 0 ) pertencer à região de rejeição Teste bilateral: f 0 < f α/n n ou f 0 > f α/n n Teste unilateral inferior: f 0 < f αn n Teste unilateral superior: f 0 > f αn n 04 6

27 Camadas de óxidos em pastilhas de semicondutores são atacadas em uma mistura de gases, de modo a atingir a espessura apropriada. A variabilidade na espessura dessas camadas de óxidos é uma característica crítica da pastilha. Uma baixa variabilidade é desejada para as etapas subsequentes do processo. Duas misturas diferentes de gases estão sendo estudadas para determinar se uma delas é superior na redução da variabilidade da espessura das camadas de óxido. Dezesseis pastilhas são atacadas com cada gás. Os desvios padrão da espessura de óxido são s =,96 angströms e s =,3 angströms, respectivamente. Querse saber se há alguma evidência indicando que um gás seja preferível em relação ao outro. 05 a) Quais as hipóteses estatísticas associadas ao problema? R Os parâmetros de interesse são as variâncias, σ e σ, da espessura das camadas de óxido. Como o interesse é saber se algum dos gases é preferível, sem especificar qual, as hipóteses associadas ao problema são : σ = σ H : σ σ 06 b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema. Erro Tipo I: Concluir que há uma mistura de gases preferível, quando na verdade ambas apresentam a mesma variabilidade na espessura das camadas Erro Tipo II: Concluir que as misturas de gases apresentam a mesma variabilidade na espessura das camadas, quando na verdade há um mistura de gases preferível. 07 c) Apresente as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de 5% de significância. R Um vez que foi estabelecido um nível de significância de 5%, os tamanhos amostrais são n = n = 6 e o teste é bilateral, temos que os valores críticos serão f = f =,86 α/n n 0,0555 f = f =/ f α/n =/,86 = 0,35 n 0, ,0555 Portanto, RA = x R : 0,35 x,86 08 RR = x R : x < 0,35 ou x >,86 7

28 d) Ao nível de significância de 5%, tome uma decisão e conclua: R Os desvios padrão das amostras foram s =,96 e s =,3. Portanto, a estatística observada do teste será f 0 = s s = (,96) (,3) = 3,84 4,54 = 0,85. Como a estatística observada do teste pertence à região de aceitação, não rejeitamos. Portanto, ao nível de significância de 5%, concluímos que não há evidências suficientes que nos levem a crer que alguma das misturas de gases seja preferível. e) Quais foram as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema? R Foi necessário supor que as observações são independentes, dentre e entre as amostras, e com distribuição normal INTERVALOS DE CONFIANÇA Se s e s forem os desvios padrão amostrais de amostras aleatórias com tamanhos n e n, respectivamente, provenientes de duas populações normais independentes, então um intervalo de confiança para a razão das variâncias populacionais, ao nível de 00(-α)%, será s s f σ α/n n σ s s f α/n n Uma companhia fabrica propulsores para uso em motores de avião. Uma das operações envolve esmerilhar o acabamento de uma superfície particular para um componente de liga de titânio. Dois processos diferentes para esmerilhar podem ser usados, podendo produzir peças com iguais rugosidades médias da superfície. Um engenheiro de manutenção gostaria de selecionar o processo tendo a menor variabilidade na rugosidade da superfície. Uma amostra aleatória de n = peças, provenientes do primeiro processo, resulta em um desvio padrão de s = 5, micropolegadas. Uma amostra aleatória de n = 6 peças, proveniente do segundo processo, resulta em um desvio padrão de s = 4,7 micropolegadas. Apresente um intervalo de confiança de 90% para a razão das variâncias σ / σ. 8

29 R Sabemos que α = 0,90, n = e n = 6. Assim, f α/n n = f 0,0550 =,85 f = f =/ f α/n =/,54 = 0,39 n 0,9550 0,0505 Assim, considerando que as amostras dos dois processos sejam independentes e que a rugosidade da superfície tenha distribuição normal, calculamos 3 s s f σ α/n n σ s s f α/n n (5,) (4,7) 0,39 σ σ (5,) (4,7),85 0,46 σ σ 3,36 Logo, ao nível de confiança de 90%, não podemos afirmar que as variâncias da rugosidade da superfície para os dois processos sejam diferentes, pois o intervalo contém o valor unitário. 4 9