A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Distribuição Amostral Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística

2 INTRODUÇÃO A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra. É a amostra que contém os elementos que podem ser observados e, a partir daí, quantidades de interesse podem ser medidas. x

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6 A Distribuição Amostral retrata o comportamento de uma estatística (média, proporção, entre outras), caso retirássemos todas as possíveis amostras de tamanho n de uma população. Uma estatística é uma função da amostra. Uma amostra consiste de observações de uma variável aleatória. Assim, estatísticas também são variáveis aleatórias e, por isso, possuem uma distribuição de probabilidade. x

7 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA

8 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Exemplo 1:

9 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Exemplo 1:

10 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Exemplo 1:

11 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Exemplo 1:

12 Seja X uma variável aleatória qualquer. Considere a retirada de amostras de tamanho n (n grande -> n >= 30). A distribuição amostral da média X será NORMAL, independente da distribuição da v.a. X. No caso em que a distribuição de X é NORMAL, a distribuição de X será NORMAL mesmo para pequenos valores de n. x

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15 Seja X 1, X 2,..., X n uma a.a.s. retirada de uma população X. Temos que X 1, X 2,..., X n são independentes, com E(X i ) = µ e Var(X i ) = σ 2. Assim, se X tem distribuição normal ou n > 30 (Teorema Central do Limite), temos que x

16 Suponha que podemos extrair todas as amostras de tamanho n (sem reposição) de uma população finita de tamanho N, neste caso temos que: σ N n µ = µ e σ = X X n N 1 N n A quantidade N 1 é conhecida como o fator de correção amostral para população finita, ou simplesmente Fator de Correção. Se o tamanho da população for muito grande, infinito ou ainda a amostragem for feita com reposição, os resultados acima passam a ser: σ µ = µ e σ = X X n Obs: Uma população que tem um limite superior definido é chamada de finita. Em estatística, considera-se como população finita quando (n/n) > 0,05, ou seja, quando a fração amostral é maior do que 5 %. x

17 Distribuição Amostral de Xquando a população é normal

18 Distribuição Amostral de X quando a população não é normal e a amostra é suficientemente grande

19 EXEMPLO 1 A altura dos estudantes da turma de Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística tem distribuição normal com média 172 cm e desvio padrão 9 cm. Uma amostra de 25 estudantes é retirada. a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acima de 175 cm? b) Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 170 e 176 cm? c) Qual deve ser a altura média dos estudantes que permita que em 90% das vezes a média amostral seja inferior a este valor. d) Quantos estudantes deveriam ter sido selecionados para que a probabilidade da média amostral inferior a 174 cm fosse de 0,8.

20 EXEMPLO 1

21 Exemplo 2 De acordo com os estudos realizados pela Cagepa, no município de João Pessoa, o consumo mensal de água por residência tem distribuição normal com média 20 m 3 e variância de 144 m 3. a) Em uma amostra de 36 residências, qual a probabilidade de que a média amostral não se afaste da verdadeira média populacional por mais de 2 m 3? b) Devida a escassez de água nos reservatórios, a empresa deseja estipular um consumo médio de forma que em 95% das vezes o consumo médio amostral seja inferior a este valor. Qual deve ser o valor estipulado pela Cagepa?

22 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Considere uma população em que cada elemento é classificado de acordo com a presença ou ausência de determinada característica. Por exemplo, podemos pensar em eleitores escolhendo entre 2 candidatos, pessoas classificadas de acordo com o sexo, e assim por diante. Vamos considerar uma população em que a proporção de indivíduos com uma certa característica é p. Logo, podemos definir uma v.a. X como

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24 Retira-se uma a.a.s. de tamanho n dessa população. Seja S = n n X i o número de indivíduos com a característica de i= 1 interesse na amostra, temos que S n ~ Binomial(n, p). A variável aleatória S n tem distribuição exata dada por uma binomial com parâmetros n e p. Desta forma, probabilidades envolvendo a proporção amostral podem ser calculadas de modo exato usando esta distribuição. Caso o valor de n seja muito grande, essas probabilidades darão algum trabalho para serem calculadas e torna-se conveniente utilizar a aproximação Normal.

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26 S n Sabemos que X = tem distribuição normal para n n suficientemente grande. Seja p ˆ = X, a proporção amostral, temos que: Obs: σ pˆ é conhecido como erro padrão da proporção.

27 Suponha que podemos extrair todas as amostras de tamanho n (sem reposição) de uma população finita de tamanho N, neste caso temos que: µ pˆ = p e σ pˆ = p(1 n p) N n N 1 N n A quantidade N 1 é conhecida como o fator de correção amostral para população finita, ou simplesmente Fator de Correção. Se o tamanho da população for muito grande, infinito ou ainda a amostragem for feita com reposição, os resultados acima passam a ser: p(1 p) µ p x pˆ = e σ ˆ = p n

28 Exemplo 2 Com base em dados históricos, uma companhia aérea estima em 15% a taxa de desistência entre seus clientes, isto é, 15% dos passageiros com reserva não aparecem na hora do vôo. Para otimizar a ocupação de suas aeronaves, essa companhia decide aceitar 400 reservas para os vôos em aeronaves que comportam apenas 350 passageiros. a) Qual a probabilidade de que essa companhia não tenha assentos suficientes em um desses vôos. Essa probabilidade é alta o suficiente para a companhia rever sua política de reserva? x

29 Exemplo 2 x

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34 Exemplo 3 Qual a probabilidade que o tempo médio das mulheres difira do tempo médio dos homens por pelo menos 0,6 meses? x

35 Exemplo 3 x

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37 Exemplo 4 Um gerente cria a seguinte regra: se a frequência do anúncio tiver influência na manutenção da fatia de mercado a diferença entre a proporção no primeiro ano e no segundo deve ser no mínimo de 5%. Qual a probabilidade da frequência do anúncio ter influência na preferência dos consumidores? x

38 Exemplo 4 x

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42 Exemplo 5 x

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