Contabilometria Aula 6. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 Contabilometria Aula 6 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Teste de Hipóteses Fonte: LEVINE, D. M.; STEPHAN, D. F.; KREHBIEL, T. C.; BERENSON, M. L.; Estatística Teoria e Aplicações, 5a. Edição, Editora LTC, São Paulo, 2008 STEVENSON, W. J.; Estatística Aplicada à Administração; Editora Arbra; São Paulo

3 Teste de Hipóteses - Definições É uma regra de decisão para aceitar, ou rejeitar, uma hipótese estatística com base nos elementos de uma amostra. Hipótese nula = H 0 = é a hipótese a ser testada, refere-se sempre a um valor de um parâmetro da população Hipótese alternativa = H 1 = é o oposto da hipótese nula, a conclusão a que se chegaria ao rejeitar a hipótese nula

4 Teste de Hipóteses - Exemplos a) H 0 : μ = 1,65m H 1 : μ 1,65m ou μ > 1,65m ou μ < 1,65m b) H 0 : σ 2 = 500 H 1 : σ ou σ 2 > 500 ou σ 2 < 500 c) H 0 : π = 0,40 H 1 : π 0,40 ou π > 0,40 ou π < 0,40

5 Exemplo 1 Defina a hipótese nula e a hipótese alternativa para a seguinte situação: inspeciona-se uma amostra de 142 peças de uma grande remessa, encontrando-se 8% defeituosas. O fornecedor garante que não haverá mais de 6% de peças defeituosas em cada remessa. O que tentamos descobrir é se a afirmação do fornecedor é verdadeira. H 0 : π = 6% H 1 : π > 6%

6 Variação casual ou real? No exemplo anterior a amostra de 142 peças apontou 8% de peças defeituosas. Será que posso afirmar que é diferente de 6% afirmado pelo fabricante? E se eu retirasse outra amostra e encontrasse 3% de defeituosas? Afirmaria que não há problemas com a remessa? A resposta, depende da dispersão (variação) da proporção de defeituosas de amostra para amostra...

7 Variação casual ou real? No nosso exemplo qual o desvio padrão? p p(1 n p) 0,06 0, ,02 A amostra deu 8% de defeituosas, ou seja, a discrepância em relação ao afirmado pelo fabricante é de 2%, o que é exatamente um desviopadrão. z p 0,08 0,06 0,02 1,0

8 Variação casual ou real? Na tabela normal: 0,1587 0,06 0,08 Z = +1,0 A probabilidade de obter uma discrepância maior que 2% é de aproximadamente 16%!!!! Então, pode ser devido ao acaso...

9 Variação casual ou real? E se a amostra de 142 peças tivesse dado 12% de defeituosas? z p 0,12 0,06 0,02 3,0 0,06 0,12 Z = +3,0 0, Neste caso, parece pouco provável que tal estatística amostral provenha de uma população com o parâmetro alegado de 6%.

10 Variação casual ou real? Estatísticas amostrais como essa são bastante improváveis se H 0 é verdadeira Estatísticas amostrais como essa são bastante prováveis se H 0 é verdadeira

11 Como separar a variação real da casual? Ou o muito próximo do muito diferente?

12 Regiões de Rejeição e de Não-Rejeição e Estatística do Teste α Não Rejeitar H 0 se está nesse intervalo Rejeitar H 0 se a estatística de teste está nesse intervalo Estatística do Teste z x n ou t x S n ou...

13 O que define a hipótese alternativa Os desvios não aleatórios (isto é, significativos) de determinado parâmetro pode envolver desvios em ambas as direções ou apenas uma direção. Exemplo: no. de caras em jogadas sucessivas de uma moeda H 0 : a moeda é equilibrada Se eu definir H 1 : a moeda não é equilibrada => vou investigar desvios em ambas as direções. Mas, se eu estiver apostando em caras é melhor definir H 1 : aparecem muito poucas caras (p < 0,50) => investigarei uma cauda apenas, a cauda à esquerda H 1 indica qual aspecto da variação não-aleatória nos interessa

14 α/2 α/2 H 0 : π = 0,5 H 1 : π 0,5 Rejeita H 0 v.c. Não Rejeita H 0 v.c. Rejeita H 0 α Rejeita H 0 v.c. Não Rejeita H 0 H 0 : π = 0,5 H 1 : π < 0,5 (muito poucas caras) α H 0 : π = 0,5 H 1 : π > 0,5 Não Rejeita H 0 v.c. Rejeita H 0 (muitas caras)

15 Testes Bilaterais ou Unilaterais? H 0 se escreve sempre da mesma forma H 1 irá depender do problema com o qual você está lidando. Bilaterais: A divergência crítica é em ambas as direções. Ex: fabricação de roupas fora da especificação, o problema ocorre sejam elas serem muito grandes ou muito pequenas Cauda esquerda: Para verificar se determinado padrão mínimo foi atingido. Ex: % mínimo de gordura no leite, vida útil de determinado produto. O problema ocorre se a vida útil for muito pequena, se ela for muito grande não há problema Cauda direita: Para verificar se determinado padrão máximo não foi excedido. Ex: no. de unidades defeituosas em uma remessa, poluição emitida por uma fábrica.

16 Exemplo 2 Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar para uma firma lotes que não contenham mais de 2% de defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a remessa, para verificar a qualidade. a. indique Ho e H1 b. O fornecedor não deseja remeter lotes com elevado risco de devolução em razão de número excessivo de unidades defeituosas, mas também não deseja remeter lotes com percentagem de defeituosos muito menor que a estabelecida, de modo que ele também, fornecedor, faz seu teste antes de proceder à remessa. Indique Ho e H1.

17 Exemplo 2 Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar para uma firma lotes que não contenham mais de 2% de defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a remessa, para verificar a qualidade. a. H 0 : π = 2% e H 1 : π > 2% b. H 0 : π = 2% e H 1 : π 2%

18 Mas, como estabelecer o valor crítico?

19 Nível de Significância α α Não Rejeitar H 0 se está nesse intervalo Rejeitar H 0 se a estatística de teste está nesse intervalo Mas, o que significa nível de significância????

20 Para entender seu significado é preciso entender os erros que se pode cometer e suas consequências...

21 Erros Tipo I e Tipo II Erro TipoI erro de rejeitar H0 sendo H0 verdadeira Erro TipoII erro de aceitar H0 sendo H0 falsa

22 Erros Tipo I e Tipo II Realidade H 0 verdadeira H 0 falsa Aceitar H 0 Decisão correta Erro Tipo II (1 α) ( β ) Decisão Rejeitar H 0 Erro Tipo I Decisão correta ( α ) (1 β)

23 Erros Tipo I e Tipo II α é também denominado Nível de Significância e é estabelecido antes do teste por quem o realiza, em geral, é igual a 1%, 5% ou 10%. A escolha depende do risco que se quer correr e dos custos de uma conclusão errada.

24 Erros Tipo I e Tipo II - Exemplo Via de regra, em um tribunal os integrantes do júri não se deixam enganar por provas falsas, quer sejam a favor ou contra o réu. Tais enganos ocorrem sim, mas com baixa probabilidade. Tendo em mente a filosofia do teste de hipóteses da inferência estatística com qual alternativa se deve trabalhar? (a) O réu é inocente até prova em contrário. (b) O réu é culpado até prova em contrário H 0 : o réu é inocente H 1 : o réu não é inocente P(Erro Tipo I) = α = P(rejeitar H 0 sendo H 0 verdadeira) = α = P(julgar o réu culpado sendo ele inocente) Ao definirmos α limitamos a probabilidade de cometer esse erro!!!

25 Nível de Significância α Os níveis de significância mais utilizados são 1%, 5% e 10% P(rejeitar H0) 5% Erro TipoI rejeitar H0 quando H0 é verdadeira P(aceitar H0) 95% Erro TipoII aceitar H0 quando H0 é falsa A decisão de rejeitar H 0 é muito mais segura do que a decisão de aceitar H 0!!!! A probabilidade de cometer erro é menor!

26 A lógica do Teste de Hipóteses Atribuem-se baixos valores para α, geralmente 1% a 10% Formula-se H 0 com a pretensão de rejeitá-la Se o teste indicar a rejeição de H 0, há um indicador mais seguro para a decisão

27 Teste de uma média com variância conhecida

28 Teste de Hipóteses para a Média σ conhecido Para um teste bi-caudal da média, σ conhecido: Converta a estatística da amostra ( X ) em uma estatística de teste Z X μ σ Determine o valor crítico de z para o nível de confiança especificado a partir de uma tabela ou usando o Excel Decisão: se a estatística de teste cair na região de rejeição, rejeite H 0 ; caso contrário não rejeite Ho n

29 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido Há dois valores críticos definindo as regiões de rejeição /2 H 0 : μ = 3 H 1 : μ 3 /2 3 X Rejeita H 0 -Z Valor crítico inferior Não rejeita H 0 0 +Z Rejeita H 0 Valor crítico superior Z

30 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido Exemplo: Teste a afirmação de que o verdadeiro peso médio das barras de chocolate produzidas em uma fábrica é igual a 3 onças. Declare as hipóteses nula e alternativa H 0 : μ = 3 H 1 : μ 3 (este é um teste bi-caudal) Especifique o nível desejado de significância Suponha que =.05 seja escolhido para este teste Escolha um tamanho de amostra Suponha que um tamanho de amostra n = 100 seja escolhido

31 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido Determine a técnica adequada σ é conhecido então pode-se usar o teste Z Estabeleça os valores críticos Para =.05 os valores críticos de Z são ±1.96 Colete os dados e calcule a estatística de teste Suponha que os resultados da amostra sejam: n = 100, X = 2.84 (σ = 0.8 é presumido a partir de dados históricos da empresa) Então a estatística de teste é: Z X μ σ n

32 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido A estatística de teste está na região de rejeição? =.05/2 =.05/2 Rejeita H 0 se Z < ou Z > 1.96; caso contrário não rejeite H 0 Rejeita H 0 Não rejeita H 0 -Z= Rejeita H 0 +Z= Aqui, Z = -2.0 < -1.96, então a estatística de teste está na região de rejeição de Ho

33 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido Decida e interprete o resultado Como z = -2.0 < -1.96, você rejeita a hipótese nula e conclui que há evidências suficientes de que a média do peso das barras de chocolate não é igual a 3 onças.

34 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido As 6 etapas do Teste de Hipóteses: 1. Defina a hipótese nula, H 0 e a hipótese alternativa H 1 2. Escolha o nível de significância, α, e o tamanho da amostra n. 3. Determine a técnica estatística adequada e o teste a ser realizado. 4. Encontre os valores críticos e determine a região de rejeição.

35 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido 5. Colete os dados e calcule a estatística de teste a partir da amostra. 6. Compare a estatística de teste com o valor crítico para determinar se a estatística de teste caiu na região de rejeição. Faça a decisão estatística: Rejeitar H 0 se a estatística de teste cair na região de rejeição. Escreva a decisão no contexto do problema em questão.

36 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido A abordagem do p-valor O valor-p é a probabilidade de ser obtida uma estatística de teste igual ou mais extrema do que o resultado da amostra, considerando que a hipótese nula H 0 seja verdadeira Também conhecido como nível observado de significância Menor valor de a partir do qual H 0 pode ser rejeitada

37 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido A abordagem do p-valor Converta a estatística da amostra (ex. X) para a estatística de teste (ex. Estatística Z) Obtenha o p-valor em uma tabela ou usando o Excel Compare o p-valor com Se p-valor <, rejeita H 0 Se p-valor, não rejeita H 0

38 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido A abordagem do p-valor Exemplo: Quão provável é encontrar uma amostra com média igual a 2,84 (ou algo mais distante da média, em qualquer direção) se a verdadeira média é = 3.0? X = 2.84 é traduzida para uma estatística Z = -2.0 /2 =.025 /2 =.025 P(Z 2.0) P(Z 2.0).0228 p-valor = = Z

39 Teste de Hipótese para a Média σ conhecido A abordagem do p-valor Compare o p-valor com Se p-valor <, rejeita H 0 Se p-valor, não rejeita H 0 Aqui: p-valor =.0456 =.05 Como.0456 <.05, você rejeita a hipótese nula /2 = /2 = Z

40 Teste de Hipótese para a Média - σ conhecido Relação com Intervalo de Confiança Para X = 2.84, σ = 0.8 e n = 100, o intervalo para um nível de confiança de 95% é: (1.96) a μ (1.96) Como o intervalo não contém o valor da média especificado na hipótese (3.0), você rejeita a hipótese nula a um nível de significância =.05 Mesma conclusão que o teste de hipóteses!!!!

41 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Testes Unicaudais Em muitos casos, a hipótese alternativa se concentra em uma determinada direção H 0 : μ 3 H 1 : μ < 3 Este é um teste de cauda à esquerda (ou inferior) já que a hipótese alternativa foca em valores menores do que a média 3 H 0 : μ 3 H 1 : μ > 3 Este é um teste de cauda à direita (ou superior) já que a hipótese alternativa foca em valores maiores do que a média 3.

42 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Teste de cauda à esquerda Há somente um valor crítico, já que a área de rejeição concentra-se em uma cauda apenas. α Rejeita H 0 -Z Valor crítico Não Rejeita H 0 μ Z X

43 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Teste de cauda à direita Há somente um valor crítico, já que a área de rejeição concentra-se em uma cauda apenas. α Z X Não Rejeita H 0 μ Z Rejeit a H 0 Valor crítico

44 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Um gerente de uma companhia telefônica acha que a conta mensal de telefone celular dos clientes aumentou, e agora tem um valor médio maior do que $52 por mês. A companhia deseja testar essa afirmação. Dados históricos mostram que o desvio padrão é igual a $10. Forma do teste de hipótese: H 0 : μ 52 a média é menor ou igual a $52 por mês H 1 : μ > 52 a média é maior do que $52 por mês

45 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Suponha que =.10 seja escolhido para o teste Encontre a região de rejeição: Rejeita H 0 1- =.90 =.10 Não rejeita H 0 0 Z Rejeita H 0

46 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Qual é o Z dado α = 0.10? z Valor Crítico = 1.28 a =.10 Z

47 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Obtenha a amostra e calcule a estatística de teste. Suponha que uma amostra com os seguintes resultados: n = 64, X = 53.1 ( =10 assume-se conhecido a partir de dados históricos) Então a estatística de teste é: Z X μ σ n 53, ,88

48 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Conclua e interprete o resultado: Rejeita H 0 1- =.90 = Z =.88 Não é possível rejeitar H 0 já que Z = i.e.: não há evidências suficientes de que a conta média de celular é maior do que $52

49 Teste de Hipótese para a Média: σ conhecido Exemplo de teste com cauda à direita Calcule o p-valor e compare com 0 Não Rejeitar p-valor =.1894 Rejeita H 0 =.10 P(X P Z 53.1) / 64 Rejeita H P(Z 0.88) H 0 Z = Não rejeitar H 0 já que o p-valor =.1894 > =.10

50 Teste de Hipóteses para a Média: σ desconhecido Se o desvio padrão da população não é conhecido usa-se o desvio padrão amostral S. Devido a essa mudança, deve-se usar a distribuição t ao invés da distribuição Z para testar a hipótese nula sobre a média. A distribuição t também é utilizada quando a população não é normal e a amostra não é grande o suficiente (> 30) para que, pelo Teorema do Limite Central, se possa assumir distribuição amostral normal. Todas as demais etapas, conceitos e conclusões são os mesmos.

51 Teste de Hipóteses para a Média σ desconhecido Lembre que a estatística t com n-1graus de liberdade é: t n-1 X μ S n

52 Teste de Hipóteses para a Média σ desconhecido - Exemplo Afirma-se que o valor médio das diárias de hotel em Nova York é $168 por noite. Uma amostra aleatória de 25 hotéis resultou em X = $ e S = Teste a afirmação a um nível de significância = (Análises através de gráfico da probabilidade normal indicam que a distribuição da população pode ser aproximada pela distribuição normal) H 0 : μ = 168 H 1 : μ 168

53 Teste de Hipóteses para a Média σ desconhecido - Exemplo H 0 : μ = 168 H 1 : μ 168 α = 0.05 n = 25 é desconhecido, então usamos a estatística t Valor Crítico: t 24 = ± α/2=.025 Determine as regiões de rejeição Rejeita H 0 -t n-1,α/2 Não rejeita H 0 0 t n-1,α/2 α/2= Rejeita H 0

54 Teste de Hipóteses para a Média σ desconhecido - Exemplo t n 1 X μ S n a/2=.025 a/2=.025 t n-1,α/2 -t n-1,α/ Não é possível rejeitar H 0 : não há evidências suficientes de que o custo médio verdadeiro é diferente de $168

55 Teste de Hipóteses para a Média Relação com Intervalos de Confiança Para X = 172.5, S = e n = 25, o intervalo para um nível de confiança de 95% é: (2.0639) a (2.0639) μ Como o intervalo contém a média especificada na hipótese (168), não se pode rejeitar a hipótese nula a um nível de significância =.05

56 Teste de Hipóteses para a Média: σ desconhecido Lembre que assume-se que a estatística da amostra vem de uma amostra aleatória extraída de uma população com distribuição normal Se a amostra for pequena (< 30) deve-se testar a hipótese de normalidade da população. Se a amostra é grande, o Teorema do Limite Central é aplicável e a distribuição da média amostral é normal.

57 Variáveis categóricas Teste de Hipóteses Proporções Dois possíveis resultados Sucesso (observa-se certa característica) Fracasso (a característica não é observada) π indica a fração ou proporção da população em que sucesso é observado. É o parâmetro da população.

58 Teste de Hipóteses Proporções A proporção de sucesso na amostra é indicada por p p n X número de sucessos na amostra tamanho da amostra Quando nπ e n(1-π) são ambos maiores do que 5, a distribuição de p pode ser aproximada pela distribuição normal com as seguintes média e desvio padrão: μp σ p (1 ) n

59 Teste de Hipóteses Proporções A distribuição amostral de p é aproximadamente normal, então a estatística do teste é a Z com valor: Z p ( 1 ) n

60 Teste de Hipóteses Proporções - Exemplo Uma empresa de marketing afirma que o índice de resposta de sua mala direta é de 8%. Para testar essa afirmativa, uma amostra aleatória de 500 correspondências foi pesquisada e encontrou-se 30 respostas. Teste a afirmação com um nível de significância =.05. Primeiro, verifique: n π = (500)(.08) = 40 n(1-π) = (500)(.92) = 460

61 Teste de Hipóteses Proporções - Exemplo H 0 : π =.08 H 1 : π.08 Determine a região de rejeição α =.05 n = 500, p =.06 Rejeita Rejeita Valores Críticos: ± z

62 Teste de Hipóteses Proporções - Exemplo Z.025 Estatística de Teste: p (1 ) n (1.08) z Decisão: Não rejeitar H 0 a =.05 Conclusão: Não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da empresa sobre o índice de resposta ser de 8%.

63 Armadilhas potencias do teste de hipóteses e questões éticas Adote métodos aleatórios na amostragem para reduzir potenciais vieses. Não use respondentes humanos sem consentimento informado Escolha o nível de significância, α, antes da coleta de dados Não espione os dados para escolher entre teste unicaudal ou bicaudal, ou para determinar o nível de significância Não pratique descarte de dados para esconder observações que não suportem as hipóteses formuladas Divulgue todos os resultados relevantes