X ~ Binomial (n ; p) H: p = p 0 x A: p p 0 (ou A: p > p 0 ou A: p < p 0 ) { X k 1 } U { X k 2 } (ou { X k } ou { X k }) x RC não rejeitamos H

Transcrição

1 NOÇÕES DE TESTE DE HIPÓTESES (II) Nível Descritivo valor P

2 Resumo X ~ Binomial (n ; p) (1) Estabelecer as hipóteses sobre p: H: p = p 0 x A: p p 0 (ou A: p > p 0 ou A: p < p 0 ) (2) Escolher um nível de significância α. (3) Determinar a região crítica RC da forma Fixar α e obter RC ou Fixar RC e obter α { X k 1 } U { X k 2 } (ou { X k } ou { X k }) (4) Selecionar uma amostra: obter X = x. (5) Regra de Decisão: x RC rejeitamos H x RC não rejeitamos H

3 Exemplo 1: Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz 90% de peças dentro das especificações. O IPEM deseja investigar se esse processo de fabricação está sob controle. Seja p a proporção de peças produzidas dentro das especificações. As hipóteses de interesse são: H: p = 0,9 A: p < 0,9 Ou seja, queremos testar H: O processo está sob controle. A: O processo não está sob controle. 3

4 Selecionamos uma amostra aleatória de 15 itens e observamos o número X de itens satisfatórios. Então: X ~ b(15, p). Região crítica: RC= { X k } Para α = 6%, temos k = 11 e RC = {X 11}. Para α = 1%, temos k = 9 e RC = {X 9}. 4

5 Se observamos x = 10 peças satisfatórias, então: a) α = 6% b) α = 1% 10 RC Rejeitamos H ao nível de significância de 6%. 10 RC Não rejeitamos H ao nível de significância de 1%. Crítica: Arbitrariedade na escolha da RC (ou do nível de significância). Sugestão: Determinar o nível de significância associado à evidência experimental, que é denominado nível descritivo ou valor P. 5

6 Binomial n = 15 e p = 0,90 x P (X = x) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , ,2059 Binomial n = 15 e p = 0,90 x P (X = x) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , ,2059 6

7 Nível descritivo (valor P) No exemplo, a região crítica é da forma RC = { X k }. Para x obs = 10, o nível descritivo ou valor P é calculado por: P = P (X 10 p = 0,9) = 0,0127 O valor P é igual à probabilidade de ocorrerem valores de X tão ou mais desfavoráveis para a hipótese nula H do que o valor observado x obs = 10. Assim, se o processo estivesse sob controle, a probabilidade de encontrarmos uma amostra de 15 peças com 10 ou menos peças satisfatórias é de apenas 1%. Isso sugere que a hipótese nula H deve ser rejeitada.

8 Se o valor P é pequeno, então é pouco provável observarmos valores iguais ou mais extremos que o da amostra, supondo a hipótese nula H verdadeira. Assim, há indícios de que a hipótese nula não seja verdadeira e tendemos a rejeitá-la. Por outro lado, para valores não tão pequenos de P, não fica evidente que a hipótese nula H seja falsa, portanto tendemos a não rejeitá-la. Assim, P pequeno rejeitamos H P não pequeno não rejeitamos H Quão pequeno deve ser o valor de P para rejeitarmos H? 8

9 Lembrando que a ideia inicial de P era considerar um nível de significância associado à evidência amostral, podemos compará-lo a um nível de significância α fixado, de modo que: P α P > α rejeitamos H não rejeitamos H P rejeitamos H α P não rejeitamos H Se P α, dizemos que a amostra forneceu evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula H. 9

10 No exemplo: P = 0,0127. Adotando α = 0,05, temos que P < α, portanto rejeitamos H ao nível de significância 5%. Assim, o processo não está sob controle. Observações: Quanto menor o valor P, maior é a evidência contra a hipótese nula H contida nos dados. Quando a hipótese nula é rejeitada para um nível de significância α fixado, dizemos também que a amostra é significante ao nível de significância α. 10

11 Exemplo 2: A diretoria de uma escola acredita que a proporção p de alunos usuários da internet neste ano é maior do que os 70% encontrados no ano anterior. Se uma pesquisa com 30 alunos escolhidos ao acaso mostrou que 26 são usuários da internet, podemos dizer que a afirmação da diretoria é verdadeira? (1) Hipóteses estatísticas: H: p = 0,7 A: p > 0,7 11

12 (2) Nível de significância: Adotamos α = 0,05. (3) A evidência na amostra. Seja X o número de usuários da internet entre os 30 entrevistados. Observamos x = 26 usuários. (4) Calcular o nível descritivo ou o valor P do teste. P = P (X 26 p = 0,7) (5) Decisão e conclusão. P < α = 0,0301. Decidimos por rejeitar H. Concluímos que há indícios suficientes para afirmar que a proporção de alunos usuários de internet aumentou este ano. 12

13 Binomial com n = 30 e p = 0,7 x P (X = x) 10 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

14 Uso da aproximação normal Exemplo 3: Pelo Anuário do IBGE de 1988, a proporção de analfabetos em uma cidade era de 15%. Em 1993, entre 200 entrevistados dessa cidade, 27 eram analfabetos. Esses dados suportam a tese de diminuição do analfabetismo na cidade de 1988 para 1993? (1) Estabelecer as hipóteses. Sendo p a proporção de analfabetos na cidade em 1993, as hipóteses de interesse são: H : p = 0,15 A : p < 0,15 14

15 (2) Fixar o nível de significância. Por exemplo, α = 5% (α = 0,05). (3) Observar a evidência na amostra. Seja X o número de analfabetos entre os 200 cidadãos entrevistados em X ~ b(200, p). Foram observados 27 analfabetos x = 27. (4) Determinar o nível descritivo ou valor P. P = P (X 27 p = 0,15) 15

16 Binomial com n = 200 e p = 0,15 x P(X = x) 12 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

17 Cálculo exato (pela binomial): P = P(X 27 p = 0,15) = 0,3164 Usando a aproximação normal: E(X) = n p = 200 0,15 = 30 Var(X) = n p (1-p) = 200 0,15 0,85 = 25,5 DP(X) = 25,5 = 5,05 P = P(X 27 p = 0,15) P [ Z (27-30) / 5,05 ] = P(Z -0,59) = 0,2776 onde Z é uma v.a. com distribuição Normal(0,1). 17

18 (5) Decisão e conclusão. Como P > α, decidimos por não rejeitar a hipótese nula H. Portanto, ao nível de significância de 5%, não há evidência suficiente para concluir que o índice de analfabetismo na cidade diminuiu do ano de 1988 para

19 Exemplo 4: Considere o arquivo Pulse do Minitab. Como parte desse experimento, a mesma moeda foi lançada uma vez por cada um de 92 estudantes. Cada estudante realizou ou não uma corrida, conforme o resultado foi cara ou coroa. Os seguintes resultados foram obtidos: nº estudantes nº caras 35 nº coroas 57 Total 92 Com base nesses resultados, você diria que a moeda usada é honesta? Tome a decisão com base no nível descritivo. 19

20 (1) Estabelecer as hipóteses. Sendo p a probabilidade de cara da moeda, as hipóteses de interesse são: H: p = 0,5 A: p 0,5 ou seja, a moeda é honesta (H) ou é desequilibrada (A). (2) Fixar o nível de significância. Por exemplo, α = 0,05. 20

21 (3) Observar a evidência na amostra. Seja X o número de caras obtidas em 92 lançamentos. X ~ b(92 ; p) Valor observado de X : x = 35. (4) Determinar o nível descritivo ou valor P. Como a hipótese alternativa é bilateral, ao calcularmos o valor P, devemos levar em conta que a forma da região crítica envolve os valores de X que se distanciam muito (para mais ou para menos) do valor previsto pela hipótese nula H. Sob H, o valor esperado de X é igual a 46. Assim, observamos um desvio de = 11 unidades em relação ao número esperado de caras se a moeda fosse honesta. 21

22 P = P(X 57 ou X 35 p = 0,5) = P(X 57 p = 0,5) + P(X 35 p = 0,5) Podemos usar a aproximação normal. Se p = 0,5, então: E(X) = n p = 92 0,5 = 46 Var(X) = n p (1-p) = 92 0,5 0,5 = 23 ❾ DP(X) = 4,8 P P[ Z (57-46) / 4,8 ] + P[ Z (35-46) / 4,8 ] = P(Z 2,29) + P(Z -2,29) = 2 P(Z 2,29) = 2 (1 0,989) = 0,022, onde Z ~ N(0,1).

23 Como o valor P é pequeno, um número de caras tão afastado da média como o que foi observado dificilmente ocorre quando lançamos 92 vezes uma moeda honesta. Isso nos leva a duvidar da honestidade da moeda. Logo, a conclusão a seguir procede. (5) Decisão e conclusão. Como P < α, decidimos por rejeitar a hipótese nula H. Assim, há evidência suficiente para se afirmar que a moeda é desequilibrada, ao nível de significância de 5%. 23

24 Resumo (1) Estabelecer as hipóteses: H: p = p 0 contra uma das alternativas A: p p 0, A: p > p 0 ou A: p < p 0. (2) Escolher um nível de significância α. (3) Selecionar uma amostra aleatória de tamanho n e determinar o número x de indivíduos na amostra portadores do atributo desejado. 24

25 (4) Calcular o nível descritivo ou valor P. Se A: p > p 0, então P = P (X x p = p 0 ). Se A: p < p 0, então P = P (X x p = p 0 ). Se A: p p 0, então P = P (X np 0 - d p = p 0 ) + P (X np 0 + d p = p 0 ), onde d = x - np 0. Para n grande, usar a aproximação normal. (5) Decidir, comparando P ao nível de significância α, e concluir. P α rejeitamos H. P > α não rejeitamos H. 25

26 Observações: O valor P reflete a evidência que o valor observado x fornece contra a hipótese nula H : quanto menor o valor P, mais forte é a evidência contra H. No caso de hipótese alternativa unilateral (A: p > p 0 ou A: p < p 0 ), o valor P é a probabilidade de obtermos valores de X iguais ou mais extremos do que o observado na amostra (X x ou X x), supondo H verdadeira. Se a alternativa é bilateral (A: p p 0 ), o valor P é a probabilidade de obtermos valores de X a uma distância pelo menos d do valor esperado de X sob H ( X - np 0 d), onde d é a distância entre o valor observado e o valor esperado sob H (d = x - np 0 ). 26