Testes de Hipóteses. Henrique Dantas Neder

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1 Testes de Hipóteses Henrique Dantas Neder

2 Vimos no capítulo anterior como construir intervalos de conança para parâmetros da população. Um outro procedimento muito utilizado em inferência é o estabelecimento de um teste de hipóteses referente ao valor de um dado parâmetro. Da mesma forma como quando contruimos um intervalo de conança para o valor do parâmetro, quando fazemos um teste de hipóteses a respeito do valor do parâmetro, jamais saberemos o valor verdadeiro deste parâmetro. Um teste de hipóteses refere-se a uma determinada armativa (hipótese) a respeito do parâmetro. Por exemplo, queremos testar a hipótese de que o valor do parâmetro média populacional µ é igual a 50 (µ = 50). Quando testamos o valor deste parâmetro, podemos aceitar uma hipótese central ou rejeitá-la. Desta forma um teste de hipóteses será realizado com base em uma regra de decisão. O primeiro passo em um teste de hipóteses é o da formulação das hipóteses. Sempre trabalhamos com uma hipótese central (ou hipótese nula) e uma hipótese alternativa.

3 Quando aceitamos a hipótese nula (de acordo com a nossa regra de decisão) automaticamente rejeitamos a hipótese alternativa e vice-versa (as duas hipóteses são excludentes e opostas). Vejamos um exemplo: suponhamos que queiramos testar (para uma dada população) a hipótese de que sua média é igual a 50. A hipótese nula será: H 0 {µ X = 50 A hipótese alternativa será H a {µ X 50 Para testar estas hipóteses selecionamos aleatoriamente (amostra aleatória simples) uma amostra da população e calculamos sua média amostral e seu desvio padrão amostral: X = n i=1 X i/n e s = n i=1 (X i X 2 ) n 1 Suponhamos que após os cálculos (baseados nos valores amostrais de X) uma amostra de tamanho n = 40 produziu os seguintes resultados: X = 53 e s = 10

4 Sabemos que X µ 0 s/ tem distribuição normal padrão (z) onde n µ 0 é o valor considerado na hipótese nula (no caso deste exemplo 50). Devemos denir um nível de signicância para o nosso teste de hipóteses. Por exemplo, denimos α = 0.05 (um nível de signicância de 5%). Estabelecemos uma regra decisão: se z > 1, 96 e z < 1, 96 aceitamos a hipótese nula e em caso contrário rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa. Calculamos o valor da estatística de teste: z = X µ 0 s/ = n 10/ = Neste caso, como z cai dentro da região de aceitação da hipótese nula ( 1.96 < z < 1.96) aceitamos esta hipótese ou seja aformamos que µ = 50. Desta forma para realizar um teste de hipóteses temos que seguir os seguintes passos: 1. Primeiro etapa: Denir as hipóteses

5 2. Segunda etapa: Escolher uma estatística de teste (no caso do exemplo, a estatística de teste é X que através da padronização se transforma na estatística z. 3. Denir uma regra de decisão: criar as regiões de aceitação de H 0 (ou rejeição de H a ) e de rejeição de H 0 (ou de aceitação de H a ). 4. Selecionar uma amostra e calcular o valor da estatística de teste (no exemplo anterior X ). 5. Comparar o valor da estatística de teste com as regiões de aceitação e de rejeição de H o e tomar uma decisão (aceitar ou rejeitar H 0 ). Um teste de hipóteses é semelhante a decisão de um juri em um tribunal: o juri pode condenar ou inocentar o reu. Suponhamos que a hipótese nula do julgamento (H 0 ) seja {o reu é inocente}. Então rejeitar a hipótese nula signica declar o reu inocente e a hipótese alternativa signica que o juri toma a decisão de declarar o reu culpado.

6 O juri pode cometer dois tipos de erro: decidir que o reu é culpado quando na verdade o reu é inocente ou decidir que o reu é inocente quando na verdade o reu é culpado. Da mesma forma em um teste de hipóteses estatístico podemos também cometer dois tipos de erro: rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira (chamado de erro tipo I) ou aceitar H 0 quando H 0 é falsa. A probabilidade de cometer um erro tipo I é chamada de nível de signicância (α) do teste de hipóteses. No exemplo anterior aceitamos a hipótese nula ao nível de signicância (α) de 5 % (ou 0.05). Isto porque determinamos as regiões de aceitação e de rejeição de H 0 com base neste valor de signicância. Mas se deníssemos um nível de signicância α = 0.10 para o teste decidiriamos aceitar H 0 caso < z < Como o valor de z calculado = caimos fora da região de aceitação de H 0. Isto quer dizer que ao nível de signicância α = 0.10 rejeitamos a hipótese nula.

7 Neste caso poderíamos estar cometendo o erro tipo I (ao rejeitar H 0 quando na verdade H 0 é verdadeira). Qual seria a probabilidade exata de estarmos cometendo erro tipo I quando rejeitamos a hipótese nula? Esta probabilidade seria igual a P(z < z > ) = 2 φ( ) = Esta seria a probabilidade exata de estarmos cometendo um erro tipo I ao rejeitarmos H 0 quando o valor de z calculado = ou (o que é o mesmo) quando o valor de X = 53. Exemplo: Os empregados de uma determinada empresa deveriam trabalhar, em média, 8h diárias. De forma a investigar se os empregados estão a trabalhar mais do que as horas previstas, o sindicato registou o número de horas que 150 trabalhadores (escolhidos ao acaso) trabalharam num dia qualquer, tendo obtido os seguintes resultados: 150 i=1 X i = e i=1 (X i X ) 2 = 1000 a) Teste ao nível de signicância de 5%, se a empresa deverá ser punida por exigir que os seus empregados trabalhem mais do que

8 deviam. b) Qual o tipo de erro que pode cometer relativamente à decisão que tomou? Solução: H 0 {µ X = 8 H a {µ X > 8 Este é um caso de teste unilateral porque estamos considerando como hipótese alternativa apenas uma das caudas (a cauda direita) da distribuição. Caso a hipótese alternativa fosse H a {µ X 8 teriamos uma situação de teste bilateral. Isto inuencia a determinação das regiões de aceitação e de rejeição de H 0 : no caso do teste unilateral consideramos todo o valor do nível de signicância em uma das caudas somente e assim denimos a seguinte regra de decisão: Se z < z crítico = φ 1 (.95) = aceitamos H 0 e em caso contrário z > rejeitamos H 0 De acordo com os valores dados temos: z calculado = X µ 0 = X µ 0 s X s x / = (1260/150) 8 n 1000/149/ = Neste caso rejeitamos H 0 ao nível de signicância de 5% pois o

9 valor de z calculado cai na região de rejeição de H 0. Mas podemos estar cometendo um erro tipo I. Qual é a probabilidade exata de estarmos cometendo este tipo de erro? Podemos calcular esta probabilidade como: P(erro tipo I ) = P(z > H 0 é verdadeiro) = P(z > ) = 1 φ(1.8910) = A conclusão é que devemos tomar a decisão de rejeitar H 0 mas estando cientes de que podemos estar cometendo um erro tipo I (rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira) com uma probabilidade exata de 2,93%. Como esta probabilidade é relativamente baixa, podemos rejeitar H 0. Esta probabilidade exata é chamada de p value do teste. É o valor do menor nível de signicância para o qual podemos rejeitar H 0. Exemplo: Numa determinada empresa pensa-se importar um grande lote de instrumentos de precisão, para os quais o fabricante garante um peso médio igual a 100 gr. Sendo o peso uma característica importante para a qualidade do produto, resolveu-se testar a veracidade da armação do fabricante. Para tal, o departamento técnico da empresa importadora obteve uma amostra

10 de 15 instrumentos, através da qual se obtiveram os seguintes valores: 15 i=1 X i = e i=1 (X i X ) 2 = 1674 Admitindo a normalidade dos pesos, qual a sua opinião, ao nível de signicância de 1%, relativamente à armação do fabricante. Solução: Denição das hipóteses: H 0 {µ X = 100 contra H a {µ X 100 Como a amostra é pequena (n < 30) não podemos utilizar a distribuição normal padrão z. Temos que usar a distribuição t de Student porque sabemos que a distribuição de X na população é normal. O valor crítico de t ao nível de signicância de 0.01 e para um número de graus de liberdade n 1 = 14 é igual a Este valor pode ser obtido através do comando Stata disp invttail(14,.005) ou por uma tabela para a t de Student. Colocamos no argumento da probabilidade porque devemos considerar que as duas caudas da distribuição somam 1%. As regiões de aceitação e de rejeição de H 0 são denidas como: Aceitar H 0 se < t calculado <

11 Rejeitar H 0 se t calculado ou t calculado O valor de t calculado, de acordo com os resultados da amostra, pode ser obtido como: t calculado = X µ 0 s X = (1407/15) / 15 = Caimos na região de aceitação de H 0. Exemplo:Suponha que determinado canal de televisão deseja saber qual tinha sido a percentagem de pessoas que viram determinado programa. Para tal, realizou uma sondagem tendo sido inquiridas 220 pessoas, das quais 132 disseram ter visto o referido programa. a) Determine um intervalo de conança de nível 95% para percentagem de pessoas em toda a população que viu esse programa. b) Qual deveria ser o número de pessoas inquiridas para se obter um intervalo de conança de nível 95% com metade da amplitude do anterior? (Admita que a proporção das pessoas que viram o programa se mantém.) c) Poder-se-á armar, ao nível de 5%, que mais de metade das pessoas viram o programa? Solução: a) P(ˆp z 1.05/2 σˆp < p <ˆp + z 1.05/2 σˆp ) = 0.95

12 P( (1 220 ) < p < z ( /2 ) ) = P(.5352 < p <.6647) = 0.95 b) amplitude = ( )/2 = erro de amostragem = amplitude/2 = Utilizamos a expressão: e = z 1 α/2 σˆp = z 1 α/2 Para isolar n, temos: e 2 = (z 1 α/2 ) 2 ˆp (1 ˆp) n n = (z 1 α/2) 2 ˆp (1 ˆp) = e c) Formulação das hipóteses: ( ) = ˆp (1 ˆp) H 0 {p = 0.50 contra H a {p >.50 (o teste é unilateral ou unicaudal) Denição da região de aceitaçao e de rejeição de H 0 : Aceita-se H 0 se z calculado for menor do que z crítico = φ 1 (0.95) = Observe que jogamos todo o valor do nível de signicância do teste em apenas uma das caudas da distribuição porque o teste é unilateral. Se o teste fosse bilateral teriamos que calcular φ 1 (.975): teriamos que distribuir igualmente o nível de n

13 signicância nas duas caudas da distribuição. Cálculo do valor de z calculado : z calculado = ˆp p 0 σˆp = ( ) 220 = Rejeitamos H 0 ao nível de signicância de 5%. Exemplo: Admita que a direcção comercial de uma determinada empresa pretende lançar um novo serviço de telecomunicações. De acordo com critérios empresariais, o serviço só deverá ser lançado no mercado se houver mais de 80% de potenciais compradores. Assim, para averiguar o eventual lançamento do serviço, a empresa decidiu efectuar um inquérito a 400 grandes clientes, tendo 340 sido favoráveis à aquisição do novo serviço. a) Para um nível signicância de 5%, poder-se-á concluir que a empresa opta pelo lançamento do serviço? E para um nível de signicância de 1%? b) Determine o valor p do teste e interprete-o. Solução: a) Denição das hipóteses: H 0 {p 0.8 contra H a {p > 0.8 Determinação das regiões de aceitação e de rejeição de H 0 :

14 Como o teste é unilateral z crítico para um nível de signicância de 5% é calculado como φ 1 (.95) = Aceita-se H 0 se z calculado < z crítico = z calculado = ( ) 400 = Rejeitamos H 0 ao nível de signicância de 5% Ao nível de 1% de signicância o valor de z críticoé φ 1 (.99) = Neste caso também rejeitamos H 0 ao nível de signicância de 1% pois z calculado > z crítico. b) O valor p do teste é calculado como:p = 1 φ(2.8) = Existe uma chance exata de 0.255% de cometermos o chamado erro tipo I, ao rejeitarmos H 0. Exemplo: Admita que uma amostra aleatória de 400 domicílios de uma determinada cidade revelou que 8% destes são casas de aluguel, enquanto que, numa outra cidade, uma amostra de 270 domicílios revelou que 37 eram casas de aluguel. a) Construa um intervalo de conança de nível 99% para a percentagem de casas de aluguel em cada cidade. b) Suponha que os intervalos de conança, obtidos na alínea anterior, sejam considerados pouco precisos. Qual

15 deverá ser o tamanho das amostras para que o erro de estimativa não exceda 2%? c) Poderá armar estatisticamente, ao nível de 5%, que há maior percentagem de casas de aluguel em alguma das duas cidades? Justique. Solução: a) primeira cidade: ˆp z 1.01/2 σˆp < p < ˆp + z 1.01/2 σˆp 0.08 (1 0.08) < p < < p < segunda cidade: ˆp z 1.01/2 σˆp < p < ˆp + z 1.01/2 σˆp < p < b) primeira cidade n = (z 1 α/2) 2 ˆp (1 ˆp) e 2 ( ) 270 < p < = (1.08) n = (z 1 α/2) 2 ˆp (1 ˆp) = (1 e ).02 2 = (1 0.08) 400 ( ) 270 = c) esta pergunta se refere a um teste de diferença de proporções. H a {p A = p B contra H a {p a p b ou H a {p A p B = 0 contra

16 H a {p a p b 0 A estatística de teste é a diferença de proporções das duas amostras ˆp a ˆp b = = A variância de ˆp a ˆp b será dado por ˆp a(1 ˆp a) n a + ˆp b(1 ˆp b ) n b =.08 (1.08) ( ) = O erro padrão de ˆp a ˆp b é igual a =.0249 Então o valor de z calculado será z calculado = ˆpa ˆp 37 b = = σˆpa ˆp.0249 b Para um nível de signicância a região de aceitação de H 0 é 1.96 < z calculado < 1.96 Portanto rejeitamos H 0 ao nível de signicância de 5 %. O p-value deste teste pode ser calculado ocmo sendo igual a φ( ) 2 = Multiplicamos por 2 porque o teste é bilateral e temos que considerar a área das duas caudas da distribuição. Interpretação do p-value: 2,20% é o nível de siginicância exato do teste - ao rejeitarmos H 0 existe uma probabilidade exata de estarmos rejeitando quando na verdade H 0 é verdadeira.