DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Campus de Lhanguene, Av. de Moçambique, km 1, Tel: , Fax: , Maputo Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de EGI Teoria de Probabilidade AULA III: Probabilidade: Conceitos fundamentais; conceito clássico e frequencista. RESUMO TEÓRICO O início do estudo das probabilidades está ligado aos jogos de azar. Embora matemáticos como Cardano e Kepler já tivessem se ocupado do estudo das probabilidades, foi a partir de um contacto feito entre um rico jogador francês, Chevalier de Méré, e o matemático Blaise Pascal, por volta de 1650, que a moderna Teoria das Probabilidades realmente se desenvolveu. A teoria de probabilidade estuda fenómenos e experiências aleatórias Experiência aleatória Uma experiência é considerada aleatória se: i) é possível conhecer todos os resultados possíveis; ii) iii) não é possível predizer o resultado de uma realização; teoricamente, pode-se repetir em circunstâncias idênticas. De contrário a experiência é considerada determinística. Exemplo de experiências aleatórias i) Jogar uma moeda ao ar e verificar a face voltada para cima; ii) O resultado de cada estudante na primeira prova desta disciplina; iii) a duração da aula de hoje; iv) O sexo da primeira pessoa que iremos nos cruzar com ela ao sair da sala; v) Contar os dias de chuva em períodos de um ano; Espaço amostral ( ) Conjunto de todos os resultados possíveis. Pode ser discreto ( o número dos possíveis resultados é contável (finito ou infinito numerável) ou contínuo. Acontecimento Afirmação sobre o resultado de uma experiência aleatória. Identifica-se como subconjunto de.

2 Alguns acontecimentos especiais: Acontecimento elementar: associado a apenas um único resultado do espaço amostral; Acontecimento certo: sempre ocorre ( ); Acontecimento impossível: nunca ocorre ( ) Acontecimento contrário a A. ocorre quando não ocorre o acontecimento A. Acontecimentos mutuamente exclusivos ou incompatíveis: quando não podem ocorrer simultaneamente. Definição clássica de Probabilidade (Definição de Laplace) Seja um espaço amostral equiprovável e seja A. A probabilidade de um acontecimento A é o quociente entre o número de casos que favorecem a A e o número de casos possíveis. P( A) Número de casos favaráveis a A Número de casos possíveis Definição frequencista Numa série de n repetições de uma experiência aleatória (em condições idênticas), chama-se frequência relativa de um acontecimento A, f n (A), ao quociente entre o nº de vezes que A ocorre e n. Neste caso, a probabilidade do acontecimento A é dada pelo lim f ( A). Sem entrar em grande rigor, poderemos dizer que, segundo a interpretação frequencista, a probabilidade de um acontecimento A é o valor para o qual a sequência (empírica) de frequências relativas observadas de A tende a estabilizar à medida que aumenta indefinidamente o número de realizações, independentes e sempre nas mesmas condições, da experiência. CONTACTO 1. Classificar cada experiência a seguir como determinístico ou aleatório: a) Número de crianças que irão morrer em seu primeiro ano de vida durante o próximo ano, na cidade de Maputo. b) Observar uma linha de produção, num dado período, e contar o número de peças defeituosas. c) Obter um número que, somado a 7, resulte 13. d) Retirar uma carta de um baralho e anotar qual é. e) Anotar a cor de uma bola retirada de uma urna contendo apenas bolas vermelhas. 2. Apresente o espaço amostral de cada uma das experiências a seguir: a) Lançar duas moedas e anotar o par de faces de cima. n n

3 b) Jogar um dado duas vezes e anotar a soma dos números obtidos. c) Seleccionar, ao acaso, 3 lâmpadas a partir de um lote e observar se cada uma é defeituosa (d) ou perfeita (p). d) Anotar se um cliente, ao fazer um pedido numa lanchonete, escolhe sanduíche (s), batatas fritas (b), os dois (d) ou nenhum dos dois(n). 3. Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto? 4. Um número é escolhido entre os 20 primeiros inteiros, 1 a 20. Qual é a probabilidade de que o número escolhido seja (i) par? (ii) primo? (iii) quadrado perfeito? 5. Um grupo é formado por 7 rapazes e 5 moças. São escolhidas 4 pessoas desse grupo, ao acaso, sem reposição, para formarem uma comissão. Determine a probabilidade de: a) serem escolhidos exactamente dois rapazes. b) serem escolhidos, pelo menos, dois rapazes. 6. Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso dois parafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos? 7. Considera um espaço equiprovável formado por todos os números de três algarismos que se podem formar com 0,1,2,3,4,5 sem permitir repetições. Qual é a probabilidade de formar um número par? 8. Suponha que numa turma há 6 meninas e 10 rapazes. Se uma comissão de 3 pessoas é escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de serem seleccionados: a) rapazes; b) exactamente dois rapazes; c) pelo menos um rapaz; d) exactamente duas meninas. 9. Um número do conjunto {1, 2,..., 200}é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de sair um número que não seja múltiplo de 5? 10. Qual a probabilidade de, entre 24 pessoas escolhidas ao acaso, não haja coincidência dos seus aniversários? (Considere o ano com 365 dias). 11. Distribuem-se 10 bolas em 4 caixas, de forma que cada bola tenha a mesma probabilidade de cair em qualquer uma delas. Qual

4 é a probabilidade de que caírem exactamente três bolas na primeira caixa? ESTUDO 1. Descreva o espaço amostral e sua cardinalidade, para cada uma das experiências abaixo. a) Retirar uma bola de uma urna que contêm bolas brancas e pretas e verificar sua cor. b) Jogar um dado duas vezes e anotar a sequência de números obtidos. c) Em um lote de 10 lâmpadas sabe-se que 4 são defeituosas. As lâmpadas são testadas, uma a uma, até que todas as defeituosas sejam encontradas. Contar o número total de lâmpadas testadas. d) Num conjunto de famílias com 3 filhos, descrever as possíveis sequências dos sexos dos filhos. e) De um grupo de 5 pessoas (A,B,C,D,E), sorteiam-se duas, uma após a outra, sem reposição. É anotado o par obtido. 2. Seja Ω o espaço amostral de uma experiência e A, B e C acontecimentos associados a essa experiência. Descreva os acontecimentos abaixo, usando a notação das operações de conjuntos: a) Ocorrer A ou ocorrer B b) Ocorrerem A e B c) Ocorrer A mas não ocorrer B d) Não ocorrer C e) Não ocorrer nenhum dos acontecimentos A, B e C f) Ocorrer A mas não ocorrer B nem C 3. Uma caixa contém 5 lâmpadas, das quais duas são defeituosas. As lâmpadas defeituosas estão numeradas de 1 a 2 e as não defeituosas estão numeradas de 3 a 5. Extraem-se 2 lâmpadas, ao acaso, uma a seguir à outra e sem reposição (com reposição). a) Enumere os acontecimentos elementares do espaço de resultados associado à experiência. b) Defina no espaço de resultados os acontecimentos adiante indicados: A1 - "saída de uma lâmpada defeituosa na 1ª tiragem"; A2 - "saída de uma lâmpada defeituosa na 2ª tiragem"; A3 - "saída de duas lâmpadas defeituosas"; A4 - "saída de pelo menos uma lâmpada defeituosa"; A5 - "saída de exactamente uma lâmpada defeituosa"; A6 - "saída de uma soma de números inscritos nas lâmpadas inferior a sete".

5 4. Oito jogadores de ténis { J1, J2,..., J 8} disputam um torneio em que o vencedor de uma etapa passa para a etapa seguinte, conforme a dinâmica descrita no diagrama a seguir: Descreva o espaço amostral listando os possíveis participantes na final do torneio. 5. Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5? 6. Três rapazes e três meninas sentam-se numa fila. Qual a probabilidade de: a) as 3 meninas sentarem-se juntas (lado a lado)? b) os rapazes e as meninas sentarem-se em lugares alternados? 7. Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? 8. Determine a probabilidade de que ao lançar uma moeda 11 vezes se obtenha a sexta cara no décimo primeiro lançamento. Qual é a probabilidade de que ao lançar uma moeda n vezes a k ésima cara seja obtida no n ésimo lançamento? 9. Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de que dois países determinados A e B se encontrem no mesmo grupo. (Na realidade a escolha não é feita de forma completamente aleatória).

6 10. Sobre uma mesa estão quatro cartas e seus respectivos envelopes. Uma secretária muito míope, tendo esquecido os óculos, coloca, ao acaso, uma carta em cada envelope. Qual é a probabilidade de cada carta estar no envelope que lhe corresponde? 11. A uma reunião assistem 18 pessoas, se formarem-se consecutivamente três grupos de cinco pessoas, qual é a probabilidade de que algum grupo entre uma pessoa determinada? e de que entrem três pessoas determinadas num mesmo grupo? 12. Dois dígitos diferentes são seleccionados aleatoriamente dos dígitos de 1 a 9. Se a soma é ímpar, qual a probabilidade do número 2 ser um dos números seleccionados? 13. Dez pessoas vão se sentar em fila. Paulo e Maria estão entre elas. Qual a probabilidade de Paulo e Maria sentarem juntos? DESAFIO 1. De uma urna que contêm n bolas brancas e m bolas pretas, se extraem simultaneamente k bolas aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que exactamente r bolas sejam brancas. 2. De uma urna com n bolas numeradas se extrai uma amostra com reposição de tamanho p. Calcular a probabilidade de que não haja repetições na amostra. 3. Distribuem-se aleatoriamente r bolas, numeradas de 1 a r, em n caixas. Determine a probabilidade de que uma caixa específica contenha k bolas. 4. O autocarro do aeroporto faz quatro paragens para 15 passageiros. Supondo que cada passageiro tem igual probabilidade de sair em cada uma das paragens, calcule a probabilidade de todos os passageiros saírem na mesma paragem. FIM

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