ISEG - ESTATÍSTICA I - EN, Economia/Finanças - 1 de Junho de 2010 Tópicos de correcção. 1ª Parte. > 0. Justifique a igualdade: P(( A B)

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1 ISEG - ESTATÍSTICA I - EN, Economia/Finanças - de Junho de 00 Tópicos de correcção ª Parte. Sejam os acontecimentos A, B, C tais que P ( A B) > 0. Justifique a igualdade: ( A B) C) = B A). A). C ( A B)). ( B A). C ( A )) ( A B) C) = ( A B) C) = A B C) = A). P B. Considere uma variável aleatória e a respectiva função de distribuição F (x). Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com a quadrícula respectiva: Se a variável aleatória é contínua F (x) é uma função estritamente crescente, +. no intervalo ( ) Sejam a < b < c números reais com P ( > c) > 0. Qualquer que seja tem-se P ( > c > a) > c > b). Numa variável aleatória, qualquer que sejaε tal que ε > 0, não pode haver um número infinito de pontos com probabilidade superior a ε. 3. Considere as variáveis aleatórias e Y. Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com a quadrícula respectiva: Se = + 3 Var( Y ) = E E( ). { } Y então [ ] Se B(; θ ) e Y ~ B(; ), então + Y B(; θ + ). ~ θ ~ θ Se Y = 4 +, a amplitude do intervalo inter-quartis de Y é maior do que a amplitude do intervalo inter-quartis de. 4. Considere a variável aleatória e a sua distribuição F (x). Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com na quadrícula respectiva: 3 Se E ( ) = 0, o coeficiente de assimetria é nulo Seja contínua e simétrica em relação à origem e k uma constante real positiva. Então, P ( k < < k) =. F( k). ~ U (0,). Seja Y =. Então, Y é também uniforme com densidade f Y ( y) = / para y pertencente ao respectivo suporte.

2 5. Considere uma amostra casual de dimensão 3n, (,,..., 3n ) obtida de uma população. Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com na quadrícula respectiva: Se n=, então a variância de na amostra considerada é igual a um sexto da variância de. Se existir função geradora de momentos de, seja M (s), então M 0. ( ) + = + 3 Seja ~ N(0,), Z = com distribuição χ (3n). n 3n i e W = j i= + j= n. Então, ( W + Z) é uma estatística 6. Considere a variável aleatória com distribuição F (x). Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com na quadrícula respectiva: Se a variável é contínua a densidade também tem de ser contínua. Se é uma variável aleatória contínua ou mista, tem-se P < + > ) =. ( ) Se é discreta F (x) pode crescer num número de pontos infinito. 7. Considere as variáveis aleatórias e Y. Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com a quadrícula respectiva: V 3 Se e Y são independentes então e Y também o são. Se é independente de Y então E ( Y ) = E( ) E( Y ). Se f ( x, y) = f ( x) f ( y) então é independente de Y. Y = x F

3 ª Parte I Numa análise sobre o a eficácia de um determinado medicamento para cefaleias verificou-se, numa amostra de pacientes que o tomaram, que: 65% se sente aliviado com a toma de um comprimido, 0% necessita de dois comprimidos para se sentir aliviado e, nos restantes pacientes analisados, o medicamento não se revela eficaz. Dos pacientes que apenas necessitam tomar um comprimido, metade não tem complicações de saúde adicionais. Todavia, no caso dos pacientes que precisam de tomar dois comprimidos, 80% tem complicações de saúde adicionais. No caso daqueles para os quais o tratamento não se revela eficaz, 99% tem complicações de saúde adicionais. Nestas condições: a) Qual a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso de entre os analisados, ter complicações de saúde adicionais às cefaleias? (i) (ii) (iii) (iv) 0.99 Sejam os acontecimentos: A- o paciente necessita de tomar um comprimido para se sentir aliviado B- o paciente necessita de tomar dois compridos para se sentir aliviado C- o paciente não sente qualquer alívio com o medicamento D- o paciente tem complicações de saúde adicionais Pretende-se: P ( D) = A) D A) + B) D B) + C) D C) = b) Considerando que a amostra observada foi de 0 pacientes, calcule a probabilidade de pelo menos dois deles necessitarem da toma de dois comprimidos para se sentirem aliviados. Seja a v.a. definida como; - número de pacientes em 0 que necessitam de tomar dois comprimidos para se sentirem aliviados. ~ B(0, θ ) com θ = B) = 0. Pretende-se: P ( ) =

4 II Entre as 3:00 e as 5:00, o número de pessoas que chegam à bilheteira de um cinema segue um processo de Poisson, com um valor médio de afluência de 60 pessoas. Nestas condições: a) Determine a probabilidade de durante 0 minutos não chegar ninguém à bilheteira. Seja - número de pessoas que chegam à bilheteira durante 0 minutos ~ 0*60 /0) ou seja ~ 5) Pretende-se: P ( = 0) = b) Qual a probabilidade do tempo que decorre entre duas chegadas consecutivas ser inferior a minutos? (i) 0.63 (ii) (iii) 0.5 (iv) Seja a v.a. T- tempo que decorre entre duas chegadas consecutivas T ~ Ex(0.5) Pretende-se: P ( T < ) = III O gasto semanal de um indivíduo (em dezenas de euros) em alimentação é uma v.a. com função densidade dada por: x f ( x) = < x < 4 6 a) Qual a probabilidade de numa semana o indivíduo gastar mais do que a média? (i) (ii) 0.86 (iii) (iv) x 6 6 E ( ) = x( ) dx = Pretende-se: P ( > ) =

5 b) Determine o percentil 95 do gasto anual (5 semanas) e interprete o resultado obtido. Pretende-se k: P ( Y k) = onde Y- gasto anual do indivíduo Y = 6 E ( i ) = e V ( i) = i i= 6 6 De acordo com o TLC, Y N( 5 * ; 5 * ) ou seja, Y ~ N(50. ; 6.69) 9 8 k 50. Então, k : Y k) = 0.95 =.645 k = com IV O enchimento de pacotes de farinha numa fábrica é feito através de uma de duas máquinas - A ou B - de funcionamento independente. Considere que o peso real (em gramas) de um pacote proveniente da máquina A, tem distribuição normal com média 380 e variância 8. Para os pacotes provenientes da máquina B, o referido peso considera-se também ter distribuição normal, com média 395 e variância 44. a) Retirando um pacote de farinha de cada uma das máquinas, calcule a probabilidade do pacote proveniente da máquina A pesar menos do que o pacote proveniente da máquina B. (i) (ii) (iii) 0.5 (iv) 0.05 Pretende-se: < Y ) com ~ N(380;8) e Y ~ N(395;44) < Y ) = Y < 0) = Φ( 5 ) 5 = pois ( Y ) ~ N( 5; 5) b) Seleccionados aleatoriamente cinco pacotes provenientes da máquina A, qual a probabilidade de que o peso máximo observado seja inferior a 400 gramas. 5

6 < = Φ 8 Pretende-se: P [ Máx.( ) 400] = i 5 6