MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA. 1ª Chamada 10/01/2008.

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1 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1ª Chamada 10/01/2008 Parte Teórica DURAÇÃO : 50 min COTAÇÃO DA PARTE TEÓRICA: 8 Valores em 20 PERGUNTAS DE ESCOLHA MÚLTIPLA Todas as perguntas de escolha múltipla têm igual cotação (total: 5 valores) Cada resposta errada, para além da primeira, desconta 1/ da cotação da respectiva pergunta 1 Sendo A e B dois eventos quaisquer, definidos num espaço amostral S, tais que P( A) > 0 e P( B) > 0, podemos afirmar que: A P( A B) = P ( B A )P( B) P( B A) P( A) C P( A B) = P A P( B) B P( A B) = 1! P( A B) D P( A B) = 1! P( A B) 2 Seja X uma variável aleatória contínua com distribuição N(µ,! 2 ). Considere a amostra aleatória X 1, X 2,, X n de dimensão n, então a distribuição da média amostral ( X ) segue uma distribuição: A N µ n,! 2 n B N µ,! 2 n 2 C! n1 D t n!1 Considere duas variáveis aleatórias X e Y tais que Y = a X + b com a,b!!. Então: A V( Y) = a V( X) + b B V( Y) = a 2 V( X) C V( Y) = a V( X) 2 D V Y = a V X + b 1 AMG/CMM/IMF

2 4 Seja ( X,Y ) uma variável aleatória bidimensional contínua, com função densidade de probabilidade conjunta fxy ( x,y ) e funções densidade de probabilidade marginais respectivamente iguais a fx ( x ) e fy ( y ). Então: +! A E X Y = # x f x, y dx! XY +! +! B = # # E X Y x f x y dx dy!! X Y +! C = # E X Y x f x y dx! X Y +! +! D E X Y = # # x f x dx dy!! X 5 Sendo X uma variável aleatória que conta o número de vezes que ocorre o acontecimento A em n repetições independentes. A P(X = k) é dada por : A k j =0 p j (1! p) k! j C k ( j =0! n$ # j% & p j (1' p) n' j B! n$ # k% & pn' k (1 ' p) k D! n$ # k% & pk (1 ' p) n' k 6 Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f X (x) e função distribuição de probabilidade F X (x). Então a probabilidade de X estar entre a e b (com b > a) é dada por: A # +! B F X (a) f X (x) dx C! b a D F X (b) f X (x) dx 7 Admita que a duração X de um certo componente electrónico é dada pela seguinte! x distribuição exponencial: f ( x) = e x # 0, > 0. Nestas condições, o estimador de X máxima verosimilhança do parâmetro β, obtido a partir de uma amostra aleatória de tamanho n=, ( X 1, X 2, X ), é dada por: A =!# B i 1 e = x i! xi i 1 # = e = C! = x i= 1 D! = x i= 1 i i 8 Considere dois Intervalos de Confiança para o valor médio de uma determinada população (µ), um com 95% ( IC 95% ) e outro com 99% ( IC 99% ), obtidos a partir da mesma amostra aleatória. Então: A IC 95% coincide com IC 99% B IC 95% tem amplitude inferior a IC 99% C IC 95% tem amplitude superior a IC 99% D IC 95% e IC 99% têm igual amplitude 2 AMG/CMM/IMF

3 9 Considere um teste de hipóteses definido como habitualmente, com base nas hipóteses H. Podemos então afirmar que: nula 0 H e alternativa 1 A! = P( erro de tipo II) = P( não rejeitar H0 H0 é falsa) B! = P( erro de tipo II) = P( rejeitar H0 H0 é verdadeira) C! = P( errode tipo I) = P nãorejeitar H 0 H 0 é verdadeira D! = P( errode tipo I) = P rejeitar H 0 H 0 éfalsa 10 Considere o seguinte processo estocástico X(!,t) =! 2 sen(2t) e! ~ Uniforme(1,1). Então E(X(t)),! t 0 é igual a: A sen(2!t) B 1 sen(2!t) C D 0 2 sen(2!t) // PERGUNTAS DE DESENVOLVIMENTO Responda no verso da folha de respostas de escolha múltipla [1.5 valores] 1. Enuncie o Teorema do Limite Central e explique a sua importância. [1.5 valores] 2. Mostre que o coeficiente de correlação de duas variáveis aleatórias X e Y relacionadas por Y=a X+b é dado por! = ±1 AMG/CMM/IMF

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5 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1ª Chamada 10/01/2008 Nome: Código de aluno: Há uma e uma só resposta certa. Assinalar uma única resposta com um X no quadro de respostas. Caso pretenda alterar a sua resposta, risque a cruz e indique a letra da resposta que pretende assinalar na coluna da direita. A B C D Resposta A B C D (VSFV) 2 AMG/CMM/IMF

6 1. Enuncie o Teorema do Limite Central e explique a sua importância. 2. Mostre que o coeficiente de correlação de duas variáveis aleatórias X e Y relacionadas por Y=a X+b é dado por! = ±1 AMG/CMM/IMF