Modelagem e Análise Aula 11

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1 Modelagem e Análise Aula 11 Aula passada Aplicação de Little Utilização Processo de saída Aula de hoje Modelo do servidor Web Split/Merge de Poisson Rede de filas

2 Múltiplas Filas Porque resultado anterior é importante? Considere o sistema com duas filas: X 1 X 2 Qual é o tempo médio no sistema (E[W)? E[W = E[W 1 + E[W 2 E [W 1 = E [ X 1 1 E [X 1 E [W 2 = E [ X 2 1 E [X 2 Já sabemos calcular!

3 Modelagem do Servidor Web Pedidos de objeto chegam ao servidor Sistema com dois discos Pedidos passam pela CPU e depois um dos discos Disco 1 Servidor Web chegada de pedidos CPU Disco 2 pedido finalizado Qual o tempo médio de espera de um pedido? sabemos em uma fila, e no sistema?

4 Acesso aos Discos Qual é a taxa de chegada? Qual é o processo de chegada C D1 (t)? S(t) - Poisson Bernoulli p 1-p Disco 1 Disco 2 Disco 1 contém arquivos longos Disco 2 contém arquivos curtos p : prob de um pedido ser arquivo longo

5 Chegada aos Discos S(t) : número de saídas da CPU no intervalo t Poisson com taxa C D1 (t) : número de chegadas ao disco 1 no intervalo t Qual é a distribuição? P [C D 1 t =k =? Condicionar No número de chegadas ao ponto de divisão S(t)

6 Condicionando Condicionando em S(t), temos P [C D 1 t =k S t =n =? Binomial com parâmetros n, k e p fazer as contas, caso a caso P [C D 1 t =k S t =n = n k p k 1 p n k quando k n P [C D 1 t =k S t =n =0 quando k n

7 Descondicionando Descondicionando (para todo valor de n) P [C D 1 t =k = n =0 = = n = k P [C D 1 t =k S t =n P [S t =n n p k n k t n 1 p k n! p t k k! e p t e t = Poisson com parâmetro p

8 O que Sabemos Agora? [Provamos Processo de saída da CPU é Poisson [Assumimos Disco escolhido de acordo com v.a. de Bernoulli [Provamos Processo de chegada aos discos é Poisson [Assumimos Serviço dos discos é exponencial chegada de pedidos CPU p Disco 1 Disco 2 pedido finalizado 1-p Agora sabemos resolver o modelo!

9 Resolvendo o Modelo chegada de pedidos CPU p 1-p Disco 1 Disco 2 pedido finalizado Tempo médio de espera do sistema E[W S Como obter o tempo médio? IDÉIA: Calcular número médio no sistema E[N S e aplicar Little Como obter número médio no sistema?

10 Calculando E[N S chegada de pedidos CPU p 1-p Disco 1 Disco 2 pedido finalizado Número no sistema é a soma do número em cada fila! variáveis N S = N CPU + N D1 + N aleatórias! D2 E[N S = E[N CPU + N D1 + N D2 E[N S = E[N CPU + E[N D1 + E[N D2 Sabemos calcular!

11 chegada de pedidos Calculando E[N S CPU Disco 1 Disco 2 pedido finalizado X : tempo de serviço na CPU X L : tempo de serviço do disco 1 (arquivos longos) X C : tempo de serviço do disco 2 (arquivos curtos) p 1-p Aplicando nossa equação, temos E[N CPU = E[X 1 E[X E[N D1 = p E[X L 1 p E[X L

12 Juntado as Equações Número médio no sistema E[N S = E[N CPU + E[N D1 + E[N D2 = E [ X 1 E [ X p E [ X L 1 p E [ X 1 p E [ X C 1 1 p E [ X L C Número médio no sistema em função da taxa de chegada, tempos de serviço, fração de acesso!

13 Tempo Médio de Espera chegada de pedidos CPU p 1-p Disco 1 Disco 2 pedido finalizado E[W S : tempo médio de espera no sistema E[W S =? Aplicar Little! Sistema é a caixa preta! taxa de chegada é E[W S = E[N S /

14 Suposições e Validade Ferramental (E[W, E[N) válido quando Taxa de chegada é Poisson Tempo de serviço exponencial Capacidade de armazenamento infinito Sistema estável (utilização < 1) Divisão de fluxos feita aleatoriamente (Bernoulli) Resultado vale para outros sistemas com filas?

15 Generalizando Consideremos o sistema abaixo Sabemos calcular número médio no sistema? Sim! (dentro das nossas suposições) Decompor o sistema...

16 Fusão de Fluxos Poisson Considere a fusão de dois fluxos Poisson X 1 (t) e X 2 (t) tem distribuição de Poisson com taxas a 1 e a 2, respectivamente Y(t) = X 1 (t) + X 2 (t) (fusão de dois fluxos) X 1 (t) Y(t) X 2 (t) Qual é a taxa de Y(t)? Qual é a distribuição de Y(t)?

17 Fusão de Fluxos Poisson Y(t) possui taxa a 1 + a 2 Y(t) possui distribuição de Poisson P [Y t =k =? = e a 1a 2 t a 1 a 2 t k k! Como provar este resultado? Condicionando... P [Y t =k =P [ X 1 t X 2 t =k condicionar em que?

18 Generalizando mais Consideremos o sistema abaixo Taxa de chegada no sistema Qual é a taxa aqui? Sabemos calcular tempo médio de espera? Sim! (dentro das nossas suposições) Decompor o sistema...

19 Rede de Filas Desempenho de um sistema formado por rede de filas Tempo médio de espera, número médio nas filas, utilização Ferramenta de modelagem poderosa Muitos sistemas podem ser representados por rede de filas (dentro e fora da computação) Ex. Central de atendimento via telefone Limitações?