Processos Estocásticos

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1 Processos Estocásticos Terceira Lista de Exercícios 22 de julho de 20 Seja X uma VA contínua com função densidade de probabilidade f dada por Calcule P ( < X < 2. f(x = 2 e x x R. A fdp dada tem o seguinte gráfico: 0.5 f(x 2 2 x A soma das áreas em cinza corresponde à probabilidade procurada. Como o gráfico da função f é simétrico, podemos calcular somente o valor da área no intervalo positivo e a seguir multiplicar esse valor por 2. Assim, temos: P ( < X < 2 = 2 2 = 2 2 f(xdx 2 = [ e x ] 2 = e e 2 = e x dx 2 Seja X uma VA contínua indicando a vida em horas de um certo componente eletrônico com função densidade de probabilidade dada por { 0, x < 00 f(x = 00/x 2, x 00 Determine a probabilidade de um componente sobreviver até 50 horas de operação.

2 P (X 50 = 50 = 00 f(xdx [ = 00 x ( = 00 x 2 dx ] = 2 2 = 0.90 Suponha que o período de vida útil de dois aparelhos elétricos D e D2 tenham distribuições N (42, 6 e N 2 (45, 9, respectivamente. a. Se o período de uso planejado é de 45 horas, qual dos dois aparelhos deve preferencialmente ser utilizado? b. E se o período for de 49 horas? X i : tempo de vida do aparelho i, (i =, 2. Parâmetros das distribuições normais: µ = 42 σ = 6 µ 2 = 45 σ 2 =. a. Calcular P (X > 45 e P (X 2 > 45: Vamos usar a distribuição normal padrão. Para isso é necessário calcular duas novas variáveis normalizadas, dadas por Z i = X i µ i σ i i =, 2. Então as probabilidades de X i podem ser reescritas em função de Z i. Assim: ( X 42 P (X > 45 = P > 6 = P (Z > / = 0.08 (veja na tabela da Normal e ( X2 45 P (X 2 > 45 = P > = P (Z 2 > 0 = Como P (X 2 > 45 > P (X > 45, então o aparelho D2 é preferível. b. Mesmo cálculo, com 49 horas de limite: P (X > 49 = P (Z > 7 /6 = P (Z >.7 = 0.20 P (X 2 > 49 = P (Z 2 > 4 / = P (Z 2 >. = Assim, nesse caso o aparelho D é preferível. 4 O diâmetro de um certo fio de aço é uma VA com distribuição normal de média mm e desvio padrão 2

3 0.2 mm. Se o diâmetro de um fio diferir da média por mais de 0. mm, ele é vendido por R$ 5,00; caso contrário, ele é vendido por R$ 0,00. Qual o preço médio de venda dos fios? X: VA normal indicando o diâmetro do fio em mm. VA normal padrão: Z = X 0.2. Diferença da média por ±0.mm X < 0.7 e X >.. ( X P (X >. = P > = P (Z >.5 = ( X P (X < 0.7 = P > = P (Z <.5 = P (Z >.5 (simetria da Normal = Logo,.6% dos fios diferem da média por ±0.mm: P (X < P (X >. = = 0.6. Sendo assim, o preço médio de venda dos fios é R$ 9, (= 0.6 5, , Uma fábrica de monitores determinou que a vida média dos seus LCDs é de 800 horas de uso contínuo, seguindo uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir um monitor gratuitamente, se ela oferece uma garantia de 00 horas de uso? T : VA exponencial indicando as horas de vida de um monitor. Sabe-se do enunciado que E[T ] = 800. Logo, como E[T ] = /λ, temos que λ = /800. P (T < 00 = 00 0 λe λx dx = e 00 /800 = = O tempo médio de vida de um transistor é de 500 horas, seguindo uma distribuição exponencial. a. Calcule a probabilidade do transistor durar mais que 500 horas. b. Calcule a probabilidade do transistor durar entre 00 e 000 horas. c. Sabendo que o transistor já durou 500 horas, calcule a probabilidade dele durar mais 500 horas. T : VA exponencial com λ = /500. a. b. P (T > 500 = e λt = e = e = P (00 < T < 000 = P (T > 00 P (T > 000 = e 0.6 e 2 = 0.45

4 c. Usando os resultados dos itens anteriores e o teorema de Bayes, temos P (T > 000 T > 500 = = P (T > 000 P (T > 500 T > 000 P (T > 500 P (T > 000 P (T > 500 = e 2 e = e = Observação: Para qualquer VA exponencial T e para todo s, t > 0, a seguinte propriedade é válida: P (T > s + t T > s = P (T > t. Essa propriedade é conhecida como falta de memória (memorylessness, em inglês. Esse termo é usado pois não importa o que aconteceu no passado (T s somente o momento em que se inicia a observação (podendo ser considerado como instante zero. Neste contexto, a distribuição exponencial é inadequada para representar o tempo de vida de itens que sofrem efeito de fadiga. 7 Seja X um ponto escolhido aleatoriamente no intervalo [0, ]. a. Qual é a fdp para este experimento? b. Qual é a função de distribuição acumulada? c. Calcule o valor esperado e a variância de X. Como o ponto é escolhido aleatoriamente, qualquer valor no intervalo possui a mesma probabilidade de ser selecionado. Logo, temos uma distribuição uniforme com parâmetros α = 0 e β =. Para todos os três itens do enunciado basta substituir os valores dos parâmetros nas fórmulas da distribuição uniforme: a. b. f(x = {, para x [0, ] 0, para x [0, ] 0, para x < 0 F (x = x, para 0 x <, para x c. E[X] = /2 V (X = /2 8 Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Calcule: a. P (Z >.65; b. P (Z <.65; c. P ( < Z < ; d. P ( 2 < Z < 2; e. P ( < Z < ; f. P (Z > 6; g. O valor de z, tal que P ( z < Z < z = 0.90; 4

5 h. O valor de z, tal que P ( z < Z < z = Distribuição normal padrão possui µ = 0 e σ =. Para resolver esse exercício basta consultar uma tabela da distribuição. Por exemplo, no livro do Barbetta (Tabela, pág. 77. a. P (Z >.65 = b. P (Z <.65 = P (Z >.65 = = c. Note que o intervalo < Z < corresponde exatamente a 2σ. Áreas com intervalos de amplitude baseadas no desvio padrão são sempre constantes na distribuição normal. Assim P ( < Z < = 0.68, como visto em aula. d. Idem item anterior com intervalo 4σ. Logo, P ( 2 < Z < 2 = e. Idem item anterior com intervalo 6σ. Logo, P ( < Z < = f. O valor de z está fora do limite da tabela, mas como a curva da normal é decrescente sabe-se que Logo, P (Z > 6 0. g. Como a curva é simétrica, temos que E como P ( z < Z < z = 0.90, então P (Z > 6 < P (Z > 5 = P ( z < Z < z = 2 P (Z > z. 2 P (Z > z = 0.90 P (Z > z = Fazendo uma busca reversa na tabela da distribuição normal pelo valor 0.05 vemos que P (Z >.64 = e P (Z >.65 = Assim, z.645. h. Mesmo argumento do item anterior z Um setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento de falhas de um equipamento e constatou que há, em média, 0.75 falhas por ano e que o intervalo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano? Temos uma distribuição exponencial com λ = 0.75 e queremos P (T > = e λt = e 0.75 =