Processos Estocásticos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Processos Estocásticos"

Transcrição

1 Processos Estocásticos Terceira Lista de Exercícios 22 de julho de 20 Seja X uma VA contínua com função densidade de probabilidade f dada por Calcule P ( < X < 2. f(x = 2 e x x R. A fdp dada tem o seguinte gráfico: 0.5 f(x 2 2 x A soma das áreas em cinza corresponde à probabilidade procurada. Como o gráfico da função f é simétrico, podemos calcular somente o valor da área no intervalo positivo e a seguir multiplicar esse valor por 2. Assim, temos: P ( < X < 2 = 2 2 = 2 2 f(xdx 2 = [ e x ] 2 = e e 2 = e x dx 2 Seja X uma VA contínua indicando a vida em horas de um certo componente eletrônico com função densidade de probabilidade dada por { 0, x < 00 f(x = 00/x 2, x 00 Determine a probabilidade de um componente sobreviver até 50 horas de operação.

2 P (X 50 = 50 = 00 f(xdx [ = 00 x ( = 00 x 2 dx ] = 2 2 = 0.90 Suponha que o período de vida útil de dois aparelhos elétricos D e D2 tenham distribuições N (42, 6 e N 2 (45, 9, respectivamente. a. Se o período de uso planejado é de 45 horas, qual dos dois aparelhos deve preferencialmente ser utilizado? b. E se o período for de 49 horas? X i : tempo de vida do aparelho i, (i =, 2. Parâmetros das distribuições normais: µ = 42 σ = 6 µ 2 = 45 σ 2 =. a. Calcular P (X > 45 e P (X 2 > 45: Vamos usar a distribuição normal padrão. Para isso é necessário calcular duas novas variáveis normalizadas, dadas por Z i = X i µ i σ i i =, 2. Então as probabilidades de X i podem ser reescritas em função de Z i. Assim: ( X 42 P (X > 45 = P > 6 = P (Z > / = 0.08 (veja na tabela da Normal e ( X2 45 P (X 2 > 45 = P > = P (Z 2 > 0 = Como P (X 2 > 45 > P (X > 45, então o aparelho D2 é preferível. b. Mesmo cálculo, com 49 horas de limite: P (X > 49 = P (Z > 7 /6 = P (Z >.7 = 0.20 P (X 2 > 49 = P (Z 2 > 4 / = P (Z 2 >. = Assim, nesse caso o aparelho D é preferível. 4 O diâmetro de um certo fio de aço é uma VA com distribuição normal de média mm e desvio padrão 2

3 0.2 mm. Se o diâmetro de um fio diferir da média por mais de 0. mm, ele é vendido por R$ 5,00; caso contrário, ele é vendido por R$ 0,00. Qual o preço médio de venda dos fios? X: VA normal indicando o diâmetro do fio em mm. VA normal padrão: Z = X 0.2. Diferença da média por ±0.mm X < 0.7 e X >.. ( X P (X >. = P > = P (Z >.5 = ( X P (X < 0.7 = P > = P (Z <.5 = P (Z >.5 (simetria da Normal = Logo,.6% dos fios diferem da média por ±0.mm: P (X < P (X >. = = 0.6. Sendo assim, o preço médio de venda dos fios é R$ 9, (= 0.6 5, , Uma fábrica de monitores determinou que a vida média dos seus LCDs é de 800 horas de uso contínuo, seguindo uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir um monitor gratuitamente, se ela oferece uma garantia de 00 horas de uso? T : VA exponencial indicando as horas de vida de um monitor. Sabe-se do enunciado que E[T ] = 800. Logo, como E[T ] = /λ, temos que λ = /800. P (T < 00 = 00 0 λe λx dx = e 00 /800 = = O tempo médio de vida de um transistor é de 500 horas, seguindo uma distribuição exponencial. a. Calcule a probabilidade do transistor durar mais que 500 horas. b. Calcule a probabilidade do transistor durar entre 00 e 000 horas. c. Sabendo que o transistor já durou 500 horas, calcule a probabilidade dele durar mais 500 horas. T : VA exponencial com λ = /500. a. b. P (T > 500 = e λt = e = e = P (00 < T < 000 = P (T > 00 P (T > 000 = e 0.6 e 2 = 0.45

4 c. Usando os resultados dos itens anteriores e o teorema de Bayes, temos P (T > 000 T > 500 = = P (T > 000 P (T > 500 T > 000 P (T > 500 P (T > 000 P (T > 500 = e 2 e = e = Observação: Para qualquer VA exponencial T e para todo s, t > 0, a seguinte propriedade é válida: P (T > s + t T > s = P (T > t. Essa propriedade é conhecida como falta de memória (memorylessness, em inglês. Esse termo é usado pois não importa o que aconteceu no passado (T s somente o momento em que se inicia a observação (podendo ser considerado como instante zero. Neste contexto, a distribuição exponencial é inadequada para representar o tempo de vida de itens que sofrem efeito de fadiga. 7 Seja X um ponto escolhido aleatoriamente no intervalo [0, ]. a. Qual é a fdp para este experimento? b. Qual é a função de distribuição acumulada? c. Calcule o valor esperado e a variância de X. Como o ponto é escolhido aleatoriamente, qualquer valor no intervalo possui a mesma probabilidade de ser selecionado. Logo, temos uma distribuição uniforme com parâmetros α = 0 e β =. Para todos os três itens do enunciado basta substituir os valores dos parâmetros nas fórmulas da distribuição uniforme: a. b. f(x = {, para x [0, ] 0, para x [0, ] 0, para x < 0 F (x = x, para 0 x <, para x c. E[X] = /2 V (X = /2 8 Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Calcule: a. P (Z >.65; b. P (Z <.65; c. P ( < Z < ; d. P ( 2 < Z < 2; e. P ( < Z < ; f. P (Z > 6; g. O valor de z, tal que P ( z < Z < z = 0.90; 4

5 h. O valor de z, tal que P ( z < Z < z = Distribuição normal padrão possui µ = 0 e σ =. Para resolver esse exercício basta consultar uma tabela da distribuição. Por exemplo, no livro do Barbetta (Tabela, pág. 77. a. P (Z >.65 = b. P (Z <.65 = P (Z >.65 = = c. Note que o intervalo < Z < corresponde exatamente a 2σ. Áreas com intervalos de amplitude baseadas no desvio padrão são sempre constantes na distribuição normal. Assim P ( < Z < = 0.68, como visto em aula. d. Idem item anterior com intervalo 4σ. Logo, P ( 2 < Z < 2 = e. Idem item anterior com intervalo 6σ. Logo, P ( < Z < = f. O valor de z está fora do limite da tabela, mas como a curva da normal é decrescente sabe-se que Logo, P (Z > 6 0. g. Como a curva é simétrica, temos que E como P ( z < Z < z = 0.90, então P (Z > 6 < P (Z > 5 = P ( z < Z < z = 2 P (Z > z. 2 P (Z > z = 0.90 P (Z > z = Fazendo uma busca reversa na tabela da distribuição normal pelo valor 0.05 vemos que P (Z >.64 = e P (Z >.65 = Assim, z.645. h. Mesmo argumento do item anterior z Um setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento de falhas de um equipamento e constatou que há, em média, 0.75 falhas por ano e que o intervalo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano? Temos uma distribuição exponencial com λ = 0.75 e queremos P (T > = e λt = e 0.75 =

Distribuição Gaussiana. Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas

Distribuição Gaussiana. Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas Distribuição Gaussiana Modelo Probabilístico para Variáveis Contínuas Distribuição de Frequências do Peso, em gramas, de 10000 recém-nascidos Frequencia 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 1000 2000 3000

Leia mais

BC0406 Introdução à Probabilidade e à Estatística Lista de Exercícios Suplementares 2 3 quadrimestre 2011

BC0406 Introdução à Probabilidade e à Estatística Lista de Exercícios Suplementares 2 3 quadrimestre 2011 BC0406 Introdução à Probabilidade e à Estatística Lista de Exercícios Suplementares outubro 011 BC0406 Introdução à Probabilidade e à Estatística Lista de Exercícios Suplementares 3 quadrimestre 011 Além

Leia mais

Probabilidades: Função massa de probabilidades ou função distribuição de probabilidade ou modelo de probabilidade:

Probabilidades: Função massa de probabilidades ou função distribuição de probabilidade ou modelo de probabilidade: Exame MACS- Probabilidades Probabilidades: Função massa de probabilidades ou função distribuição de probabilidade ou modelo de probabilidade: Nos modelos de probabilidade: há uma primeira fase em que colocamos

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte IV 2012/02 Distribuição Exponencial Vamos relembrar a definição de uma variável com Distribuição Poisson. Número de falhas ao longo

Leia mais

CAPÍTULO 5 - Exercícios

CAPÍTULO 5 - Exercícios CAPÍTULO 5 - Exercícios Distibuições de variáveis aleatórias discretas: Binomial 1. Se 20% dos parafusos produzidos por uma máquina são defeituosos, determinar a probabilidade de, entre 4 parafusos escolhidos

Leia mais

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-2010 - APO

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-2010 - APO Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-010 - APO 11. O Dia do Trabalho, dia 1º de maio, é o 11º dia do ano quando o ano não é bissexto. No ano de 1958, ano em que o Brasil ganhou,

Leia mais

Variáveis aleatórias contínuas e distribuiçao Normal. Henrique Dantas Neder

Variáveis aleatórias contínuas e distribuiçao Normal. Henrique Dantas Neder Variáveis aleatórias contínuas e distribuiçao Normal Henrique Dantas Neder Definições gerais Até o momento discutimos o caso das variáveis aleatórias discretas. Agora vamos tratar das variáveis aleatórias

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/1/011 pelo CEPERJ 59. O cartão de crédito que João utiliza cobra 10% de juros ao mês,

Leia mais

Tipos de Modelos. Exemplos. Modelo determinístico. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas Efeito. Determinístico. Sistema Real.

Tipos de Modelos. Exemplos. Modelo determinístico. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas Efeito. Determinístico. Sistema Real. Tipos de Modelos Sistema Real Determinístico Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Probabilístico Modelo determinístico Exemplos Gravitação F GM M /r Causas Efeito Aceleração

Leia mais

24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18

24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18 /Abr/013 Aula 18 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis

Leia mais

SÉRIE: Probabilidade Parte 2: Variáveis Contínuas 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS... 2

SÉRIE: Probabilidade Parte 2: Variáveis Contínuas 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS... 2 SUMÁRIO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS... 2 1.1. CÁLCULO DE PROBABILIDADE COM UMA VAC... 2 1.2. A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA... 3 1.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA (CARACTERIZAÇÃO)... 4 1.3.1.

Leia mais

UNIVERSIDADE DOS AÇORES Cursos de Sociologia e de Serviço Social Estatística I 1º Semestre 2006/2007

UNIVERSIDADE DOS AÇORES Cursos de Sociologia e de Serviço Social Estatística I 1º Semestre 2006/2007 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Cursos de Sociologia e de Serviço Social Estatística I 1º Semestre 2006/2007 Ficha de Exercícios nº 5 Distribuições Importantes 1. A probabilidade de os doentes de uma determinada

Leia mais

Capítulo 3 Modelos Estatísticos

Capítulo 3 Modelos Estatísticos Capítulo 3 Modelos Estatísticos Slide 1 Resenha Variáveis Aleatórias Distribuição Binomial Distribuição de Poisson Distribuição Normal Distribuição t de Student Distribuição Qui-quadrado Resenha Slide

Leia mais

Estatística e Probabilidade. Aula 8 Cap 05. Distribuição normal de probabilidade

Estatística e Probabilidade. Aula 8 Cap 05. Distribuição normal de probabilidade Estatística e Probabilidade Aula 8 Cap 05 Distribuição normal de probabilidade Estatística e Probabilidade Na aula anterior vimos... Distribuições Binomiais Distribuição Geométrica Distribuição de Poisson

Leia mais

Exemplos de Testes de Hipóteses para Médias Populacionais

Exemplos de Testes de Hipóteses para Médias Populacionais Exemplos de Testes de Hipóteses para Médias Populacionais Vamos considerar exemplos de testes de hipóteses para a média de uma população para os dois casos mais importantes na prática: O tamanho da amostra

Leia mais

Métodos Estatísticos II 1 o. Semestre de 2010 ExercíciosProgramados1e2 VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF)

Métodos Estatísticos II 1 o. Semestre de 2010 ExercíciosProgramados1e2 VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF) Métodos Estatísticos II 1 o. Semestre de 010 ExercíciosProgramados1e VersãoparaoTutor Profa. Ana Maria Farias (UFF) Esses exercícios abrangem a matéria das primeiras semanas de aula (Aula 1) Os alunos

Leia mais

Intervalo de Confiança e cálculo de tamanho de amostra. Henrique Dantas Neder

Intervalo de Confiança e cálculo de tamanho de amostra. Henrique Dantas Neder Intervalo de Confiança e cálculo de tamanho de amostra Henrique Dantas Neder Intervalo de confiança para a média da população µ X Até o momento discutimos as propriedades da distrbuição normal e vimos

Leia mais

CAP4: Distribuições Contínuas Parte 1 Distribuição Normal

CAP4: Distribuições Contínuas Parte 1 Distribuição Normal CAP4: Distribuições Contínuas Parte 1 Distribuição Normal Quando a variável sendo medida é expressa em uma escala contínua, sua distribuição de probabilidade é chamada distribuição contínua. Exemplo 4.1

Leia mais

M501 Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos

M501 Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos Notas de aula M501 Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos Dayan Adionel Guimarães Novembro de 007 Agradecimento Aos professores: Dr. José Marcos Câmara Brito Dr. Carlos Alberto Ynoguti M.Sc.

Leia mais

Estatística II Antonio Roque Aula 9. Testes de Hipóteses

Estatística II Antonio Roque Aula 9. Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses Os problemas de inferência estatística tratados nas aulas anteriores podem ser enfocados de um ponto de vista um pouco diferente: ao invés de se construir intervalos de confiança para

Leia mais

CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral

CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral O que é uma amostra? É um subconjunto de um universo (população). Ex: Amostra de sangue; amostra de pessoas, amostra de objetos, etc O que se espera de uma amostra?

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS E ECONOMIA

INTEGRAIS DEFINIDAS E ECONOMIA Capítulo 13 INTEGRAIS DEFINIDAS E ECONOMIA 13.1 A Integral Definida como Variação Total Neste capítulo estudaremos o problema inverso do estudado na Análise Marginal. Suponha que desejamos determinar o

Leia mais

Exercícios resolvidos sobre Função de probabilidade e densidade de probabilidade

Exercícios resolvidos sobre Função de probabilidade e densidade de probabilidade Exercícios resolvidos sobre Função de probabilidade e densidade de probabilidade Você aprendeu o que é função probabilidade e função densidade de probabilidade e viu como esses conceitos são importantes

Leia mais

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Definições Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória representa um valor numérico possível de um evento incerto. Variáveis aleatórias

Leia mais

Exercícios - Distribuição Normal (Gauss)

Exercícios - Distribuição Normal (Gauss) Exercícios - Distribuição Normal (Gauss) Monitora: Juliana e Prof. Jomar 01. Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer

Leia mais

Variabilidade do processo

Variabilidade do processo Variabilidade do processo Em todo processo é natural encontrar certa quantidade de variabilidade. Processo sob controle estatístico: variabilidade natural por causas aleatórias Processo fora de controle:

Leia mais

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida

Leia mais

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 08300 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/008 1. (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado

Leia mais

Resoluções comentadas das questões de Estatística da prova para. ANALISTA DE GERENCIAMENTO DE PROJETOS E METAS da PREFEITURA/RJ

Resoluções comentadas das questões de Estatística da prova para. ANALISTA DE GERENCIAMENTO DE PROJETOS E METAS da PREFEITURA/RJ Resoluções comentadas das questões de Estatística da prova para ANALISTA DE GERENCIAMENTO DE PROJETOS E METAS da PREFEITURA/RJ Realizada pela Fundação João Goulart em 06/10/2013 41. A idade média de todos

Leia mais

UniposRio - FÍSICA. Leia atentamente as oito (8) questões e responda nas folhas de respostas fornecidas.

UniposRio - FÍSICA. Leia atentamente as oito (8) questões e responda nas folhas de respostas fornecidas. UniposRio - FÍSICA Exame Unificado de Acesso às Pós-Graduações em Física do Rio de Janeiro 9 de novembro de 00 Nome (legível): Assinatura: Leia atentamente as oito (8) questões e responda nas folhas de

Leia mais

Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 3

Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 3 em Econometria Departamento de Economia Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Aula 3 Condições para de Segunda Ordem Considere por enquanto um VAR de primeira ordem, VAR(1): z t = C 0 +C 1

Leia mais

Modelos de Filas de Espera

Modelos de Filas de Espera Departamento de Informática Modelos de Filas de Espera Métodos Quantitativos LEI 2006/2007 Susana Nascimento (snt@di.fct.unl.pt) Advertência Autor João Moura Pires (jmp@di.fct.unl.pt) Este material pode

Leia mais

Função do 2º Grau. Alex Oliveira

Função do 2º Grau. Alex Oliveira Função do 2º Grau Alex Oliveira Apresentação A função do 2º grau, também chamada de função quadrática é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a 0. Exemplos:

Leia mais

Datas Importantes 2013/01

Datas Importantes 2013/01 INSTRUMENTAÇÃO CARACTERÍSTICAS DE UM SISTEMA DE MEDIÇÃO PROBABILIDADE PROPAGAÇÃO DE INCERTEZA MÍNIMOS QUADRADOS Instrumentação - Profs. Isaac Silva - Filipi Vianna - Felipe Dalla Vecchia 2013 Datas Importantes

Leia mais

Distibuições de variáveis aleatórias discretas: = p = 1 n, para todo i = 1, 2,..., n. Prof. Luiz Alexandre Peternelli

Distibuições de variáveis aleatórias discretas: = p = 1 n, para todo i = 1, 2,..., n. Prof. Luiz Alexandre Peternelli CAPÍTULO 5 - Algumas distribuições de variáveis aleatórias discretas e contínuas (parte considerada incompleta visto o volume de informações importantes não incluídas, além de eercícios. Tais informações

Leia mais

Aula 5 Distribuição amostral da média

Aula 5 Distribuição amostral da média Aula 5 Distribuição amostral da média Nesta aula você irá aprofundar seus conhecimentos sobre a distribuição amostral da média amostral. Na aula anterior analisamos, por meio de alguns exemplos, o comportamento

Leia mais

Inferência Estatística Aula 3

Inferência Estatística Aula 3 Inferência Estatís Aula 3 Agosto de 008 Mônica Barros Conteúdo Revisão de Probabilidade Algumas das principais distribuições discretas Distribuição de Poisson Distribuição Poisson como aproximação da Binomial

Leia mais

16.36: Engenharia de Sistemas de Comunicação. Aulas 17/18: Modelos de Retardo para Redes de Dados

16.36: Engenharia de Sistemas de Comunicação. Aulas 17/18: Modelos de Retardo para Redes de Dados 16.36: Engenharia de Sistemas de Comunicação Aulas 17/18: Modelos de Retardo para Redes de Dados Slide 1 Redes de Pacotes Comutados Mensagens dividas em Pacotes que são roteados ao seu destino PC PC PC

Leia mais

36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase 36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 1 Segunda Fase Parte A CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Na parte A serão atribuídos 5 pontos para cada resposta correta e a pontuação

Leia mais

Teoria de Filas Aula 15

Teoria de Filas Aula 15 Teoria de Filas Aula 15 Aula de hoje Correção Prova Aula Passada Prova Little, medidas de interesse em filas Medidas de Desempenho em Filas K Utilização: fração de tempo que o servidor está ocupado Tempo

Leia mais

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase 36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e

Leia mais

Revisão de Estatística Aplicada a Finanças

Revisão de Estatística Aplicada a Finanças Revisão de Estatística Aplicada a Finanças INTRODUÇÃO A revisão que apresentaremos destina-se a examinar conceitos importantes de Estatística, que tornem possível a compreensão do conteúdo do livro de

Leia mais

Aula 1: Introdução à Probabilidade

Aula 1: Introdução à Probabilidade Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo

Leia mais

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. http://lesoliveira.net Conceitos Básicos Estamos

Leia mais

Operações sobre uma variável aleatória

Operações sobre uma variável aleatória Capítulo 3 Operações sobre uma variável aleatória - Esperança matemática Neste capítulo, introduz-se algumas operações importantes que podem ser realizadas sobre uma variável aleatória. 3.1 Esperança Valor

Leia mais

Aula 29. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 29. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil A integral de Riemann - Mais aplicações Aula 29 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 20 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica

Leia mais

Probabilidade e Estatística 2009/1 Prof. Fernando Deeke Sasse CCT-UDESC Exercícios 2

Probabilidade e Estatística 2009/1 Prof. Fernando Deeke Sasse CCT-UDESC Exercícios 2 Distribuição exponencial Solução. (a) f := (lambda, x) -> lambda*exp(-lambda*x); f := l, x /l e Kl x Probabilidade e Estatística 009/ Prof. Fernando Deeke Sasse CCT-UDESC Exercícios A distância entre os

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +

Leia mais

29/Abril/2015 Aula 17

29/Abril/2015 Aula 17 4/Abril/015 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda

Leia mais

Grupo A - 1 o semestre de 2014 Gabarito Lista de exercícios 5 - Variáveis Aleatórias e Distribuição Binomial C A S A

Grupo A - 1 o semestre de 2014 Gabarito Lista de exercícios 5 - Variáveis Aleatórias e Distribuição Binomial C A S A Exercício 1. (2,0 pontos). Dados sobre acidentes automobilísticos levantados por uma companhia de seguros informaram o seguinte: a probabilidade de que um motorista segurado sofra um acidente automobilístico

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Valores e Vectores Próprios Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 24/25 Conteúdo Definição de Valor e Vector Próprios 2 2 Um Eemplo de Aplicação 8 3

Leia mais

2 T Probabilidade: Definições básicas. 3 T Probabilidade: Definições básicas

2 T Probabilidade: Definições básicas. 3 T Probabilidade: Definições básicas Programa do Curso Métodos Estatísticos sticos de Apoio à Decisão Aula 4 Mônica Barros, D.Sc. Julho de 2008 Disciplina Métodos Estatísticos de Apoio à Decisão - BI MASTER 2008 Responsável Mônica Barros

Leia mais

INE 7002 LISTA DE EXERCÍCIOS MODELOS PROBABILÍSTICOS

INE 7002 LISTA DE EXERCÍCIOS MODELOS PROBABILÍSTICOS Lista de Exercícios - Modelos Probabilísticos 1 INE 7002 LISTA DE EXERCÍCIOS MODELOS PROBABILÍSTICOS 35) Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 0,05 de um dado ser transmitido

Leia mais

Sexta Lista - Fontes de Campo Magnético

Sexta Lista - Fontes de Campo Magnético Sexta Lista - Fontes de Campo Magnético FGE211 - Física III Sumário A Lei de Biot-Savart afirma que o campo magnético d B em um certo ponto devido a um elemento de comprimento d l que carrega consigo uma

Leia mais

CAPÍTULO 5 Exercícios Resolvidos

CAPÍTULO 5 Exercícios Resolvidos CAPÍTULO 5 Exercícios Resolvidos R5.) Casais com no máximo filhos Consideremos o conjunto dos casais que têm no máximo dois filhos. Admitamos que dentro desse contexto, cada uma das possibilidades em termos

Leia mais

MÉDIA ARITMÉTICA MÉDIA PONDERADA MODA MEDIANA

MÉDIA ARITMÉTICA MÉDIA PONDERADA MODA MEDIANA MÉDIA ARITMÉTICA MÉDIA PONDERADA MODA MEDIANA Em um amostra, quando se têm os valores de uma certa característica, é fácil constatar que os dados normalmente não se distribuem uniformemente, havendo uma

Leia mais

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Teórico-Práticas Mestrado em BBC, 2008/2009 1 Capítulo 1 Nos exercícios 1) e 2) suponha que o crescimento é exponencial. 1. Entre 1700 e 1800 a população humana

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Preliminares No estudo de sistemas de controle, e comum usar-se diagramas de blocos, como o da figura 1. Diagramas de blocos podem ser utilizados

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Segunda Lista de Exercícios 01 de julho de 2013 1 Uma indústria fabrica peças, das quais 1 5 são defeituosas. Dois compradores, A e B, classificam os lotes de peças adquiridos em

Leia mais

MM805- Tópicos de Análise I. Blue Sky Catástrofe em Sistemas Dinâmicos Reversíveis e Hamiltonianos

MM805- Tópicos de Análise I. Blue Sky Catástrofe em Sistemas Dinâmicos Reversíveis e Hamiltonianos MM805- Tópicos de Análise I Blue Sky Catástrofe em Sistemas Dinâmicos Reversíveis e Hamiltonianos Luiz Fernando da Silva Gouveia-RA:153130 Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins MM805A - 2s/2014 1. Introdução

Leia mais

Conceitos Básicos em Análise de Sobrevivência Aula Estatística Aplicada

Conceitos Básicos em Análise de Sobrevivência Aula Estatística Aplicada Conceitos Básicos em Análise de Sobrevivência Aula Estatística Aplicada Prof. José Carlos Fogo Departamento de Estatística - UFSCar Outubro de 2014 Prof. José Carlos Fogo (DEs - UFSCar) Material Didático

Leia mais

Modelos Estocásticos. Resolução de alguns exercícios da Colectânea de Exercícios 2005/06 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E FILAS DE ESPERA LEGI

Modelos Estocásticos. Resolução de alguns exercícios da Colectânea de Exercícios 2005/06 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E FILAS DE ESPERA LEGI Modelos Estocásticos Resolução de alguns exercícios da Colectânea de Exercícios 2005/06 LEGI Capítulo 7 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E FILAS DE ESPERA Nota: neste capítulo ilustram-se alguns dos conceitos de

Leia mais

Aula 2 - Cálculo Numérico

Aula 2 - Cálculo Numérico Aula 2 - Cálculo Numérico Erros Prof. Phelipe Fabres Anhanguera Prof. Phelipe Fabres (Anhanguera) Aula 2 - Cálculo Numérico 1 / 41 Sumário Sumário 1 Sumário 2 Erros Modelagem Truncamento Representação

Leia mais

Distribuição de probabilidades

Distribuição de probabilidades Luiz Carlos Terra Para que você possa compreender a parte da estatística que trata de estimação de valores, é necessário que tenha uma boa noção sobre o conceito de distribuição de probabilidades e curva

Leia mais

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº10 Prof. Daniel Szente

3º Ano do Ensino Médio. Aula nº10 Prof. Daniel Szente Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº10 Prof. Daniel Szente Assunto: Função exponencial e logarítmica 1. Potenciação e suas propriedades Definição: Potenciação é a operação

Leia mais

PROBABILIDADE. Aula 5

PROBABILIDADE. Aula 5 Curso: Psicologia Disciplina: Métodos Quantitativos Profa. Valdinéia Data: 28/10/15 PROBABILIDADE Aula 5 Geralmente a cada experimento aparecem vários resultados possíveis. Por exemplo ao jogar uma moeda,

Leia mais

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados

Leia mais

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Faculdade de Arquitetura e Urbanismo

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Faculdade de Arquitetura e Urbanismo UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Arquitetura e Urbanismo DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ESTIMAÇÃO AUT 516 Estatística Aplicada a Arquitetura e Urbanismo 2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Na aula anterior analisamos

Leia mais

Análise de Sobrevivência Aplicada à Saúde

Análise de Sobrevivência Aplicada à Saúde Análise de Sobrevivência Aplicada à Saúde Prof. Lupércio França Bessegato Departamento de Estatística UFJF E-mail: lupercio.bessegato@ufjf.edu.br Site: www.ufjf.br/lupercio_bessegato Lupércio França Bessegato

Leia mais

Variáveis Aleatórias Contínuas

Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis aleatórias contínuas: vamos considerar agora uma lista de quantidades as quais não é possível associar uma tabela de probabilidades pontuais ou frequências tempo de duração de uma chamada telefônica

Leia mais

Introdução a Inferência Bayesiana. Ricardo S. Ehlers

Introdução a Inferência Bayesiana. Ricardo S. Ehlers Introdução a Inferência Bayesiana Ricardo S. Ehlers Versão Revisada em junho de 2003 Sumário 1 Introdução 2 1.1 Teorema de Bayes.......................... 2 1.2 Princípio da Verossimilhança....................

Leia mais

Distribuição Binomial

Distribuição Binomial Distribuição Binomial Exemplo Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha: (a) Nenhum defeituoso?

Leia mais

Regra de Simpson. Eduardo Camponogara

Regra de Simpson. Eduardo Camponogara Integração Numérica Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/33 Sumário Fórmula Geral das Regras

Leia mais

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Objetivos

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

A lei de Gauss é uma lei geral. Ela vale para qualquer distribuição de cargas e qualquer superfície fechada.

A lei de Gauss é uma lei geral. Ela vale para qualquer distribuição de cargas e qualquer superfície fechada. Aplicações da lei de Gauss A lei de Gauss é uma lei geral. Ela vale para qualquer distribuição de cargas e qualquer superfície fechada. De maneira genérica, a lei de Gauss diz que: Fluxo elétrico sobre

Leia mais

Teorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4

Teorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4 Teorema de Taylor Prof. Doherty Andrade Sumário 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 1 2 Exemplos 2 3 Exercícios 3 4 A Fórmula de Taylor 4 5 Observação 5 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange

Leia mais

4. Metodologia. Capítulo 4 - Metodologia

4. Metodologia. Capítulo 4 - Metodologia Capítulo 4 - Metodologia 4. Metodologia Neste capítulo é apresentada a metodologia utilizada na modelagem, estando dividida em duas seções: uma referente às tábuas de múltiplos decrementos, e outra referente

Leia mais

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n

Leia mais

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Professor: Leandro Zvirtes UDESC/CCT Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Há dois tipos de

Leia mais

Testedegeradoresde. Parte X. 38 Testes de Ajuste à Distribuição. 38.1 Teste Chi-Quadrado

Testedegeradoresde. Parte X. 38 Testes de Ajuste à Distribuição. 38.1 Teste Chi-Quadrado Parte X Testedegeradoresde números aleatórios Os usuários de uma simulação devem se certificar de que os números fornecidos pelo gerador de números aleatórios são suficientemente aleatórios. O primeiro

Leia mais

2 Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (Q, R)

2 Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (Q, R) Modelo para o Sistema de Controle de Estoque (, ) Neste capítulo é apresentado um modelo para o sistema de controle de estoque (,). Considera-se que a revisão dos estoques é continua e uma encomenda de

Leia mais

Introdução às equações diferenciais

Introdução às equações diferenciais Introdução às equações diferenciais Professor Leonardo Crochik Notas de aula 1 O que é 1. é uma equação:... =... 2. a incógnita não é um número x R, mas uma função x(t) : R R 3. na equação estão presentes,

Leia mais

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Instituída pela Lei 0.45, de 9/04/00 - D.O.U. de /04/00 Pró-Reitoria de Ensino de Graduação - PROEN Disciplina: Cálculo Numérico Ano: 03 Prof: Natã Goulart

Leia mais

Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto

Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Maria Angélica Araújo Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação

Leia mais

Seu pé direito nas melhores faculdades

Seu pé direito nas melhores faculdades Seu pé direito nas melhores faculdades IM - maio 006 MTMÁTI 0. a) atore a epressão 3 3 + 6. b) Resolva, em, a inequação 3 3 + 6 +. a) 3 3 + 6 = (3 ) 6(3 ) = ( 6)(3 ) = ( + 6 )( 6 )(3 ) é a forma fatorada

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

www.concursovirtual.com.br

www.concursovirtual.com.br Cinemática: É a parte da mecânica que estuda os movimentos, procurando determinar a posição, velocidade e aceleração do corpo a cada instante. Ponto Material: É todo corpo que não possua dimensões a serem

Leia mais

UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA. 103 Matemática e Lógica Unidade 04. a > 0 a < 0 > 0

UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA. 103 Matemática e Lógica Unidade 04. a > 0 a < 0 > 0 1 - FUNÇÃO QUADRÁTICA UNIDADE 4 FUNÇÕES 2 MÓDULO 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA 01 É toda função do tipo f(x)=ax 2 +bx+c, onde a, b e c são constantes reais com a 0. Ou, simplesmente, uma função polinomial de grau

Leia mais

Um modelo para evolução de HIV positivo para populações em doença plenamente manifesta com parâmetros fuzzy correlacionados.

Um modelo para evolução de HIV positivo para populações em doença plenamente manifesta com parâmetros fuzzy correlacionados. Biomatemática 22 (2012), 27 44 ISSN 1679-365X Uma Publicação do Grupo de Biomatemática IMECC UNICAMP Um modelo para evolução de HIV positivo para populações em doença plenamente manifesta com parâmetros

Leia mais

Capítulo 8 - Testes de hipóteses. 8.1 Introdução

Capítulo 8 - Testes de hipóteses. 8.1 Introdução Capítulo 8 - Testes de hipóteses 8.1 Introdução Nos capítulos anteriores vimos como estimar um parâmetro desconhecido a partir de uma amostra (obtendo estimativas pontuais e intervalos de confiança para

Leia mais

Olá pessoal. Foram bem? Até que a prova não foi difícil! Vamos corrigir.

Olá pessoal. Foram bem? Até que a prova não foi difícil! Vamos corrigir. Olá pessoal. Foram bem? Até que a prova não foi difícil! Vamos corrigir. Resolução Lembre-se das fórmulas: coeficiente de variação (x) = coeficiente de correlação (x, y) = desvio padrão (x) média (x) covariância

Leia mais

ELETROTÉCNICA ELM ROTEIRO DA AULA PRÁTICA 01 A LEI DE OHM e AS LEIS DE KIRCHHOFF

ELETROTÉCNICA ELM ROTEIRO DA AULA PRÁTICA 01 A LEI DE OHM e AS LEIS DE KIRCHHOFF ELETROTÉCNICA ELM ROTEIRO DA AULA PRÁTICA 01 A LEI DE OHM e AS LEIS DE KIRCHHOFF NOME: TURMA: DATA: / / OBJETIVOS: Ler o valor nominal de cada resistor através do código de cores. Conhecer os tipos de

Leia mais

Logo, para estar entre os 1% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A:

Logo, para estar entre os 1% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A: MQI 00 ESTATÍSTICA PARA METROLOGIA - SEMESTRE 008.0 Teste 6/05/008 GABARITO PROBLEMA O preço de um certo carro usado é uma variável Normal com média R$ 5 mil e desvio padrão R$ 400,00. a) Você está interessado

Leia mais

Disponibilizo a íntegra das 8 questões elaboradas para o Simulado, no qual foram aproveitadas 4 questões, com as respectivas resoluções comentadas.

Disponibilizo a íntegra das 8 questões elaboradas para o Simulado, no qual foram aproveitadas 4 questões, com as respectivas resoluções comentadas. Disponibilizo a íntegra das 8 questões elaboradas para o Simulado, no qual foram aproveitadas questões, com as respectivas resoluções comentadas. Amigos, para responder às questões deste Simulado, vamos

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE i1 Introdução Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Há dois tipos

Leia mais

Aula 4 Estatística Conceitos básicos

Aula 4 Estatística Conceitos básicos Aula 4 Estatística Conceitos básicos Plano de Aula Amostra e universo Média Variância / desvio-padrão / erro-padrão Intervalo de confiança Teste de hipótese Amostra e Universo A estatística nos ajuda a

Leia mais