CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral

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1 CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral O que é uma amostra? É um subconjunto de um universo (população). Ex: Amostra de sangue; amostra de pessoas, amostra de objetos, etc O que se espera de uma amostra? Que ela represente as características do universo, ou seja, que seja representativa: Software a ser utilizado: R para baixar utilize o link: Amostras aleatórias Quando os elementos do universo têm a mesma probabilidade de ser selecionado para a amostra, dizemos que se trata de uma amostra aleatória simples. O processo de amostragem pode ser com ou sem reposição dos elementos do universo. Procedimento para obter uma amostra aleatória de tamanho n: Passo 1: Numere os elementos da população (supondo população finita) Passo 2: Decida se o sorteio será com reposição (no caso de um elemento ter a possibilidade de ser sorteado mais de uma vez na mesma amostra) ou sem reposição (no caso de não ser possível repetir elementos da população) Passo 3: Utilize um programa computacional para realizar o sorteio da amostra. Exemplo 5.1 Suponha que a população seja composta de 25 elementos e se deseja obter uma amostra de tamanho n=5. Programa escolhido: R Comando para selecionar a amostra com reposição e sem reposição set.seed(171);sample(1:25,5, replace=t)#comando para sorteio com reposição Obtém-se os seguintes elementos da população (com reposição): set.seed(16);sample(1:25,5) #comando para sorteio sem reposição Obtém-se os seguintes elementos da população (sem reposição): Exemplo 5.2 Um professor quer obter uma amostra aleatória simples sem reposição que seja representativa, de 10%, de uma população de 200 alunos de uma escola, como deve proceder? Passo 1: atribuir um número a cada aluno: 1:200; Passo 2: sorteio sem reposição de 10% de 200. Logo n=20 Passo 3: utilizar um programa para realizar o sorteio. set.seed(16);sample(1:200,20) Lista com os números sorteados ordenados: set.seed(16);sort(sample(1:200,20)) Amostragem Aleatória Estratificada de um universo finito Muitas vezes uma população é composta de subpopulações (estratos) bem definidos, havendo maior homogeneidade entre as unidades amostrais dentro de cada estrato do que entre as unidades amostrais de

2 estratos diferentes. Sexo, idade, condição sócio-econômica são exemplos típicos. Nestas condições, tais estratos devem ser levados em consideração e o sorteio da amostra deve ser feito em cada um deles independentemente; daí o nome de amostragem estratificada. Há dois métodos de alocação das amostras aos estratos. Suponha que o universo esteja dividido em k estratos de tal forma que o tamanho de cada estrato seja representado por tal que a soma seja N. Se a amostra da população for de tamanho n, é necessário estabelecer o tamanho da amostra em cada estrato, que denotaremos por tal que n1+n2+...+nk=n. Alocação Proporcional Exemplo5.3: Numa localidade com habitantes, têm menos de 20 anos de idade, têm idades entre 30 e 50 anos e têm mais de 50 anos de idade. Extrair uma amostra de 30 habitantes desta população pelo processo de amostragem estratificada com alocação proporcional. Elementos: N=150000; N1=45000; N2=75000; N3=30000 e n=30 Assim, Alocação Ótima de Neyman Nesse tipo de alocação, a intensidade de amostragem calculada é distribuída proporcionalmente à variância de cada estrato. Este método depende de estimativas para o desvio-padrão de cada estrato. Estas estimativas podem ser obtidas por variáveis auxiliares que apresentem alta correlação com a variável de interesse; através de conhecimentos prévios ou por amostras pilotos. Exemplo5.4: Numa localidade com habitantes, têm menos de 20 anos de idade, têm idades entre 30 e 50 anos e têm mais de 50 anos de idade. Extrair uma amostra de 30 habitantes desta população pelo processo de amostragem estratificada com alocação ótima de Neyman. Considere as seguintes estimativas para o desvio padrão da variável de interesse: 1.20; 1.5 e 2.55 Elementos: N=150000; N1=45000; N2=75000; N3=30000 e n=30 Assim, Estatísticas e Distribuições Amostrais Estimador é qualquer função dos elementos da amostra e não depende de parâmetros desconhecidos. Estimativa ou Estatística é a aplicação do estimador para valores obervados em uma amostra. Parâmetros são números reais fixos e desconhecidos que compõem os modelos de probabilidade. Exemplo5.5: Uma variável aleatória X com distribuição normal tem como parâmetros desconhecidos que representam a média e o desvio padrão desta variável aleatória. As funções representam estimadores para os valores observados de determinada amostra. Ao selecionarmos a amostra e avaliarmos os valores obtidos em tais funções, obtendo o que chamamos de estimativas ou estatísticas. Valores observados da amostra: 3, 4, 8 O estimador diz como devo combinar os valores da amostra para obter as estimativas ou estatísticas

3 Estatísticas: Parâmetros, o estimador tem distribuição normal com parâmetro. Exemplo5.6: Observe que nem sempre a média e o desvio padrão de uma distribuição são os valores dos parâmetros desta distribuição. Veja o caso da distribuição exponencial cujo parâmetro é, e, no entanto, a média e o desvio padrão para esta distribuição é. Nesta caso, o estimador é o estimador de. No caso da distribuição binomial, os parâmetros são, enquanto que a média e o desvio padrão é. Neste caso, o estimador de será dado pela proporção de sucessos na amostra,. Supondo que a amostra 3,4,8 tenha sido retirada de uma população com distribuição exponencial, a estimativa do parâmetro, (quando nos referimos a estimativas de um parâmetro, é usual colocar o acento ^ para se fazer a distinção entre estimativa e parâmetro). Agora, se uma amostra apresenta 4 sucessos em 10 tentativas (distribuição binomial), a estimativa do parâmetro,. Para se aprofundar mais neste assunto você poderá pesquisar sobre estimadores de máxima verossimilhança, ajustes de parâmetros para distribuições de probabilidade. Distribuições Amostrais É a função de densidade de probabilidade que descreve o comportamento probabilístico do estimador em amostras aleatórias simples. Distribuição Amostral de Se então Se então para

4 Como regra geral, já fornece boa aproximação da normalidade para o estimador média amostral. Se a amostra apresenta boa simetria, a aproximação se dá para, No caso de assimetria, que pode ser avaliada pelo coeficiente de assimetria, a regra empírica muito utilizada é No R, pode ser calculado com o comando library(fbasics); skewness(x) Exemplo 5.7 Considere a seguinte amostra piloto sobre a variável de interesse: Avalie a simetria dos dados utilizando um ramo e folhas ou histograma. Trata-se de uma distribuição assimétrica. Para esta amostra obtemos Assim, a regra sugere que o tamanho da amostra para utilizarmos adequadamente a aproximação normal para o estimador é Erro Padrão O erro padrão de uma estatística é o desvio padrão de sua distribuição amostral. O erro padrão de é. Se não conhecemos, então, utilizamos como estimativa o valor de, desse modo teremos a estimativa para o erro padrão de :. Exemplo 5.8 Considere a amostra do exemplo anterior cujas estatísticas são: Estatísticas: O erro padrão estimado de é Intervalo de Confiança Formado por duas estatísticas I e S que estabelecem limites para o parâmetro de interesse, tal que O intervalo de I a S é chamado de intervalo de de confiança para o parâmetro desconhecido. Veja a seguir o formulário para se obter as estatística I e S do intervalo:

5 É aconselhável ao aluno consultar a bibliografia para maiores detalhes. (Montgomery, Prob e Est na Eng) Exemplo 5.9 Considere a amostra do exemplo 5.7. Se desejarmos estimar a média da variável de interesse, consultando a tabela 10.5, vemos que se trata da terceira situação. Já temos as estatísticas da amostra (exemplo 5.8) Em geral utiliza-se. Para obter deve-se consultar a tabela da distribuição t. e obter No R, utilize qt(0.025,19) [1] #valor da cauda inferior qt(0.975,19) [1] #valor da cauda superior; é o simétrico do valor anterior! Para utilizar a tabela observe o grau de liberdade (19) e a probabilidade acumulada em t (0.975). Assim, Exemplo 5.10 Para avaliar a proporção de itens defeituosos de um lote observou-se uma amostra de 50 itens dos quais 2 apresentaram defeito. Obtenha a estimativa por intervalo da proporção de itens defeituosos produzidos. Consultando a tabela 10.5, vemos que se trata da penúltima situação. Em geral utiliza-se. Para obter deve-se consultar a tabela da distribuição normal e obter (atenção, sempre associará ) A estatística de p = 2/50 = 0.04 Assim, Escolha do tamanho da amostra para estimar com Erro estabelecido O pesquisador estabelece um limite de afastamento aceitável. Para um nível de significância, o tamanho da amostra para se avaliar a média é dado por:

6 Exemplo 5.11 Para avaliar a condutividade térmica média do ferro Armco, o pesquisador estabelece um erro na estimativa de no máximo 0.05 Btu/h-ft- o F, com 95% de confiança. Suponha que seja conhecido. O tamanho amostral necessário para este erro é: O tamanho da amostra para se avaliar a proporção é dado por: O tamanho amostral para esta situação é máximo quando. Desse modo, é sempre possível estabelecer uma cota superior para n. Exemplo 5.12 Para avaliar a proporção de peças com defeito, o pesquisador estabelece um erro na estimativa de no máximo 0.05, com 95% de confiança. Suponha que uma amostra piloto de 75 itens; 12 tinham algum defeito. O tamanho amostral necessário para este erro é: Veja que se não tivemos informação sobre a amostra piloto, poderíamos utilizar a cota superior: Exercícios: 1. No jogo da mega sena são sorteados 6 números sem reposição entre os números de 1 a 60. a. Simule um jogo com 6 números. b. Simule um jogo com 10 números. c. Simule o sorteio da mega sena. Se as apostas foram as do item a e b, quantos acertos ocorreram? 2. Obtenha o valor de, para. 3. Um engenheiro está analisando a força de compressão do concreto. Sabe-se que esta força se distribui normalmente com? Quantas amostras devem ser analisadas para se obter um intervalo de 95% de confiança para a força média, estabelecendo um erro máximo de 3psi. 4. Suponha que o engenheiro da questão 2 conseguiu uma amostra de tamanho 8 com os seguintes valores: 3205, 3201, 3195, 3200, 3205, 3191, 3192, 3202 Obtenha o intervalo de 95% de confiança para a média. 5. Um gerente está planejando um experimento para testar a durabilidade de duas marcas de pneus (em km). Suponha que o erro máximo estabelecido para um intervalo de 95% de confiança seja de 1000 km. Sabe-se que o desvio padrão de cada marca é estimado em a. Estabeleça o tamanho da amostra para cada marca: b. Supondo que o tamanho amostral do experimento seja e que há um universo de pneus para cada marca. Calcule o tamanho da amostra em cada estrato definido pela marca do pneu com base na alocação proporcional. c. Repita o item c, utilizando a alocação ótima de Neyman. 6. Um estudo pretende estimar a proporção de veículos sem seguro em duas cidades A e B. Estudos preliminares estimam que 20% dos veículos destas cidades não possuem seguro. Estabeleça o tamanho da amostra considerando um erro máximo de 0.03 para estimar um intervalo de 95% de confiança para a proporção. 7. Supondo que o tamanho amostral do estudo da questão anterior seja e que há um universo de veículos na cidade A e veículos na cidade B. Calcule o tamanho da amostra em cada cidade com base na alocação proporcional. 8. Num levantamento realizado em certa cidade, de uma amostra de 120 veículos, 30 não possuíam seguro. Estime o intervalo de 95% de confiança para a proporção de veículos sem seguro. Resposta 1 Sugestão de solução: a)set.seed(1); sort(sample(1:60,6)); b) set.seed(1); sort(sample(1:60,10)); c) set.seed(1); sort(sample(1:60,6)) (com a mesma semente ambas as apostas são vencedoras. Experimente mudar a semente!

7 2.qt(0.025,5:15); valores: Atenção que a notação refere-se ao simétrico destes valores data: x t = , df = 7, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x a 16 e 21 b 20 e 20 c 19 e e e 0.253

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