Universidade Federal de Pernambuco Mestrado em Estatística

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1 Universidade Federal de Pernambuco Mestrado em Estatística Lista 4 de Exercícios de Amostragem Prof. Cristiano Ferraz 1. Em relação ao plano amostral de Bernoulli: a) Explique como retirar uma amostra de acordo com esse plano. Ilustre o procedimento com um exemplo. b) Mostre que, onde é a probabilidade de inclusão de primeira ordem. 2. Um levantamento amostral está sendo planejado para estimar a produção média de mel de abelha no ano de 2005, em kilogramas, de uma certa região. Uma amostra piloto foi retirada, fornecendo as informações apresentadas nos quadros 1 e 2, e gráficos de 1 a 5. Os dados referentes ao número de produtores de mel constantes nos quadros 1 e 2 correspondem ao total de produtores identificados por cadastros disponíveis das três cooperativas de apicultores da região. Para efeito dessa questão, considere a seguinte notação: = total de mel, em kilogramas, produzido pelo produtor, no ano de = total de mel, em kilogramas, produzido pelo produtor, no ano de Com base no conjunto de informações disponíveis, responda aos ítens propostos.

2 Quadro 1. Informações relativas a produção de mel de abelha nos anos de 2003 e 2005, obtidas pela amostra piloto. Estatísticas Ano Número de produtores de mel da região 1 : Produção total estimada: ,5 Média estimada de produção por apicultor: 807 Kg 748 Kg Desvio-padrão estimado da produção: 100 Kg 400 Kg 1 Informação referente à soma do número atual de associados de cada cooperativa, de acordo com os cadastros disponíveis. Quadro 2. Informações relativas a produção de mel de abelha nos anos de 2003 e 2005, por cooperativa, obtidas pela amostra piloto. Estatísticas Cooperativa A B C Número de produtores de mel da região 1 : Produção total estimada: ,5 Média estimada de produção por apicultor: 800 Kg 500 Kg 800 Kg 800 Kg 850 Kg Kg Desvio-padrão estimado da produção: 100 Kg 100 Kg 100 Kg 270 Kg 100 Kg 142 Kg 1 Informação referente ao número atual de associados de cada cooperativa, de acordo com os cadastros disponíveis.

3 Gráfico 1. Gráfico 2.

4 Os gráficos a seguir examinam a relação entre a produção de mel em 2003 e em 2005, para cada cooperativa. Gráfico 3. Gráfico 4. Gráfico 5.

5 a) Considere a possibilidade de utilizar um plano AAE, onde cada cooperativa define um estrato. Assumindo uma função custo linear e, considerando que o custo de observar um produtor é o mesmo em cada estrato, pretende-se retirar uma amostra correspondente a 10% de produtores de mel da região, em i) Determine o tamanho de amostra necessário em cada estrato de modo a minimizar, dentro do possível, a variância da estimativa da média de produção de mel em Denote por, e os tamanhos de amostra nos estratos 1 (Cooperativa A), 2 (Cooperativa B) e 3 (Cooperativa C), respectivamente. ii) Suponha que o plano AAE tenha sido executado de acordo com a alocação ótima sugerida em i). Suponha ainda que as seguintes médias e variâncias amostrais tenham sido observadas: =470 Kg =790 Kg =1.500 Kg = = = Estime a média de produção de mel de 2005 e apresente um intervalo de confiança estimado de aproximadamente 95% para esse parâmetro. Interprete o resultado encontrado. iii) Note que estão disponíveis duas estimativas para a média de produção de mel da região em 2005: uma proveniente do ítem ii) anterior e outra, proveniente da amostra piloto. Utilizando essas duas informações, apresente uma nova estimativa para o parâmetro em questão, que seja centrada. Mostre que ela é de fato centrada. Forneça também uma estimativa da variância do estimador que você usou. b) Considere a possibilidade de usar um plano AEBE, onde cada cooperativa define um estrato. Este plano corresponde a utilizar um plano amostral de Bernoulli para retirar uma amostra de produtores dentro de cada cooperativa. Assuma que a probabilidade de inclusão na amostra para cada estrato seja, onde corresponde ao tamanho de amostra esperado no estrado e

6 seja o tamanho do estrato. Determine a regra de alocação ótima para este plano, considerando uma função custo linear e custos de observação iguais para todos os estratos. (Dica: Utilize o resultado 12.2 das notas de aula). c) Considere a possibilidade de usar planos amostrais alternativos aos considerados em a) e b). Em particular, considere a possibilidade de usar uma amostragem estratificada por cooperativa, mas com esquemas distintos de amostragem em cada estrato. Sabe-se que: I. Existe informação sobre a produção total de mel de cada produtor referente a 2003, disponível nas cooperativas, exceto para os novos produtores (aqueles que surgiram entre 2003 e 2005); II. As informações da cooperativa B referentes a cada associado estão disponibilizadas em um arquivo com pastas organizadas por ordem alfabética do sobrenome do associado. As informações das cooperativas A e C estão num cadastro em forma de listagem. Com base nessas informações, que plano amostral você adotaria, i.e., que esquema amostral você utilizaria dentro de cada estrato? Justifique sua resposta. Em caso de usar um plano com tamanho de amostra variável, identificar a forma do parâmetro, ou seja, a probabilidade de inclusão de primeira ordem. d) Se fosse possível voltar no tempo e executar um plano amostral para estimar a média de produção de mel em 2003, qual plano você utilizaria? Porque?

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