Inferência Estatística-Macs11ºano

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1 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Inferência Estatística-Macs11ºano Estatística Descritiva: conjunto de métodos para sintetizar e representar de forma compreensível a informação contida num conjunto de dados. Usam-se, geralmente, medidas, tabelas e gráficos Inferência Estatística: conjunto de métodos que permitem fazer estimativas e tirar conclusões sobre uma população a partir da informação contida numa amostra

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3 Conceitos Básicos de Estatística População ou Universo Estatístico: um conjunto de objectos, indivíduos ou resultados experimentais, acerca do qual se pretende estudar alguma característica comum Individuo ou Unidade Estatística: cada um dos elementos da população O número de elementos da população é a dimensão da população Amostra: parte da população que é estudada com o objectivo de obter informações para a população de onde foi recolhida. População Amostra

4 Censo ou recenseamento: estudo estatístico que incide sobre todos os elementos de uma população. Um dos mais importantes recenseamentos é a contagem da população, p que se realiza de 10 em 10 anos. O último censo realizado em Portugal foi o Censo de 2001 (INE) Sondagem: estudo científico de uma população, feito através de uma amostra, destinado a estudar uma ou mais das suas características tal como elas se apresentam nessa população. Amostras/Técnicas de Amostragem Selecção da amostra Imparcialidade Representatividade Tamanho

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7 Amostra enviesada: amostra que não é representativa da população p easua utilização pode dar origem a interpretações incorrectas Amostragem: técnica de selecção de elementos de uma população para se estimar propriedades e características da população Amostragem aleatória Amostragem aleatória simples Amostragem Amostragem Amostragem Amostragem sistemática estratificada por Clusters multietapas Amostragem não aleatória (Determinística) Amostragem por conveniência Amostragem intencional

8 Amostragem Aleatória Amostragem Aleatória é um método de amostragem em que cada elemento da população tem uma probabilidade conhecida de ser seleccionado para a amostra Amostragem aleatória simples: dada uma população de dimensão N, uma amostra aleatória simples de n elementos, é aquela que tal que qualquer outro conjunto de n elementos, tem igual probabilidade de ser seleccionado para a amostra - Identificar e definir a população; - Determinar a dimensão desejável da amostra; - Considerar uma listagem de todos os elementos da população; - Atribuir um número a todos os elementos dessa lista; - seleccionar aleatoriamente um número; (Math/Prob/ 5:randInt(a, b,c)) gera c nº inteiros entre a e b) -repetir este processo até obter o número de elementos da amostra

9 Amostragem Sistemática : Dada uma população de dimensão N, ordenada por algum critério, a amostra sistemática de dimensão n, obtém-se dividindo a população em n partes iguais. Seja k a parte inteira do quociente e escolhe-se aleatoriamente um elemento de entre os k primeiros. A partir desse elemento escolhido, escolhem-se todos os k-ésimos elementos da população para pertencerem à amostra. Exemplo: Para um determinado estudo uma empresa precisa de uma amostra de dimensão 25, a extrair dos seus 2500 funcionários. Ordenam-se todos os elementos da população, considera-se o quociente Depois, escolhe-se um funcionário entre os 100 primeiros da lista ordenada; continua-se a selecção, escolhendo todos os funcionários da lista distanciados de 100 unidades, ou seja, os funcionários com os números 100, 200, 300,, até obtermos 25 funcionários da amostra.

10 Amostragem Estratificada: A população é dividida em grupos homogéneos, chamados estratos, de acordo com as variáveis em estudo. Extrai-se aleatoriamente uma amostra em cada um dos estrato, na mesma proporção com que existem na população Exemplo Pretende-se estudar o volume de vendas de prestação de serviços das 500 empresas de construção civil, considerando uma amostra de dimensão 85, das quais 55% são pequenas, 35% são médias e 10% são grandes. Estratos da população das empresas (quanto ao número de trabalhadores): Pequenas - 10 ou menos trabalhadores, Médias - entre 11 e 40 trabalhadores Grandes - mais de 40 trabalhadores Recolha de uma amostra, de dimensão 85, aleatória simples dentro de cada estrato 47 (85x0,55=46,75) Empresas Pequenas 30 (85x0,35=29,75) 8 (85x0,10=8,5) Empresas Médias Empresas Grandes

11 Amostragem por Clusters: A população é dividida por Cluster ou grupos, onde cada Cluster é representativo da população. Selecciona-se aleatoriamente um desses grupos e a totalidade dos seus elementos passa a ser a dimensão da amostra Exemplo Se se pretende fazer uma sondagem de opinião: das preferências musicais dos estudantes do secundário, e como não é possível (ou difícil) arranjar uma lista de todos os estudantes, pode ser vantajoso seleccionarse um grupo de escolas clusters - onde se efectuarão as entrevistas. dos alunos de uma escola (população), da qual apenas se dispõe de uma listagem das turmas (grupos de alunos). Uma amostra por clusters obtém-se seleccionando uma amostra aleatória de turmas e inquirindo, dentro de cada turma escolhida, todos os alunos. OProblemadestemétodoéodarepresentatividade. É, no mínimo, duvidoso que qualquer dos clusters possa ser representativo da população em causa. Para colmatar este problema é necessário considerar um número elevado de clusters.

12 Amostragem Multietapas: A população está dividida em vários grupos, seleccionam-se aleatoriamente alguns dos grupos. Por sua vez, estes grupos são ainda divididos em grupos dos quais se seleccionam alguns aleatoriamente. Et Este processo repete-se até ser possível continuar a constituir i grupos Exemplo: Numa sondagem eleitoral considera-se o país dividido por regiões, dentro de cada região estimam-se os grupos de centros populacionais com dimensão semelhante, seleccionam-se aleatoriamente algumas dessas cidades, as cidades são divididas em freguesias e algumas das freguesias são seleccionadas aleatoriamente. Finalmente em cada freguesia são escolhidos alguns elementos da população a inquirir.

13 Amostragem Não Aleatória ou Determinística Amostragem Determinística é um método de amostragem em que a selecção de elementos representativos da população para a amostra é baseada na opinião e experiência de um especialista Amostragem por Conveniência: Os elementos da população são escolhidos por conveniência do pesquisador ou por facilidade Esta amostragem é a menos confiável, pois não é representativa da população, apesar de ser mais barata, rápida e simples. É útil para pesquisas exploratórias, mas nunca para pesquisas conclusivas e não permite que se façam generalizações Exemplo Considerar como amostra as 30 primeiras pessoas que saem de um cinema para saber qual a sua opinião do filme. As amostras obtidas desta forma não são representativas da população e em geral são enviesadas.

14 Amostragem Intencional: Composta por elementos da população que são seleccionados intencionalmente pelo investigador, porque este acredita que esses elementos possuem características típicas ou representativas da população A principal vantagem da amostragem intencional está nos baixos custos de sua selecção. Esta amostragem não é considerada um bom método, pois os dados podem ser facilmente manipulados, direccionados aos interesses do pesquisador ou de quem encomendou a pesquisa Exemplo Para um estudo sobre O Ensino em Portugal, poder-se-á escolher uma amostra da população portuguesa constituída por professores, uma vez que se possa pensar que estes poderão dar informações mais completas

15 Parâmetro e Estatística. Estimador Parâmetro é um valor numérico que caracteriza uma população Estatística é um valor numérico que caracteriza uma amostra

16 Estatísticas: Estima - Média amostral, - proporção amostral de determinada característica; - desvio-padrão populacional, s - Estimador é qualquer estatística, (que não se conhece) Parâmetros: - valor médio, µ - proporção populacional de determinada característica; - desvio-padrão populacional, σ -,que é utilizada para estimar um parâmetro, θ A estimação de parâmetros pode ser por ponto ou por intervalo. Estimativa pontual: estimativa de um parâmetro populacional por um único valor Estimativa por Intervalo: consiste em calcular um intervalo em torno da estimativa por ponto de tal forma que ele possua probabilidade conhecida (nível de confiança) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. Este intervalo é conhecido por intervalo de confiança (IC).

17 Exemplo 1: Se estivermos interessados em estudar a média obtida no exame nacional de Matemática, então: População a estudar é constituída por todos os alunos que fizeram o exame nacional de Matemática no ano lectivo em causa Parâmetro em estudo: valor médio da variável : Nota de exame nacional de Matemática. Estatística utilizada para estimar o parâmetro: média amostral Seleccionam-se, por exemplo, 10 alunos que tenham feito o exame e calcula-se a média dessas notas

18 Notas obtidas pelos 10 alunos (numa escala de 0 a 200) 125, 97, 58, 29, 101, 65, 107, 37, 29, 127 Média das notas dos 10 alunos: O valor 77,5 é uma estimativa da média obtida no exame nacional de Matemática Se seleccionássemos outra amostra de 10 alunos será que obtínhamos o mesmo valor para estimar a média obtida no exame nacional de Matemática? - Não, amostras diferentes poderão dar estimativas diferentes para o parâmetro em estudo: valor médio Será possível saber qual é a melhor estimativa? a? - Não é possível, já que não se conhece o valor do parâmetro a estimar

19 . Exemplo 2: Suponhamos que em vez da média no exame nacional de matemática, estávamos interessados em conhecer a proporção de positivas Parâmetro em estudo: proporção (populacional) de positivas, p, nacional de Matemática no exame Estatística utilizada para estimar o parâmetro: proporção amostral, Utilizando a mesma amostra, em que as notas dos 10 alunos (escala de 0 a 200) são: 125, 97, 58, 29, 101, 65, 107, 37, 29, 127 Proporção de positivas na amostra constituída por 10 alunos: 40% é uma estimativa para a proporção de positivas no exame nacional de Matemática

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