Trabalho de Casa Introdução à Otimização Para ser entregue no início da aula de quinta-feira, 14 de fevereiro de 2002

Transcrição

1 Trabalho de Casa Introdução à Otimização Para ser entregue no início da aula de quinta-feira, 14 de fevereiro de Formulações de PL a. Dê um exemplo de uma programação linear de duas variáveis que tenha uma solução ótima. b. Dê um exemplo de uma programação linear de duas variáveis que não tenha uma solução viável. c. Dê um exemplo de uma programação linear de duas variáveis que tenha múltiplas soluções ótimas. d. Dê um exemplo de uma programação linear de duas variáveis cujo valor objetivo não tenha limite superior. (Assuma que estamos maximizando para esta parte.) Não pegue exemplos do livro, mas não há problemas em pegar exemplos semelhantes. 2. Escala dos Funcionários do Correio. No correio local, os funcionários são escalados para cinco dias de trabalho seguidos por dois dias de descanso, escala esta repetida semanalmente. Assim, um funcionário tem os mesmos dois dias de folga toda as semanas, e esses dias são consecutivos (por exemplo, domingo e segunda-feira). A demanda por funcionários é fornecida na tabela abaixo. Essa demanda deve ser suprida ou excedida em cada dia. Os números representam a quantidade total de funcionários que está trabalhando nesse dia. O custo dos funcionários é $250 por dia útil, $275 por sábado e $300 por domingo. Dia Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Demanda a. Formule um programa linear que minimizará o custo total dos funcionários do correio necessários para suprir as demandas diárias. Obs.: o número de funcionários é inteiro, mas para os propósitos deste exercício, você pode permitir que um número fracionado de funcionários comece trabalhando em qualquer dia. b. Use a planilha do Excel Solver fornecida no site (a de nome 2 Postal Workers em Homework_01.xls) como ponto de partida para solucionar esta programação linear (você precisará do Excel Solver instalado como suplemento em seu computador, além de estudar as instruções sobre como utilizar o Excel Solver). Obs.: O Excel Solver atual está ajustado para minimizar o número de funcionários. Você precisará ajustar a PL de modo que ela minimize o custo total dos trabalhadores. c. Como a solução seria alterada se o número de funcionários requerido na quinta-feira baixasse para 18? d. Modifique a planilha de modo que ela encontre a solução de custo mínimo sujeita à restrição adicional de que o número de funcionários que iniciam no sábado é pelo menos 2 e o número de funcionários que começam no domingo é no mínimo 2. e. Escreva um programa linear com base na seguinte versão abstrata do Problema do Funcionário do Correio. No correio local, os funcionários são escalados ao longo de n períodos. A escala repete-se periodicamente. Existem n possíveis turnos para os funcionários, cada um começando em cada um dos n períodos. Seja a ij = 1 se os funcionários no turno j trabalharem durante o período i. Seja d i a demanda de funcionários no período i. Seja c i o custo de um funcionário durante o período i. Assim, o custo de um turno é a soma de custos dos funcionários nos períodos do turno. Expresse como programa linear o problema de minimização do custo da força de trabalho de modo que ela supra ou exceda as demandas em cada período. Para suas variá veis de decisão, 1

2 você deve fazer x j denotar o número de funcionários que trabalha no turno j. Faça f j ser o custo do funcionário no turno j. Deixe claro que f j é em termos dos c s. 2

3 3. Construtor de apartamentos Um construtor imobiliário está planejando um novo complexo de apartamentos. Podem ser construídos três tipos de unidades: apartamentos de um quarto, apartamento de dois quartos e apartamentos de três quartos. Cada apartamento de um quarto requer 700 pés 2, cada apartamento de dois quartos requer 800 pés 2 e cada apartamento de três quartos requer 1,200 pés 2. O construtor quer fazer uma mistura de tipos de apartamento no complexo. Ele acredita que o número de apartamentos com um quarto deve ser entre 15% e 50% do número total de apartamentos. Do mesmo modo, os apartamentos de dois quartos devem corresponder entre 10% e 50% do número total de apartamentos, e os apartamentos de três quartos devem formar de 0% a 25% do número total de apartamentos. As leis locais de zoneamento não permitem que o construtor faça mais de 42 unidades neste local de construção específico, além de restringirem o edifício a no máximo pés 2. O construtor já concordou em arrendar 5 unidades de um quarto e 8 unidades de dois quartos para uma imobiliária local, que será um "sócio passivo" neste empreendimento. Os estudos de mercado mostram que apartamentos de um quarto são alugados por $650 por mês, os de dois quartos por $750 por mês e os de três quartos, $950 por mês. Assuma que o sócio passivo pagará a taxa de mercado pelos apartamentos. a. Defina o problema acima como um programa linear. Faça x 1, x 2 e x 3 denotarem, respectivamente, o número de apartamentos de um quarto construídos, o número de apartamentos de dois quartos construídos e o número de apartamentos de três quartos construídos. b. Use o Excel Solver para desenvolver um plano de construção. Você encontrará a planilha na pasta de nome 3 Apartment Developer em Homework_01.xls. Qual é a solução se o tamanho dos apartamentos de um quarto for de apenas 650 pés 2? Qual é a solução se o tamanho dos apartamentos de um quarto for 700 pés 2 e for necessário que a proporção de apartamentos de um quarto seja de pelo menos 25% do total? c. Qual seria a solução se requerêssemos que o número máximo de apartamentos de três quartos fosse no máximo 30% do total (em vez de 25% do total)? d. Escreva um programa linear baseado na seguinte versão abstrata e abreviada do Problema 3. Um construtor imobiliário está planejando um novo complexo de apartamentos. Podem ser construídos K tipos de unidades: as unidades do tipo i requerem s i pés 2 e são alugadas por $c i. O construtor quer fazer uma mistura de tipos de apartamento no complexo. Ele acredita que o número de unidades do tipo i deve ser de pelo menos l i % do total e de no máximo u i % do total. As leis locais de zoneamento não permitem que o construtor faça mais de B unidades neste local de construção específico, além de restringirem o edifício a no máximo S pés 2 (identifique claramente as variáveis de decisão e use a notação de somatória para expressar seu programa linear). 3

4 4. Agendamento de vôos por centrais. Considere o conjunto de quatro segmentos de vôo abaixo. Ele é parte da grade de uma companhia aérea, que envolve milhares de vôos todos os dias. Nº do Vôo Saída Chegada 1A Boston 8h Chicago 10h15 1B Chicago 10h45 San Francisco 12h15 2A Nova York 7h45 Chicago 10h15 2B Chicago 10h45 Los Angeles 12h15 Cada aeronave possui 200 assentos, e cada assento pode ser alocado para cada vôo. A partir desses quatro vôos, é possível obter 8 itinerários distintos: Boston Chicago, Boston San Francisco, Boston Los Angeles, Nova York Chicago, Nova York San Francisco, Nova York Los Angeles, Chicago San Francisco e Chicago Los Angeles. As tarifas e demandas dos vôos são determinadas na tabela abaixo (na próxima página). Considere o problema de atribuição de assentos nos vôos para os itinerários de modo que não haja mais de 200 assentos ocupados em cada um dos vôos e de modo que não seja excedida a demanda por nenhum itinerário, para portando maximizar a receita. a. Formule esse problema como um programa linear. Para suas variáveis de decisão, seja x BC o número de pessoas no itinerário de Boston para Chicago e seja x BS o número de pessoas no itinerário de Boston a San Francisco, etc. Além disso, seja y BC o número de passageiros no vôo de Boston para Chicago, e seja y CS o número de pessoas no vôo de Chicago para San Francisco, etc (Obs.: seria possível formular este problema sem as variáveis y, mas seria muito difícil formular este problema sem as variáveis x. Uma possível razão para o fato de que as variáveis y são úteis na prática é que o conjunto ótimo de variáveis de decisão é armazenado no banco de dados, e é útil ter as variáveis y no banco de dados para as dúvidas subseqüentes). b. Solucione o problema usando o Excel. Você pode encontrar a planilha na pasta de nome 4 Flight Schedulings em Homework_01.xls. Na prática, esse deve ser um programa inteiro no qual haverá um número inteiro de pessoas atribuído para cada itinerário. Entretanto, para o propósito deste exercício, é permitido atribuições fracionadas. c. Qual seria a solução ótima se as aeronaves pudessem transportar 210 passageiros em vez de 200? d. Qual seria a solução ótima se cada vôo pudesse transportar 200 passageiros e cada itinerário precisasse ter atribuídos os assentos de pelo menos 15 pessoas? 4

5 Itinerário Tarifa e demanda B-C $ B-SF $ B-LA $ NY-C $ NY-SF $ NY-LA $ C-SF $ C-LA $ e. Escreva um programa linear com base na seguinte versão abstrata e abreviada do Problema 4. Uma linha aérea deseja maximizar suas receitas. Existem n itinerários diferentes e m vôos diferentes. Seja a ij = 1 se o vôo i for um dos vôos do itinerário j. A demanda pelo itinerário j é d j. O número total de pessoas que podem pegar o vôo i é no máximo u i. A receita de um passageiro no itinerário j é r j. Formule o problema de atribuição de assentos nos vôos para os itinerários de modo que não estejam atribuídos mais de u i no vôo i, e de modo que não seja excedida a demanda por nenhum itinerário, para assim maximizar a receita. 5