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1 Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Estatística I Curso: Contabilidade e Administração Ano: 3 o Semestre: o Prova: Exame Época: Normal Ano Lectivo: 2004/2005 Duração: 2 horas e 30 minutos 0/02/2005-9h00m Justifique convenientemente todas as respostas! Grupo I 4 valores Uma empresa comercial resolveu proceder à revisão da sua política de concessão de crédito a clientes. Para isso, analisou os valores das letras apresentadas à cobrança em certo mês, obtendo os seguintes resultados. Valor da Letra (em u.m.) N o de letras [0, [ 4 [, 2[ 22 [2, 3[ 20 ) Determine a moda, a mediana e a média do valor das Letras 2) Classifique a distribuição quanto à assimetria recorrendo às medidas calculadas na pergunta anterior 3) Calcule a amplitude inter-quartil. 4) Qual a percentagem de letras cujo valor se situa entre as.5 u.m. e as 2.5 u.m.? Observação: se não respondeu à pergunta ) considere que X =.607 ; Mo =.5882 ; Me =.6364 Grupo II 4.5 valores O Instituto Português da Qualidade é o organismo responsável pela certificação da qualidade dos produtos. Existem dois conjuntos de testes associados às normas ISO9000 e ISO9002 as quais conferem ao produto o certificado de qualidade. Cada produto só pode ser submetido aos testes de uma das normas. Dos produtos submetidos aos testes 60% são analisados pela norma ISO9000. A probabilidade de um produto ser certificado sabendo que foi submetido aos testes das normas ISO9000 e ISO9002 é de 0.8 e 0.95, respectivamente. ) Determine a probabilidade de um produto não ser certificado. 2) Se um produto foi certificado, qual a probabilidade de ter sido submetido aos testes da norma ISO9000? 3) Os acontecimentos Um produto ser certificado e Um produto ter sido submetido aos testes da norma ISO9002 são acontecimentos independentes? Justifique. Observações: Se não respondeu à pergunta ) considere que a probabilidade de um produto não ser certificado é de 0.4 Se não respondeu à pergunta 2) considere que a probabilidade de um produto ter sido submetido aos testes da norma ISO9000 é de (V.S.F.F.) Página de 2

2 Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Prova: Exame Época: Normal Ano Lectivo: 2004/2005 Disciplina: Estatística I 0/02/2005-9h00m Grupo III 5.5 valores Sabendo que o n o de vendas mensais num stand de automóveis é uma variável aleatória com função de probabilidade dada por: x f X (x) r s 20 3 ) Calcule r e s sabendo que em 75% dos meses são vendidos pelo menos dois automóveis. 2) Obtenha a função de distribuição de X. 3) Nos meses em que há pelo menos duas vendas qual a probabilidade de haver 3 vendas? 4) Qual o n o esperado de vendas por mês e o respectivo desvio padrão? 4 Observação: se não respondeu à pergunta ) considere r = 0.2 e s = 6 Grupo IV 4 valores Nas companhias de teatro de uma cidade A trabalham 5000 artistas. O seu salário supõe-se seguir uma distribuição normal. Sabe-se que metade deles ganham menos de 200 u.m. e que 5% ultrapassam as 250 u.m.. ) Calcule a média e o desvio padrão da distribuição. 2) Sabendo que a probabilidade de um artista, escolhido ao acaso, ganhar no máximo k u.m. é de 40%, calcule k. 3) Seleccionaram-se ao acaso 0 artistas. 3.) Calcule a probabilidade de encontrar pelo menos 5 que ganhem mais de 250 u.m.. 3.2) Qual o n o esperado de artistas que ganham no máximo 250 u.m.? Observação: se não respondeu à pergunta ) considere µ X = 200 e σ X = 30.4 Grupo V 2 valores Ao adicionar números, um computador arredonda cada número para o inteiro mais próximo. Admita que os erros cometidos são v.a. s independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com valor médio igual a 0 e variância igual a. Se 200 números forem adicionados, qual a probabilidade 2 aproximada de que o erro total cometido não ultrapasse 5.4? BOM TRABALHO! Página 2 de 2

3 Tópicos de Resolução do Exame de Estatística I de 0/02/2005 (Cont. Admin.) Grupo I Valor da Letra (em u.m.) N o de letras c i f i [0, [ ) Média: X = =.607 [, 2[ [2, 3[ ni = Moda: Classe Modal: [,2[ ; Mo = LInf + f amp = + 20 f +f Mediana: Classe Mediana: [,2[ x Logo Me= = x ) Como as 3 medidas não são iguais a distribuição é assimétrica. 3) AIQ = Q 3/4 Q /4 o Quartil: Q /4 = = 3 o Quartil: Q 3/4 = 2 + Logo AIQ = Q 3/4 Q /4 = 2.3 = = 2.3 4) Para calcular a percentagem de letras cujo valor se situa entre as.5 u.m. e as 2.5 u.m. vou calcular a percentagem de letras entre.5 u.m. e 2 u.m. e entre 2 u.m. e 2.5 u.m..usando uma regra de três simples vem: x Para o segundo caso é análogo: x x Página de 4

4 Tópicos de Resolução do Exame de Estatística I de 0/02/2005 (Cont. Admin.) x Logo a percentagem de letras cujo valor se situa entre as.5 um. e as 2.5 u.m é de ( ) 00% = 37.5% Grupo II Sejam: C= Um produto ser certificado A = Um produto foi submetido aos testes da norma ISO9000 A 2 = Um produto foi submetido aos testes da norma ISO9002 Sabe-se do enunciado que: P (A ) = 0.6 ; P (C A ) = 0.8 ; P (C A 2 ) = 0.95 ) Pretendemos calcular P (C). Mas P (C) = P (C). Logo calculando P(C) conseguimos calcular P (C). Pelo Teorema das Probabilidades Totais, P (C) = P (C A ) P (A ) + P (C A 2 ) P (A 2 ) = = 0.86 Logo P (C) = P (C) = 0.86 = ) Pretende-se P (A C) Pela fórmula de Bayes, P (A C) = P (C A ) P (A ) P (C) = = ) Para avaliar a independência destes acontecimentos é necessário verificar se P (C A 2 ) = P (C) P (A 2 ) Mas pela regra da multiplicação P (C A 2 ) = P (C A 2 ) P (A 2 ) = = Logo P (C A 2 ) = = P (C) P (A 2 ) conclui-se assim que não são independentes. Grupo III x f X (x) r s ) Sabe-se pelo enunciado desta pergunta que P (X 2) = Por outro lado P (X 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (x = 4) = s + +. Logo s + + = 0.75 s = Para calcular r sabe-se que + r + s + + = + r = r = ) Por definição F X (x) = P (X x). Logo 0, se x < 0, se 0 x < (= + 0.2), se x < 2 F X (x) = 20 5 (= ), se 2 x < (= ), se 3 x < , se x 4 Página 2 de 4

5 Tópicos de Resolução do Exame de Estatística I de 0/02/2005 (Cont. Admin.) 3) Pretende-se P (X = 3 X 2). Por definição, P (X = 3 X 2) = P ((X = 3) (X 2)) P (X 2) = P (X = 3) P (X 2) = / = 4 9 4) E(X) = x i x i f X (x i ) = = 38 5 para o cálculo do desvio padrão vamos calcular primeiro a variância: V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = x i (x i ) 2 f X (x i ) ( ) 2 38 = Logo σ X =.4489 =.2037 Grupo IV Seja, X= Salário de um artista escolhido ao acaso em u.m. Do enunciado sabe-se que P (X < 200) = 0.5 ; P (X > 250) = 0.05 ; X N(µ; σ 2 ) ) P (X < 200) = P ( X µ < 200 µ ) = µ = 0 µ = 200 σ σ σ Por outro lado P (X > 250) = 0.5 P (X 250) = 0.95 P ( X 200 σ =.645 σ = 0.34 σ 2) Pretende-se k tal que P (X k) = ) = 0.95 σ P (X k) = 0.4 P ( X k 200 k 200 ) = 0.4 P (Z ) = 0.4 = Como 0.4 não está na tabela da Normal é necessário efectuar algumas transformações P (Z k ) = 0.4 P (Z < k ) = 0.6 k = 0.26 k 92 3) 3.) Seja Z= n o de artistas em 0, que ganham mais de 250 u.m Z B(0; 0.05). Pretende-se P (X 5). mas P (X > 5) = P (X 5). Pela tabela da Binomial Acumulada vem P (X > 5) = P (X 5) = = 0 3.2) Para calcular o n o esperado de artistas que ganham no máximo 250 u.m. é necessário calcular a probabilidade de um artista escolhido ao acaso ganhar no máximo 250 u.m. Como este acontecimento é complementar de X então q=-p=-0.05=0.95. Assim sendo, como se trata de uma Binomial, E(X) = = 9.5 Página 3 de 4

6 Tópicos de Resolução do Exame de Estatística I de 0/02/2005 (Cont. Admin.) Grupo V Seja X i = Erro cometido no arredondamento do i-ésimo n o.pretende-se ( 200 ) P X i 5.4 Como as variáveis são i.i.d, pelo Teorema do Limite Central i= i= 200 S = X i N(200 0; 200 ) = N(0; 00) 2 Assim sendo, P (S 5.4) = P ( S ) = P (Z.54) = Página 4 de 4

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