Prof. M. Sc. Jarbas Thaunahy Santos de Almeida 1

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2 Aula 7 Covariância e suas aplicações

3 Roteiro Introdução Covariância Valor esperado, Variância e Desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias Retorno esperado para carteiras de títulos e risco de carteiras de títulos 3

4 Introdução A covariância entre duas variáveis será introduzida e aplicada à gestão de carteira de títulos (portfólios). 4

5 Introdução Essa ferramenta é de grande interesse para analistas financeiros. 5

6 Covariância A covariância ( XY ) mede a força da relação entre duas variáveis aleatórias numéricas, X e Y. Uma covariância positiva indica uma relação positiva. Uma covariância negativa indica uma relação negativa. Uma covariância igual a 0 (zero) indica que as duas variáveis são independentes. 6

7 Covariância XY N i1 [ X i E( X )].[ Y i E( Y )]. P( X i Y i ) X = variável aleatória discreta X X i = i-ésimo resultado de X Y = variável aleatória discreta Y Y i = i-ésimo resultado de Y P(X i Y i ) = probabilidade de ocorrência do i-ésimo resultado de X e do i-ésimo resultado de Y i = 1,,..., N, para X e Y. 7

8 Covariância Suponha que você está decidindo entre dois investimentos alternativos para o ano vindouro. O primeiro investimento é um fundo mútuo que consiste nas ações que compõem a Média Industrial Dow Jones. O segundo investimento consiste em um fundo mútuo do qual se espera um desempenho melhor quando as condições econômicas estão desfavoráveis. 8

9 Covariância O valor esperado e o desvio-padrão para cada um dos investimentos e a covariância dos dois investimentos são calculados da seguinte maneira: E(X) = x = (-300).(0,) + (100).(0,5) + (50). (0,3) = $ 65 Var (X) = x = ( ). (0,) + (100 65). (0,5) + (50 65). (0,3) = $ X = $ 193,71 E(Y) = Y = (00).(0,) + (50).(0,5) + (-100). (0,3) = $ 35 Var (Y) = Y = (00 35). (0,) + (50 35). (0,5) + ( ). (0,3) = $ Y = $ 105,00 XY = ( ).(00 35).(0,) + (100 65).(50 35).(0,5) + (50 65).( ).(0,3) XY = , ,5 = - $ 19.75,00 9

10 Covariância Por conseguinte, o fundo Dow Jones apresenta um valor esperado mais elevado (ou seja, um maior retorno esperado) do que o fundo com perfil para condições econômicas desfavoráveis, embora também apresente um maior desvio-padrão (ou seja, maior risco). A covariância correspondente a - $ 19.75,00 entre os dois investimentos indica uma relação negativa na qual os dois investimentos estão variando em direções opostas. Assim, quando o retorno em um dos investimentos está alto, de modo geral, o retorno no outro investimento está baixo. 10

11 Valor esperado, variância e desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias O valor esperado da soma entre duas variáveis aleatórias é igual à soma dos valores esperados. E(X + Y) = E(X) + E(Y) A variância da soma entre duas variáveis aleatórias é igual à soma das variâncias mais duas vezes a covariância. Var(X + Y) = X+Y = X + Y + XY O desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias é igual à raiz quadrada da variância da soma entre duas variáveis. X Y X Y 11

12 Valor esperado, variância e desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias Para ilustrar o valor esperado, a variância e o desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias, considere os dois investimentos discutidos anteriormente. Se X = fundo Dow Jones e Y = fundo com perfil para condições econômicas desfavoráveis; E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X + Y) = = $ 100 Var(X + Y) = X+Y = X + Y + XY Var(X + Y) = X+Y = (-1975) = $10000 X Y X Y X Y $100 1

13 Valor esperado, variância e desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias O valor esperado da soma entre o fundo Dow Jones e o fundo com perfil para condições econômicas desfavoráveis é $ 100, com um desvio-padrão de $ 100. O desvio-padrão da soma entre os dois investimentos é menor do que o desviopadrão de qualquer um dos investimentos individuais, uma vez que existe uma grande covariância negativa entre os investimentos. 13

14 Retorno esperado para carteiras de títulos e risco de carteiras de títulos Os conceitos de covariância, valor esperado e desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias, podem ser aplicados ao estudo de um grupo de ativos conhecido como carteira de títulos (ou portfólio). Os investidores combinam ativos em carteiras de títulos, no intuito de reduzir os seus riscos. Na maioria das vezes, o objetivo é maximizar o retorno, minimizando, ao mesmo tempo, o risco. Para esses tipos de carteiras de títulos, em vez de estudar a soma entre duas variáveis aleatórias, o investidor atribui um peso a cada um dos investimentos, com base na proporção de ativos atribuídos àquele investimento. 14

15 Retorno esperado para carteiras de títulos e risco de carteiras de títulos O retorno esperado para carteira de títulos (portfólio) para um investimento com dois ativos é igual ao peso atribuído ao ativo X multiplicado pelo retorno esperado para o ativo X somado ao peso atribuído ao ativo Y multiplicado pelo retorno esperado para o ativo Y. E(P) = we(x) + (1 - w)e(y) E(P) = retorno esperado para a carteira de títulos w = parcela do valor da carteira de títulos atribuído ao ativo X (1 w) = parcela do valor da carteira de títulos atribuído ao ativo Y E(X) = retorno esperado para o ativo X E(Y) = retorno esperado para o ativo Y 15

16 Retorno esperado para carteiras de títulos e risco de carteiras de títulos Risco da carteira de títulos p w X (1 w) Y w(1 w) XY 16

17 Retorno esperado para carteiras de títulos e risco de carteiras de títulos Suponha, que você deseje constituir uma carteira de títulos composta pelos dois investimentos analisados anteriormente, vamos calcular o retorno esperado e o risco atribuído. E(X) = 65; E(Y) = 35; X = 3755; Y = 1105; XY = -1975; w = 0,50. 17

18 Retorno esperado para carteiras de títulos e risco de carteiras de títulos E(P) = (0,50).(65) + (1 0,50).(35) = $50 A carteira de títulos apresenta um retorno esperado de $50 para cada $1.000 investidos (um retorno de 5%). p w X (1 w) Y w(1 w) XY p (0,50) (3755) (1 0,50) (1105) (0,50)(1 0,50)( 1975) p 500 $50 A carteira de títulos apresenta um risco de $50 para cada $1.000 investidos. 18

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