Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística

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1 Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. Conceitos Básicos Estamos realizando um evento aleatório (pegar um peixe no mar) Espaço amostral S Conjunto de todas a possibilidades Um evento A Um subconjunto de S Lei da probabilidade Regra que atribui uma probabilidade aos eventos de um experimento S A 1

2 Axiomas Básicos da Probabilidade A) >= 0 S) = 1 AUB) = A)+B) se A e B forem mutuamente exclusivos Eventos que não ocorrem simultaneamente, ou seja A B = ø Caso contrário AUB) = A)+B) A B) A) + ~A)= 1 Probabilidade Condicional A probabilidade de ocorrer um evento, na condição de que outro evento já tenha ocorrido. AI B) A B) = B) Considere o seguinte exemplo: 250 alunos estão matriculados no primeiro ano 100 homens e 150 mulheres 110 cursam física e 140 química Sexo\Discip. Física Quimica Total H M Total

3 Probabilidade Condicional Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química dado que seja mulher. 80 QI M ) Q M ) = = = = 0.53 M ) Probabilidade Total Uma sequência finita de experimentos na qual cada experimento tem um número finito de resultados com uma determinada probabilidade é chamada de processo estocástico finito. Árvore Bayesiana é uma boa ferramenta para visualização do problema. A probabilidade final é calculada pela lei da probabilidade final. 3

4 Probabilidade Total: Exemplo Considere 3 caixas Caixa 1 tem 10 lampadas, das quais 4 com defeito Caixa 2 tem 6 lâmpadas, das quais 1 com defeito Caixa 3 tem 8 lâmpadas, das quais 3 com defeito. O problema consiste em saber a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa A), ao selecionar uma caixa aleatoriamente e depois selecionar uma lâmpada aleatoriamente. 1/3 1/ /10 Defeito 6/10 Ok 1/6 5/6 Defeito Ok Baseado no conceito de probabilidade total, temos como probabilidade A) 1/3 3 3/8 5/8 Defeito Ok A) = + + = Eventos Independentes Dois eventos são ditos independentes se A B) = A) * B) Logo, pela regra da probabilidade condicional, se A e B são independentes, A) B) P ( A B) = = A) B) 4

5 Exemplo Suponha que uma urna contenha 4 bolas brancas e 6 vermelhas. Vamos sortear duas bolas (sem reposição) em momentos distintos. Qual a probabilidade de sair uma bola branca seguida de uma vermelha B) = 3/9 B) = 4/10 V) = 6/9 V) = 6/10 B) = 4/9 V) = 5/9 Exemplo (cont) Agora considere o exemplo anterior com reposição, ou seja, eventos independentes. B,V) = B) X V) = 4/10 X 6/10 =

6 Teorema de Bayes Basicamente o teorema de Bayes mostra como rever as crenças sempre que novas evidências são coletadas. Ou seja, atualizar a probabilidade a posteriori utilizando para isso a probabilidade a priori e as verossimilhanças e as evidências. priori Verosimilhanças (likelihood) Prob. a posteriori A B) = A) ( B A) B) Evidências B) = Ai ) B Ai ) Teorema de Bayes:Exemplo Um médico sabe que a meningite causa torcicolo em 50% dos casos. Porém, o médico sabe que a meningite atinge 1/50000 e também que a probabilidade de se ter torcicolo é de 1/20. Usando Bayes pra saber a probabilidade de uma pessoa ter meningite dado que ela está com torcicolo T M) = 0.5 M) = 1/50000 T) = 1/20 M ) ( T M ) 1/ M T ) = = = T ) 1/ 20 6

7 Teorema de Bayes:Exercício Considere o sistema de classificação de peixes visto anteriormente. Para essa época do ano, sabe-se que a probabilidade de pescar salmão é maior que pescar robalo, salmão) = 0.82 e robabo) = Suponha que a única característica que você pode contar é a intensidade do peixe ou seja, se ele é claro ou escuro. Sabe-se que 49.5% dos salmões tem intensidade clara e que 85% dos robalos tem intensidade clara. Calcule a probabilidade de ser salmão dado que o peixe amostrado tem intensidade clara. S) ( C S) S C) = = = C) Probabilidade total Variáveis Aleatórias Na prática, muitas vezes é mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento. Exemplo: Lançam-se três moedas. Seja X o numero de ocorrências da face cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X S = {ccc,cck,ckc,ckk,kcc,kck,kkc,kkk} Se X é o número de caras, X assume os valores 0,1,2, e 3. 7

8 Variáveis Aleatórias Podemos associar a esses números eventos que correspondem a ocorrência de nenhuma, uma, duas ou três caras. Desta forma temos X=0) = 1/8 X=1) = 3/8 X=2) = 3/8 X=3) = 1/8 Distribuição de Probabilidades P ( X ) = 1 i Variáveis Aleatórias Portanto, podemos definir que variável aleatória é a função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real. Variáveis podem ser discretas ou contínuas 8

9 Parâmetros de uma Distribuição Existem características numéricas que são muito importantes em uma distribuição de probabilidades. São os parâmetros da distribuição Esperança matemática e variância. Esperança matemática E( X ) = X i X i ) Esperança Matemática: Exemplo Uma seguradora paga em caso de acidente de carro e cobra franquia de Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado. Variável Aleatória: X X X) Distribuição de Probabilidade E(X) = 1K * K *.03 = 100 Esperança (lucro médio) é de 100 por carro. Deve ser interpretada como valor médio 9

10 Variância Conhecendo a média (esperança) de uma distribuição de probabilidades, podemos calcular o grau de dispersão em torno da média 2 VAR( X ) = ( X X )) [ E( X )] 2 i i Variáveis Aleatórias Contínuas Podemos definir uma variável aleatória contínua como sendo a variável aleatória X em R se existir uma função f(x) tal que: 10

11 Calculando as probabilidades Caso discreto: - Probabilidades - peixe ter 2 ou 3 nadadeiras) = - 2) + 3) = Use a soma Caso contínuo: -Densidade e não probabilidades -Probabilidade do peixe pesar entre 29 e 31 kgs. - Integrar Distribuições Teóricas As distribuições teóricas associam uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento, ou seja, dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória. Podem ter uma variedade de formas. Simétricas e não simétricas. Binomial, Poisson, Exponencial, Normal 11

12 Distribuição Normal (Gaussiana) A distribuição normal é a mais importante das distribuições pois muitas variáveis aleatórias de ocorrência natural ou de processos práticos obedecem a esta distribuição. Formato de sino Simétrica Unimodal Distribuição Normal A função densidade para esta distribuição é dada por Como podemos perceber, a distribuição normal inclui dois parâmetros µ média populacional σ desvio padrão populacional. Denotamos N(µ, σ) a curva normal com média µ e desvio padrão σ 12

13 Distribuição Normal A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da curva. Distribuição Normal 68.27% 95.45% 99.73% 13

14 Exemplo O peso de recém-nascidos é uma variável aleatória contínua. A Figura abaixo mostra a distribuição de freqüências relativas 5000 pesos de recém-nascidos. Exemplo Considerando µ = 2800g, σ = 500g, podemos concluir que 2300 <= X <= 3300) = 68.3% 1800 <= X <= 3800) = 95.5% 1300 <= X <= 4300) = 99.7% Porém, na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de µ e σ. 14

15 Distribuição Normal Para isso, a variável X cuja distribuição N(µ, σ) é transformada numa forma padronizada Z, com distribuição N(0,1) (distribuição normal padrão), pois tal distribuição é tabelada. A normalização se dá por Z µ = X σ Utilizando a Tábua de Probabilidades Primeiro é necessário decompor Z em duas parcelas Por exemplo, Z = 1.39 Primeira parcela = 1.3 Segunda parcela = 0.09 No cruzamento das duas parcelas encontra-se a probabilidade correspondente a área da curva entre 0 e Z. 15

16 Exemplo Considere a seguinte distribuição X -> N(30;4) Calcule a probabilidade de X >= 40. Z = = Da tabela, temos Logo, X>=40) = Exercício Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150 mil km e desvio de 5 mil. Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dure a) menos de 170 mil b) entre 140 e 165 mil 16

17 Exercício a) X < 170) Z = 4. Da tabela temos Logo X<170) = = Teorema Central do Limite A medida em que o tamanho da amostra X cresce, a distribuição de X se aproxima da distribuição normal 17

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