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1 MQI 00 ESTATÍSTICA PARA METROLOGIA - SEMESTRE Teste 6/05/008 GABARITO PROBLEMA O preço de um certo carro usado é uma variável Normal com média R$ 5 mil e desvio padrão R$ 400,00. a) Você está interessado em comprar este carro e pesquisa muitos anúncios no jornal e na internet. Como você não entende nada de mecânica, prefere comprar um carro mais caro e (supostamente) em melhores condições, pois não quer ter aborrecimentos futuros. A partir de quanto você deve pagar para comprar um carro dentre os % mais caros? b) Qual a probabilidade de você pagar mais de R$ 6440,00 por um carro? c) Considere uma amostra de carros escolhidos aleatoriamente. Qual a probabilidade do preço médio na amostra exceder R$ 460 mil? d) Considere uma amostra de carros (como no item anterior). Qual a probabilidade do carro mais caro custar mais de R$ 800? e) Considere uma amostra de carros (como no item anterior). Qual a probabilidade do carro mais barato custar mais de R$ 480? Solução Seja X o preço do carro usado. Então: X 5000 Z ~ N(0,) 400 a) O percentil % da distribuição N(0,) é, pela tabela, z.6 Logo, para estar entre os % mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A: X X R$058. X b) ( X > 6440) > ( Z > 0.6) Φ(0.6) c) Numa amostra de carros, o preço médio terá distribuição Normal com média R$ 5 mil e variância (400) /, ou seja, desvio padrão 400/ 800. X ( X > 460) > ( Z > 0.8) Φ ( + 0.8) d) Se o carro mais caro custa MAIS que R$ 800, nada podemos afirmar sobre os preços dos outros carros na amostra. Mas, se o carro mais caro custa MENOS que R$ 800, então TODOS os carros na amostra custarão MENOS QUE que R$ 800. Seja U max(x, X,..., X ) o preço do carro mais caro na amostra. Então

2 ( U > 800) ( U 800) ( X 800, X 800,..., X 800) { ( X 800) } pois os X i s são independentes e identicamente distribuídos. Mas: X ( X 800) ( Z 0.5) Φ ( + 0.5) 400 ( U > 800) { ( X 800) } ( 0.085) 0. e) Seja V o carro mais barato da amostra, ou seja, V min(x, X,..., X ). Então: { ( )} ( V > 480) ( X X > Mas: > 480, X > 480,..., X > 480) 480 X ( X > 480) > ( Z > 0.) Φ( 0.) Φ ( + 0.) 0. 8 Logo: ( V > 480) X { ( > 480) } ( 0.8) 0.07% PROBLEMA Toda manhã você tem que passar por um certo sinal de trânsito bastante demorado. Suponha que a probabilidade do sinal estar aberto é 0.0 e que cada manhã representa uma repetição independente. a) Numa seqüência de 6 manhãs, qual a probabilidade de você encontrar o sinal aberto em exatamente uma manhã? b) Numa seqüência de 0 manhãs, qual a probabilidade de você encontrar o sinal aberto em mais de 4 manhãs? c) Qual a probabilidade de você demorar até a 5ª manhã consecutiva para encontrar o sinal aberto pela ª vez? d) Qual a probabilidade de que o sinal esteja fechado por 8 manhãs consecutivas? e) Em média, quantas manhãs você vai passar pelo sinal até encontrá-lo aberto pela primeira vez?

3 Solução O sinal aberto pode ser encarado como um sucesso com probabilidade p 0.0 e o sinal fechado é uma falha com probabilidade -p q No item a) você faz exatamente 6 repetições, ou seja, passa exatamente 6 vezes pelo sinal, a variável X que mede o número de vezes em que encontra o sinal aberto nestas 6 repetições é Binomial com n 6 e p 0.. (X ) 6(0.) (0.8) 5 0. No item b) temos agora uma variável Binomial, mas com n 0 e p 0.. (X > 4) (X 5) + (X 6) (X0) (X 0) (X) -... (X4) x (X x) (X < ) 0.67 (X > 4) 0.08 c) Isso significa obter a seqüência FFFFS, que tem probabilidade (0.8) 4 (0.) 0.08 (Você pode também pensar na variável Geométrica com probabilidade de sucesso p 0. e em demorar 5 repetições para encontrar o º. Sucesso) d) É apenas a probabilidade da sequência FFFFFFFF (0.8) e) É a média da variável Geométrica, /p /0. 0/ 5 PROBLEMA Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro. A distância (em m) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidade: { x } x Onde 60 x 60 Existem duas opções de diárias de aluguel: ) Opção : R$ 70 + R$0.5 por m rodado; ) Opção : R$ 00 se rodar até 0 m e R$ 40 se rodar mais de 0 m num dia. Mostre que a opção é mais vantajosa que a opção pois tem menor custo esperado (R$ versus R$ 4.08).

4 4 Solução Seja C o custo diário de aluguel. Na primeira opção: C X e então o custo esperado é E(C) E(X) Na a. Opção: 00 C 40 se 60 X 0 se 0 < X 60 E(C) 00.(60 < X < 0) + 40.( 0 < X < 60) Mas, E( X ) x. dx x 60 { x + 0x 600} dx x 4 { } { 8.} 0 4 x x Então, na a. Opção o custo esperado é: E(C) (0) R$ Para o cálculo do custo sob a a. Opção precisamos calcular (60 < X < 0) e ( 0 < X < 60) Note que: (0 < X < 60) - ( 60 < X < 0) Também, ( 60 < X < 0) 0 x 0 { x + 0x 600} dx + 0x 600x (08) (54) (7) 8 { } { 08000} Logo, o custo esperado sob a a. Opção é: E(C) 00(0.6480) + 40( ) R$ 4.08 Logo, a a. Opção é mais econômica.

5 5 PROBLEMA 4 Uma empresa de comércio eletrônico quer saber como funciona a relação entre o interesse por certos produtos e a renda de seus clientes. Uma pesquisa anterior revelou que: 5 % dos clientes pertencem à classe A. 5% dos clientes pertencem à classe B. 0% dos clientes pertencem à classe C. 0% dos clientes pertencem à classe D. Dentre os clientes da classe A, 60% já pesquisaram no site da empresa por noteboos. Dentre os clientes da classe B, 50% usam pesquisaram no site da empresa por noteboos. Dentre os clientes da classe C, 40% pesquisaram no site da empresa por noteboos. Dentre os clientes da classe D, 0% pesquisaram no site da empresa por noteboos. Um cliente é escolhido aleatoriamente e está pesquisando no site sobre noteboos. Qual a probabilidade dele pertencer a cada uma das classes? (ESCREVA CLARAMENTE OS EVENTOS DE INTERESSE NESTE PROBLEMA) Solução (A) 0.5, (B) 0.5, (C) 0.0, (D) 0.0. Seja R o evento { pesquisar sobre noteboos}. Então: (R A) 0.60, (R B) 0.50, (R C) 0.40, (R D) 0.0 A probabilidade de um cliente qualquer pesquisar no site sobre noteboos é: ( R) ( R A).( A) + ( R B).( B) + ( R C).( C) + ( R D).( D) 00(00) 0000 { 5(60) + 5(50) + 0(40) + 0(0) } ( 4650) Sabendo que um cliente pesquisa sobre noteboo no site, a probabilidade dele pertencer a cada uma das classes de consumo é: ( R A).( A) 5(60) 500 ( A R) 0.6 ( R) ( R B).( B) 5(50) 750 ( B R) 0.76 ( R) ( R C).( C) 0(40) 00 ( C R) 0.58 ( R) ( R D).( D) 0(0) 00 ( D R) ( R)

6 MQI 00 ESTATÍSTICA PARA METROLOGIA - SEMESTRE ofa. Mônica Barros Formulário 6 Definições Básicas Eventos mutuamente exclusivos a probabilidade da sua interseção é o conjunto vazio Eventos independentes (definição para eventos) - a probabilidade da sua interseção é o produto das suas probabilidades Definição axiomática de probabilidade i) 0 P(A) para todo A S ii) P(S) iii) P(A A A...) P(A) + P(A) + P(A) +... onde os Ai são mutuamente exclusivos. Em particular, de iii) segue que: P(A A) P(A) + P(A) se A e A forem mutuamente exclusivos Da definição de probabilidade segue que: iv) P(Ø) 0 v) Para todo A S, P(A c ) - P(A) onde A c é o complemento de A vi) Para todo A S, 0 P(A) P(S) vii) Para quaisquer A e A em S tais que A A então P(A) P(A) Lei da Adição Para quaisquer A e A em S: (A A) (A) + (A) - (A A) Partição do Espaço Amostral B, B,..., B formam uma partição de S se a união dos B s é S e se os B s são todos mutuamente exclusivos. Se B, B,..., B formam uma partição de S e A é um evento qualquer em S então: A (A B) (A B) (A B)... (A B). Mas, os (A Bi) são mutuamente exclusivos e então: (A) (A B) + (A B) + (A B) (A B) obabilidade Condicional P(A B) P(A B)/P(B) desde que P(B) seja > 0 Analogamente, P(B A) P(A B)/P(A) desde que P(A) seja > 0 Teorema da Multiplicação P(A B) P (B A). P(A) P(A B). P(B) Daí: P P ( B A) ( A B) P( B) P( A) Teorema da obabilidade Total Considerando a partição B, B,..., B e um evento A qualquer em S, (A Bi ) ( Bi ). (A Bi) para i,,...,. Então: (A) (B).(A B) + (B).(A B) (B).(A B) Teorema de Bayes Mistura os teoremas da multiplicação e da probabilidade total. Sejam B, B,..., B uma partição de S e A um evento qualquer em S. Então: ( B A) i ( Bi A) ( A) j ( B A) i ( A B ) ( B ) Para qualquer evento Bi na partição e qualquer A. j j j ( A B ) ( B ) i ( A B ) ( B ) j i j Amostragem COM e SEM reposição Nos dois casos: População tem r objetos do tipo I e N-r objetos do tipo II, num total de N objetos (tamanho da população). A amostra tem tamanho n, dos quais x elementos são do tipo I e n-x do tipo II. A probabilidade de exatamente x objetos do tipo I na amostra SEM reposição é: Mônica Barros

7 r N r x n x N n onde E na amostra COM reposição é: N N! n n! r r! x x! N r n x ( N n)! ( r x)! ( N r)! ( n x) N n ( r x)!( )! n n!. p x.( p n x x n x ).( ) para 0,,,..., x! ( n-x) p p x n x! Onde p r/n é a proporção de objetos do tipo I na amostra (que é mantida fixa). Formulário 7 Função de obabilidade É uma função que associa a cada possível valor de uma variável aleatória discreta a sua probabilidade de ocorrência. f(x) (X x) é uma função de probabilidade se: ( X x) 0 para ( X x) Função Densidade de obabilidade Serve para calcular probabilidades para variáveis contínuas. Deve satisfazer: 0 para P dx ( a < X < b) P( a X b) a Função de Distribuição (F(x)) ) F(x) (X x) ) 0 F (x) ) F(x) é uma função não decrescente b dx 4) Lim F(x) se x + 5) Lim F(x) 0 se x - 6) Se X é uma v.a. contínua, F(x) é contínua. Se X é discreta, F(x) é descontínua Relação entre densidade e função de distribuição df( x) f( x) dx Nome Densidade ou Função de obabilidade Média Variância Uniforme b se a x b b a ( λ. x) onde λ > 0 e 0 λ.exp x a + ( b a) Exponencial /λ /λ Binomial n! n.p n.p.q x n x n x n x f( x) ( X x) p ( p) p ( p) x x!( n x)! para x 0,,,..., n ( ) ( ) ( ) Geométrica n /p q/p f n X n p p onde n,,,... Mônica Barros

8 Poisson x λ λ λ λ. e ( X x) f( x) x! onde x 0,,,... Formulário 8 Binomial Negativa x r f ( x ) ( X x ). p. q r onde x r, r +, r +,... x r r/p r.q/p Resultados Matemáticos Série Geométrica 0 a + a + a + a +... a desde que a < Teorema Binomial n n + 0 n n ( a b) a b onde a e b são número reais e, n são inteiros 0 Série de Taylor da Exponencial e x 0 x x x x + x !!!! Definição: -ésimo momento Definição: Média ou Valor Esperado de X E ( X ) x. f ( x) x. f dx se X é v.a. contínua ( x) x.( X x) se X é v.a. discreta μ E ( X ) x. f ( x) x. f dx se X é v.a. contínua ( x) x.( X x) se X é v.a. discreta Definição: -ésimo momento central E ( X μ ) ) ( x μ ). dx se X é v.a. contínua ( x μ ). ( x μ).( X x) se X é v.a. discreta Em particular, se : E(X μ) 0, ou seja, o primeiro momento central é sempre nulo. Definição: Variância ( x μ ). dx se X contínua σ VAR( X ) E (( X μ) ) x μ. f x x μ. X x Fórmula alternativa para o cálculo da variância σ VAR( X ) E( X ) μ ( ) ( ) ( ) ( ) se X discreta Definição: Valor esperado de uma função de uma variável aleatória Definição: Desvio padrão E ( u( X )) u( x). dx u( x). u( x).( X x) se X é v.a. contínua se X é v.a. discreta σ σ VAR( X ) Transformanção numa variável N(0,) Transformação numa N(0,) Se X ~ N( μ, σ ) então Z (X μ)/ σ é uma variável Normal com média 0 e variância. Tabela da N(0,) Apresenta os valores de z e Φ(z) para z não negativos, onde Φ é a função de distribuição da N(0,). Simetria da tabela da N(0,) Φ(-z) - Φ(z) onde z é > 0 Mônica Barros

9 Formulário opriedades Média e Variância de constantes e funções lineares Sejam a e b constantes, e X uma variável aleatória qualquer. Então: -) E(a.X + b) a.e(x) + b -) E(a) a -) VAR(a.X+ b) a.var(x) 4-) VAR(a) 0 opriedade linearidade do valor esperado: E{a.u(X) + b.v(x)} a E {u(x)} + b E {v(x)} Mônica Barros

10 Tabela Função de Distribuição N(0,) Formulário 0 z Φ(z) z Φ (z) z Φ (z) 0, ,00%, ,%,05 7,7% 0, %, % % 0, % % % 0, % % % 0,0500 5,%, ,% % 0,000 5,8%,055 85,44% % 0,500 55,6%,000 86,4%,000 8,% 0,000 57,%,80 86,8%,000 8,6% 0,6 58,85%,475 87,44%,6 8,7% 0,500 5,87%,500 87,4%,000 8,% 0,000 6,7%,55 87,60%,6,00% 0,05 6,85%,000 88,4%,,0% 0,475 6,5%,060 88,6%,4000,8% 0,4 6,65%,00 88,88%,5000,8% 0,500 6,68%,500 8,44%,5500,46% 0, ,54% %,568,48% %,86 0,00%,6000,5% 0,407 66,67%,000 0,%,6500,60% 0, ,6%, 0,88%,6667,6% 0,5000 6,5%,750.54%,68,64% 0, ,88%,4000,%,7000,65% 0, %,4468,60% % 0,6000 7,57%,4500,65%,8000,74% 0,650 7,40%,5000,%,000,8% 0, ,%,5500,4%,500,84% 0, ,75%,58 4,%,0000,87% 0, ,88%,6000 4,5%,000,0% 0, ,80%,6450 5,00%,500,% 0, ,4%,6667 5,%,000,% 0, ,8%,7000 5,54% 0,8 7.77%,8000 6,4% 0, % % 0, ,%,000 7,% % % 0,844 8,45%,600 7,50% 0,000 8,5%,700 7,56% 0,67 8,0%,800 7,6% 0,500 8,8%,00 7,67% 0,500 8,8%,0000 7,7% 0,750 8,5%,000 7,78% 0,800 8,65% 0,00 8,8% Mônica Barros

Premium até 10 S.M. 180 60 30 20 10 a 20 S.M. 80 40 40 40 20 a 30 S.M. 60 30 60 70 mais de 30 S.M. 40 20 70 160

Premium até 10 S.M. 180 60 30 20 10 a 20 S.M. 80 40 40 40 20 a 30 S.M. 60 30 60 70 mais de 30 S.M. 40 20 70 160 1 MQI 2003 Estatística para Metrologia semestre 2008.01 LISTA DE EXERCÍCIOS # 1 PROBLEMA 1 Uma empresa de TV a cabo toma uma amostra de 1000 clientes, com o objetivo de verificar a relação entre a renda

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