Lista de Exercícios 4: Soluções Sequências e Indução Matemática

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1 UFMG/ICEx/DCC DCC Matemática Discreta Lista de Exercícios : Soluções Sequências e Indução Matemática Ciências Exatas & Engenharias o Semestre de 05 O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir associar) a cada número racional um número natural Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de um par ordenado onde o primeiro número representa o numerador e o segundo o denominador Começando do número racional par ordenado, ) é possível associar o número natural e, seguindo o sentido das setas, atribuir o próximo número natural definindo assim uma sequência de enumeração Dado o número racional positivo p q, qual é o número natural correspondente?, ), ), ), ) 5, ), ), 5), 5), 5), 5) 5, 5), 5), ), ), ), ) 5, ), ), ), ), ), ) 5, ), ), ), ), ), ) 5, ), ), ), ), ), ) 5, ), ) De acordo com o enunciado acima, a enumeração dos números racionais irá ocorrer da forma apresentada a seguir o número natural associado a cada número racional está entre colchetes): Pontos a observar:, ), ), ), ) 5, ), ) [], 5), 5), 5), 5) 5, 5), 5) [] [0], ), ), ), ) 5, ), ) [0] [] [9], ), ), ), ) 5, ), ) [] [9] [] [8], ), ), ), ) 5, ), ) [] [5] [8] [] [7], ), ), ), ) 5, ), ) [] [] [] [7] [5] [] a a a a 5 a a Diagonais O número racional positivo p q é representado pelo par ordenado p, q);

2 A soma dos índices p e q dos pares ordenados ao longo de cada diagonal é a mesma Na primeira diagonal temos apenas um par ordenado, ie,, ), e a soma vale A partir da segunda diagonal, as somas dos índices valem,, 5, etc; Na primeira diagonal temos um par ordenado, na segunda dois, na terceira três e assim sucessivamente Isso significa que em cada diagonal temos p + q) pares ordenados; Quando a soma p + q é um número ímpar, a enumeração ocorre de baixo para cima e, quando é par, ocorre de cima para baixo; Para calcular o número natural k associado ao número racional p, q) temos que saber quantos pares ordenados existem nas diagonais anteriores à diagonal onde se encontra o par p, q) Essa é a soma de a p + q), representada por S: S [p + q) ] [p + q) ] Finalmente, deve-se determinar o sentido da enumeração de baixo para cima, ou vice-versa) para o par p, q): se p + q) mod 0 fimse então k S + p senão k S + q // p + q) é um número par, ie, a diagonal é de descida? // Sim, devemos somar a S o valor de p, que é o termo que cresce // Não, devemos somar a S o valor de q, que é o termo que cresce Observe que quando o sentido da enumeração é de cima para baixo ao longo da diagonal, o número p deve ser somado a S para determinar a posição correta da enumeração Quando o sentido da enumeração for o contrário, o número q deve ser somado Prove por indução matemática que n nn + )n + ), n a) Passo base: Para n, e nn+)n+) O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k k kk + )k + ), k k + k + ) k + )k + )k + ) k + k + ) kk + )k + ) + k + ) kk + )k + ) + k + ) k + )[kk + ) + k + )] k + )[k + k + k + ] k + )k + 7k + ) k + )k + )k + )

3 Prove por indução matemática que n ) n, n a) Passo base: Para n, O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k k ) k, k k ) + k + ) k + ), k k ) + k + ) k + k + ) k + ) Prove por indução matemática que n n), n Essa prova pode ser dividida em duas partes: i) prova do somatório do lado direito e substituição pela fórmula fechada, e ii) prova do somatório do lado esquerdo Sabe-se que a soma n, n, vale nn+) esta prova pode ser obtida por indução matemática) Assim, temos que n n n + ), n a) Passo base: Para n, +) O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k k k k + ), k k + k + ) k + ) k + ), k k + k + ) k k + ) + k + ) k k + ) k k + ) + k + )k + ) + k + ) k + k + ) k + ) k + ) k + )k + )

4 5 Prove por indução matemática que n n + n, n a) Passo base: Para n, e + O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k k k + k kk + ), k k + k + ) k + ) + k + ) k + )[k + ) + ] k + )k + ), k k + k + ) kk + ) + k + ) k + k + k + k + k + k + )k + ) Prove por indução matemática que n ii + ) i a) Passo base: Para n, n i ii + ) passo base é verdadeiro nn )n + ), inteiros n i ii + ) + ) e nn )n+) O b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k+ k ii + ) i k ii + ) i kk )k + ) kk + )k + ) k ii + ) i k ii + ) + kk + ) i kk )k + ) + kk + )

5 kk )k + ) + kk + ) kk + )[k ) + ] kk + )k + ) 7 Ache a fórmula fechada para a soma nn + ) inteiros n e prove o seu resultado por indução matemática Somando os primeiros termos e simplificando temos que: o que leva a conjectura que para todos os inteiros positivos n, nn + ) n n + a) Passo base: Para n,, que é o valor da fórmula fechada O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k kk + ) k k kk + ) + k + )k + ) k + k kk + ) + k + )k + ) k k + + k + )k + ) kk + ) + k + )k + ) k + k + k + )k + ) k + ) k + )k + ) k + k + 8 Ache a fórmula fechada para o produto ) ) ) ) n 5

6 inteiros n e prove o seu resultado por indução matemática Seja a suposição que ) ) ) ) n inteiros n Deve-se provar que de fato essa suposição é verdadeira n i ) i n a) Passo base: Para n, i i ) ) e a fórmula fechada vale O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k+ ) ) ) ) k k i ) ) ) ) ) k k + ) i k k+ i ) i k + k+ i ) i k ) ) i k + i ) ) k k + ) ) k + ) k k + k + 9 Ache a fórmula fechada para a soma n ) n + ) inteiros n e prove o seu resultado por indução matemática Seja a suposição que inteiros n n ) n + ) n n + a) Passo base: Para n, n ) n+) ) +) e a fórmula fechada vale + O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k k ) k + ) k k +

7 k + ) ) k + ) + ) k + k + ) + ou equivalentemente, k + ) k + ) k + k k )k + ) + k + )k + ) k k + + k + )k + ) kk + ) k + )k + ) + k + )k + ) k + k + k + )k + ) k + )k + ) k + )k + ) k + k + 0 Ache a fórmula fechada para a soma n i i )i, inteiros n e prove o seu resultado por indução matemática Seja a suposição que n i i )i n inteiros n Deve-se provar que de fato essa suposição é verdadeira a) Passo base: Para n, os dois lados da equação valem O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k+ k i )i k, k i k+ i i )i k +, k k+ i i )i k i i )i + kk + ) k + k k + k + ) 7

8 Prove o seguinte predicado P n) usando indução matemática: P n): Qualquer número inteiro positivo n 8 pode ser escrito como a soma de s e 5 s Prova por indução matemática fraca): a) Passo base: P n 0 ) P 8): Para n 0 8, temos que e o predicado P é verdadeiro b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n k então deve ser verdadeira para n k +, ie, P k) P k + ) Suponha que a fórmula seja verdadeira para n k, ie, P k) : k a + 5b, para a 0 e b 0 [hipótese indutiva] Deve-se mostrar que P k + ) : k + a + 5b, para a 0 e b 0 Dois casos a considerar para k + : i) b 0: É possível substituir um 5 por dois s quando é feita a soma de: k + a + 5b + a + 5b ) a + + 5b ) a + 5b ii) b 0: Neste caso, deve haver pelo menos três s para termos valores de n 9 Assim, temos: [Isto era o que devia ser provado] k + a + a ) + + a + 5 a + 5b Suponha que temos selos de e 7 centavos Prove que é possível ter qualquer valor de postagem de 8 centavos ou mais usando somente esses selos Prova por indução matemática forte): a) Passo base: Para os seguintes valores de postagem p é possível usar apenas selos de e 7 centavos Assim, o passo base é verdadeiro p Selos b) Passo indutivo: Vamos supor que para todos inteiros p, 8 p < k, p seja um valor de postagem que pode ser obtido apenas com selos de e 7 centavos Vamos provar que a proposição também é verdadeira para k Ao dividirmos k por temos um quociente q e um resto entre 0 e Ao dividirmos os valores de postagem p [8, ] temos também como resto os valores entre 0 e Ou seja, k pode ser expresso como um valor de postagem p entre 8 e somando de um fator múltiplo de Formalmente temos que k p mod para um valor de p [8, ] Isto é lido como: k é congruente com p módulo, o que significa que existe um valor de p [8, ] que quando dividido por deixa o mesmo resto que k quando dividido por 8

9 Prove por indução matemática que n < n, para todos inteiros n 5 a) Passo base: Para n 5, a desigualdade 5 < 5 é verdadeira Assim, o passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a afirmação é verdadeira para n k, k 5 então deve ser verdadeira para n k + k < k para todos inteiros k 5 para todos inteiros k 5 pela hipótese indutiva Sabe-se também que k + ) < k+ k + ) k + k + < k + k + k + < k para k Colocando estas desigualdades juntas, temos; Seja a seqüência a, a, a, definida como k + ) < k + k + < k + k a a k 7a k, inteiros k Prove por indução matemática que a n 7 n para todos os inteiros n a) Passo base: Para n, a n a 7 O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a afirmação é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k + a k 7 k para todos inteiros k para todos inteiros k 5 Seja a seqüência a, a, a, definida como a k+ 7 k+) 7 k a k+ 7a k, inteiros k 7 7 k ) Hipótese indutiva 7 k a a a k a k + a k, inteiros k Prove por indução matemática que a n é ímpar para todos os inteiros n Prova por indução matemática forte): 9

10 a) Passo base: A propriedade é verdadeira para n e n, já que a e a, que são ímpares b) Passo indutivo: Se k > e a propriedade é verdadeira para todos i, i < k, então deve ser verdadeira para n k Seja k > um inteiro e suponha que a i é ímpar para todos os inteiros i, i < k Deve-se mostrar que a k é ímpar Sabe-se pela definição de a, a, a,, a n a k + a k Sabe-se também que a k é ímpar pela hipótese indutiva, já que k < k e k >, e a k é par, pela definição de número par Assim, a k + a k é a soma de um número ímpar e um número par, que dá como resultado sempre um número ímpar Seja a seqüência g 0, g, g, definida como g 0 g 9 g k 5g k g k, inteiros k Prove por indução matemática que g n 5 n + 7 n para todos os inteiros n 0 Prova por indução matemática forte): a) Passo base: Para n 0, temos que g e para n, temos que g Logo, o passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: Se k > e a propriedade é verdadeira para todos i, i < k, então deve ser verdadeira para n k Seja k > um inteiro e suponha que g k 5 k + 7 k para todos os inteiros i, i < k Deve-se mostrar que g k 5 k + 7 k para n k g k 5g k g k 55 k + 7 k ) 5 k + 7 k ) 5 k + 5 k 0 k k k 5 0) + k 5 ) k 5 + k 8 k 9 5) + k 7) 5 k + 7 k 7 Seja a seqüência h 0, h, h, definida como h 0 h h h k h k + h k + h k, inteiros k Prove por indução matemática que h n n para todos os inteiros n 0 Prova por indução matemática forte): 0

11 a) Passo base: A propriedade é verdadeira para n h n n 0 h 0 0 h h 9 b) Passo indutivo: Se k > e a propriedade é verdadeira para todos i, i < k, então deve ser verdadeira para n k Seja k > um inteiro e suponha que h i i para todos os inteiros i, i < k Deve-se mostrar que h k k Sabe-se pela definição de h k h k + h k + h k Sabe-se também que Logo, h k k h k k h k k h k h k + h k + h k k + k + k k + + ) k ) k k já que < 8 Seja a seqüência x 0, x, x, definida como x 0 0 x x k 5x k + 7x k, inteiros k Prove por indução matemática que se k é múltiplo de então x k é par Prova por indução matemática forte): a) Passo base: Ao observarmos essa sequência temos: i x i Número 0 0 par ímpar ímpar par Para os índices 0 e, múltiplos de, a proposição está correta e, assim, o passo base é verdadeiro Se continuarmos a calcular os próximos valores de x i veremos que ambos x e x 5 sáo números ímpares e x é par b) Passo indutivo: Se k e a propriedade é verdadeira para todos i, i < k, então deve ser verdadeira para n k

12 seja k k, ou seja, k é um múltiplo de Os números x k e x k são ímpares Deve-se mostrar que x k é par Sabe-se que x k 5x k + 7x k O primeiro termo terá como resultado um número ímpar já que x k é ímpar que quando elevado a uma potência cúbica multiplicado por um fator ímpar, fornece um número ímpar O segundo termo terá como resultado um número ímpar já que x k é ímpar que quando multiplicado por um fator ímpar, fornece um número ímpar Assim, como x k é o resultado da soma de dois números ímpares, temos que x k é par 9 Seja a seqüência a 0, a, a, definida como a 0 0 a 0 a k a k + k k ), inteiros k Ache a fórmula fechada para o k-ésimo termo e prove por indução matemática Ao observarmos essa sequência temos: i a i ou seja, o termo Calcule essa soma sabendo que: a k i0 k i ) i i k i i i k i i n ix i x nxn + n )x n+ x) Dica: transforme a soma n i0 ixi em uma soma n i ixi, ou seja, acrescente o termo para i n e remova os termos para i 0 e i 0 Seja a seqüência a 0, a, a, definida como a 0 0 a a k k a k, inteiros k Ache a fórmula fechada para o k-ésimo termo e prove por indução matemática

13 Ao observarmos essa sequência temos: ou seja, o termo a i i a k Se k é par então a k k ; se k é ímpar então a k k+ Prova por indução matemática forte): k a) Passo base: A propriedade é verdadeira para i 08 b) Passo indutivo: Se k > e a propriedade é verdadeira para todos i, 0 i < k, então deve ser verdadeira para n k Se i é par então a i i ; se i é ímpar então a i i+, para 0 i < k Deve-se mostrar que essa proposição é verdadeira para k Sabe-se que a k k a k Temos dois casos: i) k é par: a k k a k k k k, já que k é ímpar e a k k + ii) k é ímpar: a k k a k k k k+, já que k é par e a k k Prove por indução matemática que n, n é ímpar a) Passo base: Para n, é ímpar O passo base é verdadeiro b) Passo indutivo: se a afirmação é verdadeira para n k, k então deve ser verdadeira para n k + k, k é ímpar k+ é ímpar k+ k k + k ) + Pela hipótese indutiva k é um número ímpar que quando multiplicado por e somado com continua sendo um número ímpar

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