INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL MÉTODOS DE PLANEAMENTO. Capítulo II Método PERT

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1 INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL MÉTODOS DE PLANEAMENTO Capítulo II Método PERT António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i

2 II. Método PERT...II-. Introdução...II- 2. Duração da Actividade...II- 3. Estimativas de Tempo - Tempo Esperado da Actividade...II- 4. Rede do Projecto...II-2 5. Auto Teste...II-9 6. Solução do Auto-Teste...II-0 7. Caminho Sub crítico...ii-2 8. Auto Teste...II-4 9. Solução do Auto Teste...II-5 ii

3 II. Método PERT. Introdução O método PERT (Program Evaluation Review Technique) parte do princípio que as actividades e as suas relações de precedência na rede foram bem definidas mas admite incerteza nos tempos de duração de algumas ou de todas as actividades. 2. Duração da Actividade Há actividades que têm duração variável e cuja execução continuada permite estabelecer a função de distribuição dos tempos de execução (média e variância). Há actividades que nunca foram executadas e sobre as quais não há informação quanto à sua duração. Neste caso é feita não só uma estimativa do Tempo mais provável ( t m ), associado á execução, mas admite-se um certo grau de incerteza nesta estimativa. Para quantificar esta incerteza, os técnicos produzem mais duas estimativas: estimativa optimista: se tudo correr pelo melhor o tempo mínimo de execução será t o = tempo optimista estimativa pessimista : se tudo correr mal o tempo máximo de execução será t p = tempo pessimista Nem sempre é fácil estabelecer estas estimativas. Naturalmente, se o Tempo Mais Provável, t m, está mais perto do Tempo Optimista e se os extremos do intervalo tiverem a mesma probabilidade de ocorrência, então o Tempo Médio ou Esperado, t e, em repetições sucessivas, será mais influenciado pelo Tempo Pessimista pelo que será superior ao Tempo Mais Provável. 3. Estimativas de Tempo - Tempo Esperado da Actividade O Tempo Esperado (médio) da actividade é uma média ponderada das três estimativas de tempo (optimista, mais provável e pessimista)com os seguintes pressupostos : os Tempos Optimista (t o ) e Pessimista (t p ) têm igual probabilidade de ocorrência o Tempo Mais Provável (t m ) tem uma probabilidade de ocorrência quatro vezes maior que a das outras duas estimativas Assim sendo, a expressão para cálculo do Tempo Esperado da actividade (t e ) é a seguinte: t e = t o + 4tm + t p 6 Este Tempo Esperado é o valor médio dos tempos de execução da actividade se esta fosse repetida um elevado número de vezes. Estes pesos baseiam-se na distribuição BETA (β) escolhida pelos criadores do PERT por ser unimodal, extremos finitos não negativos e não necessariamente simétrica (a distribuição normal não tem estas duas últimas propriedades). II-

4 Quanto maior for o intervalo Tempo Optimista - Tempo Pessimista maior incerteza (menos confiança) teremos associada ao valor do Tempo Esperado. A quantificação desta incerteza é feita pela Variância associada ao tempo esperado considerando que o Desvio-padrão da distribuição é um sexto do intervalo entre as estimativas extremas 2 : V t t = p t Rede do Projecto a. Caracterização da Actividade (Tarefa) Para aplicar o método PERT é necessário conhecer para cada tarefa: a sua duração se não há incerteza quanto ao tempo de execução 3 ; a sua duração média e respectiva variância associada se há incerteza quanto ao tempo de execução; a lista de precedências (quais as actividades precedentes, ou seja, as actividades de cuja conclusão depende o seu início); b. Rede AOA. Cálculo da rede. Para cada uma das etapas da rede é necessário conhecer: Tempo Mais Cedo Médio e a Variância associada ( TE e V TE ): Calcula-se tal como na rede CPM. A variância associada é a soma das variâncias associadas às parcelas consideradas. Tempo Mais Tarde Médio e a Variância associada ( TL e V TL ) Calcula-se tal como na rede CPM. A variância associada é a soma das variâncias associadas às parcelas consideradas. Folga da Etapa e a Variância associada ( FeV F ) Calcula-se tal como na rede CPM. A variância associada é a soma das variâncias associadas aos Tempos Mais Cedo e Mais Tarde Médios da etapa Estes valores registam-se, na etapa, como mostra a figura seguinte: TE TL F V TE V TL V F 2 Quase todos os valores de uma distribuição unimodal estão contidos num intervalo centrado no valor médio e semiabertura igual a três vezes o desvio padrão. 3 A rede do projecto PERT pode englobar actividades com duração determinística e/ou aleatória II-2

5 c. Etapa - Tempo Mais Cedo Médio Considerem-se os seguintes dados de uma rede PERT: Duração (dias) Optimista Mais Provável Pessimista Média Variância Precedência A B C D A E B, D F C G 3 0 A A rede do projecto é a seguinte: 0 D;2;5;4 G;3;0 A;,4,7 B;0;4 30 E;3;6;5 40 C;2;8 20 F;4.5;8 Nota: No arco escrevem-se as 3 estimativas(actividades A, D e E ) ou o tempo esperado e a respectiva variância (actividades B, C e F ). A actividade G com variância nula tem duração determinística. É necessário calcular os tempos esperados e variâncias associadas das actividades com 3 estimativas de tempo e registá-los na rede para, de seguida, calcular os valores Actividade A t e to + 4tm + tp = = = 4 dias ; 6 6 Actividade D t e TE evte de cada etapa: tp t Vt = = = d ia to + 4tm + t 2 p tp t 4 2 = = = 6 dias ; Vt = = = 4 ias 6 6 d II-3

6 Actividade E t e to + 4tm + tp = = = 7 dias ; tp t Vt = = = 4 d ias 6 6 Registados os valores obtidos os Tempos Mais Cedo Médios das etapas e as Variâncias associadas, são os seguintes: 4 0 D;6;4 G;3;0 A;4; B;0;4 30 E;7; C;2;8 20 F;4.5;8 2 8 Nota: Na etapa 30 o tempo mais cedo médio é de 0 dias percorrendo A e D = 4+6 =0 ou apenas B=0. Porque há empate no TE a variância associada é a mais elevada. Neste caso, a variância (grau de incerteza) associada à duração do º caminho ( = 5) é superior à do 2º caminho (0 + 4 = 4) pelo que se registou 5. A duração total esperada do projecto é de 7 dias (com variância 9) resultante da soma de valores de variáveis aleatórias pelo que também é uma variável aleatória. O que é interessante (e feliz do ponto de vista estatístico) é que T e = 7 dias não tem a mesma distribuição que os tempos esperados t e mas segue aproximadamente a distribuição normal. No exemplo proposto a distribuição dos tempos de duração total do projecto é a seguinte: 34% 3% 2% 7 23 dias II-4

7 O planeador pode assim concluir, por exemplo, que há cerca de 84% de probabilidade de o projecto estar concluído em 20 dias e se a data limite for de 23 dias há cerca de 97% de probabilidade de a cumprir. Em regra os valores dos Tempos Mais Tarde Médios de cada etapa são calculados face a uma dada data limite para que o planeador possa identificar quer o(s) caminhos(s) crítico(s) quer os caminhos sub críticos. d. Etapa - Tempo Mais Tarde Médio e Folga Média Considere-se ser de 20 dias a Data Limite do projecto anterior. Dispondo deste dado calculam-se os TL médios de forma igual à descrita no método CPM. A cada um deles associa-se a respectiva variância que resulta da soma das variâncias associadas aos tempos esperados utilizados para calcular o TL. No que respeita às Folgas Médias em cada etapa o seu valor é calculado de modo igual ao indicado no método CPM e a variância associada é igual à soma da variâncias associadas aos TE e TL usados no seu cálculo. Retomando o exemplo anterior tem-se sucessivamente: 4 0 D;6;4 G;3;0 A;4; B;0;4 30 E;7; C;2;8 20 F;4.5; D;6;4 G;3;0 A;4; B;0;4 30 E;7; C;2;8 20 F;4.5; Nota: A Data - limite de 20 dias é imposta do exterior pelo que é determinística (variância nula). Nas etapas Inicial e Final as Folgas Média e Variância são sempre iguais II-5

8 e. Rede AOA. Actividade Crítica Na rede PERT uma actividade é crítica se satisfizer, em simultâneo, 3 condições: TE i + duração da actividade (i,j) = TE j Variância de TE i + variância da duração da actividade (i,j) = Variância de TE j serem iguais as Folgas Médias e Variâncias das etapas inicial e final da actividade e iguais às das etapas inicial e final do projecto D;6;4 G;3;0 A;4; B;0;4 30 E;7; C;2;8 20 F;4.5; Vejamos a criticidade de cada uma das actividades na rede anteriormente calculada: TEi + Dur = TE j? + V Dur = V? TEi TE F = 3 V j F = 9? Crítica? A = 4; Sim 0 + = ; Sim Etapas e 0; Sim Sim B = 0; Sim = 4; Não Não C = 2; Sim = 8; Sim Etapas e 20; Não Não D = 9; Sim + 4 = 5; Sim Etapas 0 e 30; Sim Sim E = 7; Sim = 9; Sim Etapas 30 e 40 ; Sim Sim F = 6.5; Não Não G = 7; Não Não Na actividade B, apesar de as Folgas Médias e variâncias das etapas inicial e final da actividade serem iguais às das etapas inicial e final do projecto, a actividade não é crítica pois não satisfaz a 2ª condição (Variância de TE (0) + Variância da duração de B (4) = 4 não é igual à Variância do TE 30 ). A actividade C não é crítica porque as suas etapas de arranque e chegada não têm Folga média = 3 dias com variância 9. As actividade F e G não são críticas pois não satisfazem a ª condição. As actividades A, D e E porque satisfazem as 3 condições antes referidas, são actividades críticas e a sua sucessão constitui o caminho crítico do projecto. II-6

9 D;6;4 G;3;0 A;4; B;0;4 30 E;7; C;2;8 20 F;4.5; A duração do projecto tem distribuição normal com Média de 7 dias e variância 9. O gráfico da distribuição de tempo é o seguinte: 7 23 dias Se o planeador pretendesse estabelecer uma Data - limite a observar com 90% de probabilidade actuaria do seguinte modo: º Na tabela de distribuição normal extrai o desvio tabelar associado a 0.90 Para a probabilidade o desvio tabelar é de z =.28 que é aceitável para II-7

10 Sendo T a Data - limite, T e = 7 dias o tempo esperado do projecto e V Te a variância associada a relação destas variáveis com a o desvio tabelar z é a seguinte: T T z = V No caso corrente, temos T e =7, V Te = 9 e z =.28 pelo que a Data - limite procurada é: T 7.28 = T = dias 3 Te e Admitindo agora que o planeador pretende saber a probabilidade de observar a Data - limite de 8 dias, calcularia z com T = 8: 8 7 z = z = Para este desvio tabelar a tabela da distribuição normal normalizada indica a probabilidade de (63%): II-8

11 5. Auto Teste Considere a rede PERT a seguir descrita (durações em dias). a. Calcular os tempos de etapa considerando a Data - limite de 46 dias b. Calcular a probabilidade de concluir o projecto em 46 dias (efectuar o cálculo com precisão de uma centésima). c. Calcular a Data - limite a observar com a probabilidade de 0.90 II-9

12 6. Solução do Auto Teste a. Obtido com o software do autor: b. Dados: T = 46 dias T e = com V = 9.57 Desvio tabelar z e probabilidade associada P(z): T Te z = = = = 0.49 V T e Pz ( ) = P(0.49) = A probabilidade de concluir o projecto no prazo máximo de 46 dias é aproximadamente 68% (arredondar sempre por defeito). Com o software do autor obtém-se: II-0

13 c. Desvio tabelar z para a probabilidade de 0.90: P(z) = 0.90 z =.28 Valor da Data - limite T a impor: T Te T z =.28 = T = dias V 9.57 Te Data - limite deve ser, no mínimo, 49 dias (arredondar por excesso). II-

14 7. Caminho Sub crítico Pode suceder que no projecto haja caminhos que não sendo críticos tenham variância superior à do caminho crítico e que, por essa razão, tenham menor probabilidade de observar a data limite do que aquela que é calculada para o caminho crítico. Na execução do projecto, se há pouca sorte na execução das tarefas de um caminho deste tipo e sorte na execução das tarefas críticas, é perfeitamente possível que a duração total da execução daquele exceda a do caminho crítico. Retome-se o exemplo precedente: D;6;4 G;3;0 A;4; B;0;4 30 E;7; C;2;8 20 F;4.5; Para a data limite de 20 dias a probabilidade de a duração total do caminho crítico não exceder estes 20 dias é de 0.84 dado que: T T e 20 7 t = = = ; P() 0.84 V 9 O caminho (actividades C e F ) tem: duração esperada de = 6.5 dias = variância associada = 6 ' T e A probabilidade de, neste caminho, observar a data limite de 20 dias é de 0.8 dado que: ' T T e t = = = ; P(0.875) 0.8 V 6 Conclui-se assim que este caminho é sub crítico pois tem a probabilidade de 8% de observar a Data - limite de 20 dias, que é menor do que a de 84% associada à execução das actividades do caminho crítico. II-2

15 Vejamos como calcular a probabilidade de este caminho sub-crítico passar a ser crítico: Caminho crítico: T e = 7 dias com variância 9 ' Caminho sub-crítico: T = 6.5 dias com variância 6 e Se a duração do caminho sub-crítico ultrapassar 7 dias então passará a ser crítico com a probabilidade associada ao seguinte desvio tabelar t : ' Te T t = = = 0. V + V 9+ 6 T' e Te P( 0.) = 49.6 Há pois a probabilidade de 49% de o caminho sub-crítico passar a ser crítico durante a execução. O controlo do projecto deverá ter em atenção esta situação para não ser surpreendido. II-3

16 8. Auto Teste Para o arranjo interior de um apartamento uma firma de construção civil dispõe do seguinte plano: (2-0) 0 ( ) 30 (2-0.) 35 ( - 3-5) 25 ( - 0) (2-0) 40 ( ) (2-3-4) (5-0.) 50 (3-0.03) ( ) (4.5-2 (2-0.) 5 (- 0 ) 20 (4-0.) 45 Nos arcos do grafo estão registadas três estimativas de duração da tarefa ou a duração esperada e variância associada (unidade de tempo = semana). a. Verificar se há caminhos sub críticos considerando a data - limite do projecto igual a 5 semanas. II-4

17 9. Solução do Auto Teste a. É necessário obter a duração do projecto e respectiva variância. Feito o cálculo obtêm-se os seguintes resultados: O caminho crítico é com duração de 4 semanas e Variância associada igual a A data - limite de 5 semanas é observada com a probabilidade associada ao desvio tabelar: T T e 5 4 t = = =.67 ; P() 0.95 V 0.36 A condição necessária, mas não suficiente, para que um caminho seja sub crítico, é ter uma variância associada á duração total que seja superior à que está associada à duração do caminho crítico. Só os caminhos, a seguir descritos, satisfazem esta condição necessária: Caminho Variância de T e > > > > > > 0.36 Testando a probabilidade de execução das tarefas destes caminhos no prazo da data limite de 5 semanas, são sub críticos os seguintes caminhos: II-5

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