CAPÍTULO 2 FUNÇÕES 1. INTRODUÇÃO. y = 0,80.x. 2. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DE A EM B ( f: A B) 4. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

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1 CAPÍTULO 2 FUNÇÕES 1. INTRODUÇÃO Muitas grandezas com as quais lidamos no nosso cotidiano dependem uma da outra, isto é, a variação de uma delas tem como conseqüência a variação da outra. Exemplo 1: Tio João vende maravilhosos chupchup ao preço de R$ 0,80 cada. Para não ter de fazer contas a toda hora, ela montou a seguinte tabela: Quantidade Valor (R$) 0,80 1,60 2, ,00 Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: a quantidade de chup-chup e o respectivo valor. A cada quantidade de chup-chup corresponde um único valor. Dizemos, por isso, que o preço é função da quantidade de chup-chup. Assim, a fórmula matemática que estabelece a relação de interdependência entre o valor (y) e a quantidade (x) será: y = 0,80.x 2. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DE A EM B ( f: A B) Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função f, de A em B, é uma relação que associa a cada elemento de A uma e somente uma imagem em B. Toda função f: A B é uma relação, entretanto, nem toda relação R: A B é uma função. Abaixo, as figuras 1 e 2 são exemplos de relações que são funções de A em B, e as figuras 3 e 4 são exemplos de relações, de A em B, que não são funções. 3. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJ. IMAGEM DOMÍNIO: O Domínio de uma função f: A B, é o conjunto formado pelos elementos do conjunto A, ou seja, D( f ) = A = { 1, 1, 2, 3 }. CONJUNTO IMAGEM: O Conjunto Imagem de uma função f: A B, Im( f ), é o conjunto formado pelos elementos do contradomínio (B) que estão associados a elementos do domínio D( f ) = A. Im( f ) = { 0, 3, 8 }. CONTRADOMÍNIO: Na função f: A B, é o Contradomínio é o conjunto B NUMA FUNÇÃO: cada elemento do domínio está associado a uma e somente uma imagem no contradomínio. 4. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 4.1. RECONHECIMENTO GRÁFICO DE FUNÇÃO Observações: 1) A figura 3 não representa uma f: A B, pois existe um elemento do conjunto A que não está associado a nenhum elemento do conjunto B; 2) A figura 4 não representa uma f: A B, pois um elemento do conjunto A está associado a mais de um elemento do conjunto B. É FUNÇÃO NÃO É FUNÇÃO Para ser função, cada elemento x do domínio só poderá estar associado a um e somente um elemento y do conjunto imagem do contradomínio.

2 4.2. RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO 3. (Fuvest-SP adaptada) A figura a seguir representa x a o gráfico de uma função da forma f(x), para x b 1 x 3. Dada uma função y = f(x), os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados raízes ou zeros dessa função. No exemplo acima x1, x2 e x3 são as raízes da função em questão. EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 1. (Unicamp-SP) O preço unitário de um produto é dado por: k p 10, para n 1 n onde k é uma constante e n é o número de unidades adquiridas. a) Encontre o valor da constante k, sabendo-se que quando foram adquiridas 10 unidades, o preço unitário foi de R$ 19,00. b) Com R$ 590,00, quantas unidades do referido produto podem ser adquiridas? a) Determine os valores de a e b. b) Calcule f(3) f( 1). 4. (UFCE) Uma espécie animal, cuja família inicial era de 200 elementos, foi testada num laboratório sob a ação de uma certa droga, e constatou-se que a lei de sobrevivência entre esta família obedecia à relação n(t) at 2 b, onde n(t) é igual ao número de elementos vivos no tempo t (dado em horas) e a e b, parâmetros que dependiam da droga ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu o último elemento) após 10 horas do início da experiência. Determine quantos elementos tinha esta família após 8 horas do início da experiência. 2. (Americano 2010) O gráfico de uma função f(x) é dado a seguir. Quais as raízes ou zeros de f(x)?

3 TESTES SÉRIE CASA (CAPÍTULO 2) 1. (UFPA 2007) Em um jornal de circulação nacional foi publicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com os percentuais, em função do ano, de famílias compostas por pai, mãe e filhos, chamadas famílias nucleares, e de famílias resultantes de processos de separação ou divórcio, chamadas novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo representam, a partir de 1987, a variação percentual desses dois tipos de família, com suas respectivas projeções para anos futuros, 3. (UFPB) O gráfico abaixo mostra a variação do volume V, em m 3, de um recipiente em função do tempo t, dado em minutos, a partir de um tempo inicial t =0. Com base nesse gráfico, é correto afirmar: a) O recipiente estava, inicialmente, vazio. b) O volume do recipiente começou a aumentar, somente após os 4 minutos iniciais. c) O volume mínimo do recipiente foi 1m 3. d) O recipiente estava, no terceiro minuto, com o volume máximo. e) O volume atingiu o mínimo, nos 4 minutos iniciais. é correto afirmar: a) No ano 2030, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares. b) No ano 2030, o número de novas famílias será menor do que o de famílias nucleares. c) No ano 2030, o número de novas famílias será maior do que o de famílias nucleares. d) No ano 2015, o número de novas famílias será igual ao de famílias nucleares. 4. (Americano 2010) O gráfico representa, em milhares de toneladas, a produção laranjas na fazenda do professor Rubão (Colatina-ES) nos anos de 2000 a (UFRGS 2006) Considere o gráfico abaixo, que apresenta a taxa média de crescimento anual de certas cidades em função do número de seus habitantes. A partir desses dados, pode-se afirmar que a taxa média de crescimento anual de uma cidade que possui habitantes é a) 1,95%. b) 2,00%. c) 2,85%. d) 3,00%. Analisando o gráfico, observa-se que a produção: a) foi crescente de 2002 a b) cresceu linearmente de 2000 a c) em 2003 teve acréscimo de 30% em relação ao ano anterior. d) a partir de 2005 foi decrescente. e) teve média de 50 mil toneladas ao ano. 5. (UNESP) Um ônibus parte da cidade A com destino à cidade B. Em cada instante t, medido em horas, a distância que falta percorrer até o destino é dada, em quilômetros, pela função D, definida por t 7 D(t) t 1 Com base nessas informações, pode-se estimar que o tempo gasto por esse ônibus para ir de A até B, em horas, é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

4 6. (Enem 1999) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas. a média aritmética das populações das cinco maiores megalópoles era igual a 22,3 milhões de pessoas, pode-se concluir que a população de Mumbai, na Índia, era, em 2007, de a) 18,9 milhões de habitantes. b) 19,0 milhões de habitantes. c) 19,8 milhões de habitantes. d) 20,3 milhões de habitantes. e) 20,7 milhões de habitantes. 8. (FUVEST-SP 2009) O índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um indicador do nível de desenvolvimento socioeconômico de um dado país que leva em conta, simultaneamente, diversos aspectos, tais como expectativa de vida, índice de mortalidade infantil, grau de escolaridade e poder de compra da população. A relação entre o consumo anual de energia per capita (TEP) e o IDH, em vários países, está indicada no gráfico abaixo, no qual cada ponto representa um país. Analisando os gráficos, pode-se concluir que a) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto. c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto. d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes. 7. (UFABC-SP 2009) Um século atrás, as maiores cidades concentravam-se nas nações mais ricas. Hoje, quase todas as megalópoles (aglomerados urbanos com mais de 10 milhões de habitantes) estão localizadas em países em desenvolvimento. O quadro lista alguns valores das populações nas grandes áreas metropolitanas das dez maiores cidades, em milhões de habitantes, em Sabendo-se que em 2007 Nova York, Cidade do México e Mumbai tinham as populações iguais, e que Com base nesse conjunto de dados, pode-se afirmar que a) o IDH cresce linearmente com o consumo anual de energia per capita. b) o IDH aumenta, quando se reduz o consumo anual de energia per capita. c) a variação do IDH entre dois países é inferior a 0,2, dentre aqueles, cujo consumo anual de energia per capita é maior que 4 TEP. d) a obtenção de IDH superior a 0,8 requer consumo anual de energia per capita superior 4 TEP. e) o IDH é inferior a 0,5 para todos os países com consumo anual de energia per capita menor que 4 TEP. 9. (PAS-USP 2009) Os gráficos a seguir mostram a presença de álcool,detectada no sangue de 3 homens adultos, que pesam, em média 75 Kg. As curvas ilustram como seria a variação da concentração de álcool no sangue, em função do tempo, após a ingestão de cerveja. Escolha a alternativa que indica quanto tempo leva, aproximadamente, para que a concentração de álcool, detectada no sangue, volte a ser inferior a 0,1 g/l, após o consumo, de forma ininterrupta, de 2, 3 e 4 latas de cerveja, respectivamente.

5 a) 1 hora, 1 hora e meia, 2 horas. b) 1 hora e meia, 2 horas, 4 horas. c) 2 horas, 3 horas, 4 horas. d) 2 horas, 4 horas, 5 horas e meia. e) 3 hora, 5 horas, 7 horas. 10. (ENEM 2009 cancelado) A importância do desenvolvimento da atividade turística no Brasil relaciona-se especialmente com os possíveis efeitos na redução da pobreza e das desigualdades por meio da geração de novos postos de trabalho e da contribuição para o desenvolvimento sustentável regional. No gráfico são mostrados três cenários pessimista, previsível, otimista a respeito da geração de empregos pelo desenvolvimento de atividades turísticas. Sabendo que todos os animais são nativos da própria reserva e que nenhum deles jamais foi retirado de lá, pode-se concluir que, durante esse estudo, o número de nascimentos foi igual ao número de mortes de animais no intervalo: a) de 0 a 2 anos. b) de 2 a 4 anos. c) de 4 a 6 anos. d) de 7 a 9 anos. e) de 10 a 12 anos. 12. (FGV-SP 2008) Receita bate novo recorde e acumula alta de quase 10%. Esta foi a manchete dos jornalistas Fabio Graner e Gustavo Freire para O Estado de S. Paulo de 19 de outubro de O corpo da matéria, ilustrada pelo gráfico abaixo, informa que a arrecadação da Receita federal em setembro totalizou R$ 48,48 bilhões, um recorde para o mês. De janeiro a setembro ficou em R$ 429,97 bilhões que, corrigidos pela inflação, somam R$ 435,01 bilhões, com crescimento de 9,94% ante o mesmo período de O secretário adjunto da Receita Federal destacou que, de janeiro a setembro, a expansão das receitas, na comparação com igual período de 2006, foi de 11.14%. De acordo com o gráfico, em 2009, o número de empregos gerados pelo turismo será superior a a) no cenário previsível. b) no cenário otimista. c) e inferior a no cenário previsível. d) e inferior a no cenário pessimista. e) e inferior a no cenário otimista. 11. (Americano 2010) Na propriedade rural do brasileiro megalatifundiário Rubão (Colatina-ES) um estudo de 12 anos analisou a variação do número de animais silvestres em uma reserva. Essa variação é descrita pelo gráfico a seguir: Pode-se concluir, então, que: a) a arrecadação da Receita Federal, de janeiro a setembro de 2007, foi crescente. b) em setembro de 2007, a Receita Federal arrecadou 10% a mais do que foi arrecadado em setembro de c) a arrecadação de setembro de 2007 foi 11,14% maior que a de janeiro de 2007.

6 d) em 2007, a arrecadação foi crescente nos períodos de fevereiro a abril, e de maio a agosto. e) no período de julho a setembro de 2007, a arrecadação da Receita Federal foi decrescente. 13. (UFSM-RS 2009) A internet tem-se tornado mundialmente um instrumento eficaz de informação do homem moderno. Utilizando a internet, pode-se conhecer a cultura de um povo, olhar museus, fazer pesquisas sobre artes, ciências, política, etc. A figura a seguir, publicada na revista Veja em 17/12/2008, mostra como são feitas as buscas na internet. Sob as mesmas normas previstas com a tabela dada, qual será o valor do imposto de renda mensal que deverá ser pago por um trabalhador que tenha R$ de salário? a) R$ 2.200,00 b) R$ 1.250,00 c) R$ 1.537,15 d) R$ 1.662,85 e) R$ 1.862, (FURG-RS 2005) Um certo provedor de Internet cobra R$50,00 ao mês para oferecer serviço de acesso à Internet por tempo ilimitado. Considere que a companhia telefônica local possui um sistema de cobrança pelo uso da linha telefônica conforme apontado no gráfico abaixo, isto é, durante as primeiras 100 horas de uso o preço é de R$0,05 ao minuto; para os minutos seguintes consumidos na faixa subseqüente de 100 a 200 horas, o preço do minuto cai para R$0,04 e assim sucessivamente até que, a partir de 500 horas, o serviço de telefonia passa a ser gratuito, conforme demonstra o gráfico. De acordo com os dados da figura, o número de buscas na internet, feitas mensalmente, é, em bilhões, aproximadamente igual a a) 50. b) 60,50. c) 83,33. d) 100. e) 100,66. 14) (Americano 2010) A tabela do imposto de renda sobre o salário mensal de um trabalhador e mostrada abaixo: IMPOSTO DE RENDA Tabela Progressiva Mensal (2009) Faixa de rendimento Alíquota Dedução Até R$ % (isento) De R$ a R$ ,5% R$ 107,55 De R$ a R$ % R$ 268,80 De R$ a R$ ,5% R$ 483,75 Acima de R$ ,5% R$ 662,85 O imposto de renda mensal pago por um trabalhador que tenha R$ 1.800,00 de salário é calculado conforme procedimento discriminado no quadro abaixo: Se o usuário ficar conectado durante todo o mês de janeiro de 2005, a soma das despesas com o provedor e com a companhia telefônica será de a) R$ 75,00. b) R$ 950,00. c) R$ 744,00. d) R$ 150,00. e) R$ 250,00. Imposto Mensal Pago = 7,5% do Salário Valor da Parcela a Deduzir Imposto Mensal Pago = 7,5% de R$ 1.800,00 R$ 107,55 Imposto Mensal Pago = R$ 135,00 R$ 107,55 Imposto Mensal Pago = R$ 27,45

7 GABARITO EXERCÍCIOS - SÉRIE AULA CAPÍTULO 2 1) a) k = 90 b) 50 unidades. 2) 4; 1; 3 e ) a) a = 2 e b = 2. b). 5 4) 72 GABARITO TESTES - SÉRIE CASA CAPÍTULO 2 1 C 6 D 11 E 2 C 7 B 12 E 3 D 8 C 13 C 4 E 9 D 14 C 5 A 10 E 15 B