I. Experimentos Aleatórios

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "I. Experimentos Aleatórios"

Transcrição

1 A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida dessa probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis. Pierre Simon Laplace Ensaio filosófico sobre as Probabilidades I. Experimentos Aleatórios São experimentos que não apresentam os mesmos resultados mesmo que sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas. Diremos que um experimento é determinístico quando repetido em condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos. Exemplos de experimentos aleatórios: a) o lançamento de um dado, b) o lançamento de uma moeda. II. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo: No experimento aleatório lançamento de uma moeda, temos como espaço amostral o E= k,c, onde k indica cara e c coroa. conjunto { } III. Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo: O conjunto A { janeiro, junho, julho} =, meses do ano que começam por j, representa um evento do espaço amostral constituído pelos meses do ano. IV. Probabilidade de um Evento n(a) A probabilidade do evento A ocorrer é definida pelo número real P(A), tal que P(A) =. n(e) onde n(a) corresponde ao número de elementos do evento A e n(e) corresponde ao número de elementos do espaço amostral E. 1

2 Exemplo 1: (Cesgranrio) Em uma amostra de quinhentas peças, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma peça dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita é de: (A) 99,0% ( B ) 99,2% (C) 99,4% (D) 99,1% (E) 99,3% O espaço amostral E é formado pelas quinhentas peças e então n(e) = 500. O evento é o conjunto A = { x E x é peça perfeita} n(a)=496. Logo, n(a) 496 P(A) = = = 0,992 = 99, 2% n(e) 500 Exemplo 2: (FEI-SP) Em uma indústria com 4000 operários, 20 têm mais de 20 anos, 1200 são especializado e oitocentos têm mais de 20 anos e são especializados. Se um dos operários é escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele ter no máximo 20 anos e ser especializado é : ( A ) 1 (B) 2 5 (C) 3 8 (D) (E) 7 18 O espaço amostral E é formado pelos 4000 operários e assim n(e) = 4000 O evento A é formado por 400 operários, logo n(a)= 400, veja: operários com mais de 20 anos operários especializados operários com no máximo 20 anos e especializados Com isso n(a) P(A) = = = n(e) 4000 Exemplo 3: (Fuvest SP) Escolhem-se ao acaso dois números naturais distintos, de 1 a 20. Qual é a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar? A 9 38 (B) 1 2 (C) 9 20 (D) 1 4 (E) 8 25 Como a ordem dos fatores não altera o produto, o número de elementos do espaço amostral E é dado por: 2

3 20! ! / C20,2 = = = = 190, ou seja, 190 possíveis resultados do produto de 2! 20 2! 2!18! / 2 dois números dentre 20 números. Já o evento representa o produto de dois quaisquer dos números ímpares, pois quando ao menos um dos termos de um produto for par, então o produto será um número par. Como no conjunto { 1,2,3,...,20 } temos algarismos ímpares então o número de elementos do evento A é dado por :!.9.8! / n(a) = C,2 = = = 45 2! 8! 2! / 8! Logo, n(a) 45 9 P(A) = = = n(e) Exemplo 4: Lança-se um dado honesto. Qual a probabilidade de que seja sorteado um maior que 4? número O espaço amostral é o conjunto E= { 1,2,3,4,5,6} e assim n(e) = 6 O evento é o conjunto A = { 5,6}, logo n(a)= 2. Daí temos n(a) 2 1 P(A) = = = n(e) 6 3 Exemplo 5: (UNIRIO) Joga-se um dado três vezes consecutivas. A probabilidade de surgirem os resultados abaixo, em qualquer ordem, é : (A) (B) 1 72 C 1 36 (D) 1 18 (E) 1 3 O espaço amostral(e) no lançamento de um dado três vezes é um conjunto cujos elementos são ternos ordenados: {(1,1,1), (1,1,2),..., (5,4,6),..., (6,6,6)}, então n(e) = 666 = 216ternos. O evento(a) é o terno ordenado (1,2,3) em qualquer ordem, assim n(a) = 3! = Logo a probabilidade é dada por P(A) = =

4 Exemplo 6: (UERJ) Um armário tem 8 repartições, em 4 níveis, como mostra a figura abaixo. Ocupando-se metade das repartições, a probabilidade de que se tenha uma repartição ocupada em cada nível é de : (A) 2 35 (B) 4 35 (C) 6 35 D 8 35 (E) 2 7 O espaço amostral(e) representa todas as possibilidades de se escolher 4 dentre 8 níveis, sem se importar 8! com a ordem, então trata-se de uma combinação : C8,4 = = = 70. 4!4! 24 O evento(a), ocupar uma repartição em cada nível, é calculado usando o princípio multiplicativo: 1N 2N 3N 4N (1N é o 1 0 nível) Possibilidades = 16 Portanto a probabilidade é 16 8 P(A) = = V. Propriedades das probabilidades (I) P( ) = 0 Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e sendo A um evento de E, tem-se que: Demonstração: n ( ) 0 De fato se n( ) = 0, então P( ) = = = 0, ou seja, é um evento impossível. n E n E Exemplo 7: Determine a probabilidade de se obter um número maior que no lançamento de um dado. O espaço amostral é o conjunto E = { 1,2,3,4,5,6} e assim n(e) = 6 O evento é o conjunto a A ={ x E x > } =, logo n( )= 0. Com isso n A 0 P(A) = = = 0 n E 6 4

5 (II) P (E) = 1 Demonstração: De fato se E E, então n(e) P(E) = = 1, ou seja, E é um evento certo. n(e) Exemplo 8: Uma urna contém exatamente oito bolas numeradas de 1 a 8. Retira-se uma bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter uma bola de número menor que 9? O espaço amostral é o conjunto E { b, b, b,..., b } = e assim n(e) = O evento é o conjunto a A ={ } { } Com isso (III) 0 P (A) 1 Demonstração: n A 8 P(A) = = = 1 n E 8 x E x < b = b,b,b,...,b = E, logo n(a)= Como o conjunto é subconjunto de qualquer conjunto e como n( ) = 0 então supondo o evento A não vazio temos : A E n( ) n( A) 0 n( A), dividindo todos os membros dessa teremos, 0 n( A) 0 P( A) 1. desigualdade por n E n E n E Exemplo 9: (Cescem) Um evento A de um espaço amostral é tal que n( A) maior número possível de elementos de A é: n 4 = n e P( A) =. O 3 (A) 4 (B) 8 (C) 9 (D) 12 ( E ) 7 n 4 Como 0 P(A) 1, então n n 7 3 Assim, o conjunto A tem no máximo 7 elementos. 5

6 (IV) P( A) = 1 P( A), onde A é o complemento de A, ou seja, A A= E e A A=. Demonstração: Da teoria dos conjuntos temos que n( A A) = n( A) + n( A) n( A A) e como A A= E e A A=, então n( A A) = n( A) + n( A) n( A A) = n( A) + n( A). Dividindo por ambos os membros, temos que : n( A) n( A) = + 1 P( A) P( A) = + P( A) = 1 P( A) Exemplo : (Cesgranrio) Em uma amostra de quinhentas peças, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma peça dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita é de: (A) 99,0% ( B ) 99,2% (C) 99,4% (D) 99,1% (E) 99,3% Sejam os eventos A = { x E x é peça perfeita} e A { x E x é peça defeituosa} sendo E o espaço amostral das quinhentas peças. Daí probabilidade da peça ser perfeita. = tais que A A= E, P A = 1 P A = 1 = = 99,2%, que é a VI. Probabilidade da União de dois Eventos Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E, finito e não vazio. Segundo a teoria dos conjuntos, temos: n A B = n A + n B n A B, dividindo ambos os membros da igualdade por n E, obtemos: ( ) ( ) = + P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) n A B n A n B n A B No caso em que A e B são mutuamente exclusivos ( A B) P( A B) = P( A) + P( B) = teremos: Exemplo 11: (Cescea) Uma urna contém exatamente vinte bolas, numeradas de 1 a 20. No experimento retirada de uma bola, considere os seguintes eventos: A = { a bola retirada possui um número múltiplo de 2}; B = { a bola retirada possui um número múltiplo de 5}. Então a probabilidade do evento A B é: 6

7 (A) (B) 4 5 (C) 7 D 3 5 (E) O espaço amostral E é formado pelas 20 bolas e assim n(e) = 20. A = x E x é múltiplo de dois = 2, 4, 6,8,,12,14,16,18, 20 é formado por bolas, logo O evento { } { } n(a)=. B = x E x é múltiplo de cinco = 5,,15, 20 é formado por 4 bolas, logo n(b)= 4. O evento { } { } Como A B= {,20}, então: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P( A B) = + = = VII. Probabilidade Condicional Chama-se probabilidade condicional de um evento B a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se que já ocorreu um evento A. (Indicamos: P(B / A), lê-se probabilidade de B, dado A) Como o evento A ocorreu, então o evento B, por sua vez, só poderá ocorrer na intersecção de A e B. No caso em que A B=, teremos P(B / A) = 0. Assim, temos que: n A P(B/ A) = ( B) n( A) Exemplo 12: (Osec SP) O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: (A) 1 (B) 1 2 (C) 4 9 (D) 5 9 E 1 5 Evento A: o número da chapa é par. Lembrando que a condição para um número ser par é que o algarismo das unidades simples seja par, então: UM C D US possibilidades:... 5 = 5000 n(a) 5000 = 7

8 Evento B: o número possui o algarismo das unidades igual a 0, com isso n(b) = 00, veja UM C D 0 possibilidades:... 1 = 00 n(b) = 00 Como todos os elementos de B pertencem a A, então A B= B e assim ( ) n A B 00 1 P(B/ A) = = = n A VIII. Produto de Probabilidades A probabilidade de ocorrer dois eventos A e B é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que o primeiro ocorreu. Vimos que por n(e), sendo E o espaço amostral: ( B) n( A) n A P(B/ A) =. Vamos dividir o numerador e o denominador dessa fração n( A B) = P( A B) = n( A) P( A) ( ) = P B/A P A B P A P B/A Se A e B forem eventos independentes (são aqueles em que a probabilidade de ocorrer um deles não depende de ter ou não ocorrido o outro) utilizamos a regra do produto da seguinte forma: ( ) = ( P A B P A P B ) Exemplo 13: Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que esse animal somente venha a contrair a doença no final do terceiro mês é igual a: (A) 21% (B) 49% (C) 6,3% ( D ) 14,7% (E) 30,7 2 0,3% Como os eventos são independentes, temos: S S D S: Sadio e D: doente Probabilidade 0,7. 0,7. 0,3 = 0, 147 = 14,7% 8

9 Exemplo 14: (UFRS) Qual é a probabilidade de que, jogando-se um dado dez vezes, saia pelo menos uma vez o número 6? (A) 5 6 ( B) (C) (D) (E) 1 2 Vamos trabalhar com a probabilidade do evento complementar. Considere a probabilidade em que o número 6 não aparece nenhuma vez: Prob = 5 6 Logo a probabilidade do número 6 aparecer ao menos uma vez é dada por Exemplo 15: (UFRJ/02) Duas urnas contém, cada uma, 0 bolinhas numeradas de 1 a 0. Retira-se ao acaso uma bolinha de cada urna. Sabendo-se que todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas, qual a probabilidade p de que a soma dos números obtidos seja par? Para que a soma dos números seja par devemos retirar em ambas as urnas números pares ou em ambas as urnas números ímpares. Portanto P P I I e ou e = = + = = = 50% Exemplo 16 : (UFRJ) Um alvo é formado por três círculos concêntricos. I II III 9

10 Uma flexa, ao ser lançada, pode atingir as regiões I, II e III ou não acertar o alvo, as probabilidades de um arqueiro atingir as regiões I, II e III, são iguais a,,, respectivamente. Um arqueiro lança três 2 flexas. Determine a probabilidade dele acertar somente duas flexas no alvo, ambas na região III. Primeiramente devemos conceber a idéia de que a ordem com que o arqueiro acerta e erra o alvo é importante. Temos as seguintes possibilidades AAE, AEA e EAA onde A é o acerto e E o erro. Poderíamos, em uma quantidade maior de lançamentos de flexas, usar a permutação com elementos repetidos para realizar a contagem do total de possibilidades, assim no problema em questão as três 2 3! possibilidades são calculadas do seguinte modo P3 = = 3. 2! A probabilidade do arqueiro errar o alvo é igual a 0% menos a probabilidade dele acertar o alvo (probabilidade do evento complementar) : = 1 = 1 = 2 20 Para finalizarmos o problema vamos escolher uma das ordens acima e depois multiplicar o resultado por 3 E A A = Portanto a probabilidade é dada por = IX. Lei Binomial de Probabilidade A probabilidade de ocorrer k vezes o evento A nos n experimentos é dada por: n k P ( A ) n k k = p 1 p, onde p é a probabilidade de ocorrer um evento A. k A lei binomial deve ser aplicada nas seguintes condições: - O experimento deve ser repetido nas mesmas condições as n vezes. - Em cada experimento devem ocorrer os eventos A e A. - A probabilidade do evento A deve ser constante em todas as n vezes. - Cada experimento é independente dos demais. Exemplo 17: Uma prova do tipo múltiplo escolha contém questões, com 5 alternativas cada uma. Somente uma alternativa é correta para cada questão. Qual a probabilidade de um aluno, chutando os testes, acertar metade das respostas?

11 ( A ) 2,7% (B) 2,5% (C) 3,2% (D) 3,5% (E) 3,7% Seja A o evento em que o aluno acerta 5 das questões. Sabendo-se que 1 4 e são respectivamente as probabilidades de acertar e de errar uma questão, ou seja, P(A) = e P(A) =, então: P 5 (A) = 252 0, ,7% 5 = = Exemplo 18: (UCDB-MT) Uma equipe E deve disputar 5 partidas e ela tem 2 3 de probabilidade de ganhar em cada jogo. Então a probabilidade de E ganhar 4 partidas é igual a: (A) (B) (C) (D) ( E ) Como a equipe E tem 2 3 de probabilidade de ganhar, então 1 3 é a sua probabilidade de perder. Considerando A como o evento desejado, ou seja, ganhar 4 partidas, então: P(A) = 5 4 = = Exemplo 19: (UFRJ-2006) Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta até dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo. Para que se ganhe uma partida só é permitido todos os resultados coroa, ou apenas 1 cara, ou apenas 2 caras, ou apenas 3 caras ou apenas 4 caras. Trata-se de um problema da probabilidade da união de eventos, onde a probabilidade de cada um dos eventos é a probabilidade binomial. Por exemplo: para apenas uma cara devemos ter nove vezes coroa, em qualquer ordem (CCCCCCcCCC, CcCCCCCCCC,...) Como no lançamento de uma moeda a probabilidade de dar coroa é igual a de dar cara, então temos: Evento(A) : apenas 1 cara ! 1 1 P(A) = 1 = = 2 2 1!9!

12 Evento(B) : apenas 2 caras ! P(B) = 2 = = 2 2 2!8! Evento(C) : apenas 3 caras ! P(C) = 3 = = 2 2 3!7! Evento(D) : apenas 4 caras ! P(D) = 4 = = 2 2 4!6! Evento(E) : todos os resultados coroa 0 1 1! 1 1 P(E) = 1 = = 2 2!0! Portanto P(A B C D E) = = = = 0,3769 = 37,7%

PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS

PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS 1. Experimentos Experimento determinístico: são aqueles em que o resultados são os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos. Exemplo: Um determinado

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 TEORIA DAS PROBABILIDADES Vamos considerar os seguintes experimentos: Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por uma força qualquer, em um espaço definido.

Leia mais

Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento

Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento 1 Módulo VIII Probabilidade: Espaço Amostral e Evento Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja vermelha.

Leia mais

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE PROBABILIDADE Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que melhor o explique. Os fenômenos

Leia mais

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1. Origem histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar,

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos

Leia mais

Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica

Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Unidade 11 - Probabilidade Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Probabilidade Empírica Existem probabilidade que são baseadas apenas uma experiência de fatos, sem necessariamente apresentar uma

Leia mais

UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS

UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ ALI UNITAU APOSTILA PROAILIDADES ibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: ianchini&paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores:

Leia mais

Eventos independentes

Eventos independentes Eventos independentes Adaptado do artigo de Flávio Wagner Rodrigues Neste artigo são discutidos alguns aspectos ligados à noção de independência de dois eventos na Teoria das Probabilidades. Os objetivos

Leia mais

7- Probabilidade da união de dois eventos

7- Probabilidade da união de dois eventos . 7- Probabilidade da união de dois eventos Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 19 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 3 1 Probabilidade Discreta: Exemplos

Leia mais

PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr.

PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - O intelecto faz pouco na estrada que leva à descoberta, acontece um salto na consciência, chameo de

Leia mais

CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE CAPÍTULO 0 NOÇÕES DE PROBABILIDADE. ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S =

Leia mais

RESUMO TEÓRICO. n(a) P(A) = n(u) 0 P(A) 1

RESUMO TEÓRICO. n(a) P(A) = n(u) 0 P(A) 1 RESUMO TEÓRICO Experimentos aleatórios: são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Exemplo: Lançar um dado e verificar qual é a face voltada

Leia mais

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8. Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.) PROBABILIDADE Dizemos que a probabilidade é uma medida da quantidade de

Leia mais

MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBBILIDDE Quando estudamos algum fenômeno através do método estatístico, na maior parte das vezes é preciso estabelecer uma distinção entre o modelo matemático que construímos para

Leia mais

Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes

Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Para ampliar sua compreensão sobre probabilidade total e Teorema de Bayes, estude este conjunto de exercícios resolvidos sobre o tema.

Leia mais

Exercícios sobre probabilidades Matemática aula por aula Benigno Barreto Filho/Cláudio Xavier Toledo da Silva vol. 2 Ensino Médio.

Exercícios sobre probabilidades Matemática aula por aula Benigno Barreto Filho/Cláudio Xavier Toledo da Silva vol. 2 Ensino Médio. Atividade sobre Probabilidades 4 o bim. 2009 2 os anos 1) No lançamento simultâneo de 2 dados, considere as faces voltadas para cima e determine a) espaço amostral S. b) evento E 1 : números cuja soma

Leia mais

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento.

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento. Probabilidade A probabilidade estuda o risco e a ocorrência de eventos futuros determinando se existe condição de acontecimento ou não. O olhar da probabilidade iniciou-se em jogos de azar (dados, moedas,

Leia mais

Raciocínio Lógico Exercícios. Prof. Pacher A B P(A B) P(A/B) = P(B) n(a) P(A) = n(s) PROBABILIDADE DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO

Raciocínio Lógico Exercícios. Prof. Pacher A B P(A B) P(A/B) = P(B) n(a) P(A) = n(s) PROBABILIDADE DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO PROBBILIDDE Introdução teoria da probabilidade é o ramo da matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos aleatórios ou não determinísticos.

Leia mais

Noções de Probabilidade

Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2015 Gilberto A. Paula G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre 2015 1 / 59 Objetivos da Aula Sumário

Leia mais

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ Probabilidade Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá base teórica para o desenvolvimento

Leia mais

Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade

Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade Estatística e Probabilidade Aula 4 Cap 03 Probabilidade Estatística e Probabilidade Método Estatístico Estatística Descritiva Estatística Inferencial Nesta aula... aprenderemos como usar informações para

Leia mais

Bom serviço dentro da garantia Serviço deficiente dentro da garantia Vendedores de determinada marca de pneus 64 16

Bom serviço dentro da garantia Serviço deficiente dentro da garantia Vendedores de determinada marca de pneus 64 16 Lista de Probabilidade Básica com gabarito 1. Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, em relação ao sexo das mesmas, segundo a ordem de nascimento. (a)determine o

Leia mais

O conceito de probabilidade

O conceito de probabilidade A UA UL LA O conceito de probabilidade Introdução Nesta aula daremos início ao estudo da probabilidades. Quando usamos probabilidades? Ouvimos falar desse assunto em situações como: a probabilidade de

Leia mais

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? ? Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 011???? Quem será o próximo prefeito de

Leia mais

Princípio da contagem e Probabilidade: conceito

Princípio da contagem e Probabilidade: conceito Princípio da contagem e Probabilidade: conceito característica do que é provável perspectiva favorável de que algo venha a ocorrer; possibilidade, chance. Ex.: há pouca possibilidade de chuva grau de segurança

Leia mais

CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE

CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE 1.1 INTRODUÇÃO Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto especificado de condições, conduz invariavelmente ao mesmo resultado. São

Leia mais

Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE Estatística 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof. Ânderson Vieira Probabilidade Espaço Amostral Em cada um dos exercícios a 0. Determine o espaço amostral.. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

Leia mais

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos?

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos? Questão 1. Num porta-cds, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formando uma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 de música clássica. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de

Leia mais

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os PROBABILIDADE Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1,, 3, 4,, 6}. Doador de sangue (tipo sangüíneo). = {A, B,

Leia mais

Introdução à Probabilidade e Estatística

Introdução à Probabilidade e Estatística Professor Cristian F. Coletti Introdução à Probabilidade e Estatística (1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos. a Uma moeda é lançada duas vezes

Leia mais

I. Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.)

I. Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) ANÁLISE OMBINATÓRIA A principal finalidade da Análise ombinatória é estabelecer métodos de contagem. I. Princípio Fundamental da ontagem (P.F..) O P.F.., ou princípio multiplicativo, determina o número

Leia mais

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística:

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística: Probabilidade 3-1 Aspectos Gerais 3-2 Fundamentos 3-3 Regra da Adição 3-4 Regra da Multiplicação: 3-5 Probabilidades por Meio de Simulações 3-6 Contagem 1 3-1 Aspectos Gerais Objetivos firmar um conhecimento

Leia mais

Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios. Cálculo de Probabilidades. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios. Cálculo de Probabilidades. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios Cálculo de Probabilidades a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Probabilidade Miscelânea de Exercícios Cálculo de Probabilidades 1 Exercícios

Leia mais

Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado

Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado Capítulo 2 Probabilidade 2.1 Espaços Amostrais e Eventos Espaço Amostral Espaço Amostral O espaço amostral de um experimento, denotado S, é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.

Leia mais

Matemática SSA 2 REVISÃO GERAL 1

Matemática SSA 2 REVISÃO GERAL 1 1. REVISÃO 01 Matemática SSA REVISÃO GERAL 1. Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede cm, e o raio de sua base

Leia mais

Avaliação e Desempenho Aula 4

Avaliação e Desempenho Aula 4 Avaliação e Desempenho Aula 4 Aulas passadas Motivação para avaliação e desempenho Aula de hoje Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Experimentos Aleatórios

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum

Leia mais

Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas.

Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas. Inclui Teoria e Questões Inteiramente Resolvidas dos assuntos: Contagem: princípio aditivo e multiplicativo. Arranjo. Permutação. Combinação simples e com repetição. Lógica sentencial, de primeira ordem

Leia mais

Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira

Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira - Conceitos Básicos Castro Soares de Oliveira é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. está associada a estatística, porque sua teoria constitui a base de estatística inferencial. Conceito

Leia mais

FCHS - FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS PRIAD PROGRAMA DE REVISÃO INTENSIVA EM ADMINISTRAÇÃO

FCHS - FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS PRIAD PROGRAMA DE REVISÃO INTENSIVA EM ADMINISTRAÇÃO FCHS - FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS PRIAD PROGRAMA DE REVISÃO INTENSIVA EM ADMINISTRAÇÃO TEMA PRIAD PROBABILIDADES E APLICAÇÕES PRÁTICAS DATA / / ALUNO RA TURMA 1) Num levantamento realizado

Leia mais

1 Probabilidade Condicional - continuação

1 Probabilidade Condicional - continuação 1 Probabilidade Condicional - continuação Exemplo: Sr. e Sra. Ferreira mudaram-se para Campinas e sabe-se que têm dois filhos sendo pelo menos um deles menino. Qual a probabilidade condicional que ambos

Leia mais

Probabilidades Duds. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42

Probabilidades Duds. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42 Probabilidades Duds 1. (Upe 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista

Leia mais

PROBABILIDADE. Aula 5

PROBABILIDADE. Aula 5 Curso: Psicologia Disciplina: Métodos Quantitativos Profa. Valdinéia Data: 28/10/15 PROBABILIDADE Aula 5 Geralmente a cada experimento aparecem vários resultados possíveis. Por exemplo ao jogar uma moeda,

Leia mais

1. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum (52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X = número de cartas vermelhas sorteadas.

1. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum (52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X = número de cartas vermelhas sorteadas. GET007 Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I Lista de Exercícios - variáveis Aleatórias Discretas Profa. Ana Maria Farias. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum ( cartas, de cada naipe sem

Leia mais

MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03

MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03 MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03 1 1) (FGV-SP 2008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus é 30% e, de moto,

Leia mais

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) GABARITO

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) GABARITO GABARITO NÍVEL 1 37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) GABARITO 1) C 6) A 11) D 16) C 2) D 7) C 12) C 17) D 3) E 8) B 13) E 18) A 4) E 9) B 14)

Leia mais

3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes

3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 1) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas

Leia mais

INE 5111 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade INE 5111 LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

INE 5111 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade INE 5111 LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE INE 5 LISTA DE EERCÍCIOS DE PROBABILIDADE INE 5 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade ) Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 5 de um dado ser transmitido erroneamente.

Leia mais

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. http://lesoliveira.net Conceitos Básicos Estamos

Leia mais

Aula 1: Introdução à Probabilidade

Aula 1: Introdução à Probabilidade Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo

Leia mais

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA Questão 1: Entre duas cidades A e B existem três empresas de avião e cinco de ônibus. Uma pessoa precisa fazer

Leia mais

Probabilidade. Multiplicação e Teorema de Bayes

Probabilidade. Multiplicação e Teorema de Bayes robabilidade Multiplicação e Teorema de ayes Regra da Multiplicação Num teste, são aplicadas 2 questões de múltipla escolha. Na primeira questão, as respostas possíveis são V ou F. Na segunda, a, b, c,

Leia mais

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Caro aluno, Disponibilizo abaixo a resolução das questões de Raciocínio Lógico- Matemático das provas para os cargos de Técnico do TRT/4ª Região (Rio

Leia mais

Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas

Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas Nesta aula você estudará os conceitos de média e variância de variáveis aleatórias discretas, que são, respectivamente, medidas de posição

Leia mais

Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição

Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição Probabilidade Definições, Notação, Regra da Adição Definições básicas de probabilidade Experimento Qualquer processo de observação ou medida que permita ao pesquisador fazer coleta de informações. Evento

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida. 9 ENSINO 9-º ano Matemática FUNDAMENTAL Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel

Leia mais

100 QUESTÕES DE PROBABILIDADE PARA CONCURSOS

100 QUESTÕES DE PROBABILIDADE PARA CONCURSOS 100 QUESTÕES DE PROBABILIDADE PARA CONCURSOS R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A E m a il g a b a r ito c e rto @ h o tm a il.c

Leia mais

Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória Segundo Ano do Ensino Médio Prof Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof Antonio Caminha Muniz

Leia mais

CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos

CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos INTRODUÇÃO À PROAILIDADE Exemplos: O problema da coincidência de datas de aniversário O problema da mega sena A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M16 Probabilidade

Matemática. Resolução das atividades complementares. M16 Probabilidade Resolução das atividades complementares Matemática M Probabilidade p. 7 (FGV-SP) Uma urna contém quinze bolinhas numeradas de a. a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidade de que o número observado

Leia mais

Francisco Ramos. 100 Problemas Resolvidos de Matemática

Francisco Ramos. 100 Problemas Resolvidos de Matemática Francisco Ramos 100 Problemas Resolvidos de Matemática SUMÁRIO Questões de vestibulares... 1 Matrizes e Determinantes... 25 Geometria Plana e Espacial... 39 Aritmética... 61 QUESTÕES DE VESTIBULARES

Leia mais

Distribuição Uniforme Discreta. Modelos de distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Uniforme Discreta

Distribuição Uniforme Discreta. Modelos de distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Uniforme Discreta Distribuição Uniforme Discreta Modelos de distribuições discretas Notas de Aula da Profa. Verónica González-López e do Prof. Jesús Enrique García, digitadas por Beatriz Cuyabano. Acréscimos e modicações:

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades Qual a probabilidade de eu passar no vestibular? Leandro Augusto Ferreira Centro de Divulgação Científica e Cultural Universidade de São Paulo São Carlos - Abril / 2009 Sumário

Leia mais

SISTEMA CLÁSSICO DE REDUÇÃO

SISTEMA CLÁSSICO DE REDUÇÃO Page 1 of 6 SISTEMA CLÁSSICO DE REDUÇÃO Este documento irá ensinar-lhe como pode fazer um desdobramento reduzido, segundo o processo clássico (italiano) para qualquer sistema 5/50, em particular para o

Leia mais

Probabilidade - aula I

Probabilidade - aula I e 27 de Fevereiro de 2015 e e Experimentos Aleatórios e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Entender e descrever espaços amostrais e eventos para experimentos aleatórios. Interpretar

Leia mais

Distribuições de Probabilidade Distribuição Binomial

Distribuições de Probabilidade Distribuição Binomial PROBABILIDADES Distribuições de Probabilidade Distribuição Binomial BERTOLO PRELIMINARES Quando aplicamos a Estatística na resolução de situações-problema, verificamos que muitas delas apresentam as mesmas

Leia mais

(a 1 + a 100 ) + (a 2 + a 99 ) + (a 3 + a 98 ) +... + (a 50 + a 51 ).

(a 1 + a 100 ) + (a 2 + a 99 ) + (a 3 + a 98 ) +... + (a 50 + a 51 ). Questão 1. A sequência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21,... é formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 3 ou 4 ao termo anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o segundo é 3 a mais que o primeiro,

Leia mais

MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 18 PROBABILIDADE DE MAIS DE UM EVENTO

MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 18 PROBABILIDADE DE MAIS DE UM EVENTO MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 18 PROBABILIDADE DE MAIS DE UM EVENTO Como pode cair no enem (ENEM) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1 o Semestre Ficha de Exercícios - Teoria das Probabilidades 2009/2010

Leia mais

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE Fenômeno Aleatório: situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser determinados com certeza. Exemplos: 1. Resultado do lançamento de um dado;. Hábito de fumar de um estudante

Leia mais

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:

Leia mais

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO Thiago Marzagão 1 1 marzagao.1@osu.edu PROBABILIDADE Thiago Marzagão (IDP) ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO 1/2016 1 / 51 o que é probabilidade? Thiago Marzagão

Leia mais

Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico

Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Comentário da prova de Agente Penitenciário Federal Funrio 01. Uma professora formou grupos de 2 e 3 alunos com o objetivo de conscientizar a população local sobre

Leia mais

Módulo 04. Fonte: , /photo/1024895, que gostem, muito, vamos lá? Falemos são jogos de ou perde

Módulo 04. Fonte: , /photo/1024895, que gostem, muito, vamos lá? Falemos são jogos de ou perde Módulo 04 Aula 03 TÍTULO: Probabilidade Parte 1. Para início de conversa... Fonte: http:/ //www.sxc. hu/photo/1126780,, http: ://www.sxc.hu/photo/944643, http://www.sxc.hu/ /photo/1024895, http: ://www.sxc.hu/photo/872885

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

UNIVERSIDADE DO ALGARVE UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA C.E.T. EM TOPOGRAFIA E CADASTRO REGIME DIURNO - 2º SEMESTRE - 1º ANO - 2007 / 2008 DISCIPLINA DE NOÇÕES DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ficha nº2 -

Leia mais

a) ½ b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6

a) ½ b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6 PROBABILIDADE 1) (ANEEL) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião,

Leia mais

Probabilidade Condicional

Probabilidade Condicional PROBABILIDADES Probabilidade Condicional BERTOLO Exemplo Introdutório Vamos introduzir a noção de probabilidade condicional através de um exemplo. Consideremos 250 estudantes que cursam o 4º ano de Ciências

Leia mais

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio

36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio 36ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 3 Ensino Médio Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL BA ES MG PA RS RN SC Terça-feira,

Leia mais

BRINCANDO COM GRÁFICOS E MEDINDO A SORTE

BRINCANDO COM GRÁFICOS E MEDINDO A SORTE BRINCANDO COM GRÁFICOS E MEDINDO A SORTE Elizabeth Pastor Garnier SEE/RJ Pedro Carlos Pereira - FAETEC Projeto Fundão IM/UFRJ Os Parâmetros Curriculares Nacionais propõem a introdução do tópico Tratamento

Leia mais

1) A distribuição dos alunos nas 3 turmas de um curso é mostrada na tabela abaixo.

1) A distribuição dos alunos nas 3 turmas de um curso é mostrada na tabela abaixo. 1) A distribuição dos alunos nas 3 turmas de um curso é mostrada na tabela abaixo. A B C Homens 42 36 26 Mulheres 28 24 32 Escolhendo-se uma aluna desse curso, a probabilidade de ela ser da turma A é:

Leia mais

Probabilidade parte 2. Robério Satyro

Probabilidade parte 2. Robério Satyro Probabilidade arte Robério Satyro Definição de robabilidade Vamos analisar o fenômeno aleatório lançamento de uma moeda erfeita. Nesse caso, temos: = {C, C} () = Os subconjuntos de são, {C}, { C} e {C,

Leia mais

CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral

CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral O que é uma amostra? É um subconjunto de um universo (população). Ex: Amostra de sangue; amostra de pessoas, amostra de objetos, etc O que se espera de uma amostra?

Leia mais

Esmiuçando o Teorema de Bayes e fazendo exercícios

Esmiuçando o Teorema de Bayes e fazendo exercícios PROAILIDADES Esmiuçando o Teorema de ayes e fazendo exercícios ERTOLO Lembrando as Aulas Anteriores Probabilidade Condicional: Teorema do Produto: Se os eventos e E 1 forem INDEPENDENTES: 11/09/2012 ertolo

Leia mais

Noções de Probabilidade e Estatística CAPÍTULO 2

Noções de Probabilidade e Estatística CAPÍTULO 2 Noções de Probabilidade e Estatística Resolução dos Exercícios Ímpares CAPÍTULO 2 Felipe E. Barletta Mendes 8 de outubro de 2007 Exercícios da seção 2.1 1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço

Leia mais

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ. Questão Sistemas de Numeração No sistema de numeração de base 2, o numeral mais simples de

Leia mais

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/12/2011 pelo CEPERJ Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística SEFAZ - Analista em Finanças Públicas Prova realizada em 04/1/011 pelo CEPERJ 59. O cartão de crédito que João utiliza cobra 10% de juros ao mês,

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Permutação e Arranjo

Exercícios de Aprofundamento 2015 Mat Permutação e Arranjo 1. (Uerj 015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um

Leia mais

Aula 05 Raciocínio Lógico p/ INSS - Técnico do Seguro Social - Com Videoaulas

Aula 05 Raciocínio Lógico p/ INSS - Técnico do Seguro Social - Com Videoaulas Aula 05 Raciocínio Lógico p/ INSS - Técnico do Seguro Social - Com Videoaulas Professor: Arthur Lima AULA 05: RESUMO Caro aluno, Para finalizar nosso curso, preparei um resumo de toda a teoria vista nas

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA CONTEÚDO: PROBABILIDADE 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA CONTEÚDO: PROBABILIDADE 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA CONTEÚDO: PROBABILIDADE a SÉRIE ENSINO MÉDIO ======================================================================= ) (UF SC) Em uma caixa há 8 bombons, todos com forma,

Leia mais

O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48

O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48 Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração

Leia mais

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 1. (alternativa C) Os números 0,01 e 0,119 são menores que 0,12. Por outro lado, 0,1 e 0,7 são maiores que 0,. Finalmente, 0,29 é maior que 0,12 e menor

Leia mais

Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais

Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil Primeiro Semestre, 2012 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios

Leia mais

Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan

Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan Matemática Divisores e Múltiplos Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: Se 15 é divisível por

Leia mais

Simulado OBM Nível 2

Simulado OBM Nível 2 Simulado OBM Nível 2 Gabarito Comentado Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação? a) 13 b) 26 c) 38 d) 39 e) 40 Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros. Questão 2. Hoje é

Leia mais

Probabilidade - aula III

Probabilidade - aula III 27 de Março de 2014 Regra da Probabilidade Total Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Usar a regra da multiplicação para calcular probabilidade de eventos Usar a Regra da Probabilidade

Leia mais

Combinatória. Matemática Professor: Paulo César 04/12/2014. Lista de Exercícios

Combinatória. Matemática Professor: Paulo César 04/12/2014. Lista de Exercícios Combinatória 1. (Espcex (Aman) 2015) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da

Leia mais