Datas Importantes 2013/01

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1 INSTRUMENTAÇÃO CARACTERÍSTICAS DE UM SISTEMA DE MEDIÇÃO PROBABILIDADE PROPAGAÇÃO DE INCERTEZA MÍNIMOS QUADRADOS Instrumentação - Profs. Isaac Silva - Filipi Vianna - Felipe Dalla Vecchia 2013 Datas Importantes 2013/01 09/04 Exercícios 30/04 P1 25/06 P2 02/07 PS 09/07 G2 1

2 Características de um SM Estáticas Linearidade Histerese Resolução Deriva (Drift) Já foram vistas Dinâmicas Constante de Tempo Resposta Transiente Freqüência Natural Função de transferência Constante de tempo CONSTANTE DE TEMPO (τ).quando a entrada é abrupta, a saída leva um tempo para atingir seu valor permanente. A constante de tempo τ é o tempo necessário para o sistema atingir 63,2% do seu valor permanente. 2

3 Constante de tempo Probe Temperature (K) Twater = 70 o C 1 st order system step response. τ 0.632s Time (sec) Função de transferência Todo sensor apresenta uma relação teórica ou ideal entre saída/entrada, e esta é caracterizada pela Função de Transferência. Tipos de Função de Transferência Equação Função y = a + G x y = a + G log x y = G exp( kx ) y = a + G x linear logarítmica exponencial potência 3

4 Linearização de funções Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Uma vez que a equação seja do tipo y = ax + b o método dos mínimos quadrados nos permite encontrar os coeficientes a partir dos dados coletados, onde: O Desvio Padrão é dado por: 4

5 Ajuste de curvas pelo Excel O Excel é um software que permite vários tipos de ajuste de curva: Ajuste de curvas pelo Excel Os comando utilizados para isto é o Adicionar linha de tendência : 5

6 Ajustes de curvas pelo Excel Função de transferência Para uma função de transferência não linear a Sensibilidade não é um número fixo, sendo caracterizada por: G = dy/dx ( y é a saída e x é a entrada) 6

7 Função de transferência A Função de Transferência pode ter mais de duas dimensões, quando a saída do sensor é influenciada por dois ou mais estímulos de entrada. Exemplo. Sensor de Radiação Térmica (infravermelho) Sendo Tm e temperatura mensurada e Ta a temperatura absoluta do sensor, a tensão V é dada pela expressão: V = k ( Tm Ta ) 4 onde k é uma constante que depende do tipo de sensor. Claramente a relação entrada T e a saída V não é linear. Neste caso a Sensibilidade do sensor será dada por G = 4k.Tm Cada tensão de saída só pode ser determinada por duas temperaturas de entrada. A temperatura mensurada Tm e a Ta, temperatura absoluta do sensor. Dependência estatística Duas variáveis aleatórias são ditas estatisticamente independentes se suas variações se comportam de forma totalmente desvinculadas. Não há qualquer relação entre o crescimento momentâneo e aleatório de uma e o crescimento (ou decrescimento) da outra. Do ponto de vista estatístico estas variáveis são ditas não correlacionadas, e seu coeficiente de correlação é zero. O parâmetro chave para caracterizar a dependência estatística é o coeficiente de correlação linear. 7

8 Dependência estatística Dependência estatística Variáveis positivamente correlacionadas. No limite, isto é, se a correlação for "perfeita" - como é o caso se considerarmos a correlação da variável x consigo própria - o coeficiente de correlação será igual a 1. 8

9 Dependência estatística As variáveis estão negativamente correlacionadas. No limite, isto é, se a correlação for "perfeita" o coeficiente de correlação será igual a -1. Coeficiente de correlação linear 9

10 Propagação de incerteza Certos experimentos apresentam seus resultados como uma função de variáveis estatisticamente independentes Sendo R uma função de variáveis independentes x1, x2,...x3, então R = R (x1,x2,...x3) Sendo R a incerteza no resultado e 1, 2,... n as incertezas das variáveis independentes, então: é a sensibilidade Propagação de incerteza A incerteza num resultado é fortemente dependente do maior produto sensibilidade x incerteza que envolva determinada variável independente. 10

11 Exemplo: Numa medição se utilizam quatro instrumentos, sendo que três deles apresentam o produto sensibilidade X incerteza com magnitude 1, e o quarto com magnitude 6.Qual é a incerteza no resultado? Do ponto de vista prático que conclusão se obtém? Sua incerteza pode ser estimada por: R = [ ] 1/2 R = 6,2 Note que, neste caso, a contribuição na incerteza associada ao quarto instrumento tem uma influência 6 vezes maior do que a incerteza dos demais instrumentos. É óbvio que, se for desejável reduzir a incerteza do valor da medição, a incerteza da medição do quarto instrumento precisa ser reduzida. Adiantaria muito pouco reduzir a incerteza dos demais. 11

12 Exercício proposto A resistência elétrica de um fio de Cu é dada por R = Ro [ 1 + α ( T 25) ], onde Ro = 6 Ω ±0,3 % é a resistência a 25 o C, o coeficiente de temperatura da resistência é α = 0,006 ±1%, e a temperatura do fio é T = (37 ± 1) o C. Determinar: a) a resistência do fio; b) a incerteza Conceitos de Probabilidade A probabilidade de um evento acontecer está entre 0 e 1 (0-100%), exemplos: Jogar uma moeda e obter cara - 0,5 ou 50% Jogar um dado e ter (1) - 1/6 ou 0,1667 ou 16,67% (se jogar 6 x o dado, o que acontece???) * Matematicamente, probabilidade é o número que para o qual o resultado tende, quando o tamanho da amostra tende para infinito. 12

13 Exemplo Prático ,7 99,8 99, ,1 100,2 100,3 Valor da leitura (º C) A maior concentração de leitura se dá próx a 100, rareando nas extremidades. O valor representativo de um número é normalmente expresso pela média. Com um número de dados cada vez maior, e a intervalos cada vez menores, o gráfico acima acabaria se transformando em uma curva contínua. Como não se pode ter um número infinito de medições, a média é expressa por uma probabilidade estatística (95% de confiabilidade, normalmente). Média = Xm = 1/n Σ (Xi), i: 1.. N Mediana = meio do conjunto Moda = Valor Pico Amplitude = Xmax Xmin Variância = σ 2 = 1/n Σ (Xi - Xm) 2, i: 1..n (para população) S 2 = 1/(n-1) Σ (Xi - Xm) 2, i: 1.. n (para amostra < população) Desvio Padrão = + σ ou + S 13

14 Curva Normal A curva normal pode ser vista como o formato limite de um histograma, quando um número amplo de medições é usado ,7 99,8 99, ,1 100,2 100,3 A área média sob a curva pode ser determinada por diversas maneiras, sendo que para alguns casos, o resultado pode ser consultado em tabelas: Desvio (+/-) Fração da área 0,6745 σ 0, σ 0, σ 0, σ 0,9972 1,96 σ 0,9500 A distribuição t-student Desenvolvida pelo engenheiro W.S Gosset, a tabela t-student determina o nível de confiança de um numero de medições, mesmo para um n muito baixo (< 30). Embora o seu modelo matemático não seja empregado nas aplicações, sua forma é semelhante a distribuição normal. Para se consultar a tabela do t-student, dois parâmetros são necessários: α (nível de significância %, probabilidade de erro, ou fração de área não inclusa sob a curva, ex: para situações comuns α/2=0,025) e g.l. (graus de liberdade,ex: n-1, para curva simétrica). IM = t n-1;α/2 * S/ n 14

15 Tabela t-student nível de confiança Graus de Liberdade t90% t95% t99% v=n-1 1 6,314 12,706 63, ,920 4,303 9, ,353 3,128 5, ,132 2,770 4, ,015 2,571 4, ,943 2,447 3, ,895 2,365 3, ,860 2,306 3, ,833 2,262 3, ,812 2,228 3, ,725 2,086 2, ,697 2,042 2, ,684 2,021 2, ,671 2,000 2, ,658 1,980 2,617 inf 1,645 1,960 2,576 Ex: seis medidas de massa forneceram, em kg, os valores 1,20; 1,27; 1,33; 1,19; 1,09; 1,24. Deseja-se um intervalo de confiança de 95%. Da tabela, t n-1;α/2 = 2,571. Massa média = 1,22 kg S = 0,081 kg Intervalo: 1,22-2,571*0,081/ 6 até 1,22+2,571*0,081/ 6 1,13 < µ < 1,31 15

16 Regra geral É comum se considerar o resultado da medição como, simplesmente: X = Xm +/- S Ou mesmo X = Xm +/- σ DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL P( k ) Esta distribuição considera: a) experimento repetido n vezes; b) repetições não afetam anteriores; c) em cada teste aparece p sucesso ou q insucesso; d) p + q = 1 Então: p é a probabilidade de sucesso; q é a probabilidade de fracasso; n é o número de testes; k é o número de ocorrências favoráveis/esperadas. média =np variância σ 2 = npq Desvio Padrão σ=raiz(npq) 16

17 Exercício proposto Num laboratório de Física Nuclear ocorrem emissões igualmente prováveis de partículas α e β. São emitidas da amostra somente estas duas partículas. Caso um instrumento realize seis medições qual é a probabilidade de: a) ocorrer somente duas partículas α? b) não ocorrer partículas α? c) ocorrer pelo menos uma partícula α? 17

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