Manual de laboratório e tratamento de erros em Técnicas Laboratoriais de Análise

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1 Departamento de Química e Bioquímica Manual de laboratório e tratamento de erros em Técnicas Laboratoriais de Análise Isabel Cavaco Ana Rosa Garcia 2003/2004

2 Preâmbulo Estas folhas destinam-se aos alunos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade do Algarve que frequentem as disciplinas da área científica de Química Analítica. O capítulo I descreve os princípios de boas práticas de laboratório na medição rigorosa de massas e volumes, que devem ser seguidos nas aulas práticas da disciplina. As regras descritas neste capítulo são básicas, mas essenciais para os bons resultados em qualquer trabalho prático de análise química. O capítulo II descreve os procedimentos para tratamento e apresentação de números e resultados experimentais. As secções A e B sistematizam os conceitos de erros aleatórios e sistemáticos, precisão e exactidão. devem ser lidas cuidadosamente pelos alunos de todos os níveis. Estes conceitos são fundamentais para a compreensão do tratamento de resultados. Na secção C descreve-se o conceito de algarismos significativos, e as regras de tratamento de números. Deve ser lida cuidadosamente pelos alunos do primeiro ano, e consultado posteriormente em caso de dúvida. A secção D descreve o tratamento estatístico de conjuntos simples de resultados. A secção E descreve o tratamento estatístico de conjuntos de resultados binários. A secção F descreve o método de cálculo do erro associado a um valor resultante de uma ou mais operações aritméticas (propagação de erros).

3 Índice I. Medições de volumes e massas... 3 A. Medição de volumes de líquidos Material para medição de volumes:... 3 B. Medição de massas... 4 II. Tratamento de resultados... 5 A. Tipos de erros... 5 B. Precisão e exactidão... 5 C. Algarismos significativos Regras de arredondamento Manuseamento dos dados experimentais (operações matemáticas elementares):... 7 D. Intervalos de confiança... 8 E. Determinação da melhor recta que passa pelos pontos experimentais F. Propagação de erros... 12

4 I. Medições de volumes e massas A. Medição de volumes de líquidos 1. Material para medição de volumes: (1) Material de Vidro A medição de volumes é uma das acções mais frequentes num laboratório de análises. Entre o material volumétrico existente, distinguem-se: Pipetas, existem dois tipos fundamentais: volumétricas e graduadas. Volumétricas - têm uma só marca indicadora do nível a que o líquido se deve ajustar de modo a que o valor vazado seja o valor fixo indicado na pipeta (mais rigorosas). Graduadas têm uma escala que permite o vazamento de quantidades variáveis de líquido (menos rigorosas). Balões volumétricos, o volume final deve ser ajustado, com o solvente, até ao traço. Buretas, tubo cilindrico graduado com uma válvula e com o qual é possivel controlar o fluxo e a quantidade de líquido vazado. O volume é lido na escala da bureta. Provetas, graduadas de modo a permitir a medição de volumes variáveis e lídos até ao valor máximo da sua escala. Rigor das medições: Pipetas volumétricas Pipetas graduadas Balões volumétricos Buretas Provetas + rigor rigor As leituras de volume devem ser efectuadas tendo em conta a posição do menisco, considerando que o volume é o correspondente à sua base, tal como indicado na figura: (a) Procedimento para utilização de pipetas volumétricas: Ajustar uma "pompete" à ponta superior da pipeta, segurando sempre a pipeta pela ponta superior (e nunca pelo meio!). Mantendo a pipeta na posição vertical, mergulhá-la no líquido e enchê-la, por aspiração, utilizando a "pompette", até ligeiramente acima do traço superior. Remover quaisquer gotas de água aderentes ao exterior da pipeta, limpando-a num movimento descendente com papel absorvente. Deixar escorrer a água lentamente e ajustar convenientemente o menisco. Eliminar qualquer gota em excesso que se encontre na extremidade da pipeta, encostando-a à parede molhada dum recipiente. Assegurar-se que não existem gotas de água aderentes ao exterior da pipeta ou às paredes internas acima do menisco e que não há bolhas de ar nem espuma no líquido. Deixar escoar livremente o líquido contido na pipeta para o recipiente, mantendo a pipeta na vertical, com a extremidade encostada à parede interna do recipiente, sem a deixar escorregar. Quando terminar o escoamento visível (o menisco deve permanecer imóvel ligeiramente acima da extremidade), manter a pipeta na mesma posição durante 3 segundos (ou, se a pipeta tiver tempo de espera, mantê-la durante o tempo indicado).

5 (2) Micropipetas automáticas A necessidade de medição de pequenos volumes de líquidos, na gama do mililitros ou microlitros, levou ao desenvolvimento de uma gama de pipetas automáticas de pontas descartáveis. A fiabilidade destes sistemas depende em grande parte da qualidade do instrumento, mas também de outros factores como a qualidade das pontas, o ambiente e o operador. Pontas descartáveis - a forma, propriedades do material e o ajuste da ponta à pipeta influenciam o rigor da medição. É importante verificar que a ponta encaixa bem na pipeta, testar a forma como se molha, e verificar se ficam gotas remanescentes depois de escoar o líquido. Condições ambientais - As fontes de erro do meio ambiente incluem a temperatura (diferença de temperatura entre a pipeta, o fluido e a temperatura ambiente), a pressão atmosférica e a humidade do ar. A maior contribuição para os erros ambientais é a temperatura. É importante garantir que todos os componentes estão à mesma temperatura, dentro de ±1ºC. (a) Procedimento para utilização de micropipetas: Ajustar a ponta na pipeta e ajustar o volume a medir. Pressionar com o polegar o manípulo até à primeira paragem; Segurando a pipeta verticalmente, introduzir a ponta cerca de 2-3 mm na amostra; Soltar gradualmente o manípulo e observar o processo de enchimento (deve evitar-se a turbulência no interior da ponta, para minimizar o risco de formação de aerossóis). Quando o manípulo estiver na posição inicial, remover o polegar completamente (a ausência de pressão melhora a precisão). Lentamente, retirar a ponta da pipeta da amostra, e limpar quaisquer gotas de água que tenham ficado aderentes ao exterior. Para escoar o volume medido, encostar a ponta da pipeta na parede do recipiente, num ângulo de 10-45º. Colocar o polegar sobre o manípulo e pressionar de forma uniforme até à primeira paragem. Esperar 1 segundo. Pressionar rapidamente até à segunda paragem. Cuidados a ter ao usar micropipetas: a pipeta e respectiva ponta devem ser escolhidas de forma a minimizar o espaço de ar entre o pistão e o líquido; a ponta deve ser mergulhada apenas à superfície da solução (2-3mm de profundidade); deve molhar-se previamente a ponta com a solução a medir, para melhorar a precisão e exactidão; deve segurar-se a pipeta na vertical; a aspiração deve ser feita de forma suave, e não bruscamente. B. Medição de massas Uma das operações mais frequentes num laboratório é a pesagem, operação pela qual se determina a massa de uma substância. O grau de exactidão e precisão que é necessário satisfazer numa pesagem dependem da sua finalidade. Uma balança analítica, muito rigorosa, ±0,0001 g, tem uma capacidade que pode variar de 50 a 200 g. Uma balança técnica é menos rigorosa, ±0,01 g, mas tem uma capacidade elevada que pode ser de ~1000 g. (a) Cuidados a ter durante as pesagens: A balança deve ser mantida sempre limpa, ou seja, não se devem colocar reagentes directamente no prato mas sim sobre uma cápsula de pesagem (ex: vidro de relógio). As substâncias voláteis ou corrosivas devem ser pesadas em recipientes fechados. A temperatura do objecto a pesar deve ser razoavelmente próxima da temperatura da balança. As janelas da balança devem estar fechadas durante a pesagem. Cada passo na pesagem - taragem, colocação do objecto no prato, leitura - deve ser feito lentamente, dando tempo suficiente à balança para atingir o equilíbrio. O objecto a pesar deve ser cuidadosamente colocado no centro do prato da balança, para evitar erros de excentricidade. Terminada a pesagem, a balança deve ser limpa, se necessário, as janelas fechadas e desligada se não for utilizada de imediato.

6 II. Tratamento de resultados A. Tipos de erros Todas as medições experimentais estão sujeitas a erros. O resultado de uma análise pode ser quantitativo ou qualitativo. Quando o resultado é quantitativo, é extremamente importante fazer uma estimativa dos erros envolvidos na medição. Um resultado é inútil se não for acompanhado de uma estimativa dos erros envolvidos na sua medição. Podemos classificar os erros em três tipos: Grosseiros (irremediáveis) Aleatórios Sistemáticos Erros grosseiros: Não entram no padrão normal dos erros associados a uma análise. Não devem ocorrer, e, se ocorrem e são detectados, normalmente é necessário repetir toda a análise. Ex: avaria de um instrumento; distracção do operador; contaminação macroscópica de um reagente, etc. Erros Aleatórios (ou Indeterminados): As suas fontes podem ser incerteza instrumental, do método ou do operador; Não são elimináveis, mas podem minimizar-se com trabalho cuidadoso; Reconhecem-se como uma dispersão dos valores em torno de uma média; Afectam a precisão; Podem quantificar-se pela medição da precisão (p. ex., através do desvio-padrão). Erros Sistemáticos (ou Determinados): As suas fontes podem ser erros instrumentais, do método ou do operador; Em princípio, são reconhecíveis e podem reduzir-se parcial ou completamente; Reconhecem-se pelo afastamento entre o valor verdadeiro e o valor médio; Afectam a exactidão; Podem quantificar-se pela medição da diferença entre o valor verdadeiro e valor médio. B. Precisão e exactidão Exactidão: Concordância entre o valor obtido e o valor aceite como verdadeiro Precisão: Concordância entre os valores obtidos no mesmo ensaio repetido várias vezes A B C D

7 (1) Repetibilidade Precisão obtida nas mesmas condições: mesmo laboratório mesmo operador mesmo equipamento curto intervalo de tempo Exactidão erros sistemáticos erro Média: x x x v n i n x i (a) Reprodutibilidade Precisão obtida fazendo variar as condições: diferentes laboratórios diferentes operadores diferentes equipamentos espaçamento no tempo Precisão erros aleatórios desvio-padrão s n i ( x x) i n variância: s 2 s desvio padrão relativo(rsd): s r x coeficiente de variação (CV): s r x100 C. Algarismos significativos O conceito de algarismos significativos permite introduzir de um modo simples a precisão de uma medida sem explicitar a sua incerteza. Este conceito permite também estimar a precisão de um valor que é calculado por combinação de diferentes tipos de medida, pois a incerteza de um valor é propagado em todas as contas que com ele forem feitas. Contagem do número de algarismos significativos: Valor Número de algarismos significativos Obs: 5,630 4 Zero à direita da vírgula com significado 0,270 3 Zero à direita com significado mas o zero à esquerda da virgula sem significado 0, Todos os zeros à esquerda da virgula sem significado 1, Todos os algarismos com significado 8,1x x ,60x Valor em notação científica. Apenas se consideram os algarismos antes do expoente ou 3 ou 4 Os zeros podem estar apenas a indicar a posição da virgula (ex. 36,0x10 2 ) 2,3 6 2 O número em índice indica um valor estimado (ex. 2,3 6 cm medidos com uma régua graduada em mm)

8 1. Regras de arredondamento (de acordo com a norma Portuguesa NP-37/1961): Os arredondamentos devem ser feitos de acordo com o valor do algarismo seguinte ao qual se pretende arredondar, ou seja, quando se arredondar um algarismo à casa de ordem n, deve ser ter-se em conta o algarismo que está na casa de ordem n-1. Se o algarismo correspondente à casa de ordem n-1 é menor que 5, o número arredondado mantém inalterado o algarismo de ordem n (ex.: arredondado às dezenas é 11340, ou 342,53 arredondado às décimas é 342,5). Se o algarismo correspondente à casa de ordem n-1 é maior que 5, o número arredondado tem o aumento de uma unidade no algarismo de ordem n (ex.: arredondado às dezenas é 11350, ou 342,57 arredondado às décimas é 342,6) Se o algarismo correspondente à casa de ordem n-1 é 5, e nas casa n-2, n-3... pelo menos um algarismo é diferente de zero, o número arredondado tem também o aumento de uma unidade no algarismo de ordem n (ex.: 11345,01 arredondado às dezenas é 11350, ou 342,552 arredondado às décimas é 342,6). Se o algarismo correspondente à casa de ordem n-1 é 5, e nas casa n-2, n-3... não há algarismos, ou são zeros, existem três modos de proceder ao arredondamento: (a) O valor a arredondar apresenta, com maior probabilidade, erro por excesso do que por defeito (é o caso dos valores resultantes de certos métodos de medida), neste caso o número arredondado mantém inalterado o algarismo de ordem n. (b) O valor a arredondar apresenta, com maior probabilidade, erro por defeito do que por excesso (é o caso dos valores resultantes de divisões, interrompidas quando ainda deixavam resto; e dos que resultam de certos métodos de medida), neste caso o número arredondado tem o aumento de uma unidade no algarismo de ordem n. (c) Não há motivos para supor que o valor a arredondar apresenta, com maior probabilidade, erro por excesso ou por defeito, neste caso o valor arredondado é obtido somando uma unidade ao algarismo de ordem n se este for ímpar (ex.: arredondado à dezenas é 11340; se 342,55 arredondado às décimas é 342,6; se 43,735 arredondado às centésimas é 43,74) ou mantendo inalterado o algarismo de ordem n se este for par (ex.: arredondado à dezenas é 11340; se 342,65 arredondado às décimas é 342,6; se 43,745 arredondado às centézimas é 43,74). 2. Manuseamento dos dados experimentais (operações matemáticas elementares): Adição e subtração: nos cálculos são utilizados todas as casa decimais, mas o número de casa decimais significativas do resultado não pode ultrapassar o menor número de casas significativas das parcelas. Ex.: 22,33 2,23 3 0, , ,79 arredondamento Multiplição e divisão: o resultado tem o número de algarismos significativos idêntico ao do factor com menor número de algarismos significativos (ex.: 0,2x103,4 20,68 ou seja 0,2x10 2 ou 0,2 1 x10 2 ; 0,2x140,7 28,14 ou seja 0,3x10 2 ou 0,2 8 x10 2 ). Neste último caso é notário a informação dada pela numenclatura com índice. NOTA: os números inteiros quando multiplicados por reais não afectam o

9 número de algarismos significativos, ou seja se um computador custar euros, dois computadores custam euros e não 1x10 4 euros... Logaritmos: o argumento do logaritmo e a mantissa do seu resultado deverão ter o mesmo número de algarismos significativos (ex.: log 2,02 0,305) D. Intervalos de confiança É importante quantificar os erros aleatórios numa medição experimental. Isto faz-se determinando um intervalo de confiança para o resultado final. O intervalo de confiança representa-se como "x ± x, para um nível de confiança de α %" e significa que há uma probabilidade α de o valor que medimos se encontrar entre x- x e x+ x. A forma mais simples de estimar um intervalo de confiança é fazer a mesma medição repetidas vezes. Os erros aleatórios que ocorrem em cada medição serão diferentes. Uns serão por excesso, outros por defeito. Fazendo a média de todos os resultados, estaremos a compensar os erros por excesso com os erros por defeito, e, portanto, a minimizar os erros aleatórios de forma geral. Quanto mais medições fizermos, melhor. O valor médio de n repetições da mesma medição, x m, é uma estimativa do valor verdadeiro da propriedade que queremos medir (chamemos a este µ ). Se fosse possível fazer infinitas medições, conseguiríamos eliminar totalmente os erros aleatórios. Só nesse caso é que teríamos a certeza de que o valor médio das medições seria igual ao valor verdadeiro. Na prática, isto é impossível. Nunca conseguimos saber o valor µ com rigor absoluto. O melhor que podemos fazer é estimar um intervalo que tenha uma probabilidade elevada de o conter. Sabemos que o desvio padrão é uma medida dos erros aleatórios que ocorreram nas medições. A maior parte dos erros aleatórios obedece a um tipo comportamento estatístico, a que chamamos "distribuição normal" ou "distribuição de Gauss". Se representássemos num histograma 1 infinitas medições sujeitas a erros aleatórios, este teria a forma de uma "boca de sino" designada por "curva de distribuição normal". Estas curvas são simétricas, e são definidas por dois parâmetros: a média (µ) e o desvio padrão (σ) 2. Na figura seguinte representam-se duas curvas de distribuição normal com a mesma média (µ200) e desvios padrão diferentes (σ 1 1,0 e σ 2 2,5). É de salientar que: - os valores ocorrem mais frequentemente próximo da média, e são progressivamente menos frequentes quando nos afastamos para os extremos (o máximo da curva está em µ); - quanto maior o desvio padrão σ (maior é a dispersão dos valores em torno da média µ) mais "larga" é a curva.! σ 1 < σ µ Um histograma é um gráfico que traduz a frequência com que ocorre cada valor. No eixo das abcissas representam-se os valores, e no eixo das ordenadas o número de vezes que cada um ocorreu. σ 1 σ 2

10 Uma das propriedades mais úteis das curvas de distribuição normal é que, qualquer que seja µ e σ, cerca de 95% de todas as medições encontram-se no intervalo µ-2σ e µ+2σ. Da mesma forma, encontra-se sempre uma percentagem (p%) bem definida de todas as medições em qualquer intervalo µ±zσ. Isto significa que, quando faço uma medição x, há p% de probabilidade de o valor verdadeiro, µ, estar dentro do intervalo x±zσ. Os valores de z encontram-se tabelados em função da probabilidade (nível de confiança). Os mais vulgarmente usados são: p% z 95,0% 1,96 99,0% 2,58 99,7% 2,97 Para calcular o intervalo de confiança, já só preciso de saber o valor de σ. Há duas hipóteses: - se fizer um número elevado de medições 3, posso calcular o desvio padrão s e dizer que σ s. - se não for possível fazer um número suficientemente grande de medições, calculo o desvio padrão, s, e em vez de multiplicar por z multiplico por outro factor, o t de student. O valor t de student encontra-se tabelado em função do nível de risco, (100-p), e do número de graus de liberdade, gl. Este é dado por gl n - 1 quando estamos a fazer uma média de n medições. Na Tabela 1 encontram-se alguns valores deste parâmetro 4. Tabela 1 - Distribuição t de student para níveis de risco de 5% e 1% gl Passaremos a designar por µ e por σ a média e o desvio padrão de uma curva de distribuição normal, que seriam teoricamente obtidos através de infinitas medições e corresponderiam aos valores "verdadeiros", e por x m e por s a média e desvio padrão calculados com um conjunto finito de n pontos experimentais. 3 O que é um "número elevado de medições" varia, conforme os casos. Em geral, considera-se n>30 suficientemente elevado. 4 Também pode calcular-se t numa folha de cálculo excel (versão inglesa) com a função TINV(risco, gl).

11 O intervalo de confiança obtido para uma única medição x será então ± No entanto, geralmente fazem-se n medições (são necessárias para determinar s), e o valor médio dessas medições, x m, é uma aproximação melhor ao valor verdadeiro do que as medições individuais. Demonstra-se que o desvio-padrão da média, s m é igual ao desvio-padrão dos valores individuais, s, dividido pela raiz quadrada do número de valores usados na média. O melhor intervalo de confiança que conseguimos assim obter com n medições será: ± E. Determinação da melhor recta que passa pelos pontos experimentais Frequentemente fazem-se medições de uma propriedade que varia linearmente com outra (por exemplo, a absorvência de uma solução pode variar linearmente com a sua concentração, segundo a lei de lambert-beer). No entanto, as medições estão sempre sujeitas a erros aleatórios, pelo que, em geral, os pontos experimentais não coincidem com uma recta. Nestes casos, é necessário determinar a equação (ymx+b) da recta que melhor se ajusta ao conjunto do dados experimentais. A este tipo de cálculo chama-se "regressão linear". Um dos métodos mais usados para fazer regressão linear é o método dos mínimos quadrados. Neste método, procura-se minimizar a distância "vertical" de cada ponto experimental x a uma recta teórica, mx+b (ver figura). O método parte de dois pressupostos muito importantes: 1. os erros aleatórios ocorrem apenas nas ordenadas (y), e não nas abcissas (x) 2. a ordem de grandeza dos erros aleatórios não varia ao longo da recta. Com estes pressupostos, o método calcula os "residuais", que são a distância, na vertical, de cada ponto experimental, y i, à recta: onde ý i representa o valor esperado de y, valor que y i teria se não tivesse erro, ou seja, se tivesse "caído" sobre a recta). A função U é a soma dos quadrados dos residuais, e é uma medida do afastamento de todos os pontos experimentais a uma recta teórica de declive m e ordenada na origem b: ( ) ( ) Na função U, as incógnitas são m (o declive da recta) e b (a ordenada na origem). Pode calcular-se o mínimo desta função derivando e igualando a zero. O resultado deste cálculo dá as seguintes fórmulas para m e b: onde N é o número de pontos experimentais (x i, y i ). Os parâmetros S xx, S yy e S xy podem calcular-se por:

12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Da regressão linear retira-se outro parâmetro muito importante, o desvio padrão dos residuais, s y : ( ) O desvio padrão dos residuais é uma quatificação dos erros aleatórios que afastam os pontos da recta. Pode usar-se para determinar o desvio padrão do declive, s m e da ordenada na origem, s b : ( ) ( ) Assim, podemos determinar a equação da recta que melhor passa pelos pontos experimentais, com intervalo de confiança para o declive e ordenada na origem: ± + ± (Note-se que, neste caso, o número de graus de liberdade para o t de student é n-2, e não n-1) Um parâmetro que traduz de forma simples se o ajuste da recta é bom ou não é o coeficiente de correlação. O cálculo deste pode ser feito utilizando a expressão: O coeficiente de correlação pode tomar valores entre +1 e 1, quando r 1 então existe uma relação linear entre x e y (os resultados experimentais podem ser descritos por uma recta), se r0 existe uma independência completa entre os valores de x e y (os resultados não apresentam qualquer relação linear). Em métodos instrumentais de análise a regressão linear é frequentemente usada para construir com soluções padrão uma recta de calibração, que posteriormente é usada para determinar a concentração de uma amostra. Nestes casos, o desvio padrão s c associado à concentração C determinada a partir da recta é: ( ) + + onde L é o número de réplicas da amostra que foram lidas, c é a média das L leituras da amostra, e é a média das leituras das N soluções padrão que foram usadas para construir a recta. O intervalo para a concentração da amostra será então C ± 2 s C, para 95% de confiança.

13 F. Propagação de erros Na maior parte das análises é necessário efectuar operações aritméticas sobre os resultados de uma medição, ou combinar os resultados de várias medições, cada uma sujeita a erros aleatórios, de forma a obter um resultado final. O desvio padrão deste resultado final pode calcular-se a partir dos desvios padrão de cada medição, aplicando a lei de propoagação de erros de Gauss. Dada um função yf(x 1, x 2, x 3,...,x n ), em que x i são variáveis aleatórias independentes, descritas por desvios padrão s xi, então o desvio-padrão da função y será dado por: n i 1 y xi Resolvendo esta equação para os casos mais simples, obtém-se a tabela seguinte: Função desvio padrão Função desvio padrão y x 1 + x 2 ou y x 1 - x 2 s y y x 1 x 2 ou y x 1 / x 2 y x a 2 s + y ln x s y 2 xi + y log x s y y e x e x y e x s x y 10 x (ln 10) e x