Ajuste de Curvas. Ajuste de Curvas

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1 Ajuste de Curvas 2 AJUSTE DE CURVAS Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações em que conhecemos uma tabela de pontos (x; y). Nessa tabela os valores de y são obtidos experimentalmente e deseja-se obter uma expressão analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de pontos. Por exemplo, no departamento de uma empresa, podemos obter uma tabela com valores do custo total CT de um produto em função da quantidade q de produção, como mostra a tabela abaixo: quantidade (q) custo total (CT) Fazendo a representação gráfica dos pontos da tabela abaixo, temos: Custo total X quantidade Custo total em R$ Quantidade em unidades 14

2 MATEMÁTICA APLICADA Observamos no gráfico acima que não passa uma reta por todos os pontos. Com base nisso, podemos fazer as seguintes perguntas: 1. Qual é a curva que melhor se adapta ao conjunto de pontos, isto é, qual expressão analítica ou a função que melhor se ajusta aos pontos (x; y)? 2. Qual a previsão do custo total para dez unidades do produto? 2.1 Introdução à regressão linear A título de exemplo, utilizaremos pares ordenados obtidos resultantes de algum experimento, como: x x 1 x 2 x 3 x 4 x... x n-1 x n y y 1 y 2 y 3 y 4 y... y n-1 y n A ordenação desses pares em um uma distribuição cartesiana será influenciada pelos valores de x i e y i, (i=1..n). Logo, podemos obter um gráfico, por exemplo: Fonte: Fonseca, Martins e Toledo Estatística Aplicada, Atlas (09) 1 Podemos constatar a possibilidade de obtenção de uma função real que passe nos pontos ou pelo menos passe próximo aos pontos (x i,y i ) dados. 1

3 A Teoria de Interpolação é a área matemática destinada a estudar tais processos para obter funções que passam exatamente pelos pontos dados, enquanto a Teoria de Aproximação estuda processos resultantes de funções que se aproximem ao máximo dos pontos dados. Lógico que, se pudermos gerar funções que se aproximem dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manuseada, teremos gerado algo positivo e de valor científico. Existem vários processos matemáticos para solução do problema. Podemos destacar o método dos mínimos quadrados, que tem por finalidade gerar o que se chama em Estatística: regressão linear ou ajuste linear. Dentre as curvas mais comuns aplicadas, estão: Ordem Função Nome 1 y = a o +a 1 x reta 2 y = a o +a 1 x+a 2 x² parábola 1 A proposta de qualquer uma das funções é encontrar quais são os valores dos coeficientes a o, a 1 e a 2, de forma que a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da referida curva y=f(x) a cada um dos pontos dados (y i ) seja a praticável, daí o nome método dos mínimos quadrados. Isso pode ser feito por meio de cálculos avançados que consideram todas as variáveis utilizadas ou simplificado pelo chamado método dos mínimos quadrados, que estudaremos a seguir. 2.2 Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) Consiste em um dos mais simples e eficazes métodos da análise de regressão. É utilizado quando temos uma distribuição 16

4 MATEMÁTICA APLICADA de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados. 2.3 Regressão linear Analisaremos o caso em que a curva de ajuste é uma função linear, muito frequente nos casos empresariais. Na verdade, pela necessidade de agilidade nas respostas e nas tomadas de decisões, problemas mais complexos podem ser aproximados pelo caso linear, considerando as duas variáveis mais significativas para cada caso. Matematicamente, vamos considerar y = ax + b, cujo gráfico é uma reta. A equação da reta ou a função que aproxima o conjunto de pontos é dada por: y = Ax + B A = x. y n. x. y 2 2 e B = y Ax x n x ( ) Onde: n = número de pontos observados; 1 Σx = soma dos valores de x (abcissas); Σy = soma dos valores de y (ordenadas); Σx.y = soma dos produtos entre x e y; Σx 2 = soma dos quadrados dos valores de x; x x = e y n n y = (médias aritméticas). Aplicaremos o modelo para responder às duas perguntas do problema inicialmente proposto nesta unidade. 17

5 Para facilitar os cálculos construímos a tabela e calculamos os elementos da fórmula do MMQ, onde y representa o custo total (CT ) e x representa a quantidade (q). x y x.y x soma = Σ x x = 1 = = 3 n y y = 1700 = = 340 n A = = = , 6. B = ,6.3 = 9, Substituindo os valores de A e B, a equação da reta que aproxima os pontos da tabela é: y = 81,6x + 9, isto é, CT = 81,6q + 9, e a previsão para a quantidade q = unidades é dada por: q = CT = 81,6. + 9, = 911, Assim, o custo total para dez unidades é de R$ 911,. 18

6 MATEMÁTICA APLICADA Graficamente, Custo total em R$ Custo total X quantidade 600 y = 81,6x + 9, Quantidade em unidades Lembramos aqui que o símbolo Σ é a representação de um somatório e corresponde à letra grega sigma maiúscula. 2.4 Regressão quadrática Em muitos problemas de Matemática Aplicada, também é comum ocorrerem situações onde a curva de ajuste não é uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva cujo gráfico é uma função quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função quadrática: y = ax 2 + b.x + c. O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por: 1 y = Ax + Bx + C onde: A, B e C são uma solução do sistema de equações lineares abaixo: A x + B x + C x = x y 3 2 A x + B x + C x = xy 2 A x + B x + C n = y. Exemplo: a tabela a seguir apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os preços de venda correspondentes em determinado período: 19

7 preço de venda quantidade vendida Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preço de venda igual a R$ 1,00. Solução: inicialmente marcamos os pontos num gráfico para verificar se os pontos tendem mesmo a uma parábola. Quantidade X preço de venda Quantidade em (unidades) Preço de venda (R$) Para facilitar os cálculos, construímos uma tabela e calculamos os elementos da fórmula do ajuste da parábola, onde y representa a quantidade e x o preço de venda. Na última linha estão os somatórios das colunas. x y x.y x 2 x 3 x 4 x 2. y Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema de equações e resolvendo, obtemos: A = - 0,0298 B = 3,3416 e C =,9

8 MATEMÁTICA APLICADA A equação que aproxima os pontos da tabela é: y = -0,0298x 2 + 3,3416x +,9 isto é, q = -0,0298 p 2 + 3,3416 p +,9 onde: q representa a quantidade demandada e p o preço de venda. Calculando a projeção da quantidade para o preço de venda igual a R$ 1,00 temos; p = 1 q = -0,0298. (1) 2 + 3, ,9 = 77,82 Assim, a quantidade demandada para o preço de R$ 1,00 é de 77,82 unidades. Graficamente, Quantidade X preço de venda Quantidade em (unidades) 240 y = -0,0298x 2 + 3,3416x +, Preço de venda (R$) 1 O estudo das regressões é muito aplicado em problemas de estatística. Se estamos interessados em aprender o processo (isto é, fazer dele uma ferramenta de trabalho), devemos observar as mudanças que ocorreram quando passamos da reta para a parábola. Não construiremos o processo para função cúbica ou até mesmo quártica, mas a analogia entre os casos permanece. Obviamente, quando necessitamos desse tipo de análise empresarialmente, buscamos soluções rápidas para os casos de 21

9 interesse. A grande aliada desse tipo de cálculo é a Informática, que nos possibilita ter à disposição programas domésticos, pacotes e até sistemas dedicados a cada nova situação a ser simulada. 1 O método de regressão linear consta no tutorial, por exemplo, do Microsoft Excel (referência: manual do Excel), que faz parte do pacote Office da Microsoft, utilizado pela grande maioria dos profissionais. É fácil utilizá-lo para ajustar curvas ou equações de múltiplas variáveis. O programa possui duas ferramentas para desenvolver regressões. A primeira é a descrita neste estudo e tem a vantagem de ser mais automatizada. Essa opção precisa ser instalada, por meio do menu ferramentas/suplementos/análise de dados, escolhendo-se depois a opção: ferramentas/análise de dados/ regressão. Nesse caso, o MS-Excel pode calcular os resíduos e gerar os gráficos automaticamente, porém cada nova equação precisa ser gerada desde o início. No segundo formato, os resultados se ajustam imediatamente às alterações nos dados e o programa aceita até 16 variáveis independentes, reconhecendo automaticamente os dados em uma planilha, a partir do formato da variável dependente (y), como descrito a seguir A ferramenta de análise regressão realiza uma análise de regressão linear usando o método de quadrados mínimos para encaixar uma linha em um conjunto de observações. Podemos analisar como uma única variável dependente é afetada pelos valores de uma ou mais variáveis independentes. Por exemplo, ao analisar como o desempenho de um atleta é afetado por fatores como idade, altura e peso. Podemos distribuir partes da medição de desempenho para cada um desses três fatores, com base em um conjunto de dados de desempenho e, em seguida, 22

10 MATEMÁTICA APLICADA usar os resultados para prever o desempenho de um novo atleta não testado. A ferramenta regressão usa a função de planilha linest. 2. Sistemática de cálculo 1 Para uma função linear, com o aspecto formal tipo Y = a 0 + a 1 *X 1 + a 2 *X a k *X k, o ajustamento da equação de regressão pode ser realizado com a função estatística PROJ.LIN (na versão em inglês, linest), da seguinte forma: 1. Selecionar (com mouse ou teclas de movimentação) um grupo de células: linhas x número de colunas igual ao número de parâmetros a estimar (variáveis independentes mais a constante); 2. Colocar a fórmula, indicando primeiro a coluna da variável dependente, em seguida, a faixa de colunas das variáveis independentes, depois a existência ou não da constante no modelo (default=sim, 0=não) e o desejo de receber o conjunto de informações completo (default=não, verdadeiro=sim), adquirindo o seguinte aspecto: =PROJ.LIN (a2:a13; b2:d13;;verdadeiro) Nem sempre se usará : e ;. Conforme opções de instalação do programa, pode ser que sejam utilizados. e,. Na versão em inglês, usa-se true em vez de verdadeiro, sendo também possível que o correto (para um dado sistema) seja: =LINEST (a2.a13, b2.d13,,true) 2 3. Inserir essa função como matriz, pressionando simultaneamente CTRL+SHIFT+ENTER. Qualquer alteração na fórmula somente terá efeito se a matriz resposta for selecionada inteiramente e a nova fórmula for inserida 23

11 igualmente com CTRL+SHIFT+ENTER. Como resultado dos cálculos efetuados pelo programa, será exibida uma matriz, sempre com o seguinte formato: ak a k-1... a 2 a 1 a 0 ep k ep k-1... ep 2 ep 1 ep 0 r 2 ep y #N/D #N/D #N/D #N/D F GL #N/D #N/D #N/D #N/D SQRegres SQResid #N/D #N/D #N/D #N/D Onde a 0 é a constante, a 1...a k são os coeficientes das variáveis, ep 0...ep k são os erros-padrão de cada estimativa dessas, R 2 é o coeficiente de determinação, ep y é o erro padrão da estimativa, F é o parâmetro de teste de Fischer-Snedecor, GL é o número de graus de liberdade, SQRegres é a soma dos quadrados da regressão e SQResid é a soma dos quadrados dos resíduos. Os elementos marcados como #N/D são espaços sem resultado, normais, decorrentes do desenho da função (na versão em inglês vem #N/A ). É importante verificar que a posição dos elementos no quadro de resultados é sempre a mesma, independentemente da dos dados da amostra na planilha, indicados na fórmula. 1 Os testes t podem ser determinados pela razão entre os dados da primeira e da segunda linhas (ta i =a i /ep i ). Os erros serão calculados utilizando os coeficientes determinados (atenção à posição deles: a constante está na última coluna, o coeficiente da primeira variável na penúltima, e assim por diante). Maiores esclarecimentos podem ser encontrados no item regressão ( regression ) no menu ajuda do programa. 24