Revisão de Estatística Aplicada a Finanças

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1 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças INTRODUÇÃO A revisão que apresentaremos destina-se a examinar conceitos importantes de Estatística, que tornem possível a compreensão do conteúdo do livro de forma aprofundada. O conhecimento de Estatística 1 é importante para as diversas áreas de estudo do livro e, em particular, para o cálculo do Value-at-Risk e para o estudo de opções. Na seção E8 apresentaremos alguns tópicos de Finanças, que interagem com o estudo dos diversos temas abordados no livro. Os leitores que já possuem conhecimentos de Estatística e de Finanças poderão estudar ou rever apenas os tópicos que julgarem necessários. Não temos a intenção de esgotar os temas abordados na revisão (isto demandaria um espaço excessivo, e o leitor poderá recorrer a literaturas específicas a respeito dos temas em que desejar se aprofundar. A respeito da simbologia utilizada na revisão, adotamos a convenção da maioria dos livros de Estatística, de representar os conjuntos por letras maiúsculas e os elementos dos conjuntos por letras minúsculas. Diferentemente do restante do livro, utilizaremos o símbolo. (ponto para representar a operação de multiplicação (no restante do livro utilizamos o símbolo x para representar essa operação. Para facilitar a compreensão dos conceitos apresentados, diversas vezes construiremos duas definições desses conceitos. A primeira será informal, com o objetivo de facilitar a compreensão de modo mais intuitivo, e a segunda definição será construída de modo mais tradicional. E1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS As variáveis aleatórias podem ser definidas da forma a seguir: Uma Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemática que associa um único número real a cada possível resultado (que pode ser numérico ou não numérico de um experimento aleatório. Quando esse experimento aleatório ocorre em relação ao tempo, também se utiliza o termo variável estocástica como substututo de variável aleatória. 1 Na seção E7 (página 473 mostraremos algumas definições do termo Estatística.

2 426 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 Considere um experimento aleatório (estocástico cujos possíveis resultados sejam representados pelo conjunto S (espaço amostral. Uma função X que associa a cada elemento de S (cada resultado possível do experimento aleatório um único número real é denominada Variável Aleatória (VA. Por exemplo, se s S, haverá um número real x que seja função de s e que é representado pela expressão x(s. Alguns autores consideram a denominação Variável Aleatória não apropriada, na medida em que ela se refere a uma Função Matemática de Experimento Aleatório. O experimento aleatório pode ser numérico ou não numérico, mas as imagens da função matemática (resultados da variável aleatória são necessariamente números reais que ocorrerão de forma aleatória. Quando o experimento aleatório for numérico, a variável aleatória será a identidade que associa a cada possível resultado (numérico do experimento aleatório um número igual. Exemplo E1.1 Represente a variável aleatória X que associa ao experimento aleatório lançamento de duas moedas o resultado numérico igual ao número de caras (K obtidas no lançamento (a face coroa será representada pela letra C. Resposta - Na figura E1.1, a seguir, podemos visualizar o conjunto de possíveis resultados do experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, a variável aleatória X e o conjunto de possíveis resultados da variável aleatória X {0, 1, 2}. DDD 01 Figura E1.1 Variável Aleatória Unidimensional S Função X Sx S Função X Sx (variável aleatória (variável aleatória KK KK 2 2 KC KC 1 1 CK CK CC 0 CC 0 onde: S = domínio da função (conjunto de argumentos da função. Os argumentos ocorrem de forma aleatória; Sx = contradomínio da variável aleatória (conjunto de números reais assumidos pela variável aleatória X. Os números reais de Sx também ocorrem de forma aleatória.

3 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 427 E1.1 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL Uma Função de Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemática que associa um número real a cada resultado da variável aleatória unidimensional X, que também é um número real. Seja Z uma função que associa um número real a cada resultado (número real da variável aleatória unidimensional X. Portanto, para cada número real x, haverá um número real z, que é função de x, ou seja, z = z(x. Como uma variável aleatória é uma função de um experimento aleatório, uma função de variável aleatória é, na verdade, uma função de outra função. Dessa forma, os possíveis resultados de Z, z(x(s também serão função de s. Exemplo E1.2 Represente uma função de variável aleatória Z, que é função da variável aleatória X considerada no exemplo E1.1, que associe um número real z a cada número real x, de modo que z = 100. x. Resposta - Podemos observar que, neste exemplo, Z é uma função linear de variável aleatória, na medida em que varia a uma razão constante de 100 unidades para cada unidade de variação de x. Na figura E1.2, podemos visualizar o conjunto de possíveis resultados do experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, o conjunto de possíveis resultados da variável aleatória X {0, 1, 2} e o conjunto de possíveis resultados da função de variável aleatória Z {0, 100, 200}. Figura E1.2 Função de Variável Aleatória Unidimensional DDD 02 S S Função XX Sx Sx Função Função Z Z de de Sz Sz (variável (variável aleatória aleatória VA VA Unidimensional KK KK KC KC CK CK CC 0 0 onde: S = domínio da VA X; Sx = contradomínio da VA X e domínio da função de VA Z; Sz = contradomínio da função de VA Z.

4 428 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 E1.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Uma Variável Aleatória X será discreta se o seu contradomínio Sx (conjunto de resultados da variável aleatória for finito ou infinito enumerável. Ex.: Sx = { x 1, x 2,...,x n }, Sx = { 0, 1, 2 } Sx = { x 1, x 2,...,x n... }, Sx = Z (conjunto dos números inteiros, etc. onde: x i R (conjunto dos números reais. E1.2.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Uma Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta é uma Função Matemática que associa uma probabilidade de ocorrência (número pertencente ao intervalo [0,1] a cada possível resultado (número real da Variável Aleatória. Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível valor de X, que chamaremos de x i 2, será associado um número p (x i que será igual à probabilidade de que X seja igual a x i. Essa probabilidade será chamada de P (X=x i. Os números p(x i devem satisfazer às seguintes restrições: >> 01 p(x i 0 para todo x i Sx >> t 01 Σ p(x i = 1 i=1 onde: t = número de elementos do contradomínio de X, ou seja, a quantidade total de x i 3. Portanto a Função de Probabilidade de X (que também pode ser chamada de Distribuição de Probabilidade de X será a função matemática p que associe uma probabilidade de ocorrência para todos os elementos de Sx e que satisfaça às restrições previamente definidas. 2 É importante estar atento para a diferença entre o X maiúsculo, que representa a variável aleatória, e o x minúsculo, que representa os valores numéricos que a variável aleatória pode assumir. 3 Note que está implícita, nas duas condições apresentadas, a hipótese de que 0 p(x i 1 para todo x i Sx.

5 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 429 A representação de uma função de probabilidade pode ser efetuada por sua expressão matemática, por uma tabela (ou figura, ou por um gráfico. Exemplo E1.3 Represente a função de probabilidade associada à quantidade de caras que ocorrem no lançamento de duas moedas (não viciadas, das três formas mencionadas. Respostas: Expressão Matemática P(X=2 = 1/4 P(X=1 = 1/2 P(X=2 = 1/4 DDD 03 Tabela DDD 3 Figura Função X P (X=Xi S Sx S (variável Função aleatória X Sx (função P de (X=x probablidade i (variável aleatória (função de probabilidade KK 2 KC 1 CK CC 0 1/4 1/2 1/4 Gráfico p (x 1/2 1/ x

6 430 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 E1.3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Uma Variável Aleatória X será contínua se o seu contradomínio Sx (conjunto de resultados da variável aleatória for infinito não enumerável. Ex.: [0,1], R, R +, etc. E1.3.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Convenciona-se chamar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua de função densidade de probabilidade (fdp. Na seção anterior vimos que, para as variáveis aleatórias discretas, a distribuição de probabilidade denomina-se função de probabilidade. Uma Função Densidade de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua é uma Função Matemática que associa aos intervalos dos possíveis resultados da Variável Aleatória (intervalos de números reais um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado da Variável Aleatória pertencer aos intervalos especificados. Uma Função Densidade de Probabilidade f de uma Variável Aleatória contínua X deve satisfizer às seguintes condições: >> 02 f (x 0 para todo x Sx >> 02 + f(x dx = 1 - Note que o contradomínio Sx da VA X poderá conter um limite inferior (li e um limite superior (ls em que li e ls sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo das condições anteriores, poderemos afirmar que: ls >> 03 >> f(x 03dx = 1 li Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados em determinado intervalo ]a, b[ Sx, ou seja, P (a < x < b, deveremos calcular a

7 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 431 >> 04 proporção da área da fdp que está situada entre os argumentos a e b, em relação à área total da fdp. Como a área total da fdp é igual a 1, P (a < x < b será igual à área da fdp que está situada entre os argumentos a e b, que é igual à integral 4 da fdp, do limite inferior (a ao limite superior (b, conforme mostrado na expressão a seguir: b >> 04 f(x dx f(x dx b P (a < x < b = a a = = f(x dx + 1 a f(x dx b b Como P (X = b = f(x dx = 0, ou seja, como a área de uma linha é igual a b zero, serão verdadeiras as seguintes igualdades: P (a < x < b = P (a x < b = P (a < x b = P (a x b Exemplo E1.4 Admita que o Banco Central de um país estabeleceu uma banda cambial, na qual a moeda do país possa ter sua cotação em relação ao dólar variando de 2,80 a 3,00 unidades monetárias. Considere que a probabilidade de a cotação pertencer a qualquer intervalo de mesma amplitude seja igual. A fdp associada a essa variável aleatória pode ser representada pela expressão a seguir: f (x = 1/(2,00 1,80 para 2,80 x 3,00 = 0 para qualquer outro valor de x onde: x = cotação da moeda. Calcule a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88 e construa uma figura que represente a fdp da VA X. Resposta - A probabilidade será igual à área da fdp entre os argumentos 2,84 e 2,88. Como a fdp admitida neste exemplo possui imagem constante, 4 Aos leitores que não tenham conhecimento de cálculo, sugerimos ver conceitos e aplicações iniciais de derivadas e de integrais de funções em livros de cálculo. A integral de uma função é representada pelo símbolo e representa uma função que, ao ser derivada, será igual à função original. Há diversas regras para o cálculo de integrais e que na maior parte das vezes permitem os seus cálculos de forma direta. Entretanto, há funções que foram bastante trabalhosas para que se conseguisse calcular suas integrais, e outras para as quais até os dias atuais ainda não se conseguiu efetuar os seus cálculos. Quando são especificados um limite inferior e um limite superior para a integral (integral definida, o seu conhecimento permite o cálculo da área da função entre os limites especificados. Entretanto, na maioria dos exemplos utilizados nesta Revisão de Estatística será possível calcular as áreas das funções densidade de probabilidade (fdp sem a necessidade de calcular as suas integrais.

8 432 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 basta multiplicar a altura pela base do retângulo para calcular a sua área, ou seja, 1/(3,00 2,80. (2,88-2,84 = 5. 0,04 = 20%. A fdp e a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88 podem ser representadas no gráfico a seguir: f (x 5 0 2,80 2,84 2,88 3,00 x A figura que representa a fdp da VA X é a seguinte: DDD 04 S DDD 4 Função X (variável aleatória Sx f(x (fdp 3,00 3,00 f(x 5 2,80 2,80 2,80 3,00 x Neste exemplo, como o resultado do experimento aleatório é numérico, a variável aleatória representa a função identidade entre o seu domínio e o seu contradomínio. E1.4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MISTAS Variáveis Aleatórias Mistas são variáveis aleatórias cujos resultados possam assumir valores específicos com determinada probabilidade ou possam pertencer a determinados intervalos com determinada probabilidade.

9 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 433 Um bom exemplo de variável aleatória mista nos mercados derivativos é o preço (prêmio de uma opção de compra na data de seu vencimento. Considere uma opção de compra que permita a seu comprador (titular da opção adquirir uma ação, cujo preço seja uma variável aleatória contínua, por R$ 10. Admitindo que a probabilidade de o preço da ação ser igual ou inferior a R$ 10 (na data do vencimento da opção é igual a 40% e que a probabilidade de o preço da ação pertencer ao intervalo ]R$ 10, + [ (na data do vencimento da opção é igual a 60%, a opção terá 40% de probabilidade de valer R$ 0 e terá 60% de probabilidade de ter valor pertencente ao intervalo ]0,+ [ na data de seu vencimento. E1.5 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA Uma Função de Distribuição Acumulada de uma Variável Aleatória é uma Função Matemática que associa a cada possível resultado da variável aleatória (número real a probabilidade de que os resultados da variável aleatória (números reais sejam menores ou iguais aos possíveis resultados. Seja X uma variável aleatória discreta ou contínua. Uma função de distribuição acumulada de X é uma função F que associa um número F(x para todo x R, de modo que F(x represente a probabilidade da VA X ser igual ou menor a x. Portanto: F (x = P (X x Desse modo, a função de distribuição acumulada de um valor real x (possível valor da variável aleatória X terá como resultado (imagem a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor menor ou igual a x. Propriedades de uma Função de Distribuição Acumulada F (- = 0 F (+ = 1 F (x é sempre não decrescente F (b - F (a = P (a < x b F (b - F (a - Lim x = P (a x b x 0+

10 434 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 E1.5.1 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS É obtida pela expressão matemática a seguir >> 05 F >> (x 05 = Σ p(x i, para todo x i x i Exemplo E1.5 Calcule a função de distribuição acumulada da variável aleatória igual ao número de caras no lançamento de uma moeda e a represente graficamente. Respostas: F (x = 0 para x < 0 = 1/4 para 0 x < 1 = 3/4 para 1 x < 2 = 1 para x 2 Graficamente, a função seria representada da forma a seguir: f (x 1 3/4 1/ x E1.5.2 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS É obtida pela expressão matemática a seguir: >> 06 F >> (x 06 = f(x dx x x -

11 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 435 Observe que a derivada da função de distribuição acumulada é igual à função densidade de probabilidade de x, para todo x onde F (x seja derivável, ou seja: >> 07 >> d F 07 (x = f(x dx Exemplo E1.6 Calcule a função de distribuição acumulada da variável aleatória considerada no exemplo E1.4 e a represente graficamente. Respostas: F (x = 0 para x < 2,80 = 5. (x -2,80 se 2,80 x 3,00 = 1 para x > 3,00 Graficamente, a função seria representada da forma a seguir: f (x 1 0 1,80 2,00 x Exemplo E1.7 - Charada. Este exemplo foi apresentado pela autora Marilyn vos Savant (cujo endereço eletrônico é em uma coluna do jornal americano Parade Magazine. O exemplo se tornou bastante conhecido pois diversos estatísticos americanos escreveram para a autora afirmando que a sua resposta estava incorreta. Portanto, é possível que alguns leitores também a considerem incorreta em um primeiro momento. Em um programa de auditório, um indivíduo ganha o direito de participar de um jogo no qual poderá ganhar um carro. O jogo consiste na escolha, por parte do jogador, de uma entre três portas, sendo que atrás de apenas uma das portas há o carro. Atrás das outras duas portas há um bode. Portanto, o jogador tem que escolher uma entre as três portas, objetivando acertar aquela que tenha um carro atrás. Logicamente, a probabilidade inicial de acerto do jogador é igual a 1/3.

12 436 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 a Após o jogador escolher uma das portas, o apresentador do programa mostra ao jogador uma das portas que ele não escolheu e que tem um bode atrás. Em seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta. Pergunta: O jogador deveria optar pela troca? Resposta - Sim, pois ele passaria a ter probabilidade de 2/3 de ganhar o carro se efetuasse a troca. Se você não concorda com essa resposta procure refletir um pouco antes de seguir adiante. Acrescentamos ao problema original o item b a seguir, com o objetivo de ajudar a esclarecer o item a. b Considere agora que, após o jogador escolher uma das portas, o apresentador do programa sorteie uma das três portas para abrir. Admita que o resultado do sorteio tenha sido uma porta que o jogador não escolheu e que, ao ser aberta, tem um bode atrás. Em seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta. Pergunta: O jogador deveria optar pela troca? Resposta - Ele deveria ser indiferente à troca, pois a probabilidade de ganhar o carro seria de 1/2 em cada alternativa. O objetivo de termos mostrado este exemplo é o de alertar que, muitas vezes, a dificuldade na resolução de alguns problemas ou situações do mundo real, não está nos conhecimentos de Estatística, mas sim na clareza, ou na compreensão das premissas dos problemas. De fato, a maioria das pessoas tende a responder ao item a como se ele fosse o item b, mas, no mundo real, em um programa de auditório, o apresentador tem o conhecimento prévio de onde está o carro e a sua escolha da primeira porta, a ser mostrada ao jogador e ao público, não seria aleatória. Com o objetivo de proporcionar mais emoção, aumentar a duração e elevar a audiência do programa, o apresentador escolheria uma das duas portas que não levasse ao carro e que não tivesse sido escolhida. Se você ainda não se convenceu quanto à resposta do item a, repare que, admitindo que o apresentador necessariamente escolheria uma porta diferente da que o jogador tivesse escolhido e que não tivesse o carro, a probabilidade de o jogador ganhar se ele não alterasse a sua escolha inicial continuaria sendo igual a 1/3. Conseqüentemente, a probabilidade complementar de o jogador ganhar, ou seja, se alterasse a porta escolhida, passaria a ser igual a 2/3.

13 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 437 E2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E2.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA PELAS PROBABILIDADES DE OCORRÊNCIA Variáveis Aleatórias Discretas A esperança matemática de uma variável aleatória discreta é igual à ponderação dos números que a variável aleatória poderá assumir, pelas probabilidades de ocorrência dos números. Trata-se, portanto, de uma média aritmética ponderada dos x i, em que os fatores de ponderação são as suas probabilidades de ocorrência: >> 08 n >> 08 E (x = Σ x i. p(x i para todo x i Sx i=1 Variáveis Aleatórias Contínuas A definição de esperança matemática de uma variável aleatória contínua é análoga à utilizada para variáveis aleatórias discretas, sendo que as probabilidades de ocorrência são as dos intervalos de valores e não as dos valores individuais. Desse modo, é necessário calcular a integral da variável aleatória multiplicada por sua fdp, conforme mostrado a seguir: >> 09 >> E (x 09= x. f(x dx Variáveis Aleatórias Mistas A esperança matemática é obtida da forma a seguir: >> 10 >> 10 E (x = Σ x i. p(x i + x. f(x dx para todo x i Sx E2.2 MODA + n i=1 ls li Para VA discretas, a moda pode ser definida como o resultado mais provável. Portanto a moda é o resultado da VA para o qual a função de probabilidade apresenta o maior valor. Por exemplo, a moda da função de probabilidade do exemplo E1.3 é igual a 1, pois é nesse resultado que a função de probabilidade atinge o maior valor que é igual a 1/2.

14 438 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 Para VA contínuas, a moda pode ser definida como o resultado da VA para o qual a função densidade de probabilidade apresenta o maior valor. Podem existir distribuições de probabilidade amodais, como, por exemplo, a fdp do exemplo E1.4, e distribuições de probabilidade com mais de uma moda (distribuições bimodais, trimodais, etc.. E2.3 MEDIANA E PERCENTIS A mediana é o valor para o qual a função de distribuição acumulada é igual a 0,5. Para VA contínuas, a mediana divide a área da fdp em duas metades com valor de 0,5. Portanto há 50% de probabilidade de a VA se situar acima ou abaixo da mediana. Os cem percentis de uma VA são os valores para os quais a função de distribuição acumulada tem valores iguais a 1%, 2%,...,100%. Portanto o 50º percentil é igual à mediana da distribuição de probabilidade.

15 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 439 E3 MEDIDAS DE DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE E3.1 VARIÂNCIA Variáveis Aleatórias Discretas O segundo momento centrado na média de uma distribuição é conhecido como variância. A variância de uma população de n elementos pode ser calculada de acordo com a fórmula a seguir: >> 12 >> 11 n >> 11 Σ (x i - E[x] 2 σ 2 = i=1 n Esta fórmula pode ser reescrita da seguinte forma: n 2 >> 12Σ (x i - 2. x. i E[x] + E[x] 2 σ 2 i=1 = = n XX n Σ (x i2 - n. (2. E[x] 2 + E[x] 2 i=1 = n n Σ (x i2 i=1 = - E[x] 2 n n 2 Σ (x i - 2. E[x]. x i + E[x] 2 i=1 n = (E3.1a então, podemos reescrever a variância da forma a seguir: σ 2 = E [ x 2 ] - E [ x ] 2 (E3.1b Para calcular a variância de uma variável aleatória discreta que tenha função de probabilidade conhecida deve-se utilizar a fórmula a seguir: n >> 13 >> σ 2 = 13 Σ (x i - E[x] 2. p(x i i=1 (E3.1c Esta fórmula também pode ser reescrita como a (E3.1b. A variância de uma amostra de n elementos pode ser calculada de acordo com a fórmula a seguir:

16 440 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 >> 14 n Σ (x i - E[x] 2 >> 14 s 2 i=1 = n - 1 Variáveis Aleatórias Contínuas A variância de uma função densidade de probabilidade f(x deve ser calculada de acordo com a fórmula a seguir: >> 15 >> 15 σ 2 = x 2. f (x dx - x. f (x dx ou σ 2 = E [x 2 ] - E [x] 2 Esta última fórmula é igual à fórmula (E3.1b. Variáveis Aleatórias Mistas A variância de uma distribuição de probabilidade que seja parcialmente discreta e parcialmente contínua deve ser calculada da forma a seguir: n >> 16 >>16 σ 2 = Σ (x i - E[x] 2 + x 2. f (x dx - x. f (x dx ou + i= σ 2 = E [x 2 ] - E [x] 2 Esta última fórmula também é igual à fórmula (E3.1b. E3.2 DESVIO PADRÃO O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância. O desvio padrão de uma população de n elementos pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.1a como mostrado a seguir: σ = [ σ 2 ] 1/2

17 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 441 O desvio padrão de uma variável aleatória com função de probabilidade conhecida também pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.1c como mostrado a seguir: σ = [ σ 2 ] 1/2 O desvio padrão de uma amostra de n elementos pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.2 como mostrado a seguir: s = [ s 2 ] 1/2 E3.3 VOLATILIDADE DE UM ATIVO A volatilidade pode ser definida como uma medida de dispersão. A forma convencionada para mensurar e comparar a volatilidade das diferentes variáveis é por meio do cálculo dos desvios padrão das variáveis. Por exemplo, a volatilidade dos diferentes preços unitários (PUs de negociação de um título público em determinado dia será o desvio padrão das diferentes cotações do título. Entretanto, quando se trata de medir a volatilidade de uma variável ao longo de diferentes dias, convencionou-se medir a volatilidade da variável como o desvio padrão dos retornos diários da variável, medidos em taxas logarítmicas, observados ao longo de determinado período de tempo (janela temporal. Ao observarmos uma série histórica de preços de determinado ativo, poderemos medir o retorno médio e a volatilidade do ativo: o retorno médio ( r é igual à média dos retornos logarítmicos ocorridos ao longo de t dias considerados, como mostramos a seguir: t >> 17 r = Σ onde: i=1 r i = Ln r i n P ( t P t-1, ou seja, é o retorno logarítmico diário. a volatilidade é igual ao desvio padrão dos retornos ocorridos ao longo de t dias considerados, como mostramos a seguir:

18 442 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 >> 18 >> 18 t σ = Σ i=1 _ (r - r i 2 n - 1 1/2 A tabela 22.1 do seção 22.5 ilustra o cálculo da volatilidade de uma ação a partir dos seus 20 retornos logarítmicos mais recentes. Na seção 22.8 mostramos outras alternativas para estimar a volatilidade futura de ativos a partir dos retornos ocorridos no passado. Observe que, se o preço do ativo (P t caísse para um valor bastante pequeno (próximo a zero, o retorno logarítmico do ativo tenderia a -. Esta é a forma mais utilizada de mensuração de retornos, na medida em que se mostra coerente com a realidade, ao admitir que o retorno logarítmico do ativo possa assumir valores de - a + e que o seu preço possa assumir apenas valores positivos. Conforme será visto nas seções E4.2.3 e E4.2.4, no estudo de Finanças tradicionalmente admite-se que o retorno de um ativo medido em taxas logarítmicas tenha função densidade de probabilidade (fdp normal. É matematicamente demonstrável que esta hipótese eqüivale a admitir que o preço do ativo tenha fdp lognormal. Os retornos medidos em taxas efetivas (R i devem ser calculadas da forma a seguir: >> 19 >> 19 P t - P t-1 R i = P t-1 Note que, se o preço do ativo (P caísse para um valor bastante pequeno t (próximo a zero, o retorno efetivo tenderia a -1 (ou - 100%. E3.4 ASSIMETRIA O coeficiente de assimetria pode ser definido a partir do terceiro momento centrado na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir: >> 20 >> 20 Σ (x i - E[x] 3 Ass = n i=1 n σ 3 A assimetria informa se uma distribuição de probabilidade tende a apresentar os valores altos ou os valores baixos mais distante da média. Quando a assimetria for positiva, a distribuição deverá apresentar cauda à direita; quando a assimetria for

19 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 443 negativa, a distribuição deverá apresentar cauda à esquerda; e, quando a assimetria for nula, a distribuição deverá ser simétrica em relação à sua média. E3.5 CURTOSE O coeficiente de curtose pode ser definido a partir do quarto momento centrado na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir: >>21 n Σ (x i - E[x] 4 i=1 n Curt = σ 4 A curtose informa se uma distribuição de probabilidade é achatada ou não. Por exemplo, uma distribuição uniforme que apresente probabilidade constante apresentará curtose muito baixa, ao passo que uma distribuição de probabilidade que apresente um pico de probabilidade no meio e uma queda brusca de probabilidade nas pontas apresentará uma curtose elevada. Como parâmetro de comparação, adotou-se a curtose da distribuição normal que é igual a 3. Convencionou-se chamar as distribuições de probabilidade achatadas (apresentam curtose abaixo de 3 de platicúrticas; as distribuições de probabilidade que apresentam curtose maior do que 3, de leptocúrticas; e as distribuições de probabilidade que apresentam curtose igual a 3, de mesocúrticas. É importante ressaltar que o fato de uma distribuição ser achatada (platicúrtica não significa que ela terá variância elevada, assim como as distribuições que têm curtose elevada (leptocúrticas não terão necessariamente variância baixa. Para exemplificar a afirmação anterior, vale mencionar que uma distribuição normal apresenta curtose igual a 3, independentemente de qual seja a sua variância.

20 444 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 E4 Distribuições de Probabilidade Importantes E4.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL Seja uma variável aleatória discreta Y que associa apenas um de dois resultados (números possíveis a cada experimento aleatório. Há, portanto, apenas dois resultados possíveis para Y: y 1 e y 2. Convenciona-se chamar um dos dois resultados de sucesso e o outro de fracasso. Se o experimento aleatório ao qual a VA Y está associada for repetido n vezes, poderá ocorrer o máximo de n sucessos e o mínimo de zero sucessos. Uma Função de Probabilidade Binomial X associa a x (número de ocorrência de sucessos a probabilidade de o resultado sucesso ocorrer x vezes em n repetições do experimento aleatório (portanto 0 x n. A função de probabilidade binomial pode ser representada pela expressão matemática de análise combinatória a seguir (combinação: n >> 22 P >> (X=x 22 = C. p x. q n-x n! =. p x. q n-x x (n-x!. x! onde: x = número de ocorrências do resultado favorável (sucesso em n repetições; p = probabilidade de ocorrência do sucesso; q = 1 - p = probabilidade de ocorrência do resultado desfavorável (fracasso. Por exemplo, a função de probabilidade binomial correspondente ao número de caras no lançamento de seis moedas não viciadas pode ser representada no gráfico a seguir: p (X=x 20/64 15/64 15/64 6/64 6/64 1/64 1/ x

21 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 445 É fácil demonstrar que: E [X] = n. p σ 2 X = n. p. q Esta distribuição será útil para estudarmos o modelo binomial de precificação de opções no capítulo 20. Exemplo E4.1 Admita que o preço de uma ação siga um caminho aleatório em que haja 50% de probabilidade de ocorrer alta e 50% de probabilidade de ocorrer baixa a cada período, conforme mostrado a seguir: probabilidade de 50% de ocorrer alta de 20% em taxa logarítmica; probabilidade de 50% de ocorrer queda de 20% em taxa logarítmica. Calcule a função de probabilidade do retorno em taxa logarítmica e a função de probabilidade do retorno em taxa efetiva após decorridos 6 períodos e faça a sua representação gráfica. Respostas: Deixaremos que o leitor efetue os cálculos. Os retornos logarítmicos e efetivos com suas respectivas probabilidades de ocorrência são os seguintes: Retornos Retornos Probabilidades Logarítmicos Efetivos 120,00% 232,01% 1,56% 80,00% 122,55% 9,38% 40,00% 49,18% 23,44% 0,00% 0,00% 31,25% -40,00% -32,97% 23,44% -80,00% -55,07% 9,38% -120,00% -69,88% 1,56%

22 446 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 As funções de probabilidade podem ser representadas nos gráficos a seguir: Ex. E4.1 35% 30% Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Logarítmicas 31,25% 25% 23,44% 23,44% Probabilidades 20% 15% 10% 9,38% 9,38% 5% 1,56% 1,56% 0% -120% -80% -40% +0% +40% +80% +120% Taxas de Retornos Logarítm icas Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Efetivas 31,25% 23,44% 23,44% Probabilidades 9,38% 9,38% 1,56% 1,56% -100% -50% +0% +50% +100% +150% +200% +250% Taxas de Retorno Efetivas À medida que se aumenta o número de períodos, a função de probabilidade do retorno logarítmico tende para uma fdp normal e a função de probabilidade do fator de retorno efetivo 1 + R (e do preço tende para uma fdp lognormal. As fdp normal e lognormal serão estudadas nas seções E4.2.3 e E4.2.4, a seguir. E4.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONTÍNUAS E4.2.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE UNIFORME Uma Função Densidade de Probabilidade Uniforme possui imagem constante.

23 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 447 Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor em um intervalo [x a ; x b ]. Se a probabilidade de ocorrer um valor em um intervalo de tamanho L [x a ; x b ] é a mesma para qualquer outro intervalo do mesmo tamanho que pertença a [x a ; x b ], então X será uniformemente distribuída. A função densidade de probabilidade uniforme pode ser representada pela expressão a seguir: f (x = 1/(x b - x a para x a x x b = 0 para qualquer outro valor de x. Graficamente, a fdp uniforme pode ser representada da seguinte forma: f (x 1 x a - x b 0 x a x x b É fácil demonstrar que: >> 23 E [x] = x a + x b 2 E4.2.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE TRIANGULAR Uma Função Densidade de Probabilidade Triangular apresenta o formato triangular. Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor em um intervalo [x a ; x b ]. Uma função densidade de probabilidade será triangular quando for definida pela expressão a seguir: f (x = 2/(x b - x a /(x v - x a. (x - x a para x a x x v onde: = 2/(x b - x a -2/(x b - x a /(x b - x v. (x - x v para x v < x x b = 0 para qualquer outro valor de x x v = argumento em que a fdp possui o maior valor, ou seja, é a moda da fdp.

24 448 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 A fdp triangular possui o formato semelhante ao mostrado no gráfico a seguir: 2 x b - x a f (x x v 0 x a x x b Se o triângulo for isósceles, ou seja, se x v estiver eqüidistante de x a e de x b, é fácil demonstrar que: E [x] = x v = x a + x b 2 Exemplo E4.2 Admita a situação de banda cambial do país mencionado no exemplo E1.4. Considere que haja uma fdp triangular simétrica para o intervalo de cotações possíveis, que vai de 2,80 até 3,00. Neste caso, como a fdp é simétrica, o x V será igual ao ponto médio da fdp, que é igual a 2,90. Mostre qual a fdp associada a essa variável aleatória e calcule a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88. Respostas: A fdp pode ser representada pela expressão a seguir: f (x = 2/(3-2,80/(2,90-2,80. (x - 2,80 para 2,80 x 2,90 = 2/(3-2,80-2/(3-2,80/(3-2,90. (x -2,90 para 2,90 < x 3 ou = 0 para qualquer outro valor de x f (x = 100. (x - 2,80 para 2,80 x 2,90 = (x -2,90 para 2,90 < x 3 = 0 para qualquer outro valor de x A probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88 será igual à área da fdp entre os argumentos 2,84 e 2,88, ou seja:

25 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 449 2,88 2,84 x 2 2, x dx = 100. >> x = 2,84 ( 2,88 = , , ,84 = 0,24 = 24% 2 2 Graficamente, a fdp pode ser representada da forma a seguir: f (x 24% ,80 2,84 2,88 2,90 3,00 x onde: x = cotação da moeda. E4.2.3 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL (OU DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS Esta função densidade de probabilidade será bastante utilizada ao longo do livro e é de grande importância para o estudo de mercados derivativos, de Finanças e de diversas outras áreas, devido às constatações de que: aproxima-se das distribuições de probabilidade observadas dos retornos, medidos em taxas logarítmicas, de diversas variáveis, como, por exemplo, ações, taxas de câmbio e commodities. Também representa boa aproximação para as probabilidades de ocorrência de diversos fenômenos da natureza; pelo teorema do limite central (a ser estudado na seção E6.8, quando uma função de variável aleatória resulta da soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (quaisquer que sejam os formatos das suas distribuições de probabilidade e n, esta função de variável aleatória (n-dimensional terá distribuição de probabilidade tendendo à normal;

26 450 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 em decorrência do teorema do limite central, a distribuição normal serve como aproximação de distribuições importantes, como, por exemplo, a distribuição binomial, quando é considerado um grande número de repetições; em decorrência do teorema do limite central, as distribuições das médias e das proporções em grandes amostras tendem a ser normalmente distribuídas. A Variável Aleatória Contínua X será normalmente distribuída se possuir a Função Densidade de Probabilidade a seguir: 1 f (x = σ /2. ((x-μ/σ 2. e para todo - < x < + onde μ e σ são a média e o desvio padrão da variável aleatória, respectivamente. A fdp normal apresenta o formato de um sino, como pode ser observado no gráfico a seguir: Gráfico E4.4 Função Densidade de Probabilidade Normal Probabilidade Variável Aleatória X + A análise da função densidade de probabilidade permite concluir que uma distribuição normal: é simétrica em relação à média (que será igual à mediana e à moda; apresenta freqüência máxima em x = μ (a moda é igual a μ;

27 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 451 apresenta pontos de inflexão em x = μ - σ e x = μ + σ; apresenta domínio de - até + ; tende a zero quando x - e quando x +. Ao efetuar a integral da função, ou consultando-se uma tabela de distribuição normal, ou utilizando-se uma planilha eletrônica, observa-se que a área sob a curva normal (a integral da curva normal para os intervalos especificados na coluna da esquerda, a seguir, apresenta os valores mostrados na coluna da direita: [(μ - σ ; (μ + σ] = 68,29% da área total (que é igual a um [(μ - 2. σ ; (μ + 2. σ] = 95,43% da área total (que é igual a um [(μ - 3. σ ; (μ + 3. σ] = 99,73% da área total (que é igual a um E FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL PADRONIZADA E CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE INTERVALOS O cálculo da probabilidade de ocorrência de um valor pertencente a um dado intervalo de uma fdp pode ser feito, integrando-se a fdp nesse intervalo. No caso da fdp normal, esse cálculo é trabalhoso devido à complexidade da fórmula. Alternativamente, utilizam-se tabelas, que facilitam o cálculo, ou função estatística de aplicativos de computador, como, por exemplo, a função DIST.NORM(x do aplicativo Excel. A construção das tabelas está baseada na padronização das fdp normais. A fdp normal padronizada possui média μ = 0 e desvio padrão σ = 1. Para transformar-se uma fdp normal em uma fdp normal padronizada, deve-se proceder a uma mudança de variável. A variável aleatória X deve ser alterada para a variável aleatória Z. Os possíveis resultados z da VA Z são obtidos pela seguinte transformação linear: >> 26 >> 26 z = x - μ x σ x Portanto: E (z = 0 σ z = 1 A VA Z pode ser vista como uma função linear da VA X. Por exemplo,

28 452 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 se x tiver média 10 e desvio padrão 2 (utiliza-se a simbologia N ~ (10,2, z terá média 0 e desvio padrão 1 (N ~ (0,1. Graficamente, pode-se perceber a seguinte relação entre x e z: z θ tg θ = 1/σ x = 1/2 0 μ x x =10 A transformação linear altera a média e o desvio padrão da variável aleatória X para a média e o desvio padrão da variável aleatória Z, mas mantém a fdp de z como uma fdp normal, que, neste caso, será a fdp normal padronizada N ~ (0,1. As tabelas que disponibilizam a área sob a fdp normal padronizada geralmente apresentam os valores entre z = 0 e qualquer valor positivo de z. Como a curva é simétrica em torno de z = 0, torna-se possível obter-se a área entre quaisquer valores de z. No aplicativo Excel, o valor de z é obtido na função estatística DIST.NORMP(z, que retorna o valor correspondente à área sob a fdp normal padronizada de - até z. E4.2.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE LOGNORMAL Seja Y uma variável aleatória que possui função densidade de probabilidade normal com média μ e desvio padrão σ. A variável aleatória X = e Y apresentará função densidade de probabilidade lognormal e será representada pela expressão a seguir: 1 f(x= x. σ (ln x - μ 2 2. σ 2. e para x > 0 Como e (base dos logaritmos neperianos, que possui valor aproximado de 2,718 elevado a qualquer valor resulta sempre em número positivo, uma fdp lognormal

29 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 453 admite apenas valores positivos (conforme vimos na seção anterior, uma fdp normal admite valores positivos e negativos pertencentes ao conjunto dos números reais. A fdp lognormal apresenta cauda à direita, como pode ser observado no gráfico a seguir: GGG13 Gráfico E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal Probabilidades 0 0 Variável Aleatória X + + Como uma fdp lognormal X é definida a partir dos parâmetros de uma fdp normal Y, a média e a variância da fdp lognormal são definidas a partir da média e da variância da fdp normal, conforme mostrado pelas expressões a seguir: E >> [x] 28 (μ + σ2 = e 2 ( (μ + σ2 σ 2 σ 2 = e 2. 2 e - 1 x É de grande importância observar que, quando a variável aleatória Y (normal apresentar μ = 0, a variável aleatória X (lognormal apresentará valor esperado positivo igual a e σ2 /2. Esta observação é de fundamental importância para o desenvolvimento dos modelos de precificação de opções, binomial e de Black&Scholes, e para a precificação por meio da metodologia de Simulação Monte Carlo (os modelos citados encontram-se nos capítulos 20 a 26 e, também, para o cálculo do Value at Risk a partir das metodologias analítica e da Simulação Monte Carlo (capítulos 11, 12, 29 e 30. Também é possível definir os parâmetros da distribuição normal a partir da distribuição lognormal:

30 454 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 E[x] μ = Ln ( 2 σ x + E[x] 2 ( σ 2 = Ln σ 2 + E[x] 2 x E[x] 2 A distribuição lognormal é bastante utilizada para o ajustamento da variável preço de ativos negociados no mercado financeiro, como, por exemplo, o preço das ações, a cotação de moedas e o preço de commodities. Como se sabe, os preços dos ativos não pode cair abaixo de zero, e a probabilidade de que seus preços atinjam valores muito altos ou próximos a zero é bastante reduzida. Como se pode observar no gráfico E4.5, essas características são coerentes com a fdp lognormal. O modelo de precificação de opções de Black&Scholes, que propiciou o prêmio Nobel de Economia de 1997 aos pesquisadores Scholes e Merton, e que será estudado do capítulo 22 ao 25, parte da premissa de que a fdp dos preços dos ativos é lognormal. A aceitação de que a variável aleatória preço de um ativo tenha função densidade de probabilidade lognormal implica a aceitação de que o retorno do ativo medido em taxas logarítmicas tenha função densidade de probabilidade normal. A relação entre o preço de um ativo lognormalmente distribuído e o seu retorno, medido em taxas logarítmicas, normalmente distribuído, será explorada em diversas partes do livro.

31 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 455 E5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS E5.1 DEFINIÇÃO Uma Variável Aleatória Bidimensional é um conjunto de duas Funções Matemáticas que associa um par ordenado de números reais a cada resultado aleatório possível de ocorrer em um experimento aleatório. Portanto os possíveis pares ordenados de números reais ocorrerão de forma aleatória. Considere um experimento aleatório cujos possíveis resultados sejam representados pelo conjunto S (espaço amostral. Sejam duas variáveis aleatórias, X 1 e X 2, sendo que cada uma associa um número real a cada elemento de S. Por exemplo, se s S, haverá um número real x 1, que é função de s (x 1 (s, e um número real x 2, que é função de s (x 2 (s. O par (X 1 é denominado variável aleatória bidimensional. Figura E5.1 Variável Aleatória Bidimensional S VA Bidimensional (X 1 X 2 VA X 1 s VA X 2 Sx 1 x 1 = x 1 (s Sx 2 x 2 = x 2 (s onde: S = domínio da VA X 1, da VA X 2 e da VA bidimensional (X 1 (conjunto de argumentos das funções. Os argumentos ocorrerão de forma aleatória; Sx 1 = contradomínio (conjunto dos resultados da VA X 1 ; Sx 2 = contradomínio (conjunto dos resultados da VA X 2 ; Sx. 1 Sx 2 = contradomínio (conjunto dos pares ordenados de números reais possíveis de ocorrer da VA bidimensional (X 1.

32 456 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 Observe que o contradomínio da VA bidimensional (X 1, ou seja, o conjunto de pares ordenados possíveis de serem obtidos, tem que ser representado em um plano bidimensional. Os resultados aleatórios da variável aleatória bidimensional (x 1,x 2 representam seqüências ordenadas (de segunda ordem de números reais e, por isto, esses resultados aleatórios também são conhecidos como vetores 5 aleatórios. E5.2 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL Uma Função de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função Matemática que associa apenas um número real a cada resultado da variável aleatória bidimensional (par ordenado de números reais. Seja Z uma função que associa um número a cada resultado da variável aleatória bidimensional (X 1. Portanto, para cada par ordenado aleatório de números reais (x 1,x 2, haverá um número z, que é função do resultado aleatório (x 1,x 2, ou seja, z = z (x 1,x 2. Como uma variável aleatória é função de um experimento aleatório, uma função de variável aleatória bidimensional é, na verdade, uma função de duas funções. Dessa forma, Z = Z (X 1 (s (s também é função do experimento aleatório. DDD 06 S DDD 6 Figura E5.2 Figura E5.2 VA X 1 Função de Variável Aleatória Bidimensional Figura E5.2 S x 1 x 1 = x 1 (s função de VA Bidimensional Z=Z (X 1, X 2 S z s S x 2 z= z (x 1, x 2 VA X 2 x 2 = x 2 (s onde: S = domínio da VA X 1, da VA X 2 e da VA bidimensional (X 1. Os argumentos ocorrerão de forma aleatória; 5 Um vetor é uma seqüência ordenada de números ou de variáveis. Também se pode definir vetor como um ponto do espaço vetorial de ordem n. Por exemplo, a seqüência ordenada de números [-1,5, 4] é um ponto do espaço vetorial R 2, assim como a seqüência ordenada [1, -3, 4, 5,32] é um ponto do espaço vetorial R 4.

33 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 457 Sx 1 = contradomínio da VA X 1 ; Sx 2 = contradomínio da VA X 2 ; Sz = contradomínio da função de variável aleatória bidimensional Z. Por exemplo, se o administrador de um fundo aplicou recursos dos cotistas, comprando 50 ações da empresa A cujo preço inicial é de R$ 2 e 80 ações da empresa B cujo preço inicial é de R$ 1, o patrimônio líquido inicial (PL t+0 do fundo é igual à soma do valor de mercado das ações A e das ações B, portanto PL t+0 = R$ R$ 80 = R$ 180. Como os volumes financeiros da ação A (V A e da ação B (V B após decorrido um período temporal são iguais aos seus volumes iniciais acrescidos de seus retornos efetivos e estes retornos decorrem do experimento aleatório negociação das ações A e B em pregão, o PL pode ser visto como uma função (linear da variável aleatória bidimensional (R A,R B, onde R A representa o retorno aleatório efetivo da ação A e R B representa o retorno aleatório efetivo da ação B. A figura a seguir representa as relações de causa e efeito da variável aleatória bidimensional (R A,R B com a função de variável aleatória bidimensional PL. Figura E5.3 DDD 7 Figura E5.3 Função de Variável Aleatória Bidimensional Retornos Efetivos das Variáveis Aleatórias A e B DDD 07 S s VA R A S R A R A = R A (s função de VA Bidimensional PL=PL (R A,R B S pl S R B pl=pl (R A,R B = R$ 100. R A +80. R B VA R B R 2 = R 2 (s + pl t+0 Neste exemplo, como os retornos efetivos das ações não podem ser inferiores a -100%, os preços das ações não podem ser negativos e o Spl (conjunto de valores que o patrimônio líquido poderá atingir após a realização do pregão não apresenta valores negativos. Em contrapartida, o exemplo E5.1, a ser apresentado na seção E5.7, ilustrará a situação de uma instituição que, por alavancar recursos de terceiros, apresentará a possibilidade de ter o patrimônio líquido negativo.

34 458 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1 E5.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL Uma Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função Matemática que associa uma probabilidade de ocorrência a cada possível resultado (par ordenado de números reais de uma variável aleatória bidimensional discreta. Seja (X 1 uma variável aleatória bidimensional discreta. Seja P uma função que associa a cada possível resultado (par ordenado de números reais de (X 1, que chamaremos de (x 1,x 2j, um número p(x 1i,x 2j que seja igual à probabilidade de que (X 1 seja igual a (x 1,x 2j. A função P é denominada função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (X 1. A probabilidade de que (X 1 seja igual a (x 1,x 2j é representada pela simbologia P(X 1 = x 1, X 2 =x 2j e é igual ao número p(x 1i,x 2j. Os números p(x 1i,x 2j devem satisfazer às seguintes restrições: >> 29 p(x >> 1i,x 29 2j 0 para todo (x 1i,x 2j R 2 t1 t2 Σ Σ p(x 1i,x 2j = 1 j=1 i=1 onde t 1 e t 2 são os números de elementos dos contradomínios de X 1 e de X 2 respectivamente. A figura a seguir ilustra uma função de probabilidade conjunta: Figura E5.4 Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória Bidimensional DDD 08 S s DDD 8 Figura E5.4 VA Bidimensional (X 1, X 2 VA X VA Y S x 1 x 1 = x 1 (s x 2 = x 2 (s P Função de Probabilidade Conjunta da VA Bidimensional (X 1 S p S x 2 p=p (x 1,x 2 A função de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bidimensional tem que ser expressa em um gráfico tridimensional, como o seguinte, que se refere ao lançamento conjunto de duas moedas e de um dado:

35 Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 459 Gráfico E5.1 Função de Probabilidade Conjunta de VA Bidimensional Discreta GGG14 Gráfico E5.1 E5.1 Função de Probabilidade Conjunta 0,09 Probabilidade de Ocorrência dos Pares Ordenados 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Nº de Coroas 2 3 S1 S2 S3 S4 S5 S6 Face de um Dado E5.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL Uma Função Densidade de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função Matemática que associa às áreas dos possíveis resultados da Variável Aleatória contínua (conjuntos de pares ordenados um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado da Variável Aleatória pertencer às áreas especificadas (subconjuntos de R 2. Seja uma variável aleatória bidimensional contínua (X 1. Sejam [x 1a,x 1b ] e [x 2c,x 2d ] dois intervalos de valores de X 1 e X 2, respectivamente. A função densidade de probabilidade conjunta dessa variável será a função f que associar à área [x 1a,x 1b ]. [x 2c,x 2d ] a probabilidade de que os possíveis valores de (X 1 pertençam simultaneamente ao intervalo [x 1a,x 1b ] e ao intervalo [x 2c,x 2d ], ou seja, pertençam à área [x 1a,x 1b ]. [x 2c,x 2d ]. A função f deve satisfazer às seguintes condições:

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