Contabilometria. Aula 11 Regressão Linear Múltipla e Variáveis Dummy

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1 Contailometria Aula Regressão Linear Múltipla e Variáveis Dummy

2 O Modelo de Regressão Múltipla Ideia: Examinar a relação linear entre variável dependente (Y) & ou mais variáveis independentes (X i ). Modelo de Regressão com k Variáveis Independentes: Intercepto Inclinações na população Erro Aleatório Y i β 0 β X i β X i β k X ki ε i

3 Equação da Regressão Múltipla Os coeficientes do modelo de regressão múltipla são estimados a partir de dados amostrais Modelo de regressão múltipla com k variáveis independentes Valor estimado (ou previsto) de Y Intercepto estimado Coeficinetes angulares estimados Ŷ i 0 X i X i k X ki Neste capítulo usaremos o Excel para oter os coeficientes angulares da regressão e outras medidas.

4 Equação da Regressão Múltipla Exemplo com duas variáveis independentes Y Ŷ 0 X X X X

5 Equação da Regressão Múltipla Variáveis - Exemplo Uma empresa deseja analisar o comportamento dos custos indiretos de faricação (cif), em função das variáveis: horas de mão-de-ora direta (hmod) e horasmáquina (hm). Variável Dependente: Custos Indiretos (em $) Variável Independente: Horas de mão-de-ora direta (em h) Horas-máquina (em h) Dados coletados durante 5 meses

6 Equação da Regressão Múltipla Variáveis - Exemplo Período CIF HMOD HM Equação da Regressão Múltipla: CIF = 0 + (hmod) + (hm) CIF = 0 + X + X Onde: X = hmod X = hm

7 Regressão Linear Simples CIF = f(hmod) Estatística de regressão R múltiplo 0,883 R-Quadrado 0,780 R-quadrado ajustado 0,763 Erro padrão 48,985 Oservações 5 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 0.99,6 0.99,6 45,967 0, Resíduo ,08.399,54 Total ,33 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 00,8 Vvc 4,76 4,8 0,0003 0,60 9,04 HMOD 8, 4,5 6,78 0,0000 9,5 37,07 Vvc V Custo Variável Custo Fixo

8 Estatística de regressão R múltiplo 0,90 R-Quadrado 0,846 R-quadrado ajustado 0,834 Erro padrão 40,9 Oservações 5 Regressão Linear Simples CIF = f(hm) ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 9.74,3 9.74,3 7,496 0,00000 Resíduo 3.769,0.674,55 Total ,33 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 08,88 Vvc 3,7 6,38 0, ,0 79,55 HM 4,8,68 8,46 0,0000 0,55 7,80 Vvc Custo Variável Custo Fixo

9 Estatística de regressão R múltiplo 0,94 R-Quadrado 0,885 R-quadrado ajustado 0,866 Erro padrão 36,87 Oservações 5 Regressão Linear Múltipla CIF = f(hmod;hm) R SQReg STQ 58, ,33 0,885 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 5.8, ,47 46,65 0,00000 Resíduo 6.74,39.356,0 Total ,33 88,5% da variação nos custos indiretos de faricação é explicada pela variação nas horas de mão de ora direta e horas-máquina. CoeficientesErro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 84,88 3,76 5,8 0, ,68 54,09 HMOD,75 5,84,03 0,067-0,97 4,46 HM 9,37,8 3,37 0,0065 3, 5,5

10 R ajustado Mostra a proporção da variação em Y explicada pelo conjunto das variáveis X ajustado ao número de variáveis X utilizadas no modelo R aj n ( R n k (onde n = tamanho da amostra, k = numero de coeficientes da regressão) Penaliza o uso excessivo e desnecessário de variáveis independentes É menor que r Útil ao comparar modelos com diferentes especificações )

11 R ajustado Estatística de regressão R múltiplo 0,94 R-Quadrado 0,885 R-quadrado ajustado 0,866 Erro padrão 36,87 Oservações 5 R aj 5 ( 0,88498) ,58% ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 5.8, ,47 46,65 0,00000 Resíduo 6.74,39.356,0 Total ,33 CoeficientesErro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 84,88 3,76 5,8 0, ,68 54,09 HMOD,75 5,84,03 0,067-0,97 4,46 HM 9,37,8 3,37 0,0065 3, 5,5

12 Como testar a validade da regressão como um todo As hipóteses são definidas em termos do coeficiente de determinação: H 0 : R = 0 H : R > 0 O F teste é calculado pela fórmula: F teste Variância Explicada Variância Não Explicada R k R n k

13 R ajustado Estatística de regressão R múltiplo 0,94 R-Quadrado 0,885 R-quadrado ajustado 0,866 Erro padrão 36,87 Oservações 5 F teste R k R n k 0, , ,65 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 5.8, ,47 46,65 0,00000 Resíduo 6.74,39.356,0 Total ,33 CoeficientesErro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 84,88 Vvc 3,76 5,8 0, ,68 54,09 HMOD,75 5,84,03 0,067-0,97 4,46 Vvc HM 9,37,8 3,37 0,0065 3, 5,5 Custo Variável Custo Fixo Não significativo a um α = 5%

14 Como hmod e hm foram signficativas quando consideradas em modelos de regressão linear simples, e quando colocadas simultaneamente somente uma é significativa? Multicolinearidade!!

15 Multicolinearidade Ocorre quando duas variáveis explicativas são altamente correlacionadas. Neste caso elas fornecerão informações semelhantes para explicar a variável dependente. Isso dificulta entender qual a contriuição de cada uma, prejudicando a capacidade preditiva do modelo. Sintoma: R ajustado elevado mas com poucos coeficientes ( i ) estatisticamente significativos No nosso exemplo, R ajustado é alto, mas o coeficiente de hmod não é significativamente diferente de zero.

16 Multicolinearidade Podemos oservar o coeficiente de correlação entre as variáveis explicativas. Excel: Ferramentas Análise de Dados Correlação CIF HMOD HM CIF HMOD 0,8894 HM 0,9986 0, Um dos métodos mais utilizados pelos pesquisadores para detectar a multicolinearidade é o FIV (Fator de Inflação da Variância)

17 Detectando a Colinearidade FIV - Fator Inflacionário da Variância FIV j é usado para medir a colinearidade: FIV j R j onde R j é o coeficiente de determinação de um modelo de regressão que usa X j como variável dependente e todas as demais variáveis X como variáveis independentes Se FIV j > 5, X j é altamente correlacionado com as outras variáveis independentes

18 Utilizando Variáveis Binárias Dummy Uma variável dummy é uma variável independente categórica com dois níveis: Sim ou não, masculino ou feminino, presente ou não, etc Codificada com 0 ou Assume-se iguais coeficientes para as demais variáveis Se há mais de duas possiilidades, o número de variáveis dummy necessário será (número de possiilidades - )

19 Exemplo de variáveis Dummy Considere: Y = vendas de tortas X = preço Ŷ 0 X X X = feriado (X = se houve feriado durante a semana) (X = 0 se não houve feriado naquela semana)

20 Exemplo de variáveis Dummy Ŷ 0 X () ( 0 ) X Com feriado Ŷ 0 X (0) 0 X Sem feriado Y (vendas) Diferentes Interceptos Mesma Inclinação X (Preço) Se H 0 : β = 0 é rejeitada, então Feriado tem efeito significativo nas vendas de tortas

21 Exemplo de variáveis Dummy Vendas (Preço) 5(Feriado) Vendas: número de tortas vendidas por semana Preço: preço da torta em $ Feriado: Se houve feriado naquela semana 0 Se não houve feriado = 5: em média, as vendas são maiores em 5 unidades nas semanas com feriado do que nas semanas sem feriado, dado o mesmo preço

22 Modelo com variável Dummy Mais do que dois níveis O número de variáveis dummy é o no. de possiilidades menos um Exemplo: Y = preço do imóvel ; X = área do imóvel Se o estilo da casa é algo que tamém influencia o preço Estilo = casa um andar, casa duplex, apartamento Três níveis, então duas variáveis dummy são necessárias

23 Modelo com variável Dummy Mais do que dois níveis Exemplo: Assuma que um andar é a categoria ase, e use X e X 3 para as outras categorias: Y = preço da casa X = área da casa X = se casa duplex, 0 caso contrário X 3 = se apartamento, 0 caso contrário A equação do modelo de regressão múltipla é: Ŷ 0 X X 3X3

24 Modelo com variável Dummy Mais do que dois níveis Considere a equação da regressão: Ŷ 0,43 0,045X 3,53X 8,84X 3 Para casa um andar: X = X 3 = 0 Ŷ 0,43 0,045X Para casa duplex: X = ; X 3 = 0 Ŷ Ŷ 0,43 0,045X 0,43 0,045X 3,53 Para apartamento: X = 0; X 3 = 8,84 Para uma mesma área, uma casa duplex terá uma estimativa de preço médio 3,53 milhares de dólares mais que uma casa de um andar. Para uma mesma área, um apartamento terá uma estimativa de preço médio 8,84 milhares de dólares a mais que uma casa de um andar.

25 Interações entre Variáveis Independentes Permite avaliar interações entre pares de variáveis X A resposta a uma variável X pode ser diferente para diferentes níveis de outra variável X Considera o produto de dois termos ) (X X X X X X X Ŷ

26 Efeito da Interação Dado: Y β βx βx β3xx 0 ε Sem o termo de interação, o efeito de X em Y é medido por β Com o termo de interação, o efeito de X em Y é medido por β + β 3 X O efeito muda à medida que X muda

27 Exemplo de Interação Suponha que X é uma variável dummy a equação da regressão estimada é Ŷ= + X + 3X + 4X X Y 8 X = : Y = + X + 3() + 4X () = 4 + 6X X = 0: Y = + X + 3(0) + 4X (0) = + X X As inclinações são diferentes se o efeito de X em Y depende do valor de X

28 Exemplo A Cia Leite Black deseja conhecer a relação entre a evolução das quantidades vendidas (q) e preços (p). Para isso, selecionou uma amostra com valores relativos aos últimos 4 meses. A empresa enfrentou uma greve do quinto ao sétimo mês. Como a greve influenciou o modelo formado pelas variáveis p e q? Qde. Vendida Preço Meses (q) (p) 98 0, , , , , , , , , ,90 0,93 3 0, , ,97