Contabilometria. Aula 10 Grau de Ajustamento e Verificação das Premissas MQO

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1 Contabilometria Aula 10 Grau de Ajustamento e Verificação das Premissas MQO

2 Ferramentas Análise de Dados Regressão Regressão Linear - Exemplo Usando o Excel

3 Regressão Linear Output do Excel RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,7621 R-Quadrado 0,5808 R-quadrado ajustado 0,5284 Erro padrão 41,3303 Observações 10 A equação de regressão é: Preço = 98, ,110*Área em pés quadrados ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão , ,935 11,085 0,010 Resíduo , ,196 Total ,5 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0% Interseção 98,248 58,033 1,693 0,129-35, ,074-35, ,074 Pés quadrados (X) 0,110 0,033 3,329 0,010 0,034 0,186 0,034 0,186

4 Regressão Linear Output do Excel RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,7621 R-Quadrado 0,5808 R-quadrado ajustado 0,5284 Erro padrão 41,3303 Observações 10 Erros padrão da da estimativa e dos coeficientes ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão , ,935 11,085 0,010 Resíduo , ,196 Total ,5 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0% Interseção 98,248 58,033 1,693 0,129-35, ,074-35, ,074 Pés quadrados (X) 0,110 0,033 3,329 0,010 0,034 0,186 0,034 0,186 Estatística de teste e valor-p do teste de hipótese Intervalos de confiança a 95%

5 Medidas de Variação A variação total é composta de duas partes: STQ SQReg SQR Soma Total dos Quadrados Soma dos Quadrados da Regressão Soma dos Quadrados dos Resíduos ou Erros 2 STQ ( Yi Y) 2 SQ R eg ( Yˆ Y) SQR Y ˆ i Y ) onde: Y = Valor médio da variável dependente Y i = Valores observados da variável dependente i Ŷi = Valor previsto para Y para um dado valor de X i ( i 2

6 Medidas de Variação STQ = soma total dos quadrados Mede a variação dos valores de Y i em torno de sua média Y SQReg = soma dos quadrados da regressão É a variação explicada, atribuída a relação entre X e Y SQR = soma dos quadrados dos erros É a variação não explicada, atribuída a fatores outros que não a relação entre X e Y

7 Medidas de Variação Y i Y Y _ Y _ STQ = (Y i - Y) 2 SQR = (Y i - Y i ) 2 _ SQReg = (Y i - Y) 2 Y _ Y X i X

8 Coeficiente de Determinação, R 2 O coeficiente de determinação mede a proporção da variação em Y que é explicada pela variável independente X no modelo de regressão. O coeficiente de determinação é também chamado de r-quadrado e é escrito r 2 R 2 SQ Re g STQ soma dos quadrados da regressão soma totaldos quadrados 0 R 2 1

9 Coeficiente de Determinação, R 2 Y R 2 = 1 Y R 2 = -1 X Relação linear perfeita entre X e Y: 100% da variação em Y é explicada pela variação em X R 2 = 1 X

10 Coeficiente de Determinação, R 2 Y Y X 0 < R 2 < 1 Relações lineares imperfeitas entre X e Y: Parte e não toda a variação em Y é explicada pela variação em X X

11 Coeficiente de Determinação, R 2 Y R 2 = 0 Não há relação linear entre X e Y: R 2 = 0 X Os valores de Y não têm relação com. (Nenhuma variação em Y pode ser explicada pela variação em X)

12 Regressão Linear - Exemplo Coeficiente de Determinação, r 2 RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,7621 R-Quadrado 0,5808 R-quadrado ajustado 0,5284 Erro padrão 41,3303 Observações 10 r 2 SQReg STQ % da variação no preço das casas é explicada pela variação no tamanho ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão , ,935 11,085 0,010 Resíduo , ,196 Total ,5 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0% Interseção 98,248 58,033 1,693 0,129-35, ,074-35, ,074 Pés quadrados (X) 0,110 0,033 3,329 0,010 0,034 0,186 0,034 0,186

13 Tabela ANOVA e Teste F Estatística de teste F: F MQ Re g MQR onde SQReg MQReg k SQR MQR n k 1 onde F segue uma distribuição F com k g.l. no numerador e (n - k - 1) g.l. no denominador (k = no. de variáveis independentes no modelo de regressão)

14 Tabela ANOVA e Teste F Estatística de regressão R múltiplo 0,7621 R-Quadrado 0,5808 R-quadrado ajustado 0,5284 Erro padrão 41,3303 Observações 10 F MQReg MQR Com 1 e 8 graus de liberdade Valor-P para o teste F ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão , ,935 11,085 0,010 Resíduo , ,196 Total ,5

15 Teste F H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 =.05 gl 1 = 1 gl 2 = 8 Valor Crítico: Estatística de teste: MQ Re g F MQR Decisão: Rejeita H 0 a = 0.05 F = Não rejeita H 0 =.05 Rejeita H 0 F.05 = 5.32 F Conclusão: Há evidências suficientes de que o tamanho da casa afeta o preço de venda.

16 Premissas da Regressão Linearidade A relação entre X e Y é linear Independência dos Erros ou Autocorrelação Residual Os valores dos erros são estatisticamente independentes Normalidade dos Erros Os erros são normalmente distribuídos para cada valor de X Igualdade de Variâncias (também chamada homoscedasticidade) A variância dos erros é igual para todos os valores de X

17 Análise de Resíduos e i Y i Yˆ i O resíduo para a observação i, e i, é a diferença entre os seus valores observado e previsto Verifique as premissas do modelo de regressão linear examinando os resíduos da regressão Verifique a premissa de Linearidade Verifique a premissa de Independência Verifique a premissa de distribuição Normal Verifique a Igualdade de variâncias entre os valores de X

18 residuos residuos Análise de Resíduos - Linearidade Y Y x x x x Não Linear Linear No output do excel é o gráfico Plotagem de resíduos

19 residuos residuos Análise dos Resíduos Independência (ou autocorrelação) residuos Não Independentes Independentes X X X

20 Autocorrelação ou Independência - efeitos Os resíduos não podem ser correlacionados entre si, ou seja, um erro associado a um valor de y não deve influir de maneira significativa no erro associado a outro valor de y. É um problema mais comum quando os dados são coletados ao longo do tempo. O erro padrão de b será subestimado, o que levará a estatísticas t maiores, levando a uma rejeição da hipótese de que b = 0, sem que na verdade o seja. Podemos aceitar uma variável independente que deveria ser excluída do modelo. Se a hipótese for violada o método MQO não pode ser usado para estimar a e b.

21 residuos Autocorrelação ou Independência - causas Erro na especificação funcional do modelo de regressão Omissão de variável independente importante para o modelo de regressão

22 residuos Autocorrelação ou Independência como avaliar Análise gráfica do resíduos

23 Resíduos Autocorrelação ou Independência como avaliar Análise gráfica do resíduos Gráfico de Resíduos no Tempo 15 Aqui, os resíduos parecem ter um padrão cíclico, não aleatório Tempo (t) Viola a premissa de resíduos independentes do modelo de regressão linear

24 Autocorrelação ou Independência como avaliar Estatística de Durbin-Watson H 0 : resíduos não são correlacionados H 1 : há autocorrelação D n i2 O intervalo possível para D é 0 D 4 ( e e i n i1 e 2 i ) 2 i1 D deve ser perto de 2 se H 0 é verdadeira menos do que 2 sinaliza autocorrelação positiva, D maior do que 2 sinaliza autocorrelação negativa

25 Estatística de Durbin-Watson H 0 : não existe autocorrelação positiva H 1 : existe autocorrelação positivia Calcule a estatística de Durbin-Watson = D (A estatística de Durbin-Watson pode ser calculada usando o Excel) Encontre os valores d I e d S na tabela de Durbin-Watson (para um tamanho de amostra n e no. de coeficientes k) Autocorrelação Positiva Região não conclusiva Ausência de Autocorrelação Região não conclusiva Autocorrelação Negativa 0 d I d S 4 - d S 4 - d I 4 2

26 residuos residuos Homoscedasticidade Y Y x x x x Variâncias não homogêneas Variâncias homogêneas

27 Homocedasticidade Exemplo de situações que podem levar ao problema da homocedasticidade: Relação entre poupança e renda das famílias: famílias com renda mais alta poupam, em média, mais que as de menor renda, mas com maior variabilidade. Modelos de aprendizagem: com o tempo a ocorrência de erros ou falhas diminui, e também sua variação. Dados discrepantes: um dado discrepante é uma observação de uma população diferente daquela que gera o restante das observações amostradas.

28 Homocedasticidade teste de Pesaran-Pesaran O teste consiste em fazer uma regressão com variável dependende sendo o termo de erro ao quadrado, u 2, e a variável independente sendo o quadrado dos valores previstos para y, y. u 2 a b.yˆ 2 H 0 : resíduos homocedásticos H 1 : resíduos heterocedásticos Se o teste F indicar que a regressão é válida, rejeita-se H 0, e portanto, há indícios de heterocedasticidade.

29 Verificando a Normalidade dos Erros causas A violação da normalidade dos erros pode estar ligada a: Omissão de variáveis explicativas importantes Inclusão de variável explicativa irrelevante Utilização de relação matemática incorreta

30 Verificando a Normalidade dos Erros como avaliar Teste não paramétrico de Kolmogorov - Smirnov Etapas da realização do teste: 1. Calcular os termos de erro u i 2. Ordená-los na ordem crescente 3. Calcular o desvio-padrão s 4. Dividir cada erro pelo desvio padrão obterndo h i = u i / s 5. Obter z i, a probabilidade acumulada da distribuição normal padronizada, considerando o valor de h i 6. Calcular i/n onde i é o no. de ordem do termo de erro, e n o no. de observações 7. Calcular (i/n z i ) para cada observação 8. O valor máximo obtido no passo anterior é a estatística de teste D

31 Verificando a Normalidade dos Erros como avaliar Teste não paramétrico de Kolmogorov - Smirnov 8. O valor máximo obtido no passo anterior é a estatística de teste D D max 9. O valor de D crítico é obtido na Tabela de valores críticos da estatística D para o teste de Kolmogorov-Smirnov, depende do tamanho da amostra e o nível de significância do teste 10. Se D D crítico aceitamos a hipótese de que os resíduos se distribuem normalmente i n Se D > D crítico rejeitamos a hipótese de que os resíduos se distribuem normalmente z i

32 Regressão Linear - Exemplo Output Excel - Resíduos Resíduos Resultados de Resíduos Preço Previsto da Casa Resíduos Resíduos - Modelo de Preço de Casas Pés Quadrados Nenhuma premissa parece ter sido violada Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 13-32