Correlação e Regressão

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1 Correlação e Regressão Análise de dados. Tópico Prof. Dr. Ricardo Primi & Prof. Dr. Fabian Javier Marin Rueda Adaptado de Gregory J. Meyer, University of Toledo, USA; Apresentação na Universidade e São Francisco, São Paulo, Brasil Julho,

2 Correlação e Regressão Mensura a relação entre variáveis Correlação = co- relação = co- variância = r Geralmente examina variáveis bidimensionais Mas diferenças de média entre grupos também podem ser expressas por meio da co- relação e.g., VI = DiagnósWco: Transtorno PsicóWco (codificado como ) vs. outros transtornos (codificados como ) VD = X- % como um índice de Acurácia Perceptual t- test comparando M PsychoWc vs. M Other de X- % pode ser expressa como a r do DiagnósWco com X- % i.e., r DiagnosWco - X- % r e t terão o mesmo valor de p ou de significância esta`swca

3 Correlação e Regressão Em geral as medidas estão associadas por relações lineares Mas existem técnicas para correlações e regressões não lineares Correlação Causalidade r s assumem valores entre -. e +. O sinal mostra a direção das relações Os valores absolutos mostram a magnitude da relação. = ausência de relação -. or +. = relação perfeita Visualizando as magnitudes das correlações "ForcedDegreeofCorrelaWon.sps"

4

5 var var... var.. var. var

6 Correlation plot T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_N T_N T_9N T_9N T_9N T_9N T_N T_N T_E T_E T_E T_E T_E T_E T_E T_E T_C T_C T_C T_C T_C T_C T_C T_C T_C T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_A T_C T_C T_C T_C T_C T_C T_C T_C T_C T_E T_E T_E T_E T_E T_E T_E T_E T_N T_9N T_N T_9N T_N T_9N T_N T_9N T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_O T_O

7 var.. var. var

8 Correlation plot T_Em T_Em T_Em T_Em T_Em T_9Em T_Em T_Em T_Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_9Sc T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_Ac T_9Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_Sc T_Em T_Em T_9Em T_Em T_Em T_Em T_Em T_Em

9 Correlation plot SE Grit SlfSoc SlfEmo SlfAcd Locus ProSoc PeerProb HypAc EmoSym CndProb Open Neuro Extra Consc Agree Open Neuro Extra Consc Agree Agree Consc Extra Neuro Open Agree Consc Extra Neuro Open CndProb EmoSym HypAc PeerProb ProSoc Locus SlfAcd SlfEmo SlfSoc Grit SE

10 9 RMG RG GF_GC EPN_EG

11 Correlação e Regressão DisWnção esta`swca Correlação variáveis randômicas, X e Y Nenhuma delas está sob controle do experimentador Regressão: variável fixa (X), variável randômica (Y) se presume X que está sobre controle do experimentador e somente os valores que interessam são estudados Essa diswnção é precisa tecnicamente mas não necessária no uwlização práwca das correlações e regressões

12 Fórmula r = N i = ( x i x ) ( y i y ) s x s y N ( ) r = N i = z xi z yi N

13 Produto- momento! A média do produto de dois momentos indicando co- relação Produto : mulwplicação de duas variáveis (X, Y) Momento: função aplicada a média de desvios z = ( X X) σ Momentos centrais: : o = Média, º = Variancia, º = Assimetria, o = Kurtose Os escores z são momentos Desvios da média em unidades de desvio padrão Co- relação: ocorrência simultânea together z para X pareado copm z para Y Então a correlação Produto- Momento de Pearson (r) é a magnitude média em que pares de escores (X, Y) se correlacionam por desviarem simultaneamente de suas respecwvas médias zxz r = N Y

14 Coeficiente de Correlação de Pearson - Produto Momento n Nota A Nota B : : :

15 Correlação e Regressão DisWnção PráWca Correlação: Magnitude de associação entre X e Y Ambas podem ser desenhadas no eixo horizontal (abscissa) porque ambas poderiam ser designadas como X Regressão: Usa a associação para desenvolver uma equação que prevê Y a parwr de X a parwr da melhor forma possível. "Regride Y em X" Desenha X no eixo horizontal; Y no eixo verwcal (ordenada)

16 r Produto Momento: Exemplo ID X Y M.. σ.. Sum Y Insira X andy no SPSS e calcule o r r XY =. X

17 Reta de regressão Equação preditora: Ŷ= b + b X X = valor do preditor Y = valor do critério Ŷ= valor predito Y b = inclinação da linha b = constante X

18 Equação da reta

19 Reta de regressão Melhor previsão de Y em relação aos valores de X Equação de previsão: Ŷ= b + b X Na qual: X = valor do preditor (variável preditora ou VI) Ŷ= valor previsto de Y (variável resposta ou VD ou critério) i.e., valor de Y na linha, dado X b = inclinação (slope) da linha, Mudança em Ŷ para uma mudança de - unidade de mudança em X b = r XY (S Y /S X ) b = constante (intercept) Ŷ quando X =. b = M Y b M X

20 Reta de regressão Gere a equação de regressão do exemplo no SPSS A equação de previsão minimiza os erros, definidos como Em que : SS Residual = (Y Ŷ) Y = valores observados (i.e., os valores do gráfico de dispersão) Ŷ= valores preditos na reta de regressão Portanto, SS Residual indica a extensão em que a linha não consegue prever os dados observados SS Resid na regressão é análogo ao SS WG na ANOVA i.e., variabilidade nas células que não pode ser explicada pelo modelo.

21 Reta de regressão: Exemplo SS Resid = (Y Ŷ) Sum of squared distances of each person's Y score from the line of predicwon Y X

22 Reta de regressão : Exemplo Equação de previsão: Ŷ= b + b X b = r XY (S Y /S X ) =.(./.) =. (Porque S Y = S X, r = b ; isso é raro acontecer) b = M Y b M X =.() =. =. Ŷ=. + (.)(X) ID X Y Ŷ M.. S.. Calcule Ŷ para cada X e.g., for X = Ŷ =. + (.)() =.

23 Reta de regressão : Exemplo Equação de previsão: Ŷ= b + b X b = r XY (S Y /S X ) =.(./.) =. (Porque S Y = S X, r = b ; isso é raro acontecer) b = M Y b M X =.() =. =. Ŷ=. + (.)(X) ID X Y Ŷ..... M.. S.. Calcule Ŷ para cada X e.g., for X = Ŷ =. + (.)() =.

24 Reta de regressão exemplo Y Ŷ= b + b X =. + (.)(X) X b =.; mudança no escore bruto de Ŷ para a unidade de mudança em X b =.; constante; valor de Ŷquando X =

25 Como na ANOVA, a análise de regressão parwciona a variância da variável dependente em componentes mutuamente exclusivos e exauswvos:. Aquilo que é explicado pelo modelo i.e., pela VI ou VIs. Aquilo que não pode ser explicado pelo modelo i.e., variância residual SS Total = SS Modelo + SS Residual Como definido, SS Residual = (Y Ŷ) Soma das distâncias ao quadrado de cada escore Y das pessoas em relação a reta de regressão (linha de predição)

26 Soma de Quadrados da Regressão SS Residual = (Y Ŷ) Soma das distâncias ao quadrado de cada escore Y das pessoas em relação a reta de previsão Y X

27 Soma de Quadrados da Regressão SS Total = (Y M Y ) Soma das distâncias ao quadrado de cada escore Y das pessoas em relação à média geral de Y i.e., numerador da variância de Y; total de variância na VD Y X

28 Soma de Quadrados da Regressão SS Modelo = (Ŷ M Y ) Soma das distâncias ao quadrado de cada escore predito Y (i.e., a linha) da média de Y Indica a variação na VD que pode ser explicada pelo modelo Os pontos observados de dados não são considerados; somente a comparação do modelo de Y tem relação à média de Y Y X

29 Soma de Quadrados da Regressão X Y X Y X Y SS Total = (Y MY) SS Model = (Ŷ MY) SS Residual = (Y Ŷ)

30 Saídas do SPSS (Output) Dados do Modelo: as Tabelas Tabelas da ANOVA SS Modelo é chamado SS Regression Variação (i.e., SS) é dividida pelo gl (df) correspondente para calcular- se a a variância (i.e., MS) MS = SS / df F é calculado por MS Modelo /MS Residual i.e., A variância explicada pelo modelo é maior do que a variância não explicada? Avaliar a significância usando df Numerador e df Denominador

31 Saídas do SPSS (Output) Dados do Modelo: as Tabelas ModeloTabelaSumária(Summary table) R =proporçãodavariânciatotal explicadapelomodelode regressão R = SS Model / SS Total No exemplo: R =. /. =. R = R = r YŶ No exemplo:r =. =. R = r YŶ =.

32 Saídas do SPSS (Output) Dados do Modelo: Tabela sumária (cont.) as Tabelas R ajustado = EsWmaWva do parâmetro populacional, ρ (rho) Em que p = # de preditores No exemplo a: Adj. R = - [(-.)(- )/(- - )] = - [(.*)/] =. Erro padrão da EsWmaWva (SEE) Indica o grau de incerteza na previsão SEE = MS Residual No exemplo: SEE =. =.9

33 Coeficientes de regressão: b, B, &β Indicam a mudança em Ŷ para cada a- unidade de mudança em X b = coeficiente de regressão não padronizado Mudança expressa em unidades do escore bruto Mudança no escore bruto Ŷpara uma unidade de mudança no escore bruto de X B = SPSS notação para b β (Beta) = coeficiente de regressão padronizado. Mudança expressa em unidades de desvio padrão (SD) Número de mudanças em SD em Ŷ para uma mudança de SD em X

34 Coeficientes de regressão: b, B, &β b pode ser muito maior que β (& vice versa) Isso dependerá da unidade de medida b = β quando: S X = S Y e.g., quando X e Y são escores z Interpretação b é empregado quando as unidades tenham um senwdo inerente e.g., renda, altura, peso β é empregado quando as métricas são arbitrárias e.g., maioria das escalas psicológicas Note: b para (constante) é o termo constante (intercept, b )

35 Pressupostos Correlação: como uma esta`swca descriwva não há assunções prévias Regressão: requer assunções Ambas relacionadas às distribuições condicionais

36 Distribuições Marginais e Condicionais Distribuições marginais: Distribuição de Y desconsiderando X i.e., Variância de Y transpassando todos os níveis de X: S Y Distribuição condicional: DistribuWção de Y condicionada em X i.e, Variância de Y em um dado valor de X: S Y X Considere as diferenças usando a sintaxe do SPSS "Marginal andcondiwonaldistribuwons.sps"

37 Distribuição marginal de Y_ Std. Dev =.99 Mean =. N = Marginal Distribution of Y_

38 Distribuiçãocondicional de Y_

39 Duas assunções na regressão Normalidade: Y é normalmente distribuído para cada valor de X Procure por assimetria <. e curtose <. HomocedasWcidade: S de Y é constante quando calculado separadamente para cada valor específico de X; i.e., cada distribuição condicional Análogo à assunção de variâncias iguais dentro dos grupos no t- test ou ANOVA JusWfica o uso de um único MS Residual para: Calcular a significância esta`swca Determinar o erro padrão da eswmawva (SEE) SEE é simplesmente o SD das distribuições condicionais SEE = S Y X ( Y Yˆ ) SYX = = SY ( R ) N use N because estimated a and b from data

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