Grupo A - 1 o semestre de 2014 Gabarito Lista de exercícios 11 - Teste Qhi-quadrado C A S A

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1 Exercício 1. (2,0 pontos). Em um estudo que está sendo realizado por uma pesquisadora da Escola de Educação Física da USP, deseja-se avaliar características das lutas de judô em diferentes categorias. Um dos dados coletados refere-se ao número de diferentes técnicas utilizadas por jogadores em uma luta. Um dos objetivos do estudo é comparar características de lutas de competidores do sexo feminino e masculino. Assim, considerando-se a classe sênior, na categoria de peso médio, do sexo masculino, sabe-se que: 5% dos competidores usam três diferentes técnicas em uma luta; 15% usam quatro diferentes técnicas; 25% empregam cinco técnicas; 30% utilizam seis técnicas; 20% empregam sete técnicas e, finalmente, 5% utilizam oito técnicas em uma mesma luta. Para comparar com competidores do sexo feminino, um total de 104 competidoras (da classe sênior), em diferentes lutas de um campeonato estadual, foram observadas e os seguintes resultados foram obtidos: Número de diferentes técnicas utilizadas em cada luta Frequência (competidores) (a) (0,75 pontos). O que representam os valores dessa tabela? Os valores representam a quantidade competidores da classe sênior, na categoria de peso médio, do sexo feminino que usam 3, 4,..., 8 diferentes técnicas em cada luta dentre os 104 competidores que foram pesquisados. (b) (1,25 pontos). Utilizando um procedimento estatístico adequado, pode-se afirmar que o número de diferentes técnicas utilizadas por competidores do sexo feminino em lutas de judô segue a mesma distribuição de competidores do sexo masculino? Adote o nível significância igual a 5%. Teste qui-quadrado de aderência Seja p i a probabilidade do número de diferentes técnicas utilizadas pelos competidores de sexo feminino ser igual a i, i = 3, 4,..., 8. Estamos interessados em testar: H : p 3 = 0, 05; p 4 = 0, 15; p 5 = 0, 25; p 6 = 0, 30; p 7 = 0, 20; p 8 = 0, 05; A : Existe pelo menos uma diferença. Página 1 de??

2 A tabela a seguir fornece as frequências observadas e esperadas considerando que o modelo probabilístico é adequado, ou seja, quando a hipótese H é verdadeira. Número de diferentes técnicas utilizadas em cada luta Frequência observada Frequência esperada χ 2 (7 5.2)2 ( )2 (26 26)2 obs = ( )2 ( )2 (2 5.2) = 0, , , , , , = 3, Determinação do número de graus de liberdade: q = k 1, em que k = 6 é número de categorias da variável diferentes técnicas utilizadas por jogadores em uma luta. q = 5. Assim, Nível descritivo (valor P): P = P (χ 2 5 > 3, 49039) = 0, Supondo o nível de significância α = 0, 05, temos P > α. Assim, não temos evidências para rejeitar a hipótese H, ou seja, ao nível de significância de 5%, pode-se afirmar que o número de diferentes técnicas utilizadas por competidores do sexo feminino em lutas de judô segue a mesma distribuição de competidores do sexo masculino. Observação 1: Para calcular o valor P basta seguir os seguintes passos no Rcmdr: Distribuições Distribuições Contínuas Distribuição Qui-Quadrado Probabilidades da Qui-Quadrado. Nesta etapa aparecerá uma janela que deve ser preenchida da seguinte forma: Valores da Variável: 3,49039 Graus de liberdade: 5 Cauda superior. Observação 2: No R: pchisq( , df=5, lower.tail=false) Página 2 de??

3 Exercício 2. (3,0 pontos). Um levantamento foi conduzido com o intuito de verificar se existe um componente genético que influi no alcoolismo. Uma amostra de 500 pessoas adultas de certa população foi sorteada e foram observadas duas variáveis para cada pessoa: dependência de álcool (sim/não) e número de progenitores com dependência (0, 1 ou 2). Entre os 150 portadores de dependência, 43 não tinham qualquer progenitor dependente e 42 tinham 1 progenitor dependente. Das 500 pessoas entrevistadas, 149 tinham 1 progenitor dependente e 108 tinham 2 progenitores dependentes. (a) (0,75 pontos). Coloque as informações em uma tabela de contingência. Número de progenitores com dependência Dependência do álcool Total Sim Não Total (b) (0,75 pontos). Dê uma estimativa para a proporção de pessoas que tem dependência do álcool e nenhum progenitor dependente, e para a proporção de pessoas com 1 progenitor dependente dentre as que não são dependentes do álcool. Uma estimativa para a proporção de pessoas que tem dependência do álcool e nenhum progenitor dependente é 43 = 0, 086, e uma estimativa da proporção de pessoas com progenitor dependente dentre as que não são dependentes do álcool é igual a = 0, (c) (0,75 pontos). Se as variáveis não estão associadas, quantas pessoas dependentes do álcool e com 1 progenitor dependente esperaríamos observar? E quantas não dependentes com 2 progenitores dependentes? Quantas foram observadas em cada caso? Página 3 de??

4 Sob independência entre as variáveis, o número esperado pessoas dependentes do álcool e com 1 progenitor dependente é = 44, 7; e o número esperado pessoas não dependentes do álcool com 2 progenitores dependentes é = 75, 6. Foram observadas em cada caso 42 e 43 respectivamente. (d) (0,75 pontos). Por meio de um teste de hipóteses adequado, você suspeitaria que existisse um componente genético que influi no alcoolismo, a um nível de significância de 3%? Especifique as hipóteses estatísticas H e A apropriadas e conclua com base no nível descritivo. Teste qui-quadrado de independência As hipóteses de interesse são: H: As variáveis dependência do álcool e número de progenitores com dependência são independentes; A: As variáveis dependência do álcool e número de progenitores com dependência são dependentes. Na Tabela a seguir são apresentados os valores observados e esperados (entre parênteses) para o calculo da estatística qui-quadrado. Número de progenitores com dependência Dependência do álcool Total Sim 43(72,9) 42(44,7) 65(32,4) 150 Não 200(170,1) 107(104,3) 43(75,6) 350 Total χ 2 obs = (43 72, 9)2 (42 44, 7)2 (65 32, 4)2 72, 9 44, 7 32, 4 ( , 1)2 ( , 3)2 (43 75, 6)2 170, 1 104, 3 75, 6 = 12, , , , , , = 64, 6112 Determinação no número de graus de liberdade: Número de categorias da variável Dependência do álcool: s = 2; Número de categorias da variável número de progenitores com Página 4 de??

5 dependência: r = 3. Assim, q = (r 1)(s 1) = 2. Nível descritivo (valor P): P = P (χ 2 2 > 64, 6112) = 9, = 0. Supondo o nível de significância α = 0, 03, temos P < α. Assim, temos evidências para rejeitar a hipótese H, ou seja, ao nível de significância de 3%, pode-se afirmar que as variáveis dependência do álcool e número de progenitores com dependência, são dependentes. Observação 1: Para calcular o valor P basta seguir o seguintes passos no Rcmdr: Distribuições Distribuições Contínuas Distribuição Qui-Quadrado Probabilidades da Qui-Quadrado. Nesta etapa aparecerá uma janela que deve ser preenchida da seguinte forma: Valores da Variável: 64,6112 Graus de liberdade: 2 Cauda superior. Observação 2: No R: pchisq( , df=2, lower.tail=false) Exercício 3. (3,0 pontos). Para verificar se o tipo de lazer preferido depende do sexo dos indivíduos, uma agência de turismo classifica uma amostra de duzentos clientes com menos de 40 anos segundo o sexo e o passeio preferido (praias ou serras). A mesma pesquisa é repetida para uma amostra de duzentos clientes com 40 anos ou mais. Os dados são apresentados a seguir. Menos de 40 anos 40 anos ou mais Sexo Praias Serras Total Sexo Praias Serras Total Masculino Masculino Feminino Feminino Total Total (a) (0,75 pontos). Formule as hipóteses H e A para cada caso. As hipóteses de interesse são: H: As variáveis tipo de lazer preferido e sexo dos indivíduos em clientes com menos de 40, são independentes; Página 5 de??

6 A: As variáveis tipo de lazer preferido e sexo dos indivíduos em clientes com menos de 40, são dependentes. H: As variáveis tipo de lazer preferido e sexo dos indivíduos em clientes com 40 anos ou mais, são independentes; A: As variáveis tipo de lazer preferido e sexo dos indivíduos em clientes com 40 anos ou mais, são dependentes. (b) (0,75 pontos). Se o sexo dos indivíduos não interfere na preferência pelo tipo de lazer, calcule, para cada um dos grupos etários, o número esperado de respostas para clientes do sexo masculino e que preferem praias. Sob independência entre as variáveis sexo e tipo de lazer, o número esperado de respostas para clientes do sexo masculino e que preferem praias é: Para clientes com menos de 40 anos, = 67, Para clientes com 40 anos ou mais, = (c) (1,5 pontos). Através do nível descritivo, conclua sobre suas hipóteses em cada caso, utilizando um nível de significância de 3%. Comente. Teste qui-quadrado de independência A tabela a seguir fornece as frequências observadas e esperadas para cada um dos grupos etários, considerando que o modelo probabilístico é adequado. Clientes com Clientes com menos de 40 anos 40 anos ou mais Sexo Praias Serras Sexo Praias Serras Masculino 70(67,5) 30(32,5) Masculino 50(60,0) 50(40,0) Feminino 65(67,5) 35(32,5) Feminino 70(60,0) 30(40,0) Página 6 de??

7 Clientes com menos de 40 anos χ 2 obs = (70 67, 5)2 67, 5 (30 32, 5)2 32, 5 (65 67, 5)2 67, 5 = 0, , , , = 0, Determinação no número de graus de liberdade: Número de categorias da variável sexo: s = 2; Número de categorias da variável tipo de lazer: r = 2. Assim, q = (r 1)(s 1) = 1. (35 32, 5)2 32, 5 Nível descritivo (valor P): P = P (χ 2 1 > 0, ) = 0, Supondo o nível de significância α = 0, 03, temos P > α. Assim, não temos evidências para rejeitar a hipótese H, ou seja, ao nível de significância de 3%, pode-se afirmar que as variáveis tipo de lazer preferido e sexo dos indivíduos em clientes com menos de 40, são independentes. Clientes com 40 anos ou mais χ 2 (50 60)2 (50 40)2 (70 60)2 obs = = 1, , 5 1, , 5 = 8, (30 40)2 40 Determinação no número de graus de liberdade: Número de categorias da variável sexo: s = 2; Número de categorias da variável tipo de lazer: r = 2. Assim, q = (r 1)(s 1) = 1. Nível descritivo (valor P): P = P (χ 2 1 > 8, ) = 0, Supondo o nível de significância α = 0, 03, temos P < α. Assim, temos evidências para rejeitar a hipótese H, ou seja, ao nível de significância de 3%, pode-se afirmar que as variáveis tipo de lazer preferido e sexo dos indivíduos em clientes com 40 ou mais, são dependentes. Em clientes mais jovens, preferência por tipo de lazer, praia ou serra, independe do sexo do turista. Enquanto que para clientes com mais idade isso não ocorre. Pelas componentes do χ 2 ocorrem menos mulheres preferindo serra e mais homens preferindo serra. Página 7 de??

8 Exercício 4. (2,0 pontos). Suponha que as proporções dos quatro tipos de sangue de certa raça sejam iguais a 16%, 48%, 20% e 16%. Para outra raça, em uma amostra aleatoriamente selecionada, as frequências observadas de cada tipo sanguíneo foram, respectivamente, 180, 360, 130 e 100. Utilizando um procedimento estatístico, com 5% de significância, verifique se esta raça possui a mesma distribuição, quanto aos tipos de sangue. Especifique as hipóteses estatísticas e conclua utilizando o nível descritivo. Teste qui-quadrado de aderência Seja p i a proporção do tipo de sangue para da outra raça ser igual a i, i = 1, 2, 3, 4. Estamos interessados em testar: H : p 1 = 0, 16; p 2 = 0, 48; p 3 = 0, 20; p 4 = 0, 16; A : Existe pelo menos uma diferença. A tabela a seguir fornece as frequências observadas e esperadas considerando que o modelo probabilístico é adequado, ou seja, quando a hipótese H é verdadeira. Tipo de sangue Total Frequência observada Frequência esperada 123,2(770 0,16) 369,6(770 0,48) 154(770 0,20) 123,2(770 0,16) χ 2 obs = ( , 2)2 123, 2 ( , 6)2 369, 6 ( )2 154 = 26, , , , = 35, ( , 2)2 123, 2 Determinação do número de graus de liberdade: q = k 1, em que k = 4 é número de categorias da variável tipo de sangue. Assim, q = 3. Nível descritivo (valor P): P = P (χ 2 3 > 35, 17402) = 1, Supondo o nível de significância α = 0, 05, temos P < α. Assim, temos evidências para rejeitar a hipótese H, ou seja, ao nível de significância de 5%, pode-se afirmar esta outra raça não possui a mesma distribuição, quanto aos tipos de sangue. Página 8 de??

9 Das componentes do χ 2 observa-se que ocorreram mais indivíduos com tipo sanguíneo 1, do que o esperado pelo modelo postulado em H; enquanto que ocorreram menos indivíduos do tipo sanguíneo 4, em relação ao esperado se o modelo em H fosse válido. Observação 1: Para calcular o valor P basta seguir o seguintes passos no Rcmdr: Distribuições Distribuições Contínuas Distribuição Qui-Quadrado Probabilidades da Qui-Quadrado. Nesta etapa aparecerá uma janela que deve ser preenchida da seguinte forma: Valores da Variável: 35,17402 Graus de liberdade: 3 Cauda superior. Observação 2: No R: pchisq( , df=3, lower.tail=false) Página 9 de??

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