Lista 05. Devemos calcular a probabilidade de ser homem dado que é loiro, sendo:

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1 Lista 05 Questão 1: Em uma turma escolar 60% dos alunos são homens e 40% são mulheres. Dentre os homens, 25% são loiros, enquanto que 45% das mulheres são loiras. Um aluno desta turma foi sorteado de maneira aleatória e não se revelou sua identidade. Entretanto, descobriu-se que quem foi sorteado é loiro, qual a probabilidade deste estudante ser homem? Devemos calcular a probabilidade de ser homem dado que é loiro, sendo: A = ser homem B = ser loiro esta probabilidade é dada por: P(A B) = P(B A).P(A)/ [P(B A).P(A) + P(B A c ).P(A c )] (Teorema de Bayes) Dos dados do problema concluímos que: P(A)=0,6, logo P(A c ) = 1-0,6 = 0,4 P(B A) = 0,25 P(B A c ) = 0,45 Agora é só substituir os valores... Questão 2: Em três urnas, que chamaremos de I, II e III há bolas pretas e brancas nas seguintes proporções: na urna I há 1 branca e 2 pretas, na urna II há 2 brancas e 1 preta e na urna III há 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida jogando-se um dado: se sair 1 escolhe-se a urna I, se sair 2 ou 3 escolhe-se a urna II, caso contrário escolhese a urna III. Após sorteada a urna e retirada uma bola descobriu-se que a bola retirada é branca. (a) Qual é a probabilidade de que a urna sorteada tenha sido a II? (b) Qual é a probabilidade de sortearmos uma bola preta? (a): Devemos calcular a probabilidade de ser da urna II dado que é branca, sendo: I = ser da urna I II = ser da urna II III = ser da urna III B = ser branca Queremos saber o valor de P( I B ). Do enunciado retiramos os dados: P(B I ) = 1/3, P(B II ) = 2/3, P(B III ) = 3/5, como as urnas podem ser supostas idênticas, consideramos P( I ) = P( II ) = P( III ) = 1/3. Ora, agora basta usar o Teorema de Bayes: P( I B) = P(B I ).P( I ) / [ P(B I ).P( I ) + P(B II ).P( II ) + P(B III ).P(III ) ].

2 Observe que todos os termos do lado direito são conhecidos, basta calcular... (b): O conjunto das bolas pretas B c, é igual ao conjunto das bolas pretas que estão na urna I, mais as bolas pretas que estão na urna II e também as bolas pretas que estão em III. Assim, podemos escrever: B c = (B c n I ) U (B c n II ) U (B c n III ), portanto, P(B c ) = P(B c n I ) + P(B c n II ) + P(B c n III ) = P(B c I )P( I ) + P(B c II )P( II )+ P(B c III )P( III ) Agora basta substituir as probabilidades condicionais do enunciado. P(B c I ) = 2/3, P(B c II ) = 1/3 e P( B c III) = 2/5. Resta fazer as contas. Este é o Teorema da Probabilidade Total. Questão 3: Suponhamos que de N objetos escolhemos r ao acaso com reposição (isto é, retiramos olhamos e recolocamos no lugar). Qual é a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido mais de uma vez? O = {o1,..., on } representa o conjunto dos N objetos. Assim o espaço amostral pode ser escrito como S = {s = (s1,..., sr ); si O, i = 1,..., n}. e observe que o número de elementos de S é S = N r. Agora considere o evento A = { (s1,s2,...,sr) em S tal que amostra não contém objetos repetidos}, isto é, si é diferente de sj, sempre que i for diferente de j. Agora observe que A = N (N - 1)(N - 2)... [N - (r - 1)]. Assim P (A) = A / S = 1.(1 1/N).(1-2/N)...[1 (r-1)/n]. Questão 4: Numa turma há 7 mulheres e 5 rapazes. São sorteadas 4 pessoas para formarem a comissão de formatura. Qual é a probabilidade de que uma comissão formada desse jeito tenha exatamente 2 mulheres? Podemos utilizar o modelo hipergeométrico para resolver este problema, observe que o modelo binomial não contempla a retirada de elementos, ou seja, neste modelo sempre há reposição, logo não podemos calcular a probabilidade de duas mulheres de cara, pois após sortearmos uma mulher para a comissão a probabilidade de termos outra mulher se altera, já o modelo hipergeométrico contempla a retirada de elementos. Assim sendo a probabilidade de termos duas mulheres é dada por: x = número de mulheres na comissão n = total de pessoas = 12 m = número de mulheres = 7 r = tamanho da amostra = 4 k = número de mulheres desejado na amostra = 2 sendo c(x/y) combinação de x, y a y: P(x = k) = c(m/k) * c(n-m/r-k) / c(n/r)

3 Questão 5: No Brasil, 0.6% da população entre 15 e 49 anos está contaminada com o vírus HIV. Um indivíduo faz o teste ELISA e o resultado obtido é positivo para o HIV. Suponha que este teste apresente resultados corretamente em 97% dos casos. O que se pode dizer sobre as chances desta pessoa estar de fato contaminada? Devemos calcular a probabilidade de a pessoa estar de fato contaminada dado que o teste disse que ela está contaminada, sendo: A = estar contaminado B = teste dar positivo esta probabilidade é dada por: P(A B) = (0.6/100*97/100) / (0.6/100*97/100) + (99.4/100*3/100) Que é o mesmo que probabilidade da pessoa ter a doença e o teste ter dado certo sobre probabilidade de o teste dar positivo, sendo que dar positivo é o mesmo que a pessoa ter a doença e o teste estar certo mais a pessoa não ter a doença e o teste estar errado. Questão 6: As pacientes diagnosticadas com câncer de mama precocemente têm 80% de probabilidade de serem completamente curadas. Para um grupo de 12 pacientes nessas condições, calcule a probabilidade de: (a) Oito ficarem completamente curadas. (b) Entre 3 e 5 (inclusive) não serem curadas. (c) Não mais de 2 permanecerem com a doença. A: Neste caso podemos aplicar o modelo binomial pois os eventos são independentes, em outras palavras, a cura de uma mulher não afeta a probabilidade de uma outra mulher também ser curada, assim sendo a probabilidade de 8 mulheres serem totalmente curadas é dada por: x = número de mulheres curadas n = número de pacientes k = número de mulheres que desejamos que sejam curadas p = probabilidade de uma mulher ser curada (1-p) = probabilidade de uma mulher não ser curada x ~ bin (k,n,p), neste caso: x ~ bin(8,12,8/10) P(x = k) = c(n/k) * (p)^k * (1-p)^n-k P(x = k) = c(12/8) * (8/10)^8 * (2/10)^4

4 B: Esta probabilidade é dada pela probabilidade de três mulheres permanecerem com a doença somada a probabilidade de quatro mulheres permanecerem com a doença somada a probabilidade de cinco mulheres permanecerem com a doença, logo é dada pelo somatório com k variando de 3 até 5 de: x ~ bin(k,12,8/10) P(x = k) = c(12/k) * (8/10)^12-k * (2/10)^k C: Esta probabilidade é dada pela probabilidade de nenhuma mulher permanecer com a doença somada a probabilidade de uma mulher permanecer com a doença somada a probabilidade de duas mulheres permanecerem com a doença, logo é dada pelo somatório com k variando de 0 até 2 de: x ~ bin(k,12,8/10) P(x = k) = c(12/k) * (8/10)^12-k * (2/10)^k Questão 7: Cada uma das 4 urnas: Urna 1, Urna 2, Urna 3 e Urna 4, contém α bolas brancas e β bolas pretas. Uma bola é retirada da Urna 1 e posta na Urna 2; em seguida uma bola é retirada da Urna 2 e posta na Urna 3; em seguida é retirada uma bola da Urna 3 e posta na Urna 4. Finalmente, uma bola é retirada da Urna 4. Se a primeira bola transferida for branca, qual será a probabilidade de que a última bola escolhida seja branca? (Você conseguiria resolver o problema com n urnas?) Ao retirarmos a primeira bola branca e depositarmos na segunda urna a probabilidade de retirarmos uma bola branca da mesma se altera de α / α+β para α+1 / α+β+1 e dela ser preta é de β / α+β+1, isso ocorrerá em todas as urnas, inclusive na Urna 4, assim sendo devemos calcular todas as possibilidades de tirarmos uma bola branca na Urna 4 e somá-las, sendo elas dadas por: (B, B, B, B) = 1 * (α+1 / α+β+1) * (α+1 / α+β+1) * (α+1 / α+β+1) (B, P, B, B) = 1 * (β / α+β+1) * (α / α+β+1) * (α+1 / α+β+1) (B, B, P, B) = 1 * (α+1 / α+β+1)* (β / α+β+1) * (α / α+β+1) (B, P, P, B) = 1 * (β / α+β+1) * (β+1 / α+β+1) * (α / α+β+1) Questão 8: De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidade (isto é, uma função que dê a probabilidade P([X = k]) para qualquer k possível) de X, quando: (a) As peças forem escolhidas com reposição. (b) As peças forem escolhidas sem reposição. A: x ~hip(k, n, m, r)

5 x = número de peças defeituosas n = total de peças m = número de peças defeituosas no lote r = tamanho da amostra k = número de peças defeituosas desejado na amostra sendo c(x/y) combinação de x, y a y: P(x = k) = c(m/k) * c(n-m/r-k) / c(n/r) B: x ~bin (k, n, p) x = número de peças defeituosas n = número de peças no lote k = número de peças que desejamos que sejam defeituosas p = probabilidade de uma peça ser defeituosa (1-p) = probabilidade de uma peça não ser defeituosa P(x = k) = c(n/k) * (p)^k * (1-p)^n-k