PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ao conjunto de todos os resultados possíveis, de uma eperiência aleatória, chamamos espaço amostral e representamos por S. Define-se acontecimento como sendo um subconjunto do espaço amostral. A sair 6 {6} B sair fica par {2,4,6} C sair ficar impar {,3,5} Aos acontecimentos constituídos por um único resultado chamam-se acontecimentos elementares. O espaço amostral e os acontecimentos nele contidos podem ser representados por diagramas de Venn. Dado o paralelismo entre acontecimentos e subconjuntos, podemos a partir das operações sobre conjuntos obter novos acontecimentos. - A união dos acontecimentos A e B, representa-se A B e é o acontecimento que se realiza se e só se A ou B se realizam. - A intersecção dos acontecimentos, representa-se A B e é o acontecimento que se realiza se só A e B se realizam mutuamente. - O acontecimento complementar de A, representa-se por A e é acontecimento constituído por todos os resultados de S, que não estão em S. A B B C A {,2,3,4,5} A Β (A B) C Resultados adicionais sobre acontecimentos A A (lei do complementar) (A B) C (A C) (B C) lei distributiva (A B) C (A C) (B C)

2 cara cara cara coroa coroa cara coroa coroa A B A B Leis de De Morgan A B A B A BB A Lei comutativa A BB A Os espaços amostrais também podem ser representados por diagramas de árvore. E: lançamento de 2 moedas S {cara coroa, coroa coroa, cara cara, coroa cara} Dois acontecimentos A e B são mutuamente eclusivos ou disjuntos que não podem ocorrer conjuntamente então A B. Noção de probabilidade um espaço amostral é disjunto se e só se consiste num conjunto finito (ou infinitamente numerável) de resultados situados no intervalo [0,] (0 e 00%). Definição subjectiva a probabilidade de um resultado é interpretado pelo grau de acreditar que o resultado vai ocorrer. Definição clássica ou De Laplace sempre que o espaço amostral é constituído por N resultados (acontecimentos elementares), todos eles igualmente possíveis, então a probabilidade de cada resultado ou acontecimento elementar é N. Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um acontecimento A, representa-se por P(A) como sendo a soma das probabilidades de resultados que compõem A. P(A) Nº de casos favoráveis Nº de casos possíveis

3 P(A) 6 P(B) A definição frequencista é baseada na repetição da eperiência aleatória. A probabilidade de um acontecimento A é definida, como sendo o limite da sua frequência relativa, com que se verificou A em n provas ou repetições. P(A) nlim > + n A n onde n A, representa o número de vezes que se verificou A em n provas. Aiomas de Probabilidade (Kolmogorov) A probabilidade é um número que é atribuído a cada elemento duma colecção de acontecimentos de uma eperiência aleatória que satisfaz as seguintes propriedades. Se S é um espaço amostral e A é qualquer acontecimento de uma eperiência aleatória. (i) P(s) (ii) 0< P(A) < (iii) Para um acontecimento A e B com A B, P(A B)P(A)+P(B) Os aiomas implicam os seguintes resultados: i) P( )0 ii) iii) P(A A )P(A)+P(A ) P(B)P(A)+P(B A ) >0 P(A )-P Se A B então P(A)<P(B) Regra de adição Se A e B forem dois acontecimentos quaisquer então: P(A B)P(A)+P(B)-P(A B) A B A (B A ) B(A B) (B A )

4 P(A B) P(A)+P(B A ) P(B)P(A B)+P ( B A) Se A, B e C forem três acontecimentos quasiquer acontecimentos então: P(A B C)P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(B C)+P(A B C) P(A B C)P((A B) C)P(A B)+P(C)-P((A B) C) P(A)+P(B)- P(A B)+P(C)-P((A C) (B C)) P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(A C)-P(B C)+P(A B C) Uma colecção de acontecimentos ξ, ξ 2,..., ξ k, são mutuamente eclusivos se para todos os pares: E i E j < i j < k Para uma colecção de acontecimentos mutuamente eclusivos, Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: P(A)P(B)P(C) ¼ P(A B)P(C B)0 P(A C) /8 P(A B C)? Se A, B e C são acontecimentos mutuamente eclusivos, será possível P(A)0,3, P(B)0,4 e P(C)0,5? Justifique. Não. Porque se são mutuamente eclusivos então P(A B C)P(A)+P(B)+P(C) 0,3+0,4+0,5 > Não é possível que estes acontecimentos tenham estes valores de probabilidade. PROBABILIDADE CONDICIONADA A probabilidade condicional do acontecimento B, dado que (ou sabendo que) ou sabendo que o acontecimento A se realizou, representa-se por P(B A) e é dado por: P(B A) P(A B) P(A) com P(A) > 0 B dado A

5 Molécula Molécula 2 Não Sim Total Não Sim Total Escolhendo uma amostra ao acaso, determine a probabilidade da molécula estar presente, sabendo que a molécula 2 está igualmente presente. P(B A) P(A B) P(A) ,(3) 30 P(B) 0,3 260 REGRAS DE MULTIPLICAÇÃO A partir da definição de Probabilidade Condicional podemos obter uma epressão geral para a probabilidade de intersecção de dois acontecimentos. P(A B) P(A B) P(B) P(B A)P(A) P(A B) P(A B) P(B) simétrica! P(B A) P(B A) P(A) A fórmula é A generalização da equação anterior é dado por: P(E E E) P(E )P(E E)P(E E E) P(E E E E ) 2 n n 2 n Eerc. lote 50 defeituosas 800 boas Seleccionou-se duas peças aleatoriamente sem reposição. Qual a probabilidade das duas peças serem defeituosas? P(A B) P(A) P(B A) 0,

6 REGRA DE PROBABILIDADE TOTAL Para quaisquer acontecimentos A e B B (A B) (A B) P(B) P(B A) + P(B A) P(B A) P(A) P(B A) P(A) + Aplicando esta fórmula ao eercício anterior obtém-se: ,059 Para múltiplos acontecimentos Uma colecção de acontecimentos E,E 2,...,E n são eaustivos se E E 2... E n S B ( B E ) ( B E 2 ) ( B E 3 ) ( B E 4 ) então: P(B) P( B E ) + P( B E 2 ) + P( B E 3 ) + P( B E 4 ) P(B E ) P(E ) + P(B E 2 ) P(E 2 ) + P(B E 3 ) P(E 3 ) + P(B E 4 ) P(E 4 ) Se E,E2,...,En são n acontecimentos mutuamente eclusivos e eaustivos então P(B) P( B E ) + P( B E 2 ) P( B E n ) P(B E ) P(E ) + P(B E 2 ) P(E 2 ) P(B E n ) P(E n ) ACONTECIMENTOS INDEPENDENTES Dois acontecimentos são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações equivalentes é verdadeira: i) P(A B) P(A) ii) P(B A) P(B) iii) P(A B) P(A) P(B) P(B) P(B A) se forem Os acontecimentos E,E 2,...,E n são independentes se para qualquer conjunto E i,e i2,...,e in P(E i E i2... E in ) P(E i ) P(E i2 )... P(E in )

7 Eercício: Sendo P(A)>0 e P(B)>0 será possível A e B serem mutuamente e eclusivos? Resolução: ) Se A e B são mutuamente eclusivos P(A B) 0 2) Se A e B são independentes P(A B) P(A) P(B) 0 >0 Não podem ser as duas coisas ao mesmo tempo. TEOREMA DE BAYES Da definição de Probabilidade Condicional temos que: P(A B) P(A B)P(B) P(B A) P(B A)P(A) A partir do segundo e último termo podemos escrever: P(B A)P(A) P(A B) P(B) com P(B)> 0. Se P(B) no denominador for escrito usando a regra da probabilidade total, obtemos o teorema de Bayes: P(B A)P(A) P(A B) P(B A)P(A)+P(B A)P(A) Generalização do teorema de Bayes Se E, E 2,E 3 são k acontecimentos mutuamente eclusivos e eaustivos, então dado qualquer acontecimento B, tem-se que: P(B E )P(E ) P(E B) P(B E )P(E )+P(B E 2 )P(E 2 )+ +P(B E k )P(E k ) E A O funcionário da loja A 50 P(A) 0,(2) B- «««B 75 P(B)0,(3) C- «««C 00 P( C ) -0,(2)-0,(3)0,(4) a sua união é todo o espaço amostral

8 M Funcionário é mulher sendo: P(M A)0,5 P(M B)0,6 P(M C)0,7 P(C M) P(C)P(M C) P(A)P(M A) + P(B)P(M B) + P(C)P(M C) 0,45 0,7 0,22 0,5 0,33 0,6 0,45 0, ,5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS S { cara, coroa } Uma variável aleatória (v.a.) é uma função que atribui um número real a cada resultado do espaço amostral de uma eperiência aleatória. e α lançamento de duas moedas S { cara cara, cara coroa, coroa cara, coroa coroa } X v.a. que representa o nº de vezes que saiu cara. X (cara cara) 2 X (cara coroa) X (coroa cara) X (coroa coroa) 0 Uma v.a. diz-se discreta se só assume um número finito ou infinito numerável de valores discretos. Eemplos: nº de peças defeituosas num lote nº de acidentes no cruzamento de Gambelas por dia nº de chamadas telefónicas numa central por semana Uma v.a. diz-se contínua se assume todos os valores dum intervalo (finito ou infinito) de números reais. e: temperaturas, peso, tempo entre chamadas telefónicas sucessivas A distribuição de probabilidade de um v.a. X é a descrição das probabilidades associadas com os valores possíveis de X.

9 Seja X uma v.a. discreta com valores possíveis U,U 2,...,U n. A distribuição de X é caracterizada pela função massa de probabilidade (fmp) que associa uma probabilidade a cada valores que a v.a. assume. f( i ) P(X i ) V.A. discretas Atendendo à definição de probabilidade: e.: ) f( i ) 0 n i 2) f() i f(2)p(x2)p(coroa coroa)/4 f()p(x)p(cara coroa, coroa cara)/2 f(0)p(x0)p(coroa coroa)/4 0 2 f( i ) ¼ ½ ¼ diagrama de barras Função de distribuição Um processo alternativo de descrever as probabilidades associadas a uma v.a. X é utilizando a função distribuição. Seja X uma v.a. discreta com valores possíveis, 2,..., n. A função distribuição f() i da v.a. X representa-se por F()P(X ) i F() satisfaz as seguintes propriedades: lim F() 0 ) lim F() 2) + 3) Se 2, então F( ) F( 2 ) não decrescente 4) F() é contínua e discreta Dada a função distribuição da v.a. discreta X, podemos obter a respectiva função massa de probabilidade (f.m.p.). f()f()-f( - )

10 Para qualquer função de distribuição F(), dados dois números reais e 2 com < 2, tem-se P( X 2 )F( 2 )-F( ) P(X<)P(X )-P(X) F()-(F()- F( - )) F( - ) P(X>)-P(X )-F() P(X )-P(X<)- F( - ) 2 P( <X< 2 )P( <X 2 )-P(X 2 ) F( 2 )-F( )-(F( 2 )- F( 2 - )) F( 2 - )- F( - ) P( X 2 )P( X< 2 )+P(X ) F( 2 - ) - F( - )+F( )- F( - ) F( 2 - )- F( - ) 0 2 f( i ) ¼ ½ ¼ F(0)P(X 0)f(0) ¼ F()P(X )f(0)+f() ¼ + ½ ¾ F(2)P(X 2)f(0)+f()+f(2) ¼ + ½ + ¼ F(,5)P(X,5) ¾ f(,5)0 F() 0 se <0 ¼ se 0 < ¾ se <2 se 2 P(0 X )F()-F(0 - ) ¾ f(0)+f() ¾ P(0 X ) F()-F(0 - ) ¾ F() 2 3 4

11 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Se X é uma v.a. e h uma aplicação de R em R, então yh(x) é uma v.a. de distribuição de Yh() é determinada pela transformação h e pela distribuição de X. Seja X uma v.a. discreta com valores possíveis,2,...,n e função massa de probabilidade (f.m.p.) f(). Então a f.m.p. de y é dada por: g(y) P(Y y) P(h() y) P({:h() y}) f() :h() y f( i ) yh() g(y)? g() g(0)f(-2)f(-)+f(0) g(6) f() 0 g(24) f(2) 7 60 VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA DE UMA V.A. DISCRETA A média ou valor esperado de uma v.a. discreta X, representa-se por E[X] ou µ e f() E[X] µ

12 De um modo geral, seja h() uma função real de X: E[h(X)] h()f() Com h()(x-e[x]) 2 obtém-se obtém-se a variância de X e representa-se por U[X] ou σ 2 e σ 2 2 µ [(- µ )f()] [( 2 µ+µ )f()] 2 2 f() 2 f() f() U[X] E[(-E[]) ] µ +µ f() 2 f() µ +µ µ E[X ] E[X] 2 2 A raíz quadrada da variância chamamos desvio-padrão e representamos σ U[] 2 µ E[] U[] ( ) Se X é uma v.a. e a, b e c constante então: ) E[c] c 2) E[-µ]0 3) E[cX]cE[X] 4) E[h(X)+h (X)] E[h(X)]+E[h (X)] Demonstrações das propriedades anteriores: ) 2) 3) E[c] cf() c f() c E[- µ ] µ f() f() µ f() µ µ 0 E[cX] cf() c f() ce[x] E[h(X)+h(X)] [h()+h()]f() h()f()+ h()f() 4) 5) E[h(X)] + E[h'(X)] E[aX + b] E[aX] + E[b] ae[] + b (4) (3) ()

13 6) V[aX+b] E[((aX+b)-E[aX+b]) 2 ] E[aX+b ae[x]-b] E[(aX-aE[X]) 2 ] E[a 2 (X-E[X]) 2 ]a 2 E[(X-E[X]) 2 ]a 2 V[X]

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