Noções de Probabilidade
|
|
- Diogo Galvão Olivares
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Noções de Probabilidade Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2015 Gilberto A. Paula G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
2 Objetivos da Aula Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
3 Objetivos da Aula Objetivos da Aula Objetivos da Aula O objetivo principal desta aula é apresentar alguns conceitos básicos sobre o cálculo de probabilidade. Em particular, discutiremos a definição de Experimento Aleatório, Espaço Amostral e Eventos e apresentaremos algumas Operações com Eventos. Noções de Contagem e regras para o cálculo de probabilidades, tais como Regra da Adição de Probabilidades e Probabilidade Condicional, serão discutidas, bem como a Independência de Eventos. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
4 Objetivos da Aula Motivação? CARA? OU? COROA? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
5 Motivação Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
6 Motivação Motivação Motivação qual será a cotação do dólar no final deste ano? qual será a inflação acumulada em 2015? qual equipe vencerá a Copa Libertadores? quem vencerá a aleição para prefeito em SP? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
7 Experimento Aleatório Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
8 Experimento Aleatório Experimento Aleatório Definição É aquele experimento que, ainda que sendo realizado sob condições fixas, não possui necessariamente resultado determinado. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
9 Experimento Aleatório Experimento Aleatório Definição É aquele experimento que, ainda que sendo realizado sob condições fixas, não possui necessariamente resultado determinado. Exemplos lançar uma moeda e observar o resultado lançar um dado e observar a face superior sortear um estudante da USP e perguntar sobre o hábito de fumar sortear um doador de sangue cadastrado e verificar o seu tipo sanguíneo G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
10 Espaço Amostral Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
11 Espaço Amostral Espaço Amostral Definição É conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Denotaremos por Ω. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
12 Espaço Amostral Espaço Amostral Definição É conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Denotaremos por Ω. Exemplos lançar um dado e observar a face superior Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tipo sanguíneo de um doador Ω = {A, B, O, AB} hábito de fumar de um estudante Ω = {sim, não} tempo de duração de uma lâmpada (em horas) Ω = {t : t 0} G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
13 Evento Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
14 Evento Evento Definição Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Notação: eventos: A, B, C,... evento impossível: (conjunto vazio) evento certo: Ω (espaço amostral) G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
15 Evento Evento Definição Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Notação: Exemplo eventos: A, B, C,... evento impossível: (conjunto vazio) evento certo: Ω (espaço amostral) Lançamento de um dado observando a face superior, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Alguns eventos: A: sair face par = A = {2, 4, 6} Ω B: sair face maior do que 3 = B = {4, 5, 6} Ω C: sair face 1 = C = {1} Ω G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
16 Evento Operações com Eventos Sejam A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral Ω. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
17 Evento Operações com Eventos Sejam A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral Ω. A B: união dos eventos A e B Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
18 Evento Operações com Eventos Sejam A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral Ω. A B: união dos eventos A e B Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A B: intersecção dos eventos A e B Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
19 Evento Operações com Eventos Eventos Disjuntos Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se não têm elementos em comum, isto é A B =. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
20 Evento Operações com Eventos Eventos Disjuntos Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se não têm elementos em comum, isto é A B =. Eventos Complementares Dois eventos A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B = e A B = Ω. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
21 Evento Operações com Eventos Eventos Disjuntos Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se não têm elementos em comum, isto é A B =. Eventos Complementares Dois eventos A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B = e A B = Ω. O complementar do evento A será denotado por A c. Temos que A A c = Ω e A A c =. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
22 Evento Operações com Eventos Exemplo Lançamento de um dado observando a face superior Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
23 Evento Operações com Eventos Exemplo Lançamento de um dado observando a face superior Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. sair uma face par e maior do que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma face par e face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = sair uma face par ou maior do que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} sair uma face par ou face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6} não sair face par A c = {1, 3, 5} G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
24 Probabilidade Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
25 Probabilidade Probabilidade Definição Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
26 Probabilidade Probabilidade Definição Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório. Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? frequências relativas de ocorrências de cada resultado suposições teóricas experiência de um(a) especialista G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
27 Probabilidade Atribuição de Probabilidade Através das frequências relativas de ocorrências O experimento aleatório é replicado muitas vezes. Registra-se a frequência relativa com que cada resultado ocorre. Para um número grande de replicações, a frequência relativa aproxima a probabilidade. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
28 Probabilidade Atribuição de Probabilidade Através das frequências relativas de ocorrências O experimento aleatório é replicado muitas vezes. Registra-se a frequência relativa com que cada resultado ocorre. Para um número grande de replicações, a frequência relativa aproxima a probabilidade. Através de suposições teóricas Por exemplo, no lançamento de um dado admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado. Dessa forma P(face1) = P(face2) = = P(face 6) = 1 6. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
29 Probabilidade Atribuição de Probabilidade Através da experiência de um(a) especialista após o exame clínico, o médico externa a probabilidade do paciente estar com sinusite viral ou bacteriana após uma análise de vários indicadores econômicos um analista financeiro externa a probabilidade de um ativo financeiro render mais do que a inflação num determinado período G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
30 Probabilidade Atribuição de Probabilidade Caso discreto No caso discreto o espaço amostral é expresso na forma Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...}. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
31 Probabilidade Atribuição de Probabilidade Caso discreto No caso discreto o espaço amostral é expresso na forma Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...}. A probabilidade P(ω) para cada elemento do espaço amostral é especificada da seguinte forma: 0 P(ω i ) 1 para i = 1, 2,... i=1 P(ω i) = 1 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
32 Probabilidade Atribuição de Probabilidade Casos particulares Seja A Ω. Então P(A) = ω i A P(ω i). Por exemplo, se A = {ω 7, ω 8, ω 9 } então P(A) = P(ω 7 ) + P(ω 8 ) + P(ω 9 ). P(Ω) = 1 P( ) = 0 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
33 Probabilidade Atribuição de Probabilidade Equiprobabilidade Supor que o espaço amostral tem um número finito de elementos Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω n }. Se A for um evento de m elementos, na situação de equiprobabilidade, isto é, quando as probabilidades de todos os resultados do espaço amostral são iguais, tem-se que P(A) = número de elementos de A número de elementos de Ω = m n. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
34 Probabilidade Atribuição de Probabilidade Equiprobabilidade Supor que o espaço amostral tem um número finito de elementos Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω n }. Se A for um evento de m elementos, na situação de equiprobabilidade, isto é, quando as probabilidades de todos os resultados do espaço amostral são iguais, tem-se que P(A) = número de elementos de A número de elementos de Ω = m n. Neste caso não é necessário explicitar Ω e A, bastando calcular m e n, também chamados, respectivamente, de casos favoráveis e casos possíveis. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
35 Aplicação Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
36 Aplicação Descrição Alunos diplomados em 2002 no município de São Paulo segundo nível de ensino e tipo de instituição. a Tipo de Instituição Nível de Ensino Pública Privada Total Fundamental Médio Superior Total a MEC, INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais) e Fundação SEADE G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
37 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
38 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no municipio de Sao Paulo. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
39 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no municipio de Sao Paulo. Eventos M: aluno se formou no ensino médio P(M) = = 0, 382 F: aluno se formou no ensino fundamental P(F) = = 0, 459 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
40 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
41 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no municipio de Sao Paulo. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
42 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no municipio de Sao Paulo. Eventos S: aluno se formou no ensino superior P(S) = = 0, 159 G: aluno se formou em instituição pública P(G) = = 0, 694 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
43 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
44 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no municipio de Sao Paulo. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
45 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no municipio de Sao Paulo. Eventos M G: aluno formado no ensino médio e em instituição pública P(M G) = = 0, 306 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
46 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
47 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no municipio de Sao Paulo. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
48 Aplicação Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Ω: conjunto de alunos diplomados em 2002 no municipio de Sao Paulo. Eventos M G: aluno formado no ensino médio ou em instituição pública P(M G) = ( ) = = 0, 771 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
49 Propriedades Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
50 Propriedades Regra da Adição de Probabilidades Definição Sejam A e B dois eventos quaisquer do espaço amostral Ω. Então P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
51 Propriedades Regra da Adição de Probabilidades Definição Sejam A e B dois eventos quaisquer do espaço amostral Ω. Então P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Casos Particulares se A e B são conjuntos disjuntos (A B = ) P(A B) = P(A) + P(B) para qualquer evento A em Ω P(A) = 1 P(A c ) G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
52 Propriedades Adição de Probabilidades Aplicação Considere novamente o evento M G: aluno formado no ensino médio ou em instituição pública. P(M G) = P(M) + P(G) P(M G) = = = 0, G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
53 Noções de Contagem Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
54 Noções de Contagem Permutação Definição Uma permutação de n elementos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses elementos. Notação: P n = n! = n(n 1)(n 2).... Em particular 0! = 1. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
55 Noções de Contagem Permutação Definição Uma permutação de n elementos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses elementos. Notação: P n = n! = n(n 1)(n 2).... Em particular 0! = 1. Exemplo Um grupo de 3 corredores está disputando uma prova de 10km. Quais são os resultados possíveis? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
56 Noções de Contagem Permutação Definição Uma permutação de n elementos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses elementos. Notação: P n = n! = n(n 1)(n 2).... Em particular 0! = 1. Exemplo Um grupo de 3 corredores está disputando uma prova de 10km. Quais são os resultados possíveis? Temos portanto P 3 = 3! = = 6 resultados possíveis. Se denotarmos esses corredores por C1, C2, C3 os resultados possíveis (já na ordem de classificação) são representados pelos subconjuntos: {C1, C2, C3}, {C1, C3, C2}, {C2, C1, C3}, {C2, C3, C1}, {C3, C2, C1} e {C3, C1, C2}. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
57 Noções de Contagem Permutação Espaço Amostral Portanto, o espaço amostral Ω deste exemplo contém 6 elementos (os resultados possíveis) representados pelos subconjuntos descritos anteriormente. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
58 Noções de Contagem Permutação Espaço Amostral Portanto, o espaço amostral Ω deste exemplo contém 6 elementos (os resultados possíveis) representados pelos subconjuntos descritos anteriormente. Eventos A: o corredor C1 ser o vencedor B: o corredor C3 não ser o vencedor G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
59 Noções de Contagem Permutação Espaço Amostral Portanto, o espaço amostral Ω deste exemplo contém 6 elementos (os resultados possíveis) representados pelos subconjuntos descritos anteriormente. Eventos A: o corredor C1 ser o vencedor B: o corredor C3 não ser o vencedor Cálculo das Probabilidades Sorteando ao acaso um dos resultados possíveis, temos que P(A) = 2 6 = 1 3 P(B) = 4 6 = 2 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
60 Noções de Contagem Arranjo Definição Arranjo simples de n elementos tomados x a x, em que n 1 e x n, corresponde a todos os subconjuntos de x elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza. Notação: A x n = n! (n x)!. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
61 Noções de Contagem Arranjo Definição Arranjo simples de n elementos tomados x a x, em que n 1 e x n, corresponde a todos os subconjuntos de x elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza. Notação: A x n = n! (n x)!. Exemplo Numa classe 5 alunos aceitaram participar da eleição para representantes da classe, em que o mais votado será o titular e o segundo mais votado será o suplente. Quantos pares de representantes podemos formar? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
62 Noções de Contagem Arranjo Definição Arranjo simples de n elementos tomados x a x, em que n 1 e x n, corresponde a todos os subconjuntos de x elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza. Notação: A x n = n! (n x)!. Exemplo Numa classe 5 alunos aceitaram participar da eleição para representantes da classe, em que o mais votado será o titular e o segundo mais votado será o suplente. Quantos pares de representantes podemos formar? Aqui como a ordem é importante (pois define o titular e o suplente) teremos que resolver o problema através de arranjo. Portanto, temos A 2 5 = 5! (5 2)! = 5! 3! = 5 4 3! 3! = 5 4 = 20 pares possíveis de representantes. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
63 Noções de Contagem Arranjo Aplicação Vamos supor que desses 5 alunos, 2 são do sexo masculino e 3 do sexo feminino. Logo, o espaço amostral Ω deste exemplo continua com 20 elementos que serão classificados pela ordem e também pelo gênero. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
64 Noções de Contagem Arranjo Aplicação Vamos supor que desses 5 alunos, 2 são do sexo masculino e 3 do sexo feminino. Logo, o espaço amostral Ω deste exemplo continua com 20 elementos que serão classificados pela ordem e também pelo gênero. Eventos A: o titular ser do sexo feminino e o suplente do sexo masculino B: os dois representantes serem do mesmo gênero G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
65 Noções de Contagem Princípio Multiplicativo Definição Se um evento pode ser realizado em duas etapas, uma consistindo de r maneiras e a outra de s maneiras, então o evento pode ser realizado de r s maneiras. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
66 Noções de Contagem Arranjo Número de Elementos dos Eventos n(a) = {titulares possíveis do sexo feminino} {suplentes possíveis do sexo masculino} = A 1 3 A1 2 = 3! 2! 2! 1! = 3 2 = 6 pares possíveis n(b) = {representantes possíveis do sexo masculino} + {representantes possíveis do sexo feminino} = A A2 3 = 2! 0! + 3! 1! = = = 8 pares possíveis G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
67 Noções de Contagem Arranjo Número de Elementos dos Eventos n(a) = {titulares possíveis do sexo feminino} {suplentes possíveis do sexo masculino} = A 1 3 A1 2 = 3! 2! 2! 1! = 3 2 = 6 pares possíveis n(b) = {representantes possíveis do sexo masculino} + {representantes possíveis do sexo feminino} = A A2 3 = 2! 0! + 3! 1! = = = 8 pares possíveis G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
68 Noções de Contagem Arranjo Número de Elementos dos Eventos n(a) = {titulares possíveis do sexo feminino} {suplentes possíveis do sexo masculino} = A 1 3 A1 2 = 3! 2! 2! 1! = 3 2 = 6 pares possíveis n(b) = {representantes possíveis do sexo masculino} + {representantes possíveis do sexo feminino} = A A2 3 = 2! 0! + 3! 1! = = = 8 pares possíveis Cálculo das Probabilidades Sorteando ao acaso um dos pares possíveis de representantes, obtemos P(A) = 6 20 = 0, 30 P(B) = 8 20 = 0, 40 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
69 Noções de Contagem Combinação Definição Combinação simples de n elementos tomados x a x, em que n 1 e x n, corresponde a todos os subconjuntos de x elementos distintos, que diferem entre si apenas pela natureza. Notação: Cn x = ( ) n x = n! (n x)!x!. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
70 Noções de Contagem Combinação Definição Combinação simples de n elementos tomados x a x, em que n 1 e x n, corresponde a todos os subconjuntos de x elementos distintos, que diferem entre si apenas pela natureza. Notação: Cn x = ( ) n x = n! Exemplo (n x)!x!. Num campeonato de futebol 6 equipes foram classificadas para a fase final, em que todos enfrentam todos. Quantas partidas deverão ocorrer nesse hexagonal final? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
71 Noções de Contagem Combinação Definição Combinação simples de n elementos tomados x a x, em que n 1 e x n, corresponde a todos os subconjuntos de x elementos distintos, que diferem entre si apenas pela natureza. Notação: Cn x = ( ) n x = n! Exemplo (n x)!x!. Num campeonato de futebol 6 equipes foram classificadas para a fase final, em que todos enfrentam todos. Quantas partidas deverão ocorrer nesse hexagonal final? Aqui como a ordem não é importante, podemos resolver através de combinação. Portanto, teremos ( ) 6 2 = 6! (6 2)! 2! = 6 5 4! 4! 2! = = 15 partidas. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
72 Noções de Contagem Combinação Aplicação Supor que dessas 6 equipes, 4 são do estado 1 e as outras duas do estado 2. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
73 Noções de Contagem Combinação Aplicação Supor que dessas 6 equipes, 4 são do estado 1 e as outras duas do estado 2. Eventos A: a partida ser entre equipes do mesmo estado B: a partida ser entre equipes de estados diferentes G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
74 Noções de Contagem Combinação Número de Elementos dos Eventos n(a) = {jogos possíveis entre equipes do estado 1} + {jogos possíveis entre equipes do estado 2} = ( ( 4 2) + 2 ) 2 = 4! 2!2! + 2! 2!0! = = 7 partidas n(b) = {equipes do estado 1} {equipes do estado 2} = ( ( 4 1) 2 ) 1 = 4! 3!1! 2! 1!1! = 4 2 = 8 partidas G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
75 Noções de Contagem Combinação Número de Elementos dos Eventos n(a) = {jogos possíveis entre equipes do estado 1} + {jogos possíveis entre equipes do estado 2} = ( ( 4 2) + 2 ) 2 = 4! 2!2! + 2! 2!0! = = 7 partidas n(b) = {equipes do estado 1} {equipes do estado 2} = ( ( 4 1) 2 ) 1 = 4! 3!1! 2! 1!1! = 4 2 = 8 partidas G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
76 Noções de Contagem Combinação Número de Elementos dos Eventos n(a) = {jogos possíveis entre equipes do estado 1} + {jogos possíveis entre equipes do estado 2} = ( ( 4 2) + 2 ) 2 = 4! 2!2! + 2! 2!0! = = 7 partidas n(b) = {equipes do estado 1} {equipes do estado 2} = ( ( 4 1) 2 ) 1 = 4! 3!1! 2! 1!1! = 4 2 = 8 partidas Cálculo das Probabilidades Sorteando ao acaso uma das partidas possíveis, temos que P(A) = 7 15 P(B) = 8 15 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
77 Noções de Contagem Probabilidade Condicional Definição Sejam A e B dois eventos quaisquer do espaço amostral Ω. Então P(A B) = P(A B), P(B) > 0. P(B) A relação acima também é conhecida como Regra de Bayes. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
78 Noções de Contagem Probabilidade Condicional Definição Sejam A e B dois eventos quaisquer do espaço amostral Ω. Então P(A B) = P(A B), P(B) > 0. P(B) A relação acima também é conhecida como Regra de Bayes. Consequências P(A B) = P(A B)P(B) P(A B) = P(B A)P(A) G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
79 Noções de Contagem Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
80 Noções de Contagem Aplicação Descrição Vamos supor que um aluno diplomado em 2002 do município de São Paulo é selecionado, ao acaso. Eventos M: aluno se formou no ensino médio G: aluno se formou em instituição pública G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
81 Noções de Contagem Aplicação Qual a probabilidade do aluno escolhido ser formado no ensino médio sabendo-se que é de instituição pública? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
82 Noções de Contagem Aplicação Qual a probabilidade do aluno escolhido ser formado no ensino médio sabendo-se que é de instituição pública? Cálculo da Probabilidade P(M G) = = P(M G) P(G) = = 0, G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
83 Exemplo 1 Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
84 Exemplo 1 Sem Reposição Descrição Em uma urna há 5 bolas, sendo 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. Qual a probabilidade da 2 a bola sorteada ser da cor vermelha? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
85 Exemplo 1 Sem Reposição Diagrama de Árvore 1 a 2 a V VV V B B V VB BV Resultados Possíveis B BB G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
86 Exemplo 1 Sem Reposição Cálculo de Probabilidades 1 a 2 a 2/4 V VV P(VV) = 3/5x2/4=6/20 3/5 V 2/4 B VB P(VB) = 3/5x2/4=6/20 2/5 B 3/4 V BV P(BV) = 2/5x3/4=6/20 1/4 B BB P(BB) = 2/5x1/4=2/20 P(2 a bola vermelha) = P(VV) + P(BV) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 0,60 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
87 Exemplo 1 Com Reposição Descrição Em uma urna há 5 bolas, sendo 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, com reposição. Qual a probabilidade da 2 a bola sorteada ser da cor vermelha? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
88 Exemplo 1 Com Reposição Cálculo de Probabilidades 1 a 2 a 3/5 V VV P(VV) = 3/5x3/5=9/25 3/5 V 2/5 B VB P(VB) = 3/5x2/5=6/25 2/5 B 3/5 V BV P(BV) = 2/5x3/5=6/25 2/5 B BB P(BB) = 2/5x2/5=4/25 P(2 a bola vermelha) = P(VV) + P(BV) = 9/25 + 6/25 = 15/25 = 0,60 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
89 Independência de Eventos Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
90 Independência de Eventos Independência de Eventos Definição Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, P(A B) = P(A), P(B) > 0. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
91 Independência de Eventos Independência de Eventos Definição Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, Consequência P(A B) = P(A), P(B) > 0. Da definição de probabilidade condicional temos que P(A B) = P(A B), P(B) > 0. P(B) Logo, a independência entre A e B é equivalente a P(A B) = P(A)P(B). G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
92 Independência de Eventos Exemplo 1 Eventos V 1: ocorrência de bola vermelha na 1 a retirada V 2: ocorrência de bola vermelha na 2 a retirada G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
93 Independência de Eventos Exemplo 1 Eventos V 1: ocorrência de bola vermelha na 1 a retirada V 2: ocorrência de bola vermelha na 2 a retirada Sem Reposição Temos que P(V 2 V 1) = 2/4 = 0, 50 e P(V 2) = 0, 60. Portanto, os eventos V 1 e V 2 não são independentes. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
94 Independência de Eventos Exemplo 1 Eventos V 1: ocorrência de bola vermelha na 1 a retirada V 2: ocorrência de bola vermelha na 2 a retirada Sem Reposição Temos que P(V 2 V 1) = 2/4 = 0, 50 e P(V 2) = 0, 60. Portanto, os eventos V 1 e V 2 não são independentes. Com Reposição Temos que P(V 2 V 1) = 3/5 e P(V 2) = 3/5. Portanto, os eventos V 1 e V 2 são independentes. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
95 Exemplo 2 Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
96 Exemplo 2 Exemplo 2 Descrição A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
97 Exemplo 2 Exemplo 2 Descrição A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? Eventos A: Jonas ser aprovado B: Madalena ser aprovada G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
98 Exemplo 2 Exemplo 2 Descrição A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? Eventos A: Jonas ser aprovado B: Madalena ser aprovada Supondo que ambos resolvem as provas de forma independente P(A B) = P(A)P(B) = 1/3 2/3 = 2/9. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
99 Exemplo 3 Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Experimento Aleatório 4 Espaço Amostral 5 Evento 6 Probabilidade 7 Aplicação 8 Propriedades 9 Noções de Contagem 10 Exemplo 1 11 Independência de Eventos 12 Exemplo 2 13 Exemplo 3 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
100 Exemplo 3 Exemplo 3 Descrição Numa pesquisa sobre hábitos de fumar de uma população, constatou-se que 75% dos homens entrevistados fumam, 47% das mulheres fumam e 60% dos entrevitados eram homens. G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
101 Exemplo 3 Exemplo 3 Descrição Numa pesquisa sobre hábitos de fumar de uma população, constatou-se que 75% dos homens entrevistados fumam, 47% das mulheres fumam e 60% dos entrevitados eram homens. Eventos F: ser fumante M: ser do sexo feminino H: ser do sexo masculino G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
102 Exemplo 3 Exemplo 3 Descrição Numa pesquisa sobre hábitos de fumar de uma população, constatou-se que 75% dos homens entrevistados fumam, 47% das mulheres fumam e 60% dos entrevitados eram homens. Eventos F: ser fumante M: ser do sexo feminino H: ser do sexo masculino Qual a probabilidade de uma pessoa sorteada ao acaso dessa população ser fumante? G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
103 Exemplo 3 Exemplo 3 Diagrama de Árvore F MF M H F c F MF c HF Resultados Possíveis F c HF c G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
104 Exemplo 3 Exemplo 3 Cálculo de Probabilidades 0,47 F MF P(MF) = 0,40x0,47=0,188 0,40 M 0,53 F c MF c P(MF c )= 0,40x0,53=0,212 0,60 H 0,75 F HF P(HF) = 0,60x0,75=0,450 0,25 F c HF c P(HF c ) = 0,60x0,25=0,150 P(Fumante) = P(MF) + P(HF) = 0, ,450 = 0,538 G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre / 59
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? ? Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 011???? Quem será o próximo prefeito de
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE Fenômeno Aleatório: situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser determinados com certeza. Exemplos: 1. Resultado do lançamento de um dado;. Hábito de fumar de um estudante
Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os
PROBABILIDADE Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1,, 3, 4,, 6}. Doador de sangue (tipo sangüíneo). = {A, B,
Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica
Unidade 11 - Probabilidade Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Probabilidade Empírica Existem probabilidade que são baseadas apenas uma experiência de fatos, sem necessariamente apresentar uma
Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira
- Conceitos Básicos Castro Soares de Oliveira é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. está associada a estatística, porque sua teoria constitui a base de estatística inferencial. Conceito
Eventos independentes
Eventos independentes Adaptado do artigo de Flávio Wagner Rodrigues Neste artigo são discutidos alguns aspectos ligados à noção de independência de dois eventos na Teoria das Probabilidades. Os objetivos
PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr.
PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - O intelecto faz pouco na estrada que leva à descoberta, acontece um salto na consciência, chameo de
Aula 1: Introdução à Probabilidade
Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo
Probabilidade Condicional
PROBABILIDADES Probabilidade Condicional BERTOLO Exemplo Introdutório Vamos introduzir a noção de probabilidade condicional através de um exemplo. Consideremos 250 estudantes que cursam o 4º ano de Ciências
Aula 4. NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Aula 4. NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? ? Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 013???? Quem será o próximo prefeito
Avaliação e Desempenho Aula 4
Avaliação e Desempenho Aula 4 Aulas passadas Motivação para avaliação e desempenho Aula de hoje Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Experimentos Aleatórios
Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição
Probabilidade Definições, Notação, Regra da Adição Definições básicas de probabilidade Experimento Qualquer processo de observação ou medida que permita ao pesquisador fazer coleta de informações. Evento
Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais
Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil Primeiro Semestre, 2012 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios
C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7
RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 TEORIA DAS PROBABILIDADES Vamos considerar os seguintes experimentos: Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por uma força qualquer, em um espaço definido.
RESUMO TEÓRICO. n(a) P(A) = n(u) 0 P(A) 1
RESUMO TEÓRICO Experimentos aleatórios: são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Exemplo: Lançar um dado e verificar qual é a face voltada
CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE
CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE 1.1 INTRODUÇÃO Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto especificado de condições, conduz invariavelmente ao mesmo resultado. São
Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE ALEATORIEDADE Menino ou Menina me? CARA OU COROA? 3 Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança no final deste ano? E qual será a taxa de inflação acumulada em 014? Quem será
Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE
Estatística 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof. Ânderson Vieira Probabilidade Espaço Amostral Em cada um dos exercícios a 0. Determine o espaço amostral.. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE
PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS
PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS 1. Experimentos Experimento determinístico: são aqueles em que o resultados são os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos. Exemplo: Um determinado
Teoria das Probabilidades I. Ana Maria Lima de Farias Universidade Federal Fluminense
Teoria das Probabilidades I Ana Maria Lima de Farias Universidade Federal Fluminense Conteúdo 1 Probabilidade - Conceitos Básicos 1 1.1 Introdução....................................... 1 1.2 Experimento
Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ
Probabilidade Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá base teórica para o desenvolvimento
CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos
INTRODUÇÃO À PROAILIDADE Exemplos: O problema da coincidência de datas de aniversário O problema da mega sena A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade
7- Probabilidade da união de dois eventos
. 7- Probabilidade da união de dois eventos Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE Qual a razão para esta mudança? (isto é, para passarmos de Análise Descritiva para Cálculo de Probabilidades?) ALEATORIEDADE Menino ou Menina me? 3 CARA? OU COROA? 4 ? Qual será
CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE
CAPÍTULO 0 NOÇÕES DE PROBABILIDADE. ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S =
MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade
MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 19 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 3 1 Probabilidade Discreta: Exemplos
UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS
ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ ALI UNITAU APOSTILA PROAILIDADES ibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: ianchini&paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores:
Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado
Capítulo 2 Probabilidade 2.1 Espaços Amostrais e Eventos Espaço Amostral Espaço Amostral O espaço amostral de um experimento, denotado S, é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.
Teoria das Probabilidades
Teoria das Probabilidades Qual a probabilidade de eu passar no vestibular? Leandro Augusto Ferreira Centro de Divulgação Científica e Cultural Universidade de São Paulo São Carlos - Abril / 2009 Sumário
1. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum (52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X = número de cartas vermelhas sorteadas.
GET007 Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I Lista de Exercícios - variáveis Aleatórias Discretas Profa. Ana Maria Farias. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum ( cartas, de cada naipe sem
I. Experimentos Aleatórios
A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em
Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento
1 Módulo VIII Probabilidade: Espaço Amostral e Evento Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja vermelha.
Princípio da contagem e Probabilidade: conceito
Princípio da contagem e Probabilidade: conceito característica do que é provável perspectiva favorável de que algo venha a ocorrer; possibilidade, chance. Ex.: há pouca possibilidade de chuva grau de segurança
Assim, de acordo com as regras do campeonato temos a seguinte tabela dos dois times:
Raciocínio Lógico- Vinicius Werneck 1. Em um campeonato de futebol, a pontuação acumulada de um time é a soma dos pontos obtidos em cada jogo disputado. Por jogo, cada time ganha três pontos por vitória,
23/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC-00.176. Aula 4. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. O princípio da contagem Métodos de contagem
Tratamento de Incertezas TIC-00.176 Aula 4 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2014.1/tic-00.176
PROBABILIDADE. Aula 5
Curso: Psicologia Disciplina: Métodos Quantitativos Profa. Valdinéia Data: 28/10/15 PROBABILIDADE Aula 5 Geralmente a cada experimento aparecem vários resultados possíveis. Por exemplo ao jogar uma moeda,
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? 2 ? Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 2011???? Quem será o próximo prefeito
? CARA? OU? COROA? 2
NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? 2 ?Q Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 2011???? Quem será o próximo prefeito
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE Experimento Aleatório Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos:. Resultado no lançamento de
1 Axiomas de Probabilidade
1 Axiomas de Probabilidade 1.1 Espaço amostral e eventos seja E um experimento aleatório Ω = conjunto de todos os resultados possíveis de E. Exemplos 1. E lançamento de uma moeda Ω = {c, c} 2. E retirada
Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória Segundo Ano do Ensino Médio Prof Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof Antonio Caminha Muniz
ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO
ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO Thiago Marzagão 1 1 marzagao.1@osu.edu PROBABILIDADE Thiago Marzagão (IDP) ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO 1/2016 1 / 51 o que é probabilidade? Thiago Marzagão
Exercícios resolvidos sobre Função de probabilidade e densidade de probabilidade
Exercícios resolvidos sobre Função de probabilidade e densidade de probabilidade Você aprendeu o que é função probabilidade e função densidade de probabilidade e viu como esses conceitos são importantes
Atenção: o conjunto vazio é representado por { } 1.2 Pertinência e Inclusão
Módulo 1 Conjuntos A Teoria dos Conjuntos foi estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Cantor (1845 1918). Em meados do século XX, a Teoria dos Conjuntos exerceu profundos efeitos sobre o ensino da Matemática.
Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística
Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. http://lesoliveira.net Conceitos Básicos Estamos
Probabilidade - aula I
e 27 de Fevereiro de 2015 e e Experimentos Aleatórios e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Entender e descrever espaços amostrais e eventos para experimentos aleatórios. Interpretar
MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03
MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03 1 1) (FGV-SP 2008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus é 30% e, de moto,
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ao conjunto de todos os resultados possíveis, de uma eperiência aleatória, chamamos espaço amostral e representamos por S. Define-se acontecimento como sendo um subconjunto
Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina Coordenadoria de Informática Disciplina: Probabilidade e Estatística Prof. Leandro Melo de Sá
Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina Coordenadoria de Informática Disciplina: Probabilidade e Estatística Prof. Leandro Melo de Sá 2006/2 Unidade 2 - PROBABILIDADE Conceitos básicos * Probabilidade:
Lógica e Raciocínio. Decisão sob Risco Probabilidade. Universidade da Madeira. http://dme.uma.pt/edu/ler/
Lógica e Raciocínio Universidade da Madeira http://dme.uma.pt/edu/ler/ Decisão sob Risco Probabilidade 1 Probabilidade Em decisões sob ignorância a probabilidade dos diferentes resultados e consequências
MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBBILIDDE Quando estudamos algum fenômeno através do método estatístico, na maior parte das vezes é preciso estabelecer uma distinção entre o modelo matemático que construímos para
Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.
Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.) PROBABILIDADE Dizemos que a probabilidade é uma medida da quantidade de
O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.
ESTATÍSTICA INDUTIVA 1. CORRELAÇÃO LINEAR 1.1 Diagrama de dispersão O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um gráfico, denominado diagrama de dispersão.
INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1
1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1. Origem histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar,
elementos. Caso teremos: elementos. Também pode ocorrer o seguinte fato:. Falsa. Justificativa: Caso, elementos.
Soluções dos Exercícios de Vestibular referentes ao Capítulo 1: 1) (UERJ, 2011) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na
MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Definições Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória representa um valor numérico possível de um evento incerto. Variáveis aleatórias
Estatística Descritiva II
Estatística Descritiva II Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2015 Gilberto A. Paula G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Estatística Descritiva II 1 o Semestre 2015 1 / 47 Objetivos da Aula
Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE
PROBABILIDADE Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que melhor o explique. Os fenômenos
FCHS - FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS PRIAD PROGRAMA DE REVISÃO INTENSIVA EM ADMINISTRAÇÃO
FCHS - FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS PRIAD PROGRAMA DE REVISÃO INTENSIVA EM ADMINISTRAÇÃO TEMA PRIAD PROBABILIDADES E APLICAÇÕES PRÁTICAS DATA / / ALUNO RA TURMA 1) Num levantamento realizado
Lista 05. Devemos calcular a probabilidade de ser homem dado que é loiro, sendo:
Lista 05 Questão 1: Em uma turma escolar 60% dos alunos são homens e 40% são mulheres. Dentre os homens, 25% são loiros, enquanto que 45% das mulheres são loiras. Um aluno desta turma foi sorteado de maneira
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 3ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º Semestre de 2010 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) Versão Tutor
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL º Semestre de 00 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) Versão Tutor. (,0 pontos) Em uma cidade onde se publicam jornais: A, B e C, constatou-se
Matemática. Resolução das atividades complementares. M16 Probabilidade
Resolução das atividades complementares Matemática M Probabilidade p. 7 (FGV-SP) Uma urna contém quinze bolinhas numeradas de a. a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidade de que o número observado
Tipos de Modelos. Exemplos. Modelo determinístico. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas Efeito. Determinístico. Sistema Real.
Tipos de Modelos Sistema Real Determinístico Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Probabilístico Modelo determinístico Exemplos Gravitação F GM M /r Causas Efeito Aceleração
Probabilidade e Estatística I Antonio Roque Aula 11 Probabilidade Elementar: Novos Conceitos
Probabilidade Elementar: Novos Conceitos Vamos começar com algumas definições: Experimento: Qualquer processo ou ação bem definida que tenha um conjunto de resultados possíveis 1) Lançamento de um dado;
Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística:
Probabilidade 3-1 Aspectos Gerais 3-2 Fundamentos 3-3 Regra da Adição 3-4 Regra da Multiplicação: 3-5 Probabilidades por Meio de Simulações 3-6 Contagem 1 3-1 Aspectos Gerais Objetivos firmar um conhecimento
Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade
Estatística e Probabilidade Aula 4 Cap 03 Probabilidade Estatística e Probabilidade Método Estatístico Estatística Descritiva Estatística Inferencial Nesta aula... aprenderemos como usar informações para
3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes
3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 1) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/59 2 - FUNDAMENTOS 2.1) Teoria dos Conjuntos 2.2) Números
ANALISE COMBINATORIA Um pouco de probabilidade
ANALISE COMBINATORIA Um pouco de probabilidade Programa Pró-Ciência Fapesp/IME-USP-setembro de 1999 Antônio L. Pereira -IME USP (s. 234A) tel 818 6214 email:alpereir@ime.usp.br 1 Um carro e dois bodes
a) ½ b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6
PROBABILIDADE 1) (ANEEL) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião,
I. Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.)
ANÁLISE OMBINATÓRIA A principal finalidade da Análise ombinatória é estabelecer métodos de contagem. I. Princípio Fundamental da ontagem (P.F..) O P.F.., ou princípio multiplicativo, determina o número
Noções de Probabilidade e Estatística CAPÍTULO 2
Noções de Probabilidade e Estatística Resolução dos Exercícios Ímpares CAPÍTULO 2 Felipe E. Barletta Mendes 8 de outubro de 2007 Exercícios da seção 2.1 1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço
A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento.
Probabilidade A probabilidade estuda o risco e a ocorrência de eventos futuros determinando se existe condição de acontecimento ou não. O olhar da probabilidade iniciou-se em jogos de azar (dados, moedas,
Distribuição de probabilidades
Luiz Carlos Terra Para que você possa compreender a parte da estatística que trata de estimação de valores, é necessário que tenha uma boa noção sobre o conceito de distribuição de probabilidades e curva
Probabilidade - 7/7/2018. Prof. Walter Tadeu
Probabilidade - 7/7/018 Prof. Walter Tadeu www.professorwaltertadeu.mat.br Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado.
Raciocínio Lógico para o INSS Resolução de questões Prof. Adeilson de melo REVISÃO 01 - conjuntos e porcentagens
APRESENTAÇÃO Olá, prezados concursandos! Sejam bem-vindos à resolução de questões de Raciocínio Lógico preparatório para o INSS. Mais uma vez, agradeço ao convite do prof. Francisco Júnior pela oportunidade
Bom serviço dentro da garantia Serviço deficiente dentro da garantia Vendedores de determinada marca de pneus 64 16
Lista de Probabilidade Básica com gabarito 1. Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, em relação ao sexo das mesmas, segundo a ordem de nascimento. (a)determine o
Processos Estocásticos
Processos Estocásticos Segunda Lista de Exercícios 01 de julho de 2013 1 Uma indústria fabrica peças, das quais 1 5 são defeituosas. Dois compradores, A e B, classificam os lotes de peças adquiridos em
AULA 2 AULA4 Introdução à Teoria das Probabilidades
UL UL4 Introdução à Teoria das robabilidades rof. itor Hugo Lahos Davila Coneitos ásios Experimento leatório ou Fenômeno leatório Situações ou aonteimentos ujos resultados não podem ser previstos om erteza.
CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral
CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral O que é uma amostra? É um subconjunto de um universo (população). Ex: Amostra de sangue; amostra de pessoas, amostra de objetos, etc O que se espera de uma amostra?
MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 18 PROBABILIDADE DE MAIS DE UM EVENTO
MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 18 PROBABILIDADE DE MAIS DE UM EVENTO Como pode cair no enem (ENEM) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT GABARITO da 3 a Avaliação Nacional de Aritmética - MA14-21/12/2013 Questão 1. (pontuação: 2) (1,0) a) Enuncie e demonstre
Atividade à Distância Avaliativa - Probabilidade. 1 Probabilidade - Operações e Propriedades
Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Professora: Camila M. L Nagamine Bioestatística Atividade à Distância Avaliativa - Probabilidade Se ouço, esqueço; se vejo, recordo; se faço, aprendo. (Provérbio
Cap. 4 - Probabilidade
statística para Cursos de ngenharia e Informática edro lberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / ntonio Cezar Bornia São aulo: tlas, 2004 Cap. 4 - robabilidade OIO: undação de Ciência e Tecnologia de Santa
Raciocínio Lógico-Quantitativo Correção da Prova APO 2010 Gabarito 1 Prof. Moraes Junior RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 1 - Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se
Exemplos de Problemas Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem. Professor: Flávio dos Reis Moura Skype; mineironegrogalo75
Exemplos de Problemas Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem Professor: Flávio dos Reis Moura Skype; mineironegrogalo75 Este material tem por objetivo ajudar o aluno a aplicar o Princípio Fundamental
Introdução à Probabilidade e Estatística
Professor Cristian F. Coletti Introdução à Probabilidade e Estatística (1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos. a Uma moeda é lançada duas vezes
O que é a estatística?
Elementos de Estatística Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira Departamento de Estatística - UFJF O que é a estatística? Para muitos, a estatística não passa de conjuntos de tabelas de dados numéricos. Os
MATEMÁTICA LISTA 1 - CONJUNTOS PROBLEMAS
MATEMÁTICA Prof. Sabará LISTA 1 - CONJUNTOS PROBLEMAS 1. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realiada numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto
AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos?
Questão 1. Num porta-cds, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formando uma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 de música clássica. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de
MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Triângulo de Pascal Propostas de resolução
MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Triângulo de Pascal Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. A linha do triângulo de Pascal em que a soma dos dois primeiros elementos
a) C D. b) C D. c) (A B) (C D). d) (A B) (C D).
Conjuntos e Conjuntos Numéricos Exercícios 1. Uma pesquisa de mercado foi realizada, para verificar a preferência sobre três produtos, A, B e C. 1.00 pessoas foram entrevistadas. Os resultados foram os
Exercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes
Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Para ampliar sua compreensão sobre probabilidade total e Teorema de Bayes, estude este conjunto de exercícios resolvidos sobre o tema.
Estatística Descritiva I
Estatística Descritiva I Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2016 Profs. Fábio P. Machado e Gilberto A. Paula MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Estatística Descritiva I 1 o Semestre 2016
Provas resolvidas do ISS-SP Matemática Financeira Estatística Lógica Professor Joselias joselias@uol.com.br - http://professorjoselias.blogspot.
PROVA RESOLVDA DO CONCURSO DE FSCAL DO SS-SP ESTATÍSTCA- RACOCÍNO LÓGCO E MATEMÁTCA FNANCERA Questão 51. Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88
INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1 o Semestre Ficha de Exercícios - Teoria das Probabilidades 2009/2010
Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz
setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n
Matemática SSA 2 REVISÃO GERAL 1
1. REVISÃO 01 Matemática SSA REVISÃO GERAL 1. Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm s. A altura do cone mede cm, e o raio de sua base