Lógica e Raciocínio. Decisão sob Risco Probabilidade. Universidade da Madeira.

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1 Lógica e Raciocínio Universidade da Madeira Decisão sob Risco Probabilidade 1

2 Probabilidade Em decisões sob ignorância a probabilidade dos diferentes resultados e consequências são desconhecidas. Porém, em muitas situações, temos alguma percepção sobre a probabilidade Se numa decisão consideramos as probabilidades dos diferentes resultados, chamamos a este processo decisão sob risco. Probabilidade - Introdução A probabilidade dum evento A é denotada P(A). P(A) pode ser derivada do facto que a frequência relativa de tentativas repetidas fica perto deste número. Por exemplo, se um dado é lançado que a probabilidade de uns cinco é 1/6. Depois de muitos lances (se o dado estiver equilibrado) aproximadamente um em seis de todos os lançamentos é cinco. 2

3 Espaço de Resultados Um resultado é o desenlace duma tentativa feita ao acaso (random) O Espaço de Resultados é o conjunto de todos os possíveis resultados. Pode ser representado num diagrama de Venn Ω Fig 1. Espaço de Resultados Ω Intersecção e União A A B Fig 2. O evento A Fig 3. A intersecção A B (A e B acontecem) A B Fig 4. A união A B (A ou B ou ambas) 3

4 Outros Eventos Eventos Complementares (e.g. A c ou A), Conjunto vazio (Ø) Eventos disjuntos ( A e B não podem acontecer juntos) A A c A B Fig 5. Eventos Complementares (A c or A) Fig 6. Eventos disjuntos (A B = 0) Teoria da Probabilidade Se um evento A = Ω, então A é certo, o que significa que a probabilidade desse evento é 100% Se dois eventos A e B são disjuntos, então P(A B) = P(A) + P(B). 4

5 Axioma de Kolmogorov 0 P(A) 1, para todo evento A P(A A C ) = 0 e P(A A C ) = 1, para todo evento A. P(X Y) = P(X) + P(Y) P(X Y) Teoria da Probabilidade: Exemplo Uma moeda é jogada no ar duas vezes. O espaço de resultados é Ω: u 1 : CaCa; u 2 : CaCo; u 3 : CoCa; u 4 : CoCo Podemos definir diferentes eventos, por exemplo: A: Pelo menos obtemos uma cara. B: A primeira jogada é cara C: A segunda jogada é coroa D: Só foram obtidas coroas. A = {u 1, u 2, u 3 } B = {u 1, u 2 } C = {u 2, u 4 } D = {u 4 } 5

6 Teoria da Probabilidade: Exemplo A = {u 1, u 2, u 3 } B = {u 1, u 2 } C = {u 2, u 4 } D = {u 4 } Podemos inferir, entre outras, as seguintes relações: B é um subconjunto de A (B A), A éo complemento de D (A C = D), a união dos eventos A e D são o espaço de resultados (A D = Ω), a intersecção de B e C é(b C = {u 2 }). Variáveis Estocásticas Variáveis aleatórias ou estocásticas: Una quantidade o qual valor determina-se como resultado dum experimento Podemos ter duas categorias Discreta, entre duas variáveis X e Y podem não existir valores intermédios Continua, entre duas variáveis X e Y existem infinitos valores intermédios 6

7 Variáveis Estocásticas Mais formalmente uma variável estocástica pode ser vista como uma função a partir dum domínio, por exemplo Por exemplo, se X é a variável estocástica no domínio {rato, cão, gato} P(X) = <30%,60%,10%> á a sua distribuição de probabilidade. Se X(rato) = 10, X(cão) = 20, X(gato) = 30, podemos fazer observações do tipo P(X = 10) = 30%, P(X > 10) = 70%, P(0 X 30) = 100% Distribuição de Probabilidade P(X = 10) = 30%, lê-se a probabilidade de que a variável assuma o valor 10 é 30% P(X > 10) = 70%, lê-se a probabilidade de que a variável assuma um valor maior que 10 é 70% 7

8 Interpretação das Probabilidades Visão Clássica: É a visão objectiva e matemática, a que melhor se aplica nos casos onde o espaço de resultados é perfeitamente conhecido Um problema da visão clássica é a carência de conteúdo empírico. Visão de frequência relativa: Consiste numa visão objectiva e empírica que foi desenvolvida em resposta a visão clássica. Define a probabilidade em termos de eventos actuais Interpretação das Probabilidades Visão Subjectiva: É uma tentativa para desenvolver uma noção de probabilidade que afronta todos estes desafios. Probabilidades subjectivas são avaliações pessoais. 8

9 Probabilidade condicional A Probabilidade condiciona é utilizada para representar o que acontece quando nova informação é adicionada. A probabilidade condicional denota-se P(A B). P( chuva muito nublado ) = 70% Probabilidade condicional A probabilidade condicional é muito importante em aplicações de decisão analítica, onde lidamos com o valor da nova informação A fórmula para a probabilidade condicional: P(B A) = P(A B)/P(A) ), sendo P(A) > 0. Em palavras, significa qual é a probabilidade condicional de B, assumindo que acontece A 9

10 Probabilidade condicional Podemos derivar a fórmula P(A B) = P(A)*P(B A), Que é chamada regra de produção Probabilidade condicional Homem Mulher Total Câncer de Prostata No Câncer de Prostata Total P(prost. câncer)= 600/2400= 0,25 P(prost. câncer, homem)= 600/1400= 0,

11 Probabilidade condicional Baseado na tabela precedente, a probabilidade de uma pessoa qualquer do grupo ter câncer de próstata é P(pros. câncer) = 25%. Se escolhemos a priori um homem a probabilidade é P(pros. câncer homem) = 43%. E.g. P(pros. câncer homem) > P(pros. câncer) Eventos Independentes Dois eventos são independentes se A e B são tais que P(B A) = P(B). Isto significa que a probabilidade de B não muda pelo facto de acontecer A. 11

12 Regra de Bayes Dada as duas fórmulas da regra do produto: P(A B) = P(A B) P(B) P(A B) = P(B A) P(A) Igualando e dividindo as equações por P(A), obtém-se: P(B A) = P(A B) P(B) / P(A) Esta equação é conhecida como Regra de Bayes (Lei de Bayes ou Teorema de Bayes) que representa a base da maioria dos sistemas para inferência ou decisão probabilística Regra de Bayes (cont.) Um caso simples: diagnóstico médico Suponha que a meningite cause, em 50% dos casos, torcicolo em um paciente - P(T M) = 0.5 Suponha que a probabilidade de um paciente ter meningite - P(M) = 1/ E a probabilidade de um paciente ter torcicolo - P(T) = 1/20 Deseja saber P(M T)? P(M T) = P(T M)P(M) = 0.5 x 1/ = P(T) 1/20 12

13 Conclusão As probabilidades oferecem poderosas ferramentas na hora de tomar decisões. Porém adoecem de algumas dificuldades práticas, sendo a principal o desconhecimento do espaço de resultados e as probabilidade exacta de cada resultado FIM 13