Cap. 4 - Probabilidade

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1 statística para Cursos de ngenharia e Informática edro lberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / ntonio Cezar Bornia São aulo: tlas, 2004 Cap. 4 - robabilidade OIO: undação de Ciência e Tecnologia de Santa Catarina UNCITC Departamento de Informática e statística IN/CTC/USC

2 Incerteza e robabilidade Tomar decisões: Curso mais provável de ação: Se desejamos passear de barco e não sabemos nadar, devemos usar um salva-vidas. Se não confiamos na continuidade do fornecimento de energia elétrica, devemos ter lanternas e pilhas ou velas e fósforos em casa. Incerteza: or mais medo que se tenha, ou por mais revolto que seja o mar, pode não acontecer nada no seu passeio de barco. or pior que seja a concessionária de energia elétrica pode não faltar energia...

3 Incerteza e robabilidade Questão chave: como QUNTIICR a incerteza para auxiliar a tomada de decisões. Há vários métodos: um deles é a robabilidade

4 Modelos probabilísticos Construção de modelos de probabilidade para entender melhor os fenômenos aleatórios

5 xperimentos aleatórios xperimentos aleatórios são aqueles nos quais: NTS do experimento ocorrer não se pode definir qual será o seu resultado. Quando é realizado um grande número de vezes, ele apresenta uma regularidade, que possibilita construir um modelo para prever seus resultados. xemplos Consumo de energia elétrica em uma cidade. Resultados de jogos que envolvam sorteio não viciados. Número de pessoas que chegarão em um banco nas próximas 2 horas.

6 Modelos probabilísticos Definição do experimento Definição dos resultados possíveis do experimento Definição de uma regra que obtenha a probabilidade de cada resultado ocorrer.

7 spaço amostral O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω. Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável; é dito contínuo quando for infinito, formado por intervalos de números reais.

8 spaço mostral Consumo de energia elétrica em uma cidade. Ω: {nergia/otência 0 MWh ou MW} Resultados de jogos que envolvam sorteio não viciados. Ω: {possíveis resultados} Número de pessoas que chegarão em um banco nas próximas 2 horas. Ω: {0, 1, 2,...}

9 ventos Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral: é um evento Ω

10 Operações entre eventos a União: B b interseção: B c complementar: B Ω Ω Ω B

11 Operações entre eventos Operação Conjunto vento a União B b Interseção B c Complementar reúne os elementos de ambos os conjuntos formado somente pelos elementos que estão em e B formado pelos elementos que não estão em ocorre quando ocorrer pelo menos um deles, B ou ambos ocorre quando ocorrer ambos os eventos e B ocorre quando não ocorrer o evento não

12 ventos mutuamente exclusivos ventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente. e B são mutuamente exclusivos B B Ω

13 xemplo de operações com eventos xperimento aleatório: potência elétrica em MW demandada por uma cidade em um momento. Operações com os eventos: Mais de 100 MW > 100 MW. B ntre 50 e 100 MW MW. C Mais de 80 MW > 80 MW. D B B B C Representar geometricamente. G B C

14 xemplo de operações entre eventos D B 50 MW B 0 50 B 100 B Ø, e B são mutuamente exclusivos. B C 50 < 80 MW B C C 0 50 B

15 xemplo de operações entre eventos G B C 50 < 80 MW B C C 0 50 B G B C

16 robabilidade de eventos spaços amostrais discretos equiprováveis Definição clássica: n n sendo: n resultados igualmente prováveis, n destes resultados pertencem a um certo evento

17 robabilidade de eventos spaços amostrais discretos Se Ω {ω 1, ω 2, ω 3,... }, então: i: ϖ i ω i

18 robabilidade de eventos locação de probabilidades em função de observações passadas: f n n reqüência relativa lim n f lim n n n

19 xiomas da robabilidade Seja um experimento aleatório com um espaço amostral Ω associado a ele, e seja i i 1, 2,...n um evento genérico. probabilidade de ocorrência de i será um número real tal que: 0 i 1 Ω 1 Se 1, 2,..., n são eventos mutuamente exclusivos, então n Σ i

20 0 ropriedades Ω 1 robabilidade do evento complementar 1 Ω

21 ropriedades ropriedades Regra da soma das probabilidades B B B + Ω B B

22 robabilidade condicional. x. de motivação Tipo do leite Condição do peso B B C C UHT U Total dentro das especificações D fora das especificações Total ,051 Qual é a probabilidade que esteja fora das especificações, sabendo-se que é leite do tipo UHT? 50 U ,032 U U U

23 robabilidade condicional Sejam e B eventos quaisquer, sendo B > 0. Definimos a probabilidade condicional de dado B por B B B Sejam e B eventos quaisquer, sendo > 0. Definimos a probabilidade condicional de B dado por B B

24 robabilidade condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? Champignon Calabresa 3/ 8 3 Champignon Calabresa Calabresa 5 / 8 5 Champignon Calabresa 3/ 8 3 Calabresa Champignon Champignon 4 / 8 4

25 robabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? Champignon Calabresa 2 / 8 2 Champignon Calabresa Calabresa 4 / 8 4 Champignon Calabresa 2 / 8 2 Calabresa Champignon BRBTT, RIS e BORNI statística para Cursos Champignon de ngenharia e Informática. tlas, 4 /

26 robabilidade condicional. xemplo Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a observação das faces voltadas para cima. Calcule a probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma é menor ou igual a 5. 1, 1 2, 1 3,1 Ω 4, 1 5,1 6, 1 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, 2 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6, 3 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4 6, 4 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 5, 5 6, 5 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5, 6 6, 6 1 faces iguais {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6} 2 soma das faces é menor ou igual a 5 {1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 4, 1}.

27 robabilidade condicional. xemplo ,2 0,33

28 Regra do produto Regra do produto B B B B B B B B B B ou

29 ventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso: B e B são independentes B B

30 Teorema da probabilidade total Ilustração da formação de um lote de peças provindas de 4 fornecedores ornecedor: eças não conformes Grupo de peças extraídas para a formação do lote

31 Teorema da probabilidade total Teorema da probabilidade total k... ]... [ k k k i i i 1

32 Teorema de Teorema de Bayes Bayes i i i i i

33 xercício pós um longo processo de seleção para preenchimento de duas vagas de emprego para engenheiro, uma empresa chegou a um conjunto de 9 engenheiros e 6 engenheiras, todos com capacitação bastante semelhante. Indeciso, o setor de recursos humanos decidiu realizar um sorteio para preencher as duas vagas oferecidas. a Construa o modelo probabilístico para esta situação. b Qual é a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo? c Sabendo-se que ambos os selecionados são do mesmo sexo, qual é a probabilidade de serem homens? Livro-texto, ágina 114.

34 Árvore de probabilidades 8/14 HH 9 H, 6 M 9/15 8H, 6M 6/14 HM Ω 6/15 9H, 5M 9/14 MH 5/14 MM

35 Modelo probabilístico 9 8 H H H H / H , H M H M / H , M H M H / M , M M M M / M ,1429

36 robabilidade mesmo sexo Mesmo sexo {[ H H] [ H M] [ M H] [ M M]} [H H] M M] H H + M M H H / H + M M / , M

37 robabilidade homens, sabendo que são do mesmo sexo [H H / ] H H [ /H H] 0,3429 [H H / ] 0,4858 0,7058

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