Probabilidade 1. José Carlos Fogo

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Probabilidade 1. José Carlos Fogo"

Transcrição

1 Probabilidade 1 José Carlos Fogo Junho 2014

2 Sumário Sumário 1 Conceitos Básicos e Definições Relações entre conjuntos Algumas definições em probabilidade: Medidas de probabilidade Axiomas de Kolmogorov e espaço de probabilidade Propriedades das probabilidades Probabilidade condicional e teorema de Bayes Probabilidade condicional Teorema de Bayes Independência de eventos Contagem Amostras ordenadas Permutações Amostras Desordenadas Partições Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas Principais modelos de discretos Variável Aleatória Constante Distribuição uniforme discreta Distribuição de Bernoulli Distribuição binomial Distribuição geométrica Distribuição binomial negativa Distribuição hipergeométrica Distribuição de Poisson Distribuições discretas no R Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta Valor esperado de uma v.a. discreta Propriedades de Esperança Variância de uma v.a. discreta Propriedades de Variância Covariância e coeficiente de corelação

3 Conceitos Básicos e Definições 1 Conceitos Básicos e Definições Estudos de fenômenos ou experimentos aleatórios Busca-se avaliar a probabilidade de ocorrência desses fenômenos. APLICAÇÕES: teoria dos jogos controle de defeitos teoria da decisão evolução de doenças evolução do crescimento populacional indústria bélica 1.1 Relações entre conjuntos i) UNIÃO: Notação A B, sejam A e B eventos quaisquer, a união entre A e B é dada pelos elementos que pertencem a A ou a B ; ii) INTERSECCÃO: Notação A B ou AB, sejam A e B conjuntos quaisquer, a intersecção entre A e B é dada pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B ; iii) COMPLENTAR: Notação A c ; sejam A e B conjuntos tais que A B, então, o evento complementar A c de A, em relação à B, é dado pelos elementos de B que não pertencem a A, ou seja, A A c = B; iv) DIFERENÇA: Notação B A; sejam A e B conjuntos quaisquer, então, a diferença B A é dada pelos elementos de B que não pertencem a A, ou seja, B A = B A c = BA c ; Nota: Se B A, então, B A = A c ; v) DIFERENÇA SIMÉTRICA: Notação A B; é dada pelos elementos que pertencem exclusivamente a A ou a B, ou seja, A B = (A B c ) (A c B) = (A B) (B A); 3

4 Conceitos Básicos e Definições vi) CONJUNTOS DISJUNTOS: dois conjuntos A e B são disjuntos, ou mutuamente exclusivos, se a intersecção entre eles é vazia, ou seja, A B = ; vi) PARTIÇÃO: os conjuntos A 1, A 2,..., A k Ω formam um partição de Ω se são disjuntos dois-a-dois e se a união entre eles é igual a Ω, ou seja A i A j =, i j; k A i = Ω. vi) LEIS DE MORGAN: considere uma sequência qualquer de eventos A 1, A 2,..., então, segundo as leis de Morgan, valem as relações ( ) c A i = A c i; ( ) c A i = A c i. DEMONSTRAÇÃO VISUAL DAS LEIS DE MORGAN: Ω A B AUBUC C (AUBUC) c Figura 1.1: Diagrama de Venn para a união ( A B C ) c Ω A Ω B Ω C c A c B c C Figura 1.2: Eventos complementares A c, B c e C c, respectivamente 4

5 Conceitos Básicos e Definições Ω A B C Figura 1.3: Diagrama de Venn para a intersecção A c B c C c DEMONSTRAÇÃO FORMAL DAS LEIS DE MORGAN: 1 a parte (Magalhães ou Hoel) IDEIA: mostrar que ( ) c i) A i A c i ; ( ) c ii) A i A c i. RESULTADO: Sejam A e B conjuntos quaisquer, então, se A B e A B = A = B. Prova da parte (i): Seja w ( A i ) c = w / A i = w / A i, i = 1, 2,... Desta forma, w A c i, i = 1, 2,... = w A c i, o que prova a parte (i). Prova da parte (ii): Seja w A c i = w A c i = w / A i, i = 1, 2,... Desta forma, w / A i, i = 1, 2,... = w ( A i ) c, 5

6 Conceitos Básicos e Definições o que prova completa a prova. 1.2 Algumas definições em probabilidade: a) EXPERIMENTO ALEATÓRIO: é um experimento no qual todos os resultados possíveis são conhecidos antecipadamente; uma realização do experimento resulta num dos possíveis resultados; pode ser repetido em condições idênticas. Exemplo: Considere uma caixa com b bolas numeradas de 1 a b. Uma bola é retirada e seu número é anotado. b) ESPAÇO AMOSTRAL: é o conjunto dos resultados possíveis para um experimento aleatório. É denotado por Ω. Pode ser: Finito: formado por um conjunto finito de pontos; i) Discreto Infinito: conjunto infinito e enumerável de pontos; ii) Contínuo: formado por um conjunto não enumerável de pontos. Exemplo: No experimento da retirada de uma bola de uma da caixa, Ω é um espaço amostral finito dado pelo conjunto com b pontos, no caso Ω = { 1, 2,..., b }. c) EVENTO: um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral Ω, associado a um experimento. Notas: 1) Os eventos serão identificados por letras de fôrma e maiúsculas do algarismo arábico, por exemplo A, B, C,.... 2) Aos eventos é que serão associadas probabilidades; Exemplo: Na retirada de uma bola da caixa seja o evento A definido por: A = {o resultado é um número par}. Casos Especiais: 6

7 Conceitos Básicos e Definições i) Evento Complementar: Seja um evento qualquer A Ω, então, seu evento complementar A c será definido pelos elementos de Ω que não estão em A. Um evento A e seu complementar A c são tais que A A c = Ω. ii) Eventos Disjuntos: Dois eventos quaisquer A e B são disjuntos, ou mutuamente exclusivos se A B =. iii) Eventos Elementares: Seja um espaço amostral finito Ω = {ω 1, ω 2,..., ω N }, em que ω i, i = 1, 2,..., N são resultados elementares. Um evento formado por um resultado elementar é chamado evento elementar. Neste caso, A i = {ω i }, i = 1, 2,..., N, são eventos elementares. Notas: 1) Sejam dois eventos elementares A i e A j, i j, então, A i A j = ; 2) Qualquer evento pode ser escrito como uniões de eventos elementares. Particularmente, Ω = A 1 A 2... A N. Como o espaço amostral é finito, será associada uma probabilidade p i = 1/N para cada ω i, i = 1, 2,..., N. É intuitivo que 0 p i 1 e que p 1 + p p N = 1. Se, além disso, o espaço amostral for equiprovável (ou homogêneo), então, p i = 1 N ω i Ω, i = 1, 2,..., N. d) σ-álgebra: Seja uma coleção não vazia A de subconjuntos de Ω aos quais desejamos associar probabilidades. Então A deve ser tal que, se A e B A, faz sentido calcular probabilidades de que i) A ou B ocorra, ou seja, (A B); ii) A e B ocorram, ou seja, (A B); iii) não ocorra A, ou seja, A c. Portanto, para A e B A, se A atender às propriedades: 7

8 Conceitos Básicos e Definições i) Ω A ; ii) se A A = A c A ; iii) se A A e B A = (A B) A. então A é dita ser uma álgebra de subconjuntos (eventos) de Ω. Além disso, deseja-se que A seja fechada também para um número infinito e enumerável de operações (uniões e intersecções). Definição: A é uma σ-álgebra de subconjuntos (eventos) de Ω se, e só se i) Ω A ; ii) se A A = A c A ; iii) se A 1, A 2,... A = A i A. Notas: 1) toda σ-álgebra é uma álgebra, porém, nem toda álgebra é uma σ-álgebra; 2) Seja A uma σ-álgebra de Ω, então, se A 1, A 2,... A = A i A. Exemplo: 1) Considere o lançamento de uma moeda, então Ω = { cara, coroa } A 1 = {, Ω } menor σ-álgebra; A 2 = {, {cara}, {coroa}, Ω } σ-álgebra, classe de todos os subconjuntos de Ω. Exemplo: 2) Considere o espaço amostral Ω = { 1, 2, 3 } A 1 = {, Ω, {1}, {2, 3} } é uma σ-álgebra (todos os complementares e uniões estão presentes). A 2 = {, Ω, {1}, {2}, {1, 3}, {2, 3} } não é σ-álgebra pois: {1} {2} / A 2 (todos os complementares estão presentes, mas não todas as uniões). 8

9 Conceitos Básicos e Definições 1.3 Medidas de probabilidade a) EM ESPAÇOS FINITOS: número de resultados favoráveis a um evento, dividido pelo número de resultados possíveis, assumindo que todos os resultados seja equiprováveis P (A) = card(a) card(ω) em que Ω é o conjunto de resultados possíveis (espaço amostral). b) GENERALIZAÇÃO PARA ESPAÇOS INFINITOS: se Ω é uma região com uma medida bem definida, então P (A) = medida de A medida de Ω Exemplo: Um indivíduo realiza um tiro ao acaso num alvo circular de raio R. Qual a probabilidade de que acerte o círculo central de raio r (r < R)? R P (A) = área central (A) área do alvo (Ω) Ω A r ( P (A) = πr2 r ) 2 πr = 2 R Axiomas de Kolmogorov e espaço de probabilidade A definição a seguir é conhecida como Axiomas de Kolmogorov (Kolmogorov, 1933) e define uma medida de probabilidade. MEDIDA DE PROBABILIDADE: Seja Ω um espaço amostral e A uma σ-álbegra de eventos de Ω. P (.) é uma medida de probabilidade em (Ω, A ) se satisfaz i) P (A) 0, A A ; ii) P (Ω) = 1; 9

10 Conceitos Básicos e Definições ( ) iii) se A 1, A 2,... formam uma seqüência disjunta, então P A i = P (A i ). A trinca formada por (Ω, A, P ) é chamada de ESPAÇO DE PROBABILIDADE. Um espaço de probabilidade é formado por um espaço amostral Ω, uma σ-álgebra de eventos de Ω e uma medida de probabilidade P (A) A A. Exemplo: 1) Número de ocorrências de um fenômeno. Espaço amostral: Ω = { 1, 2, 3,... }; σ-álbegra: A = classe dos subconjuntos de Ω; Medida de probabilidade: P (k) = 1, k = 1, 2,... 2k Checar os axiomas: i) P (A) é dada pela soma de probabilidades de eventos elementares ω i A, i = 1, 2,... = P (A) 0, A; ii) P (k) = 1/2 1 1/2 = 1 = P (Ω) = 1; iii) A união de eventos disjuntos, forma um conjunto ao se aplica o resultado (i), que equivale à soma das suas probabilidades individuais. Exemplo: 2) Tempo de vida de pacientes. Espaço amostral: Ω = { T R 0 T < }; σ-álbegra: A = σ-álbegra de Borel; Medida de probabilidade: P (A) = e x dx, em que A Ω são intervalos no conjunto dos reais. A 10

11 Conceitos Básicos e Definições 1.4 Propriedades das probabilidades Considere que os conjuntos abaixo seja, eventos no espaço de probabilidade (Ω, A, P ). Então, tem-se que a) P (A) = 1 P (A c ); Nota: caso especial P ( ) = 1 P (Ω) = 0. b) Sejam A e B eventos quaisquer, então P (B) = P (B A) + P (B A c ). PROVA: i) para todo conjunto A tem-se que A A c = Ω. ii) Como B = B Ω = B (A A c ) = (B A) (B A c ) iii) e como (B A) e (B A c ) são disjuntos, segue-se que P (B) = P (B A) + P (B A c ). Nota: Se A B, então A B = A e P (B) = P (A) + P (B A c ). c) Se A B, então P (A) P (B). PROVA: Sai direto da relação anterior e dos axiomas. d) Se A e B são eventos quaisquer, então P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). A B A B c A B A c B Ω Figura 1.4: (A B) como união de conjuntos disjuntos 11

12 Conceitos Básicos e Definições PROVA: i) Os conjuntos (A B c ), (A B) e (A c B) são disjuntos, logo. A B = (A B c ) (A B) (A c B), P (A B) = P (A B c ) + P (A B) + P (A c B). ii) Tem-se, ainda, que P (A) = P (A B c ) + P (A B) e P (B) = P (A c B) + P (A B). iii) Somando-se as probabilidades em (ii) obtem-se P (A) + P (B) = P (A B c ) + P (A c B) + P (A B) + P (A B), e, de (i) tem-se que P (A) + P (B) = P (A B) + P (A B), de onde se conclui que = P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Notas: 1) Da relação (d) segue-se que P (B A) P (A) + P (B); 2) Se A e B são disjuntos, então P (B A) = P (A) + P (B). n e) Das propriedades (c) e (d) tem-se P ( A i ) n P (A i ). PROVA: Por indução. g) Das leis de Morgan tem-se que ( n ) ( n P A i = 1 P A c i ). g) PARTE 1: Se A 1 A 2... e A = PARTE 2: Se A 1 A 2... e A = A i ou A i, então segue-se que lim n P (A n ) = P (A). PROVA: (PARTE 1) seja B 1 = A 1 ; 12

13 Conceitos Básicos e Definições para n 2, seja B n o conjunto de pontos que estão em A n mas não estão em A n 1, ou seja B n = A n A c n 1 ; os conjuntos B n, n = 1, 2,... são todos mutuamente exclusivos e, ainda n A n = B i e A = B i ; conseqüentemente: n a) P (A n ) = P (B i ), b) P (A) = P (B i ). Desta forma, aplicando-se o limite para n em (a), tem-se o que completa a prova. lim P (A n) = lim n n = n P (B i ) P (B i ) de (b) = P (A), PROVA: (PARTE 2) Exercício. observar que A 1 A 2... A c 1 A c Exemplo: 1) Um dado equilibrado é lançado k = 2 vezes e os resultados anotados. O espaço amostral para o experimento é: Ω = { ω = (i, j) R 2 i = 1,... 6 e j = 1,..., 6 } Sejam: A = classe de todos os subconjuntos de Ω e P = probabilidade uniforme para todos os pontos de Ω, ou seja, P ({ω}) = O número de eventos elementares w s é dado por card(ω) = n k, em que 1 card(ω). n total de resultados possíveis em uma realização do experimento, no caso n = 6, k é o número de realizações do experimento, no caso k = 2. Nesse caso, tem-se: card(ω) = 36 P ({ω}) = 1 36, ω Ω. Considere os eventos: A = a soma dos resultados é um número ímpar; 13

14 Conceitos Básicos e Definições B = o resaultado do primeiro lançamento é um número ímpar; C = o produto é um número ímpar. Encontrar P (A B) e P (A B C). Pontos favoráveis a cada um dos eventos: A = { (1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6), (2,1), (4,1), (6,1), (2,3), (4,3), (6,3), (2,5), (4,5), (6,5) }; B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) }; C = { (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) }. Resultados: card(a) = 18 = P (A) = = 1 2 ; card(b) = 18 = P (B) = = 1 2 ; card(c) = 9 = P (C) = 9 36 = 1 4. Intersecções: i) A B = { (1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6) } P (A B) = 1 4 ; ii) A C = { } P (A C) = 0; iii) como C B, segue-se que B C = C, P (B C) = P (C) = 1 4 ; iv) de (ii), tem-se que A B C = { } P (A B C) = 0; Da propriedade (d), tem-se que: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = 3 4 Para encontrar P (A B C) utiliza-se, ainda, a propriedade (d) fazendo: P (A B C) = P [(A B) C] = P (A B) + P (C) P [(A B) C] = P (A) + P (B) P (A B) + P (C) P [(A B) (B C)] = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) = =

15 Conceitos Básicos e Definições Esse problema pode ser resolvido escolhendo-se um outro espaço amostral. O lançamento de um dado pode ser representado por p se o resultado for par e por i se o resultado for ímpar. Assim sendo, o novo espaço amostral pode ser escrito por: Ω 1 = { (p, p), (p, i), (i, p), (i, i) } Como o espaço amostral original Ω é um espaço equiprovável, é fácil verificar que: P [(p, p)] = P [(p, i)] = P [(i, p)] = P [(i, i)] = 1 4. Pontos favoráveis a cada um dos eventos: A = {(p, i), (i, p)} = P (A) = 2 4 = 1 2 ; B = {(p, i), (i, i)} = P (B) = 2 4 = 1 2 ; C = {(i, i)} = P (C) = Probabilidade condicional e teorema de Bayes Em muitas situações, conhecimentos passados podem influenciar as probabilidades dos eventos. Por exemplo, a probabilidade de chuva num determinado dia pode ser influenciada se choveu no dia anterior. Sejam A e B eventos quaisquer associados ao espaço de probabilidade (Ω, A, P ), então, para todo ω Ω, se ω B, então ω A ω (A B). Em outras palavras, sabendo que o evento B ocorreu, então, o evento A ocorre se, e só se, ocorre a intersecção A B. Nesse caso, tem-se um novo espaço amostral dado pelo evento B, uma nova σ-álgebra A B e uma nova medida de probabilidade P B, aplicada em subconjuntos de A B, satisfazendo os axiomas de Kolmogorov P B = P (A B). P (B) Portanto, (B, A B e P B ) formam um novo espaço de probabilidade. Prova: A prova fica como exercício para o leitor. 15

16 Conceitos Básicos e Definições Esquematicamente: A A B B Ω Figura 1.5: Evento condicional Probabilidade condicional Sejam os eventos A e B tais que P (B) > 0, então, define-se a probabilidade condicional de B dado que ocorreu A por P (A B) = P (A B). P (B) Notas: 1) Se P (B) = 0 = P (A B) = P (A) (Magalhães, 2004); 2) Da definição de probabilidade condicional tem-se a relação P (A B) = P (A B)P (B), conhecida como regra do produto das probabilidades. Exemplo 1) Uma caixa comtém r bolas vermelhas numeradas de 1 a r e b bolas brancas, numeradas de 1 a b. Uma bola é extraída, sua cor observada. Sabendo que a bola é vermelha, qual a probabilidade de que seja a de número 1? A caixa contém (r + b) bolas logo, a probabilidade de uma bola qualquer é Censidere os eventos: A = { a bola extraída é vermelha }, logo, P (A) = r (r + b) B = { a bola extraída é a de número 1 }, logo, P (B) = 2 (r + b) 1 (r + b). 16

17 Conceitos Básicos e Definições Como P (B A) = 1 (r + b), então, P (B A) = P (B A) P (A) = 1/(r + b) r/(r + b) = 1 r. Exemplo 2) Duas moedas idênticas são lançadas. Determine: a) A probabilidade de se obter 2 caras sabendo que se obteve cara na primeira moeda. Espaço amostral = Ω = {(c, c); (c, c); ( c, c); ( c, c)}, em que c = cara e c = coroa. Sejam os eventos: C 1 = { cara na 1 a moeda } = P (C 1 ) = P [(c, c); (c, c)] = 2 4 ; C 2 = { cara na 2 a moeda } = P (C 2 ) = P [(c, c); ( c, c)] = 2 4. Como P (C 2 C 1 ) = P [(c, c)] = 1 4, logo, P (C 2 C 1 ) = P (C 2 C 1 ) P (C 1 ) = P [(c, c)] P [(c, c); (c, c)] = 1/4 2/4 = 1 2. b) A probabilidade de se obter 2 caras sabendo que se obteve pelo menos uma cara. Neste caso os eventos são definidos por: = {sair duas caras} = C 1 C 2 ; = {sair ao menos um cara} = C 1 C 2 ; Desta forma: P (C 1 C 2 C 1 C 2 ) = P (C 1 C 2 ) P (C 1 C 2 ) = P [(c, c)] P [(c, c); (c, c); ( c, c)] = 1/4 3/4 = 1 3. Exemplo 3) (Urna de Polya) Uma caixa comtém r bolas vermelhas e b bolas brancas. Uma bola é extraída, sua cor observada e, a seguir, a bola é recolocada na caixa com mais c > 0 bolas da mesma cor. Esse procedimento é repetido m vezes. O interesse aqui consiste em saber qual a probabilidade de se extrair uma bola vermelha (ou branca) em cada uma das m retiradas. 17

18 Conceitos Básicos e Definições Sejam: i) R j : a j-ésima bola retirada é vermelha; ii) B j : a j-ésima bola retirada é branca, 1 j m. Então: R j e B j são disjuntos e na j-ésima extração tem-se [b + r + (j 1) c] bolas na urna. Para j = 1: i) P (R 1 ) = r b + r, ii) P (B 1 ) = b b + r. Para j = 2: i) P (R 2 R 1 ) = (r + c) (b + r + c) ; ii) P (R 1 R 2 ) = P (R 1 )P (R 2 R 1 ); P (R 1 R 2 ) = r (r + c) (b + r) (b + r + c). De maneira análoga, b r P (B 1 R 2 ) = (b + r) (b + r + c). Logo, a probabilidade de que se extraia uma bola vermelha na segunda retirada é: Portanto: P (R 2 ) = P (R 1 R 2 + P (B 1 R 2 ( ) ( ) ( ) ( ) r r + c b r = + b + r b + r + c b + r b + r + c ( ) ( ) r r + c = b + r b + r + c + b b + r + c ( ) ( ) r r + c + b = b + r b + r + c ( ) r = b + r 18

19 Conceitos Básicos e Definições i) P (R 2 ) = P (R 1 ) = r b + r, ii) P (B 2 ) = P (B 1 ) = b b + r. Para j = 3: Qual a probabilidade de vermelha na 3 a extração? Possibilidades: i) R 1 R 2 R 3 P (R 1 R 2 R 3 ) = P (R 3 R 1 R 2 )P (R 2 R 1 )P (R 1 ); ii) R 1 B 2 R 3 P (R 1 B 2 R 3 ) = P (R 3 R 1 B 2 )P (B 2 R 1 )P (R 1 ); iii) B 1 R 2 R 3 P (B 1 R 2 R 3 ) = P (R 3 B 1 R 2 )P (R 2 B 1 )P (B 1 ); iv) B 1 B 2 R 3 P (B 1 B 2 R 3 ) = P (R 3 B 1 B 2 )P (B 2 B 1 )P (B 1 ). Com um pouco de esforço algébrico obtêm-se: i) P (R 3 ) = P (R 1 ) = r b + r, ii) P (B 3 ) = P (B 1 ) = b b + r. Enfim, pode-se provar por indução que, P (R j ) = P (R 1 ) e P (B j ) = P (B 1 ), 1 j m Teorema de Bayes Sejam os eventos E 1, E 2,..., E m em (Ω, A, P ) formando uma partição em Ω tal que todos têm probabilidades positivas, ou seja, P (E i ) > 0, i = 1, 2,..., m. Considere, ainda, um evento A qualquer, P (A) > 0, ocorrendo sobre a partição de Ω. O objetivo, nesta situação, consiste em determinar a probabilidade de ocorrência de uma das partes de Ω dado que ocorreu o evento A, ou seja, P (E k A), k = 1, 2,..., m. Cmo pode-se observar pela Figura (1.6), o evento A pode ser escrito como união de partes disjuntas, formadas pela intersecção de A com as partes de Ω, ou seja 6 A = (A E 1 ) (A E 2 ) (A E 3 ) (A E 4 ) (A E 5 ) (A E 6 ) = (A E i ) 19

20 Conceitos Básicos e Definições Figura 1.6: Ocorrência de um evento A sobre uma partição de Ω com m = 6. Para um m qualquer, m A = (A E 1 ) (A E 2 )... (A E m ) = (A E i ), logo, a probabilidade do evento A é dada por [ m ] P (A) = P (A E i ) = m P (A E i ). Pela regra do produto, tem-se que [ m ] P (A) = P (A E i ) = m P (A E i )P (E i ). O resultado acima é conhecido como lei da probabilidade total. Para um E k qualquer, k = 1, 2,..., m, pode-se escrever P (A E k ) = P (A E k )P (E k ), logo, a probabilidade de ocorrência de E k dado que ocorreu A, é dada por: P (E k A) = P (E k A) P (A) P (E k A) = P (A E k )P (E k ), k = 1, 2,..., m, (1.1) m P (A E i )P (E i ) o resultado em (1.1) é conhecido como teorema de Bayes. Foi obtido pelo Reverendo Thomas Bayes e publicado em 1763, sendo um dos teoremas mais importantes da teoria estatística. Exemplo 1) Numa população adulta 40% são homens e 60% mulheres. Sabe-se, ainda, que 50% dos homens e 30% das mulheres são fumantes. Determine: 20

21 Conceitos Básicos e Definições a) A probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso nesta população seja fumante. Partição do espaço amostral = sexo = {H, M}. Sejam os eventos: H = { a pessoa escolhida é do sexo masculino (homem) } = P (H) = 0.40; M = { a pessoa escolhida é do sexo feminino (mulher) } = P (M) = 0.60; F = { a pessoa escolhida é fumante }; F c = { a pessoa escolhida não é fumante }. Como P (F H) = 0.50 e P (F M) = 0.30, então, pela regra da probabilidade total: P (F ) = P (F H) + P (F M) P (F ) = P (F H)P (H) + P (F M)P (M) P (F ) = P (F ) = 0.38 b) A probabilidade de que seja um homem sabendo que é um fumante. Pelo teorema de Bayes, tem-se a relação: P (H F ) = P (H F ) P (F ) P (H F ) = P (F H)P (H) P (F ) P (H F ) = P (H F ) = , portanto, a probabilidade de ser um homem dado que é fumante é de Uma forma conveniente para se representar as probabilidades acima é através da arvore de probabilidades, nas quais representamos as probabilidades das partes e probabilidades condicionais em ramos, conforme Figura (1.7). Nesse esquema, as probabilidades conjuntas (das intersecções) são obtidas percorrendo-se os ramos e multiplicando-se as probabilidades. 21

22 Conceitos Básicos e Definições Figura 1.7: Diagrama de árvore para o exemplo (1). Exemplo 2) Sabe-se que numa população 8% das pessoas são infectadas por um vírus causador de uma doença muito grave. Um teste para detecção do vírus é eficiente em 99% dos casos nos quais os indivíduos são infectados, mas resulta em 2% de resultados positivos para os não infectados (falsos positivos). Se o teste de uma pessoa dessa população der resultado positivo, qual a probabilidade de que ela seja da fato infectada? Defindo-se: I grupo das pessoas infectadas; I c grupo dos não infectados; T + o resultado do teste é positivo; T o resultado do teste é negativo; tem-se as probabilidades: P (I) = 0.08; P (I c ) = 0.92; P (T + I) = 0.99 e P (T + I c ) = Porém, deseja-se calcular a probabilidade: P (I T + ) que pela regra da probabilidade condicional é dada por P (I T + ) = P (I T + ). P (T + ) As probabilidades podem ser representadas na seguinte tabela: Tabela 1.1: Probabilidades Resultado do teste Totais das Grupo T + T linhas I P (I T + ) P (I T ) 0.08 I c P (I c T + ) P (I c T ) 0.92 Totais das colunas P (T + ) P (T )

23 Conceitos Básicos e Definições Pela regra do produto e pela lei da probabilidade total, encontra-se P (T + ) de: P (T + ) = P (I T + ) + P (I c T + ) = P (T + I)P (I) + P (T + I c )P (I c ) = = = e, pelo teorema de Bayes, tem-se P (I T + ) = P (T + I)P (I) P (T + ) = = Qual seria a confiança no teste se o resultado fosse negativo, ou seja, qual a probabilidade de o teste sendo negativo a pessoa de fato não seja infectada? Deseja-se: P (I c T ) = P (Ic T ). P (T ) Como: P (T ) = P (I T ) + P (I c T ) = = , então, P (I c T ) = P (T I c )P (I c ) P (T ) = = , portanto, se o teste for negativo a pessoa pode se sentir segura. Na Figura (1.8) é apresentada o diagrama de árvore para o resultado acima. Figura 1.8: Diagrama de árvore para o exemplo (2). 23

24 Conceitos Básicos e Definições Independência de eventos Sejam o espaço de probabilidade (Ω, A, P ) e sejam os eventos A e B A, tal que P (B) > 0. Pela regra da multiplicação pode-se escrever P (A B) = P (A B) P (B). Em alguns casos, no entanto, informações prévias a respeito do evento B não afetam a probabilidade de ocorrência de A, isto é, a probabilidade concicional de A dado B é igual à P (A), ou seja P (A B) = P (A). Definição: Sejam dois eventos A e B, com probabilidades maiores do que zero, tais que a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do segundo, então, esses eventos são ditos indepententes. Da regra da multiplicação das probabilidades, portanto, se dois eventos A e B são independentes então a probabilidade de ocorrência conjunta dos dois é dada pelo produto das probabilidades individuais, ou seja, P (A B) = P (A) P (B). (1.2) Seja A 1, A 2,..., A k, k eventos independentes, então, de (1.2) P (A 1 A 2... A k ) = P (A 1 ) P (A 2 )... P (A k ) Exemplo 1) Duas moedas idênticas são lançadas separadamente. Ω = {(c, c); (c, c); ( c, c); ( c, c)}, em que c = cara e c = coroa. Sejam os eventos: A = { cara no 2º lançamento } = P (A) = P [(c, c); ( c, c)] = 1 2 ; B = { cara no 1º lançamento } = P (B) = P [(c, c); (c, c)] = 1 2. Determine P (A B). P (A B) = P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2 = P (A). 24

25 Conceitos Básicos e Definições Portanto, conclui-se que A e B são independentes, ou seja, a ocorrência de cara no primeiro lançamento não altera a probabilidade de que saia cara no segundo lançamento. Propriedades de independência: a) Seja um evento A tal que P (A) = 0, então A é independente de todo evento E A, em que P (E) > 0; Prova: Se P (A) = 0 = P (E A) = P (E A)P (A) = 0 = P (E) P (A), E A b) Se A A é um evento qualquer tal que P (A) > 0, então A é independente de e Ω; Prova: i) A prova de que A e são independentes sai direto de (a), já que P ( ) = 0; ii) Para a prova de que A e Ω são independentes, considere que A = A Ω, logo = P (Ω A) = P (A) = P (A) (1) = P (A)P (Ω) c) Se os eventos de A e B forem independentes, então A e B c ; A c e B; A c e B c também o são; Prova: A seguir será apresentada apenas a prova de que A e B c também são independentes. As demais ficam como exerício para o leitor. O evento A pode ser escrito por A = (A B) (A B c ), (A B) e (A B c ) disjuntos, logo P (A) = P (A B) + P (A B c ) P (A) = P (A)P (B) + P (A B c ) P (A) P (A)P (B) = P (A B c ) P (A)[1 P (B)] = P (A B c ) P (A)P (B c ) = P (A B c ) Definição: Seja A 1, A 2,..., A k, k eventos independentes. Se, para qualquer subconjunto A 1, A 2,..., A r, tal que r k, os eventos forem independentes, ou seja, P (A 1 A 2... A r ) = P (A 1 ) P (A 2 )... P (A r ), então A 1, A 2,..., A k são chamados mutuamente independentes. 25

26 Conceitos Básicos e Definições Em outras palavras, os eventos A 1, A 2,..., A k são mutuamente independentes se forem independentes dois-a-dois, três-a-três, e assim por diante... Exemplo 2) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 10 anos é de 3/4 e de sua esposa, é de 5/6. Qual é a probabilidade de que, daqui a 10 anos: a) Ambos estejam vivos? Considere os eventos: H = { homem vivo daqui a 10 anos } = P (H) = 3/4 logo P (H c ) = 1/4; M = { mulher viva daqui a 10 anos } = P (M) = 5/6 logo P (M c ) = 1/6. Espaço amostral Ω = {HM, HM c, H c M, H c M c } Assumindo independência entre os eventos H e M, a probabilidade de que ambos estejam vivos daqui a 10 anos é dada por P (HM) = P (H)P (M) = = 5 8 b) Ao menos um esteja vivo? Ainda assumindo independência entre H e M, a probabilidade de ao menos um esteja vivo daqui a 10 anos é dada por P (HM, HM c, H c M) = P (H)P (M) + P (H)P (M c ) + P (H c )P (M) P (HM, HM c, H c M) = P (HM, HM c, H c M) = = A solução acima é simplificada com a aplicação do evento complementar P (HM) = 1 P (H c M c ) = = Exemplo 3) Aplicação em confiabilidade de sistemas. 26

27 Conceitos Básicos e Definições Um sistema de componentes é determinado por um conjunto de itens associados numa dada configuração. As configrações mais simples são os sistemas em série e em paralelo. A associação de ambas as configurações são chamadas de sistemas série-paralelo. Neste sentido, a confiabilidade de um sistema num dado instante t é dada pela probabilidade de que este esteja funcionando normalmente. Considere um componente tal que a probabilidade de que esteja funcionando num instante t dada por p, 0 p 1. Dois destes componentes são colocados em funcionamento segundo as configurações abaixo. Assumindo que os componentes funcionem de maneira independente, determine a confiabilidade do sistema em cada um dos casos. Sejam os eventos: S = { o sistema funciona no tempo t } = confiabilidade do sistema = P (S) C i = { o componente i funciona no tempo t } = P (C i ) = p a) Sistema em série: na configuração em série, o sistema funciona se os dois componentes funcionarem simultaneamente, desta forma P (S) = P (C 1 C 2 ) = p 2 Figura 1.9: Sistema em série b) Sistema em paralelo: o sistema funciona se pelo menos um dos componentes estiver funcionando, logo P (S) = P (C 1 C 2 ) = p + p p 2 = 2p p 2 Figura 1.10: Sistema em paralelo 27

28 Conceitos Básicos e Definições c) Sistema série-paralelo: o sistema série-paralelo, com a configuração dada pela Figura 1.11, funciona se C 1 funcionar e, (C 2 ou C 3 funcionar). Obd: Fica para o leitor mostrar que a confiabilidade deste sistema é dada por P (S) = 2p 2 p 3 Figura 1.11: Sistema série-paralelo Exemplo 4) Uma moeda equilibrada é lançada tês vezes. Dê o espaço amostral: i) Ω = {(c, c, c); (c, c, c); (c, c, c); ( c, c, c); (c, c, c); ( c, c, c); ( c, c, c); ( c, c, c)}, em que c = cara e c = coroa. ii) Verifique se os eventos {ocorrem pelo menos duas caras} e {ocorre coroa no 1º lançamento} são independentes. A = { ocorrem pelo menos duas caras } = A = {(c, c, c); (c, c, c); (c, c, c); ( c, c, c)} B = { ocorre coroa no 1º lançamento } = A = {( c, c, c); ( c, c, c); ( c, c, c); ( c, c, c)} No lançamento de uma moeda P (c) = P ( c) = 1/2, logo, os eventos elementares de Ω têm todos probabilidade 1/8. Desta forma, verifica-se facilmente que P (A) = P (B) = 1 2. Ainda, A B = {( c, c, c); ( c, c, c); ( c, c, c)} = P (A B) = 3 8, portanto, P (A B) = 3/8 1/2 = 3 4 P (A)P (B). Logo, os eventos A e B não são independentes. 28

29 Conceitos Básicos e Definições 1.6 Contagem Considere um espaço amostral finito e equiprovável Ω, no qual cada evento elementar tem probabilidade P ({ω i }) = 1 card(ω), i = 1, 2,..., card(ω). Considere um evento A pertencente ao espaço de probabilidade (Ω, A, P ), então, a probabilidade do evento A é definida por P (A) = card(a) card(ω) Assim sendo, a determinação de P (A) resume-se num problema de contagem do número de elementos de A e de Ω, o que é um procedimento simples quando tanto Ω tem poucos pontos, mas pode ser, trabalhoso, ou até mesmo impraticável, quando o número de pontos é grande (ou mesmo moderado) Amostras ordenadas Considere dois conjuntos S e U, com m e n elementos, respectivamente. Ao serem selecionados um elemento de cada conjunto, podem-se formar (m n) duplas do tipo (x i, y j ), i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, conforme mostra a Figura Figura 1.12: Seleção alatória em dois conjuntos finitos. Considere, agora, n conjuntos distintos S 1, S 2,..., S n, de tamanhos s 1, s 2,..., s n, respectivamente. Se selecionarmos um elemento de cada conjunto teremos (s 1 s 2... s n ) n uplas do tipo (x 1, x 2,..., x n ). 29

30 Conceitos Básicos e Definições Se, no entanto, os n conjuntos forem o mesmo conjunto S, com s pontos, então existirão s n n uplas do tipo (x 1, x 2,..., x n ) para as quais x i, i = 1, 2,..., n, é um ponto de S. Esta situação, em que o número de elementos de S permanece constante, caracteriza uma amostra aleatória com reposição. Com a condição inicial de que o espaço amostral é equiprovável, todas as s n essa probabilidade igual a n uplas têm igual probabilidade de serem selecionadas, sendo 1 s n. (1.3) Exemplo 1) Uma moeda equilibrada é lançada n vezes. Determine a probabilidade de se obter ao menos uma cara nos n lançamentos. Nessa situação, o conjunto S é dado por: S = {c, c}, sendo que P ({c}) = P ({ c}) = 1/2. Como s = 2, então, o número de n uplas possíveis é igual a 2 n. Seja o evento de interesse A = { ao menos uma cara nos n lançamentos }. Definindo A i = { o evento cara no i ésimo lançamento }, então, A = cuja probabilidade é dada por: n A i, P (A) = 1 P (A c ) [( n ) c ] P (A) = 1 P A i Das leis de Morgan, tem-se que ( n ) P (A) = 1 P A c i n P (A) = 1 P (A c i) Portanto, a probabilidade desejada é dada por: P (A) = 1 ( ) n

31 Conceitos Básicos e Definições Se, por exemplo, n = 10, P (A) = = Considere, agora, o conjunto S, contendo s elementos distintos, sendo que o elemento escolhido não é recolocado no conjunto após a seleção. Neste caso, a amostra alatória é do tipo sem reposição. Repetindo o procedimento n vezes, o número de n uplas possíveis, sem que nenhum x i, i = 1, 2,..., n, seja repetido, é dado por: A s,n = s (s 1)... (s n + 1), (1.4) sendo que a quantidade A s,n representa um arranjo de s elementos tomados n-a-n. Exemplo 2) Seja um conjunto S com s elementos distintos. Considerendo uma amostragem aleatória com reposição, qual a probabilidade de que nenhum elemento de S apareça repetido na amostra. Seja o evento E = { nenhum elemento repetido na amostra }, então P (A) = total de amostras para as quais nenhum elemento apareça repetido. total de amostras possíveis Desta forma, de (1.3) e (1.4), temos que a probabilidade acima é dada por P (E) = A s,n s(s 1)... (s n + 1) = sn s n P (E) = s (s 1) (s n + 1)... s s s ( P (E) = 1 1 ) ( 1 2 ) (... 1 n 1 ) s s s P (E) = n 1 ( 1 k ). (1.5) s k=1 Como na maioria das situações práticas o número de elementos do conjunto S (ou população ) é muito grande, calculando o limite em (1.5), tem-se lim P (E) = lim s s [ n 1 k=1 ( 1 k s ) ] = 1, ou seja, quando as populações são muito grandes, as amostras aleatórias com e sem 31

32 Conceitos Básicos e Definições reposição se equivalem. Exemplo 3) Qual a probabilidade de que, num grupo com n pessoas, não existam duas com aniversário na mesma data? (este problema é muito popular, sendo conhecido como problema dos aniversários ) Seja: S = {1, 2, 3,..., 365}, então S é definido como sendo os dias do ano e, s = 365. Considerando que uma data de nascimento é uma seleção aleatória de um elemento de S, então, para E = { nenhuma coincidência de datas de aniversário no grupo }: n 1 ( P (E) = 1 k ). 365 k=1 Por exemplo, para um grupo de n = 4 pessoas P (E) = ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) = Desta forma, a probabilidade de que, num grupo de quatro pessoas, pelo duas delas façam aniversário na mesma data, é de = Permutações Considere n caixas e n bolas distintas, numeradas de 1 a n. De quantas meneiras diferentes podem-se colocar as n bolas nas n caixas, de modo que cada caixa contenha exatamente 1 bola? O número de bolas possíveis para se colocar na primeira caixa é n, na segunda caixa é (n 1), na terceira (n 2), e assim por diante, sendo que, para a n ésima caixa, só restará uma bola. O número de possibilidade, assim definido, é dado pela permutação das n bolas P n = n (n 1) (n 2)... 1 = n! Na permutação, uma número n de objetos ou items são reorganizados em n posições distintas, tal que, cada posição seja ocupada por apenas um item. Assim sendo, uma compsição específica de bolas nas caixas tem probabilidade de ocorrência 1 P n = 1 n! 32

33 Conceitos Básicos e Definições Qual é a probabilidade de que a bola i seja colocada na caixa j, i, j = 1, 2,...n? Fixando uma bola e uma caixa restam (n 1) bolas para serem permutadas nas (n 1) caixas, logo, o número de possibilidade tal que a bola i esteja na caixa j é dado por P n 1 = (n 1)!. Desta forma, a probabilidade do evento A = { a bola i seja colocada na caixa j } é P (A) = P n 1 P n = (n 1)! n! = 1 n. Por sua vez, a probabilidade de que, permutando-se n bolas em n caixas, exatamente k bolas caiam em k caixa específicas é dada por: P n k P n = (n k)! n! = 1 A n,k. Exemplo 4) Numa festa de final de ano, n = 8 casais concordam em participar de uma brincadeira na qual, todos os casais participantes são separados e novos pares são formados por sorteio para dançarem pelo menos uma música. Qual é a probabilidade de que exatamento 4 casais sejam mantidos, ou seja, 4 garotas fiquem com seus respectivos namorados? Defindo o evento A = { 4 casais sejam mantidos }, então, n = 8 e k = 4, logo P (A) = (8 4)! 8! = 1 A 8,4 = Amostras Desordenadas Considere o conjunto S, com s elementos, logo existem A s,n amostras distintas de tamanho n, n < s, extraídas sem reposição. Nesta situação, considera-se a ordem das observações na amostra, ou seja, amostras com os elementos em diferentes ordenações são consideradas distintas. Em muitas situações, no entanto, o interesse recai nos elementos da amostras, independente da ordem em que são selecionados. É o caso de amostras desordenadas. Neste sentido, uma amostra sem reposição {x 1, x 2,..., x n } pode ser reordenada de n! maneiras diferentes (todas com os mesmos elementos), fato este, que deve ser considerado no momento da contagem. Portanto, dividindo o número de amostras sem reposição pelo total de reordenações, obtem-se o número de amostras possíveis, sem reposição e sem considerar a ordem dos 33

34 Conceitos Básicos e Definições elementos, ou seja, A s,n n! Multiplicando-se o numerador e denominador por (s n)!, tem-se A s,n n! = s(s 1) (s n + 1) (s n)! n! (s n)! = s! n! (s n)! O termo A s,n /n! é conhecido ( ) como coeficiente binomial ou combinação, podendo ser representado por C s,n ou s n. Logo, a combinação de s elementos, tomados n-a-n é dada por ( s n ) = s! n! (s n)!, n < s. Exemplo Considere a amostra {3, 1, 7}. como n = 3, o número de reordenações dos seus elementos é 3! = 6: {3, 1, 7}, {3, 7, 1}, {1, 3, 7}, {1, 7, 3}, {7, 3, 1} {7, 1, 3} Notas: a) O coeficiente x = 3, então ( ( π 3 a x ) ) = é bem definido para a R e x N, por exemplo, se a = π e π( π 1)( π 2) 3! π(π 1)(π 2) = 6 = b) Por definição, 0! = 1 e A a,0 = 1. c) Para a inteiro positivo, se x > a ou x < 0 p.def. = ( a x ) = 0; Exemplo 5) Considere S = {1, 2,..., s}, um conjunto finito. Qual a probabilidade de se extrair k < s elementos de S tal que os valores estejam em ordem crescente, ou seja, tal que 1 x 1 < x 2 <... < x k s? 34

35 Conceitos Básicos e Definições O número de amostras de tamanho k < n que podem ser retiradas de S tal que não hajam repetições é A n,k = n(n 1)... (n k + 1). Dessas A s,k sequência. existem k! reordenações, das quais apenas uma contém os valores em Portanto, a probabilidade desejada é: P (A) = k! A s,k = 1 C s,k Assumindo S = {1, 2, 3, 4, 5}, então s = 5 e k = 3 (amostras de tamamho 3 de um conjunto com 5 elementos). A seguir são apresentadas todas as amostras possíveis, com destaque em negrito para as amostras nas quais os valores estão em ordem crescente Amostras possíveis A 5,3 = 60 Reordenações 3! = 6 Probabilidade do evento A = { extrair uma amostra de tamanho 3 com os valores em ordem crescente }: P (A) = 6 60 = 1 10 = 0.10 Exemplo 6) Qual é a probabilidade de se obter um royal straight flush numa mão de pôquer, antes da troca de cartas? Um royal straight flush é uma sequência com as maiores cartas (A, K, Q, J, 10), sendo todas do mesmo naipe. 35

36 Conceitos Básicos e Definições Antes da troca de cartas tem-se A 52,5 mãos possíveis. Reordenações: 5! = 120 possibilidades de se obter a mesma mão. Probabilidade do evento A = { obter a mão (A, K, Q, J, 10) com todas as cartas do mesmo naipe } P (A) = 4 5! A 52,5 = 4 C 5,5 = Fica como exercício para o leitor calcular as probabilidades de se obter as demais mãos no jogo no pôquer (antes da troca das cartas). Straight flush (cinco cartas do mesmo naipe, em sequência); Quadra (quatro cartas do mesmo valor); Full house (uma trinca e um par); Flush (as cinco cartas do mesmo naipe); Straight (cinco cartas em sequência, sem consideração de naipes); Trinca (três cartas do mesmo valor); Dois pares (pares com cartas de valores distintos); Par (duas cartas do mesmo valor). Exemplo 7) No jogo da megasena o que mais vantajoso: A = { escolher d = 10 dezenas e jogar todas as combinações possiveis de 6 dezenas } ou B = { fazer 210 jogos distintos de 6 dezenas }? Espaço amostral Ω = {1, 2, 3,..., 60} Total de possibilidades com jogos de 6 dezenas: C 60,6 = 60! 54! 6!. Total de jogos possíveis de 6 dezenas dentre as d = 10 escolhidas: C 10,6 = 10! 4! 6! = 210. Portanto, as chances de se ganhar na megasena são iguais para os dois casos visto que: P (A) = P (B) = 210 C 60, Partições Seja uma população S, de tamanho s, dividida em k subpopulações S 1, S 2,..., S k com s 1, s 2,..., s k elementos, respectivamente. Considerando o caso de amostras desordenadas e sem reposição, a probabilidade de que, numa amostra de tamanho n sejam selecionados exatamente n 1, n 2,..., n k elementos 36

37 Conceitos Básicos e Definições de S 1, S 2,..., S k, tal que n i < s i, i = 1, 2,..., k, é dada por ( P (n 1, n 2,..., n k ) = s 1 n 1 ) ( s 2 n 2 ) ( s k n k ) ( ), s n em que k s i = s e k n i = n. Exemplo 7) Num grupo de com 12 professores e 5 alunos do curso de Estatística, devem ser escolhidas n = 5 pessoas para formar uma comissão para falar com o Reitor. Quantas comissões podem ser formadas de tal forma que, dos escolhidos, 3 sejam professores e 2 sejam alunos? O grupo tem um total de N = = 17, desta forma, o total de comissões é dado por ( 17 5 ) = 17! 12! 5! = 6188 comissões. O número de copmissões com exatamente 3 professores e 2 alunos é dado por ( ) ( ) 12 5 = 2200 comissões com 3 prof. e 2 alunos. 3 2 Desta forma: P (comissão com 3 professores e 2 alunos) = ( 12 ) ( 3 ( ) 2 ) = = 0.355, Exemplo 8 - Captura e recaptura) Num lago há uma população de peixes de tamanho N. Uma rede é lançada, m peixes são capturados e marcados, após o que, são devolvidos à água. A rede é lançada uma 2ª vez e um total de n peixes são capturados. Qual é a probabilidade do evento: A = { exatamente x, dentre os n peixes capturados no 2º lançamento, são marcados } 37

38 Conceitos Básicos e Definições Após a primeira captura tem-se N peixes no lago, dos quais m são marcados. Da partição da população desejamos que no segundo lançamento da rede sejam capturados x peixes marcados e (n x) não marcados, logo ( ) ( ) m N m P (A) = x n x ( ) N (1.6) n Uma situação prática envolvendo o problema da captura e recaptura refere-se à estimação do tamanho da população N. Conhecendo m da primeira captura e tendo observado n e x do segundo lançamento da rede, como podemos estimar o tamanho da população de peixes N? Da inferência estatística tem-se que uma estimativa para o tamanho da população é dada pelo valor de N que maximiza a probabilidade em (1.6). Assumindo, por exemplo, m = 50 e n = 30, qual é a probabilidade de que exatamente x peixes do segundo lançamento da rede sejam marcados? P (A) = ( 50 x ) ( ) N x ( ) N. (1.7) 30 Portanto, dado o número de peixes marcados na segunda captura, ou seja, dado x, o tamanho da população de peixes no lago é estimado pelo valor de N que maximiza (1.7). Simplificando ainda mais, considere m = 10 e n = 5. A probabilidade de que x = 1 peixe do segundo lançamento da rede seja marcado é ( ) ( ) 10 N 10 P (A) = 1 4 ( ) N. 5 38

39 Conceitos Básicos e Definições Com um pouco de álgebra, obtem-se P (A) = 50(N 10)(N 11)(N 12)(N 13), N > 13. N(N 1)(N 2)(N 3)(N 4) A seguir são apresentados a tabela com os cálculos para a obtenção de N e a curva com o valor de P (A) versus N. Pelos valores apresentados, verifica-se que valor de N pode ser estimatido em N = 49 ou N = 50. N P (A) Exemplo 9 - Jogo da Megasena) Retomando o problema da megasena, considere que o apostador escolha um número d de dezenas e aposte todos os jogos possíveis com 6 dezenas. Se o apostador conseguir acertar as 6 dezenas sorteadas, além de ganhar na sena, de quebra, ele consegue algumas quinas e quadras. Quantas quinas e quadras o apostador consegue ao acertar as seis dezenas sorteadas? De maneira geral, apostando nos C d,6 jogos possíveis e acertando as 6 dezenas sorteadas, tem-se 39

40 Conceitos Básicos e Definições ou seja, são 6 dezenas sorteadas, dentre as d escolhidas e (d 6) não sorteadas; Q acertos dentre as 6 dezenas sorteadas e (6 Q) erros, dentre as dezenas não sorteadas; ( ) ( 6 Q ) d 6 (1.8) 6 Q se o apostador acertar as 6 dezenas, então Q = 6 e o número de senas é igual a ( ) ( ) ( ) ( ) 6 d 6 6 d 6 = = Este resultado é óbvio, uma vez que o procedimento de escolha implica a inexistência de repetições, logo, haverá apenas um jogo de seis dezenas coincidindo com as dezenas sorteadas. Mas, acertando a sena, quantas quinas e quadras são, também, obtidas? O raciocínio é o mesmo que no caso anterior, isto é, tendo feito a sena, sendo Q acertos dentre as 6 dezenas sorteadas e (6 Q) erros dentre as não sorteadas, então fazendo Q = 5, o número de quinas obtidas é dado por ( ) ( ) ( ) ( ) 6 d 6 6 d 6 = = 6(d 6), d > da mesma forma, para Q = 4, o número de quadras é ( 6 4 ) ( d ) = ( 6 4 ) ( d 6 2 ) = 15 (d 6)(d 7), d > 6. 2 Se d = 10, como no exercício anterior, então, além de ganhar na megasena, o apostador conseguirá ( ) ( ) 6 4 = 24 quinas e 5 1 ( ) ( ) 6 4 = 90 quadras 4 2 Pode-se generalizar o resultado em (1.8) para os casos em que o apostador acerte 5 dezenas (faz a quina) ou apenas 4 dezenas (faz a quadra). Desta forma, substituindo-se os 40

41 Conceitos Básicos e Definições valores 6 na primeira linha de (1.8) por 5 e 4, respectivamente, pode-se calcular o número de quinas e quadras, possíveis, para as duas situações. i) Se o apostador acertar 5 das dezenas sorteadas: ( ) ( 5 Q d 5 6 Q ) com Q = 5, serão (d 5) quinas, d > 6, com Q = 4, o número de quadras é igual a 5(d 5)(d 6), d > 6. 2 ii) Acertando-se 4 dezenas: ( 4 ) ( d 4 ) Q 6 Q com Q = 4, consegue-se (d 4)(d 5), quadras d > 6. 2 Na Tabela 1.2 são apresentados os números de senas, quinas e quadras se acertar 6, 5 ou 4 dezenas, dentre as d escolhidas, com todas as C d,6 apostas possíveis. Tabela 1.2: Número de senas, quinas e quadras na megasena nos jogos com d dezenas escolhidas e combinadas. Dezenas Acertos número apostadas de d senas quinas quadras quinas quadras quadras jogos

42 Variáveis Aleatórias 2 Variáveis Aleatórias Dado um fenômeno aleatório, definido num espaço de probabilidade (Ω, A, P ), tem-se o interesse em conhecer a estrutura probabilística de quantidades associadas a esse fenômeno. Para isso, se faz necessário a introdução do conceito de variável aleatória e a especificação de modelos para tais variáveis. Definição 2.1. Seja o espaço de probabilidade (Ω, A, P ), então, define-se por variável aleatória, ou simplesmente v.a., qualquer função X : Ω R tal que: para todo intervalo I R. X 1 (Ω) = { } ω Ω : X(ω) I A, Uma variável aleatória é uma função que leva os elementos do espaço amostral Ω a um subconjunto dos reais R (Figura 2.1). Figura 2.1: Variável aleatória X : Ω R. Exemplo 2.1. As variáveis aleatórias são classificadas em dois tipos: i) VA discreta: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto finito ou infinito enumerável, por exemplo: { } a) I = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; 42

43 Variáveis Aleatórias b) I = N = { } 0, 1, 2, 3, 4,.... ii) VA contínua: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto infinito não enumerável, ou seja, é uma v.a. que assume valores em intervalos de números reais, por exemplo: Notas: a) I = R = (, ); b) I = [0, 1] R. a) Para v.a. s contínuas, a função que normalmente associa pontos de Ω ao conjunto I R, é a função identidade; b) Para v.a. s discretas, a função que normalmente associa pontos de Ω ao conjunto I R, é uma contagem ou soma. 2.1 Variáveis Aleatórias Discretas X é uma v.a. discreta, num espaço de probabilidade (Ω, A, P ), é uma { função com domínio em Ω e cujo contradomínio é um conjunto finito ou infinito enumerável x 1, x 2, x 3,... } } dos números reais R, tal que, {ω Ω : X(ω) = x i é um evento para todo i e, portanto, pode-se calcular a sua probabilidade de ocorrência [ ] P {ω Ω : X(ω) = x i }, i = 1, 2, 3,.... Notas: } } a) Por simplicidade, representamos o evento {ω Ω : X(ω) = x i por {X = x i e as probabilidades são simplificadas por: [ ] P {ω Ω : X(ω) = x i } = P (X = x i ) } b) Se x / I, então {ω Ω : X(ω) = x =, que também é um evento. Nesse caso, P [ {ω Ω : X(ω) = x }] = P (X = x ) = 0 43

44 Variáveis Aleatórias c) Se o conjunto I de possíveis valores de uma v.a. discreta X é formado por valores inteiros, ou inteiros não negativos, então, X é uma v.a. inteira, ou uma v.a. interia não negativa. A maioria das v.a. s discretas são inteiras não negativas. Definição 2.2. Função de probabilidade de uma v.a. discreta X é uma função p(x) que atribui probabilidade a cada um dos{ possíveis valores } de X. Seja X assumindo valores I = x 1, x 2, x 3,..., então, para todo x I p(x) = P (X = x). Propriedades: A função p(x) de X em (Ω, A, P ) satisfaz: a) 0 p(x i ) 1, x i I; b) i p(x i ) = 1. Prova: a) Como p(x) é uma medida de probabilidade, por definição, 0 p(x) 1; } b) Como, por definição, os eventos {w Ω : X(ω) = x i, i = 1, 2,... são disjuntos, então p(x i ) = i i P (X = x i ) = P [ i { w Ω : X(ω) = x i } ] = P (Ω) = 1. Definição 2.3. Função de distribuição, também chamada de função de distribuição acumulada (fda) de uma v.a. discreta X é uma função F (x) que retorna a probabilidade de X assumir valores até o ponto x. Seja X assumindo valores I = { } x 1, x 2, x 3,..., então, para todo x I F (x) = P (X x). Propriedades: F (x) apresenta as propriedades: 44

45 Variáveis Aleatórias a) F (x) é uma função do tipo escada, ou seja, para os pontos x i, x i+1 I e x tal que x i x < x i+1, F (x) = F (x i ), isto é, F (x) é constante no intervalo [x i, x i+1 ) (ver Figura 2.2). b) Dada F (x), para x a e x b I, tal que x a < x b, P (x a < X x b ) = F (x b ) F (x a ). Desta forma, para um valor qualquer x i I, tem-se p(x i ) = F (x i ) F (x i 1 ), ou seja, a probabilidade num ponto x i é dada pela altura do degrau em F (x i ). Exemplo 2.2. Seja a v.a. X discreta, com distribuição de probabilidade dada por: x p(x) F (x) Assim, temos: a) p(3) = P (X = 3) = 0.18; b) F (2) = P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0.69; c) P (1 X < 5) = P (0 < X 4) = F (4) F (0) = 0.80, 4 Ainda: P (1 X < 5) = P (X = x) = = 0.80; x=1 d) P (2 X 4) = F (4) F (1) = Exemplo 2.3. Considere 2 lançamentos independentes de uma moeda { equilibrada. } Definindo X como sendo o número de caras nos 2 lançamentos, temos Ω = cc; c c; cc; c c. Logo: 45

46 Variáveis Aleatórias [ ] p(0) = P { c c } X( c c ) = 0 = 1/4 [ ] p(1) = P { c c } { cc } X( c c ) = X( cc ) = 1 = 1/2 [ ] p(2) = P { cc } X( cc ) = 2 = 1/4 Portanto, a função de probabilidade de X, é dada por: x p(x) 1/4 1/2 1/4 A função de distribuição da v.a. X, é dada por: F (x) = 0, x < 0; 1/4, 0 x < 1; 3/4, 1 x < 2; 1, x 2. Figura 2.2: Função distribuição acumulada da v.a. X Exemplo 2.4. Seja uma v.a. X assumindo os valores { 3, 4, 5, 6 }. Obter k R de modo que p(x) seja uma função de probabilidade: p(x) = k (x 2) 2 46

47 A 1 n 1 Teoria da Probabilidade Variáveis Aleatórias Das propriedades da função de probabilidade, p(x) = 1, portanto: k [(3 2) 2 + (4 2) 2 + (5 2) 2 + (6 2) 2 ] =1 k [ ] =1 30k =1 k = x Desta forma, a função de probabilidade de X é dada por p(x) = (x 2)2, x {3, 4, 5, 6}. 30 Exemplo 2.5. Considere o jogo no qual um alvo circular de raio 1 é dividido em n regiões anelares concêntricas de raio 1/n, 2/n,..., 1. Lança-se um dardo ao acaso e, se ele atingir a região A i, delimitada pelos raios (i 1)/n e i/n, i = 1, 2,..., n, ganha-se (n i) reais (ver Figura 2.3) A n 0 A n 1 1 R=1 A 2 n 2 Figura 2.3: Regiões anelares identificadas em vermelho e ganho obtido em azul. Seja a v.a. X = importância ganha em um lançamento, obtenha a função de probabilidade de X. Aqui, o espaço de probabilidade (Ω, A, P ) é o espaço uniforme sobre o disco de raio 1. X é uma v.a. discreta definida neste espaço, assumindo os valores {0, 1, 2,..., n 1}. Ainda, A i = {X = n i} é um evento que ocorre se, e só se, o dardo atinge a região delimitada pelos círculos de raios (i 1)/n e i/n. 47

48 Variáveis Aleatórias A probabilidade para o evento A i são dadas por: P (X = n i) = área de A i área total ( ) 2 ( i i 1 π π n n P (X = n i) = π ) 2 P (X = n i) = i2 (i 2 2i + 1) n 2 P (X = n i) = 2i 1 n 2, i = 1, 2,..., n. Com x = n i, então, a função de probabilidade de X é: p(x) = 2(n x) 1 n 2, x {0, 1, 2,..., (n 1)} 0, c.c. Com p(x) assim definida: i) Certifique-se de que p(x) é de fato uma função de probabilidade; ii) Calcule a probabilidade de se acertar a região mais central do alvo (mosca). 2.2 Principais modelos de discretos Variável Aleatória Constante Seja uma v.a. X que associa um único valor k R para todo ω Ω. Então {ω Ω X(ω) = k} é todo o espaço amostral Ω e, X(ω) = k é uma v.a. discreta com função de probabilidade: { 1, x = k p(x) = 0, x k. A função de probabilidade de uma v.a. é também chamada de degenerada em k e sua 48

49 Variáveis Aleatórias função de distribuição é dada por F (x) = { 0, x < k 1, x k. Na Figura (2.4) são apresentadas as funções de probabilidade p(x) e de distribuição F (x) para o modelo degenerado num ponto. 1 1 p(x) F(x) k k X X Figura 2.4: Funções de probabilidade (esquerda) e de distribuição (direita) do modelo degenerado num ponto Distribuição uniforme discreta Considere a v.a. X assumindo valores em I = {x 1, x 2,..., x n }. X tem distribuição uniforme discreta se cada elemento de I tiver mesma probabilidade, ou seja p(x) = P (X = x) = 1 n, x I 0, x / I Notação: X U d (I) Notas: i) O modelo uniforme discreto considera que os elementos x 1, x 2,..., x n de I são equiprováveis. 49

50 Variáveis Aleatórias ii) Normalmente I é um subconjunto dos naturais (I N) definido por limites [a, b], em que a < b são os parâmetros do modelo. Neste caso X U d (a, b). A função de distribuição acumulada da v.a. da uniforme discreta é definida por F (x) = i I [x i x i x] n x {x 1, x 2,..., x n }, em que I [xi x i x] = 1, se x i x e I [xi x i x] = 0, caso contrário. Exemplo 2.6. Considere o lançamento de um dado equilibrado e seja a v.a. observado, então, I = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e X U d (1, 6) X = valor p(x) = 1 6, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; F (x) = x 6 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Na Figura (2.5) são apresentadas as funções de probabilidade e de distribuição acumulada para o exemplo. 1/6 1 p(x) F(x) X X Figura 2.5: Funções de probabilidade (esquerda) e de distribuição (direita) do modelo U d (1, 6) 50

51 Variáveis Aleatórias Distribuição de Bernoulli Considere, agora, um evento A Ω, tal que, X(ω) = 1, se ω A e X(ω) = 0, se ω A c, então, A ocorre se, e só se, X(ω) = 1. A v.a. X é uma variável indicadora de A, pois o valor de X indica a ocorrência de A e, P (A) = P [{ω Ω X(ω) = 1}] = P (X = 1) Normalmente, o evento A é chamado de sucesso e A c de fracasso e a v.a. assim definida, é chamada de v.a. de Bernoulli, em que p = P (A) é a probabilidade de sucesso e (1 p) = P (A c ) é a probabilidade de fracasso. Notas: i) Uma realização da v.a. de Bernoulli recebe o nome de ensaio de Bernoulli. ii) Ensaio de Bernoulli é todo experimento com apenas dois resultados possíveis, denotados por sucesso e fracasso. Esses resultados são representados pelos valores 1 e 0 da v.a. X, com probabilidades de corrência p e (1 p), respectivamente. Assim, X = 1, representa um sucesso, X = 0, representa um fracasso. iii) A probabilidade de sucesso p é o parâmetro do modelo de Bernoulli. Seja X uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, então, sua função de probabilidade é definida por 1 p, x = 0 p(x) = p, x = 1 0, x 1 e x 0. Notação: para indicar que uma v.a. notação: X Bernoulli(p). tem distribuição de Bernoulli, usamos a seguinte A função de probabilidade para o modelo de Bernoulli pode ser mais elegantemente representada por: p(x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1. 51

52 Variáveis Aleatórias A função de distribuição para o modelo de Bernoulli, por sua vez, é dada por 0, x < 0 F (x) = 1 p, 0 x < 1 1, x 1. A Figura (2.6) apresenta as funções de probabilidade e de distribuição acumulada para o modelo de Bernoulli com parâmetro p. Nota: Como veremos no restante da seção, a v.a. de Bernoulli serve de base para a definição de grande parte dos modelos discretos de probabilidade. p(x) p 1 p F(x) 1 p X X Figura 2.6: Bernoulli (p) Funções de probabilidade (esquerda) e de distribuição (direita) do modelo Distribuição binomial Exemplo 2.7. Considere o experimento no qual uma moeda honesta é lançada três vezes, sendo que a probabilidade de se obter cara em um lançamento é p e de se obter coroa é (1 p), 0 p 1. Para este experimento, o espaço amostral é dado por Ω = {(c, c, c), (c, c, c), (c, c, c), ( c, c, c), (c, c, c), ( c, c, c), ( c, c, c), ( c, c, c)} em que c = cara e c = coroa. Definindo a v.a. X = número de caras obtidos nos três lançamentos, determinar a função de probabilidade de X. 52

53 Variáveis Aleatórias Para cada elemento do espaço amostral, a v.a. X assume os valores: ω = (c, c, c) X(c, c, c) = 3 ω = (c, c, c) ω = (c, c, c) ω = ( c, c, c) ω = (c, c, c) ω = ( c, c, c) ω = ( c, c, c) X(c, c, c) = X(c, c, c) = X( c, c, c) = 2 X(c, c, c) = X( c, c, c) = X( c, c, c) = 1 ω = ( c, c, c) X( c, c, c) = 0 Uma vez que os lançamentos da moeda são independentes, a v.a. X tem a seguinte função de probabilidade: x p(x) 0 (1 p) 3 1 3p(1 p) 2 2 3p 2 (1 p) 3 p 3 Os três elementos de Ω para os quais X = 2, resultam das possíveis combinações nas quais são obtidas duas cara e uma coroa, implicando que a probabilidade individual p 2 (1 p) seja multiplicada por 3. Desta forma, a probabilidade P (X = 2) pode ser escrita como p(2) = ( ) 3 p 2 (1 p). 2 O mesmo acontece com X = 1, resultado das possíveis combinações nas quais se obtem uma cara nos três lançamentos da moeda, sendo a probabilidade P (X = 1) escrita por p(1) = ( ) 3 p(1 p) 2. 1 Como podemos observar, p(x) é uma função de probabilidade discreta, pois: i) p(x) 0 x = 0, 1, 2, 3, uma vez que 0 p 1; ii) 3 p(x) = [p + (1 p)] 3 = 1. x=0 53

54 Variáveis Aleatórias Considerando que a moeda é honesta, ou seja p = 1/2, temos x p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 A distribuição de probabilidade acima, como veremos pela definição (2.4), é a distribuição binomial com parâmetros n = 3 e p = 0.5. Definição 2.4. Considere n repetições independentes de um ensaio de Bernoulli cuja probabilidade de sucesso é P (sucesso) = p e seja a v.a. X que conta o número de sucesso nas n realizações independentes do ensaio, então, X tem distribuição binomial com parâmetros n e p e a sua função de probabilidade é dada pela expressão p(x) = ( ) n p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x Notação: X binomial(n, p). p(x) F(x) X X Figura 2.7: Funções de probabilidade (esquerda) e de distribuição (direita) do modelo binomial (4, 0.6) Notas: i) A distribuição de Bernoulli é um caso especial da binomial para o qual n = 1. ii) A função de distribuição acumulada F (x) não tem uma forma explicita, sendo definda por F (x) = P (X = x i ). x i x 54

55 Variáveis Aleatórias iii) Se a v.a. X conta os sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli, X binomial(n, p). Então, se nos mesmos n ensaios, a v.a. Y contar o número de fracassos: Y binomial(n, 1 p). Exemplo 2.8. Uma indústria que produz placas para componentes eletrônicos, usadas na fabricação de celulares, afirma que no processo de produção dessas placas 1% sai com defeito nas furações. Considerando que na inspeção dessas placas, 10 unidades são selecionadas aleatoriamente e avaliadas: Defina uma v.a. para esse caso e determine a sua função de probabilidade p(x). Uma vez que p(x) seja definida, qual é a probabilidade de que a inspeção encontre: a) exatamente uma placa com defeito? b) pelo menos uma placa com defeito? c) no máximo três placas com defeito? A inspeção de cada uma das placas resulta em um, dentre dois resultados possíveis (placa com defeito ou placa boa), o que caracteriza um ensaio de Bernoulli no qual o resultado de interesse (sucesso) é dado pela placa com defeito. Alé disso, como as inspeções são independentes, a probabilidade de uma placa ser defeituosa (dada pelo índice de defeitos da produção, ou seja, p = 0.01) é comum a todos os ítens produzidos. Portanto, definindo a v.a. X = número de placas com defeito encontradas na inspeção das n = 10 placas selecionadas, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0.01 e sua função de probabilidade é dada por p(x) = P (X = x) = ( ) 10 (0.01) x (0.99) 10 x, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. x As probabilidades solicitadas nos itens (a), (b) e (c) são, portanto, calculadas por ( ) 10 a) p(1) = P (X = 1) = (0.01) 1 (0.99) 9 = b) Pelo evento complementar temos que: P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 (0.99) 10 = c) F (3) = P (X 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = =

56 Variáveis Aleatórias Exemplo 2.9. Uma indústria vende um produto em embalagens de ½ kg. O processo de empacotamento tem como limite inferior o peso de 495 g, sendo que, os pacotes devem ter peso superior a este limite. Apesar da automação, o processo produz 6% de pacotes abaixo do limite, o que preocupa o dono da indústria numa possível inspeção. Nas inspeções, os fiscais do órgão competente costumam recolher 20 pacotes do produto das prateleiras dos supermercados e pesar cada um deles. Desta forma, qual é a probabilidade de que: a) apenas um pacote esteja abaixo do limite de peso? b) no máximo dois pacotes estejam abaixo do limite de peso? Seja a v.a. X = número de pacotes, da amostra, abaixo do limite de peso. Então, X binomial(20, 0.06). Respostas: a) P (X = 1) = ( ) 20 (0.06)(0.94) 19 = ; 1 b) F (2) = P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) ( ) 20 = (0.94) (0.06) 2 (0.94) 18 2 = = Distribuição geométrica Definição 2.5. Considere uma sequência de ensaios independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a p e seja a v.a. X que conta o número de fracassos até a ocorrência do primeiro sucesso. Então, X tem distribuição geométrica com parâmetro p e a sua função de probabilidade é dada pela expressão p(x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,... Notação: X geométrica(p). Exemplo Num jogo de cassino, dois dados são lançados por um jogador que aposta uma certa quantia de dinheiro antes do lançamento. O jogador dobra o valor apostado se obter soma 11 ou 12 nos dados. Para tentar dobrar a posta, porém, o jogador tem até 3 tentativas, após as quais, ele perde o que apostou e precisa apostar novamente para continuar jogando. 56

57 Variáveis Aleatórias Qual é a probabilidade do jogador dobrar a aposta numa rodada de lançamentos? Seja a v.a. X = número de lançamentos com somas diferentes de 11 ou 12, até que o jogador ganhe. Então, X geométrica(p). Mas, qual deve ser o valor de p? Para isso precisamos do espaço amostral para os lançamentos dos dados: Ω = {(i, j) N 2 1 i 6 e 1 j 6}, (Ω é equiprovável) Seja o evento A = { valores favoráveis ao jogador }, então, A = {(6, 5), (5, 6), (6, 6)}. Logo, a probabilidade de sucesso p é igual a P (A), isto é: p = 3 36 = Assim, o jogador dobra o valor apostado se: sair soma 11 ou 12 no primeiro lançamento dos dados; sair soma 11 ou 12 no segundo lançamento, não tendo saído no primeiro; sair soma 11 ou 12 no terceiro lançamento, não tendo saído no primeiro nem no segundo lançamentos. Desta forma, temos que calcular P (X 2), uma vez que X conta os fracassos até o primeiro sucesso. Portanto: F (2) = P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 1 12 = 1 12 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) = Priopriedades: i) A função de distribuição acumulada F (x) é de fácil obtenção, sendo calculada a partir 57

58 Variáveis Aleatórias do resultado P (X x) = P (X = k) k=x = p(1 p) x + p(1 p) x+1 + p(1 p) x = p (1 p)x 1 (1 p) = (1 p) x. Desta forma, temos que a função distribuição acumulada F (x) é dada por F (x) = P (X x) No exemplo acima, p = 1/12 e, portanto: F (x) =1 P (X x + 1) F (x) = 1 (1 p) x+1. F (2) = P (X 2) = 1 ( ) 3 11 = ii) A v.a. geométrica pode, ainda, ser definida como Y = número de ensaios até o primeiro sucesso. Neste caso, Y assume valores a partir do 1, ou seja, y {1, 2, 3,...} e, em função disto, a sua função de probabilidade passa a ser escrita como p(y) = P (Y = y) = p(1 p) y 1, y N, em que N é o conjunto dos naturais, excluindo-se o zero, ou seja, N = N {0}. Nota: Se a v.a. X conta o número de fracassos até o primeiro sucesso e a v.a. Y conta o número de ensaios até o primeiro sucesso, então, a relação 1 entre elas é dada por: Y = X + 1 e: p(y) = P (Y = y) = P (X + 1 = y) = P (X = y 1) = p(1 p) y 1 ; P (Y y) = (1 p) y 1 ; F (y) = P (Y y) = 1 P (Y y + 1) = 1 (1 p) y. 1 A relação entre duas v.a. discretas será vista em mais detalhes na seção funções de v.a. s. 58

59 Variáveis Aleatórias iii) Uma propriedade importante da v.a. geométrica é a falta de memória, representada pela relação P (X x + k X x) = P (X k). Ou seja, dado que X já atingiu o valor x, a probabilidade de alcançar o valor x + k só depende de k, reiniciando-se a contagem. Prova: P (X x + k X x) = P [(X x + k), (X x)] P (X x) = P (X x + k) P (X x) = (1 p)x+k (1 p) x = (1 p) k = P (X k) Exemplo Considere um processo de produção cuja proporção de defeitos é de No processo de produção os itens são inspecionados um-a-um até que apareça o primeiro com defeito quando, então, o processo é interrompido e ajustado. a) Determine a probabilidade de que o processo seja ajustado sómente após o 40º item produzido. Seja X = número de itens bons até o primeiro com defeito. Então: X geométrica(0.03). Temos que calcular: P (defeito no item 41 ou defeito no item 42 ou...) = P (X 40) = (1 0.03) 40 = (0.97) 40 = b) Sabendo que já foram produzidos 25 itens, não havendo nenhum defeito, qual é a probabilidade de que o primeiro item com defeito apareça após o 35º item produzido? P (X 35 X 25) = P (X 35 25) = (0.97) 10 =

60 Variáveis Aleatórias c) Qual deve ser o intervalo de manutenção preventiva k se desejamos que nenhum item com defeito ocorra entre duas manutenções consecutivas com probabilidade de pelo menos 0.50? Devemos obter k tal que P (X k) Tomando a igualdade, temos P (X k) = 0.50 = (0.97) k, logo, o valor de k é dado por Ainda: (0.97) k = 0.50 k ln(0.97) = ln(0.50) k = ln(0.50) ln(0.97) = 22.8 se k = 22 = P (X 22) = (0.97) 22 = se k = 23 = P (X 23) = (0.97) 23 = Logo, as manutenções devem ser feitas a cada 22 itens produzidos Distribuição binomial negativa Definição 2.6. Considere uma sequência de ensaios independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a p. A v.a. X que conta o número de fracassos até a ocorrência do r ésimo sucesso tem distribuição binomial negativa com parâmetro r > 0 e p e sua função de probabilidade é dada por ( ) x + r 1 p(x) = p r (1 p) x, x = 0, 1, 2,... (2.1) r 1 Notação: X BN(r, p). ( ) x + r 1 Nota: O termo refere-se ao número de combinações possíveis para os r 1 (x + r 1) ensaios, anteriores ao r ésimo sucesso, dos quais x são fracassos e (r 1) são sucessos. Exemplo Numa linha de montagem de uma grande indústria os parafusos são fornecidos em caixas com 50 unidades cada, sendo que a compra dos parafusos é feita em lotes de 250 caixas. No recebimento dos parafusos o setor competente retira uma caixa do lote e realiza uma inspeção, aceitando o lote se até a inspeção da metade da caixa, no máximo 2 60

61 Variáveis Aleatórias parafusos tiverem a rosca espanada (aceitando o lote a empresa arca com o prejuízo dos demais parafusos que vierem a espanar). Por outro lado, se até a inspeção da metade da caixa, três ou mais parafusos espanarem, o lote todo é devolvido ao fornecedor. Considerando que o fabricante dos parafusos afirma que 9% dos parafusos produzidos acabam espanando na hora do uso, cacule a probabilidade de que a devolução do lote ocorra exatamente ao se testar a metade da caixa de parafusos. Seja X = número de parafusos bons até o 3º ruim. Note que, o lote será devolvido se ao se testar o 25º parafuso, aparecer o 3º ruim, logo x = 25 3 = 22 parafusos bons e r = 3 parafusos espanados. Desta forma, X tem distribuição X BN(3, 0.09). ( P (X = 22) = 3 1 ( 24 = 2 = ) (0.09) 3 (0.91) 22 ) (0.09) 3 (0.91) 22 Exemplo Uma linha de produção adota-se como critério de parada para regulagem das máguinas a observação do k ésimo item com defeito. Sabendo que a proporção de defeitos é 0 p 1, qual é a probabilidade de que a produção tenha que ser interrompida para regulagem na n ésima peça produzida? Se X = número de peças boas até a k ésima com defeito, X BN(k, p). ( ) (n k) + k 1 P (X = n k) = p k (1 p) n k k 1 = ( ) n 1 p k (1 p) n k. k 1 Notas 2.1. Das relações entre as combinações, temos uma forma alternativa da binomial 61

62 Variáveis Aleatórias negativa. Considere ( ) ( ) x + r 1 x + r 1 = r 1 x ( ) r = ( 1) x, x ( ) r em que: ( 1) x = x ( r)( r 1) ( r x + 1). x! Portanto, a função de probabilidade da binomial negativa, em (2.1), pode ser escrita na forma alternativa ( ) r p(x) = ( 1) x p r (1 p) x, x = 0, 1, 2,... x Exemplo Considere X BN(4, 0.25), calcular P (X = 5). x + r 1 = = 8 e r 1 = 3, logo ( ) 8 i) p(5) = (0.25) 4 (0.75) 5 = ; 3 ii) p(5) = ( 1) 5 ( 4)( 5)( 6)( 7)( 8) 5! (0.25) 4 (0.75) 5 = 6720 (0.25) 4 (0.75) 5 = ! Distribuição hipergeométrica Definição 2.7. Considere uma população de tamanho N, sendo que m indivíduos (ou elementos) desta população apresentam uma crarcterística de interesse e (N m) não apresentam a tal característica, portanto, a população é particionada em duas subpopulações. Uma amostra de tamanho n é retirada ao acaso e sem reposição desta população, sendo que, para cada elemento da amostra é observada a presença, ou não, da característica de interesse. Nota: A característica de interesse pode ser a presença de uma doença, um hábito de comportamento, uma característica física, um defeito ou falha ou até o resultado de uma mensuração classificado por um ponto de corte. Com a população particionada em duas, a observação individual de cada elemento da amostra caracteriza um ensaio de Bernoulli. A diferença da situação aqui apresentada com o modelo binomial é que, neste caso, a amostra é retirada sem reposição, fazendo com que os ensaios de Bernoulli não sejam mais independentes. Seja a v.a. X = número de elementos na amostra que apresentam a característica de interesse. 62

63 Variáveis Aleatórias Então, X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros m, N e n Notação: X HG(m, N, n). A função de probabilidade do modelo hipergeométrico é dada por: p(x) = P (X = x) = ( )( ) m N m x n x ( ) N, max{0, n (N m)} x min{m, n}. n Exemplo Sabe-se que um gene recessivo, responsável por uma doença, aparece em 16% da população sem que a mesma se manifeste. Se, de uma população de tamanho 500, selecionamos ao acaso uma amostra sem reposição com 20 pessoas, qual é a probabilidade de que encontremos 3 portadoras do gene? Seja X = número de pessoas na amostra com o gene. Se, da população 16% apresentam o gene, então m = 500(0.16) = 80, logo: X HG(80, 500, 20). Como, n (N m) = 20 (500 80) = 400, temos que max{0, n (N m)} = max{0, 400} = 0; min{m, n} = min{80, 20} = 20, então 0 x 20. Calculando a probabilidade: ( )( ) p(3) = 3 17 ( ) = (82160)( ) = Calcule a probabilidade de que seja encontrado apenas uma pessoa portadora do gene. ( )( ) p(1) = 1 19 ( ) = (80)( ) =

64 Variáveis Aleatórias Os cálculos foram feitos no R com o comando choose(n,k) (ver Quadro 1). Quadro 1: Cálculo da hipergeométrica no R 1 > ## > choose (80,3) 3 [1] > choose (420,17) 5 [1] e +29 > choose (500,20) 7 [1] e +35 > p3 <- choose (80,3)* choose (420,17)/ choose (500,20) 9 > round (p3,4) [1] > ## > choose (80,1) 13 [1] 80 > choose (420,19) 15 [1] e +32 > p1 <- choose (80,1)* choose (420,19)/ choose (500,20) 17 > round (p1,4) [1] > ## Exemplo Quatro peças com defeito foram acidentalmente misturadas num lote com outras 16 peças boas. Selecionando-se 5 peças sem reposição, qual é a probabilidade de que 2 sejam defeituosas? E pelo menos 2? Seja X = número de peças com defeito na amostra. X HG(4, 20, 5). Condição: max{0, n (N m)} = max{0, 11} = 0; min{m, n} = min{4, 5} = 4, então 0 x 4. Calculando ( )( as probabilidades: ) 4 16 p(2) = 2 3 ( ) = (6)(560) =

65 Variáveis Aleatórias P (X 2) = 1 F (1) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1)] = 1 ( ) = Relação entre a hipergemométrica e binomial p(x) = ( )( ) m N m x n x ( ) N n p(x) = m! x!(m x)! (N m)! (n x)! [(N m) (n x)]! N! n!(n n)! p(x) = n!(n n)! N! m! x!(m x)! (N m)! (n x)! (N m n + x)! p(x) = n! (N n)! m! x!(n x) N! (m x)! (N m)! (N m n + x)! (2.2) Desenvolvendo cada um dos três últimos termos da expressão (2.2), obtem-se (N n)! N! = (N n)! N (N 1) (N 2) (N n)! = 1 N (N 1) (N 2) (N n + 1) = 1 N N ( 1 1 N ) N ( 1 2 N ) ( ) N 1 n 1 N = 1 N n n 1 ( 1 i N ) (2.3) 65

66 Variáveis Aleatórias m! (m x)! = m (m 1) (m 2) (m x)! (m x)! = m (m 1) (m 2) (m x + 1) ( = m m 1 1 ) m ( m 1 2 ) ( m 1 x 1 ) m m x 1 ( = m x 1 j ) m j=1 (2.4) (N m)! [(N m n + x)]! = (N m) (N m 1) (N m 2) [(N m n + x)]! [(N m n + x)]! = (N m) (N m 1) (N m 2) [(N m) (n x) + 1] ( ) 1 = (N m) (N m) 1 N m ( (N m) 1 n x 1 ) N m n x 1 = (N m) n x k=1 ( 1 k ) N m (2.5) como: Substituindo-se os resultados em (2.3), (2.4) e (2.5) em (2.2), p(x) pode ser reescrita p(x) = ( n x ) m x (N m) n x N n [ x 1 ( j=1 1 j ) n x 1 ( k=1 1 k ( ) 1 i N m n 1 N m )] Aplicando o limite para N, então m, tal que m N p. Assim sendo: i N 0, j m 0 e k N m 0. 66

67 Variáveis Aleatórias Portanto, p(x) = ( n x ) (m ) ( x N m N N ) n x p(x) = ( n x ) p x (1 p) n x. Ou seja, para N grande, a distribuição hipergeométrica se comporta como uma binomial com parâmetros n e p = m/n. Na prática isso significa que, se N for grande (N ), não há diferença entre as amostragens com e sem reposição. Exemplo Sabe-se que, numa população de tamanho 5000 proprietários de veículos, apenas 130 são proprietários de Ferrari. Se uma amostra aleatória de 20 proprietários de veículos é retirada sem reposição desta população, determine as probabilidade de que: a) Exatamente 1 seja proprietário de ferrari; b) Nenhum seja proprietário de ferrari; c) No máximo 2 sejam proprietários de ferrari; Seja a v.a. X = proprietário de ferrari na amostra, então, X HG(130, 5000, 20). N = 5000 e m = 130, assim, proporção de proprietários de ferrari é igual a p = Como N é grande a distribuição de X pode ser aproximada pela binomial(20, 0.026). Na Tabela (2.1) são apresentados os resultados obtidos com a distribuição hipergeométricae com a aproximação pela binomial Distribuição de Poisson Considere a situação na qual se observe a ocorrência de um determinado evento, como, por exemplo, chamadas telefônicas; acessos a um sistema via web; chegadas de pessoas numa fila de banco; microorganismos (bactérias ou coliformes) em amostras de água, etc... Definição 2.8. Seja a v.a. X que conta a ocorrência de um evento por unidade de medida (tempo, área, volume, etc...), então, X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ e sua função de probabilidade é da forma: p(x) = P (X = x) = λx e λ, x = 0, 1, 2,.... x! 67

68 Variáveis Aleatórias Tabela 2.1: Aproximação da HG(130, 5000, 20) pela binomial(20, 0.026). calculado pela Aproximado pela erro Cálculo hipergeométrica binomial relativo a) P (X = 1) ( )( ) ( ) = ( ) 20 (0.026) 1 (0.974) 19 = % 1 b) P (X = 0) ( )( ) ( ) = ( ) 20 (0.026) 0 (0.974) 20 = % 0 c) P (X = 2) ( )( ) ( ) = ( ) 20 (0.026) 2 (0.974) 18 = % 0 então, P (X 2) = P (X 2) % 68

69 Variáveis Aleatórias X P oisson(λ). Notas: i) O parâmetro λ é a taxa de ocorrência do evento. ii) O modelo de Poisson também aparece na forma p(x) = P (X = x) = (λ t)x e λ t, x! x = 0, 1, 2,..., (2.6) em que t é o intervalo de ocorrência (na maioria das vezes o tempo). Exemplo Na fila de um banco, em horário de pico, os clientes chegam a uma taxa de 2.5 por minuto. Qual é a probabilidade de que, em um minuto: a) Chegue apenas um cliente? b) Cheguem no máximo 3 clientes? c) cheguem pelo menos 3 clientes? d) Qual é a probabilidade de que, em 5 minutos, 10 clientes entrem na fila? Seja a v.a. X = número de clientes que chegam na fila do banco por minuto, então, λ = 2.5 clientes/min e X P oisson(2.5). A função de probabilidade de X é dada por: p(x) = P (X = x) = 2.5x e 2.5, x! x = 0, 1, 2,.... a) p(1) = P (X = 1) = 2.51 e 2.5 1! = b) F (3) = P (X 3) = 2.50 e 2.5 0! e 2.5 1! e 2.5 2! e 2.5 3! = = =

70 Variáveis Aleatórias c) P (X 3) = 1 P (X 2) = 1 ( ) = d) Seja a v.a. Y = número de clientes que chegam na fila em 5 minutos, então t = 5, λ t = 12.5 e Y P oisson(12.5). Assim, utilizando a relação dada em (2.6), temos 2 : p Y (10) = P (Y = 10) = e ! = Nota: Na prática ocorre que, se X tem distribuição de Poisson com taxa λ = 2.5 clientes/min, então, em 5 minutos, a taxa será de λ = = 12.5 clientes/5min. p(x) F(x) X X Figura 2.8: Funções de probabilidade (esquerda) e de distribuição (direita) do modelo P oisson (2.5) Exemplo Uma oficina recebe microcomputadores para concerto segundo uma distribuição de Poisson com taxa de 3 equipamentos/dia. Qual a probabilidade de que num dia comum cheguem 6 microcomputadores para concerto? X = número de equipamntos que chegam para conserto em um dia, X P oisson(3). p(6) = P (X = 6) = 36 e 3 = ! 2 O índice na função de probabilidade p Y (10) indica que a probabilidade deve ser calculada, agora, a partir da distribuição de probabilidade da v.a. Y. 70

71 Variáveis Aleatórias Considere que a oficina tem bancadas para atender no máximo 5 equipamentos/dia e que os equipamentos além desses 5 fiquem na espera ou desistam do serviço. Sendo assim, o proprietário planeja ampliar as instlações para poder atender a demanda diária em até 99% dos dias. De quanto ele deve ampliar suas instalações? O que o dono da oficina deseja encontrar o valor de k tal que P (X k) 0.99, ou seja: k 3 x e 3 x=0 x! 0.99 Com uma tabela de probabilidades acumuladas temos: x p(x) F (x) Portanto, com k = 8 bancadas, ele consegue atender toda a demanda em 99% dos dias, ou seja, ele precisa ampliar suas instalações em 3 bancadas. Aproximação da binomial pela Poisson Seja X binomial(n, p), então, para n grande e p pequeno, tal que λ = np é constante, a distribuição binomial pode ser aproximada pela Poisson. Prova: p(x) = n! x!(n x)! px (1 p) n x Para λ = np, então, p = λ/n e, p(x) = n(n 1)(n 2)... (n x)! x!(n x)! ( ) x ( λ 1 λ ) n x n n 71

72 Variáveis Aleatórias ( x n(n 1)(n 2)... (n x + 1) p(x) = λ 1 λ ) x ( 1 λ ) n x! n x n n = = = ( ) λ x (n ) ( ) n 1 x! n n ( λ x x! ( n x + 1 n ) ( 1 λ ) x ( 1 λ ) n n n ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 x 1 ) ( 1 λ ) x ( 1 λ ) n n n n n n ( ) [ λ x x 1 ( 1 k ) ] ( 1 λ ) x ( 1 λ n (2.7) x! n n n) k=1 Aplicando o limite para n em cada uma das parcelas de (2.7), temos que: lim n [ x 1 k=1 ( 1 k n) ] = 1 (2.8a) ( lim 1 λ x = 1 (2.8b) n n) ( lim 1 λ n = e n n) λ (limite fundamental) (2.8c) Desta forma, substituindo (2.8a),(2.8b) e (2.8c) em (2.7), p(x) pode ser aproximada por: p(x) λx e λ x! Para n grande e p pequeno, tal que λ = np, a binomial se comporta como uma P oisson(λ). Exemplo O número de fraudes com cartões de crédito/débito tem aumentado ultimamente, mas ainda a proporção é baixa, sendo igual a 0.25%. Considerando que o gerente de uma agência bancária possui 4000 clientes com cartões, qual é a probabilidade de ocorrência de: a) Uma única fraude. b) Cinco freudes 72

73 Variáveis Aleatórias c) Dez fraudes. d) Não mais do que 15 fraudes. Seja X = número de fraudes dentre os clientes do banco, X binomial(4000, ). Com a aproximação pela P oisson, λ = = 10 fraudes, logo: p(x) 10x e 10 x! a) p(1) 101 e 10 1! b) p(5) 105 e 10 5! c) p(10) 101 0e 10 10! = = d) F (15) = P (X 15) = k=0 10 k e 10 k! = Nota: Valores calculados pelo R considerando a distribuição binomial (erro relativo entre parênteses): ( 4000 a) p(1) = 1 ( 4000 b) p(5) = 5 ( 4000 c) p(10) = 10 ) (0.0025) 1 (0.9975) 3999 = , (1.01%) ) (0.0025) 5 (0.9975) 3995 = , (0.25%) ) (0.0025) 10 (0.9975) 3990 = , (0.13%) 15 ( ) 4000 d) F (15) = P (X 15) = (0.0025) k (0.9975) 4000 k = , (0.023%) k k= Distribuições discretas no R O software R tem funções programadas para o cálculo das distribuições de probabilidades discretas. Cada uma delas é identificada pelo nome da distribuição, conforme mostra a Tabela (2.2), precedido pelos prefixos d, p e q, indicando, respectivamente, se o cálculo é da função de probabilidade (aqui identificada como densidade), função de distribuição ou do quantil. Por exemplo, considere a distribuição binomial(n, p), então, temos os camandos: a) dbinom(x,n,p) que retorna p(x) = P (X = x), 73

74 Variáveis Aleatórias c) pbinom(x,n,p) que retorna F (x) = P (X x) e, q) qbinom(q,n,p) que retorna o quantil associado à probabilidade q, ou seja, x = F 1 (q). Nota: os prefixos d, p e q funcionam da mesma maneira para os demais modelos, mudando apenas os parâmetros de cada um deles (Tabela 2.2). Tabela 2.2: Modelos discretos de probabilidade no R Modelo F. probabilidade F. distribuição (f.d.a.) Quantil p(x) q = F (x) x = F 1 (q) binomial dbinom(x,n,p) pbinom(x,n,p) qbinom(q,n,p) geométrica dgeom(x,p) pgeom(x,p) qgeom(q,p) binomial negativa dnbinom(x,r,p) pnbinom(x,r,p) qnbinom(q,r,p) hipergeométrica dhyper(x,m,n,n) phyper(x,m,n,n) qhyper(q,m,n,n) Poisson dpois(x,λ) ppois(x,λ) qpois(q,λ) Exemplo Obter, no R : i) p(5) = P (X = 5), F (9) = P (X 9) e o ponto x tal que P (X x) = 0.05, em que X BN(4, 0.25); ii) p(5) = P (Y = 5), P (2 < Y 6) e o ponto y tal que P (Y y) = 0.25, em que, Y P oisson(3) iii) p(2) = P (Z = 2) e o ponto z tal que P (Z z) = 0.975, em que Z HG(10, 80, 12). No Quadro (2) são apresentados os valores obtidos no R. 1 > ### > ## binomial negativa 3 > dnbinom (5,4,0.25) [1] > > pnbinom (9,4,0.25) 7 [1] > 9 > qnbinom (0.05,4,0.25) [1] 3 11 > > ## Poisson 13 > dpois (5,3) [1] > > ppois (6,3) - ppois (2,3) 17 [1] Quadro 2: Modelos discretos de probabilidade no R 74

75 Variáveis Aleatórias > 19 > qpois (0.25,3) [1] 2 21 > > ## hipergeométrica 23 > dhyper (2,10,80,12) [1] > > qhyper (0.975,10,80,12) 27 [1] 4 > 29 > ## 75

76 Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta 3 Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta 3.1 Valor esperado de uma v.a. discreta Definição 3.1. O valor esperado de uma v.a. discreta X, definida no espaço de probabilidade (Ω, A, P ) é dado por E(X) = ω Ω X(ω) P (ω), E(X) é, ainda, chamado de esperança ou média de X. Lema 3.1. Considere uma v.a. discreta X, com função de probabilidade p(x), tal que x i p(x i ) <, se a v.a. assume valores num subconjunto I R, então, a esperança de X é dada por E(X) = µ x = x I x p(x). Prova: Livro Carlos A. Dantas, p. 78 Por outro lado, se x i p(x i ) = (não converge), então, X não tem esperança finita. Exemplo 3.1. Seja uma v.a. discreta X com função de probabilidade p(x) = 1, x = 1, 2, 3,... x (x + 1) Verificando se p(x) é uma função de probabilidade: p(x) = x=1 x=1 1 x (x + 1) 76

77 Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta p(x) = x=1 x=1 1 x 1 x + 1 ( = lim 1 1 ) ( 1 + k ) ( k 1 ) k + 1 ( = lim 1 1 ) = 1, k k + 1 portanto, p(x) é uma função de probabilidade discreta, porém, x=1 x x(x + 1) = x=1 x x(x + 1) ou seja, X não tem esperança finita. = x=1 1 x + 1 = (não converge), Interpretação física de valor esperado Seja uma va discreta X assumindo valores {x 1, x 2,..., x n } com probabilidades p(x 1 ), p(x 2 ),..., p(x n ). Considere, ainda, G como sendo o centro de gravidade (ou centro de massa) dos valores de X, então: n (x i G)p(x i ) = 0 n x i p(x i ) G = n Gp(x i ) = 0 n x i p(x i ) = E(X), portanto, a média E(X) é o centro de massa dos valores de X. 77

78 Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta 3.2 Propriedades de Esperança Seja uma v.a. discreta X, com esperança finita E(X) i) Se a é uma constante, então, E(a) = a; ii) Sejam a e b constantes, então, E(aX + b) = ae(x) + b; iii) Se Y é uma v.a. discreta tal que E(Y ) <, então, para a e b constantes E(aX + by ) = ae(x) + be(y ); Prova: (resultado: desigualdade triangular a + b a + b ) 1ª parte: mostrar que E(a X + b Y ) existe. ax(ω) + by (ω) P (ω) [ ax(ω) + by (ω) ] P (ω) = ω Ω ω Ω = a X(ω) P (ω) + b Y (ω) P (ω) ω Ω ω Ω = a X(ω) P (ω) + b Y (ω) P (ω) <. ω Ω ω Ω = E(a X + b Y ) existe. 2ª parte: E(aX + by ) = (ax + by ) (ω)p (ω) ω Ω = [ax(ω) + by (ω)] P (ω) ω Ω = a X(ω)P (ω) + b Y (ω)p (ω) ω Ω ω Ω = a E(X) + b E(Y ) iv) Seja a v.a. Y = g(x) tal que g(x i ) p(x i ) <, então E(Y ) = E[g(X)] = x g(x) p(x). 78

79 Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta Prova: Seja Y = g[(x)], então, se E[g(X)] existe, considere ω Ω para os quais y = g[x(ω)]. Assim, para todos g[x(ω)] com valores iguais a y tem-se: g(x)p(x) = x ω = y = y = y g[x(ω)]p (ω) yp (ω) ω:g[x(ω)]=y y ω:g[x(ω)]=y P (ω) yp (Y = y) = E[g(X)] Exemplo 3.2. Seja uma va discreta X com função de probabilidade p(x) = 0.1 x 1, x { 2, 1, 0, 2, 4} Então, o valor esperado de X é: E(X) = x xp(x) = ( 2)0.3 + ( 1)0.2 + (0)0.1 + (2)0.1 + (4)0.3 = 0.6 Ainda, se g(x) = X 2, temos E[g(X)] = E(X 2 ) = x x 2 p(x) = ( 2) ( 1) (0) (2) (4) = (4)( ) + (1)0.2 + (16)0.3 = 6.6 v) Se a v.a. X é tal que a X b, então, a E(X) b; 79

80 Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta vi) Sejam X e Y v.a. s discretas com esperanças finitas E(X) e E(Y ), respectivamente. a) Se X e Y são tais que X Y, então, E(X) E(Y ); b) Se X e Y são independentes, então, E(XY ) = E(X)E(Y ). Teorema 3.1. Seja uma v.a. X, inteira não negativa. Então, X tem esperança finita se, e somente se, a série P (X x) converge e, neste caso, E(X) = P (X x). Prova: Se X é inteira não negativa, então, X {0, 1, 2,...}, da definição de esperança: E(X) = xp (X = x) = i=0 xp (X = x), ou seja, E(X) = 1P (X = 1) + 2P (X = 2) + 3P (X = 3) + (3.1) E(X) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 3) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 4) + P (X = 4) + P (X = 4) Portanto, redefindo a soma em (3.1), temos E(X) = P (X 1) + P (X 2) + P (X 3) + P (X 4) + E(X) = P (X x). Exemplo 3.3. Seja uma v.a. X, com distribuição de probabilidade: 80

81 Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta x p(x) F (x) Então, pelo teorema (3.1), o valor esperado de X é calculado pela soma das áreas destacadas na figura 3.1 Figura 3.1: Valor Esperado de uma v.a. como soma das áreas sobre F (x) Verificando: E(X) = (0) (1) (2) (3)0.25 = Exemplo 3.4. Valor esperado do modelo geométrico: Seja X geométrica(p) com função de probabilidade p(x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,..., então, seu valor esperado é dado por: E(X) = xp(1 p) x x=0 = p(1 p) x(1 p) x 1 x=1 = p(1 p) d dp [(1 p)x ] x=1 81

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos

Leia mais

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. http://lesoliveira.net Conceitos Básicos Estamos

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 19 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 3 1 Probabilidade Discreta: Exemplos

Leia mais

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento.

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento. Probabilidade A probabilidade estuda o risco e a ocorrência de eventos futuros determinando se existe condição de acontecimento ou não. O olhar da probabilidade iniciou-se em jogos de azar (dados, moedas,

Leia mais

Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento

Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento 1 Módulo VIII Probabilidade: Espaço Amostral e Evento Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja vermelha.

Leia mais

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8. Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.) PROBABILIDADE Dizemos que a probabilidade é uma medida da quantidade de

Leia mais

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1. Origem histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar,

Leia mais

PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS

PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS 1. Experimentos Experimento determinístico: são aqueles em que o resultados são os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos. Exemplo: Um determinado

Leia mais

Distribuição Uniforme Discreta. Modelos de distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Uniforme Discreta

Distribuição Uniforme Discreta. Modelos de distribuições discretas. Distribuição de Bernoulli. Distribuição Uniforme Discreta Distribuição Uniforme Discreta Modelos de distribuições discretas Notas de Aula da Profa. Verónica González-López e do Prof. Jesús Enrique García, digitadas por Beatriz Cuyabano. Acréscimos e modicações:

Leia mais

Aula 1: Introdução à Probabilidade

Aula 1: Introdução à Probabilidade Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo

Leia mais

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística:

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística: Probabilidade 3-1 Aspectos Gerais 3-2 Fundamentos 3-3 Regra da Adição 3-4 Regra da Multiplicação: 3-5 Probabilidades por Meio de Simulações 3-6 Contagem 1 3-1 Aspectos Gerais Objetivos firmar um conhecimento

Leia mais

O que é a estatística?

O que é a estatística? Elementos de Estatística Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira Departamento de Estatística - UFJF O que é a estatística? Para muitos, a estatística não passa de conjuntos de tabelas de dados numéricos. Os

Leia mais

CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE

CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE 1.1 INTRODUÇÃO Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto especificado de condições, conduz invariavelmente ao mesmo resultado. São

Leia mais

Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira

Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira - Conceitos Básicos Castro Soares de Oliveira é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. está associada a estatística, porque sua teoria constitui a base de estatística inferencial. Conceito

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades Qual a probabilidade de eu passar no vestibular? Leandro Augusto Ferreira Centro de Divulgação Científica e Cultural Universidade de São Paulo São Carlos - Abril / 2009 Sumário

Leia mais

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE PROBABILIDADE Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que melhor o explique. Os fenômenos

Leia mais

Primeira Lista de Exercícios de Estatística

Primeira Lista de Exercícios de Estatística Primeira Lista de Exercícios de Estatística Professor Marcelo Fernandes Monitor: Márcio Salvato 1. Suponha que o universo seja formado pelos naturais de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C =

Leia mais

Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição

Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição Probabilidade Definições, Notação, Regra da Adição Definições básicas de probabilidade Experimento Qualquer processo de observação ou medida que permita ao pesquisador fazer coleta de informações. Evento

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 TEORIA DAS PROBABILIDADES Vamos considerar os seguintes experimentos: Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por uma força qualquer, em um espaço definido.

Leia mais

Noções de Probabilidade

Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2015 Gilberto A. Paula G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre 2015 1 / 59 Objetivos da Aula Sumário

Leia mais

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA Questão 1: Entre duas cidades A e B existem três empresas de avião e cinco de ônibus. Uma pessoa precisa fazer

Leia mais

Bioestatística Aula 3

Bioestatística Aula 3 Aula 3 Castro Soares de Oliveira Probabilidade Probabilidade é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. Probabilidade é uma medida que quantifica a sua incerteza frente a um possível acontecimento

Leia mais

Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica

Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Unidade 11 - Probabilidade Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Probabilidade Empírica Existem probabilidade que são baseadas apenas uma experiência de fatos, sem necessariamente apresentar uma

Leia mais

Notas de Aula do Curso ET101: Estatística 1 - Área 2

Notas de Aula do Curso ET101: Estatística 1 - Área 2 Notas de Aula do Curso ET101: Estatística 1 - Área 2 Leandro Chaves Rêgo, Ph.D. 2008.2 Prefácio Estas notas de aula foram feitas para compilar o conteúdo de várias referências bibliográcas tendo em vista

Leia mais

Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições.

Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições. Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições. Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 14 de Março de 2012 Tipos

Leia mais

Lógica e Raciocínio. Decisão sob Risco Probabilidade. Universidade da Madeira. http://dme.uma.pt/edu/ler/

Lógica e Raciocínio. Decisão sob Risco Probabilidade. Universidade da Madeira. http://dme.uma.pt/edu/ler/ Lógica e Raciocínio Universidade da Madeira http://dme.uma.pt/edu/ler/ Decisão sob Risco Probabilidade 1 Probabilidade Em decisões sob ignorância a probabilidade dos diferentes resultados e consequências

Leia mais

ESTATÍSTICA - CURSO 1

ESTATÍSTICA - CURSO 1 MINISTÉRIO DA CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS ESTATÍSTICA - CURSO 1 Dra. Corina da Costa Freitas MSc. Camilo Daleles Rennó MSc. Manoel Araújo Sousa Júnior Material de referência

Leia mais

I. Experimentos Aleatórios

I. Experimentos Aleatórios A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em

Leia mais

Introdução à Probabilidade e Estatística

Introdução à Probabilidade e Estatística Professor Cristian F. Coletti Introdução à Probabilidade e Estatística (1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos. a Uma moeda é lançada duas vezes

Leia mais

O conceito de probabilidade

O conceito de probabilidade A UA UL LA O conceito de probabilidade Introdução Nesta aula daremos início ao estudo da probabilidades. Quando usamos probabilidades? Ouvimos falar desse assunto em situações como: a probabilidade de

Leia mais

CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE CAPÍTULO 0 NOÇÕES DE PROBABILIDADE. ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S =

Leia mais

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE Fenômeno Aleatório: situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser determinados com certeza. Exemplos: 1. Resultado do lançamento de um dado;. Hábito de fumar de um estudante

Leia mais

Probabilidade - aula I

Probabilidade - aula I e 27 de Fevereiro de 2015 e e Experimentos Aleatórios e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Entender e descrever espaços amostrais e eventos para experimentos aleatórios. Interpretar

Leia mais

Teoria das Probabilidades I. Ana Maria Lima de Farias Universidade Federal Fluminense

Teoria das Probabilidades I. Ana Maria Lima de Farias Universidade Federal Fluminense Teoria das Probabilidades I Ana Maria Lima de Farias Universidade Federal Fluminense Conteúdo 1 Probabilidade - Conceitos Básicos 1 1.1 Introdução....................................... 1 1.2 Experimento

Leia mais

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-2010 - EPPGG

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-2010 - EPPGG Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-010 - EPPGG 11. Em uma caixa há 1 bolas de mesmo tamanho: 3 brancas, 4 vermelhas e 5 pretas. Uma pessoa, no escuro, deve retirar n bolas

Leia mais

Logo, para estar entre os 1% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A:

Logo, para estar entre os 1% mais caros, o preço do carro deve ser IGUAL OU SUPERIOR A: MQI 00 ESTATÍSTICA PARA METROLOGIA - SEMESTRE 008.0 Teste 6/05/008 GABARITO PROBLEMA O preço de um certo carro usado é uma variável Normal com média R$ 5 mil e desvio padrão R$ 400,00. a) Você está interessado

Leia mais

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os PROBABILIDADE Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1,, 3, 4,, 6}. Doador de sangue (tipo sangüíneo). = {A, B,

Leia mais

Lista 5 - Introdução à Probabilidade e Estatística

Lista 5 - Introdução à Probabilidade e Estatística UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Lista 5 - Introdução à Probabilidade e Estatística Variáveis Aleatórias 1 Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna que contém 8 bolas brancas, 4 pretas e 2 laranjas.

Leia mais

CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos

CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos INTRODUÇÃO À PROAILIDADE Exemplos: O problema da coincidência de datas de aniversário O problema da mega sena A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade

Leia mais

Raciocínio Lógico Exercícios. Prof. Pacher A B P(A B) P(A/B) = P(B) n(a) P(A) = n(s) PROBABILIDADE DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO

Raciocínio Lógico Exercícios. Prof. Pacher A B P(A B) P(A/B) = P(B) n(a) P(A) = n(s) PROBABILIDADE DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO PROBBILIDDE Introdução teoria da probabilidade é o ramo da matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos aleatórios ou não determinísticos.

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Construir um quadro e o gráfico de uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória X: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas. 2. Fazer

Leia mais

Probabilidade. Renata Souza. Introdução. Tabelas Estatísticas. População, Amostra e Variáveis. Gráficos e Distribuição de Freqüências

Probabilidade. Renata Souza. Introdução. Tabelas Estatísticas. População, Amostra e Variáveis. Gráficos e Distribuição de Freqüências Probabilidade Introdução Tabelas Estatísticas População, Amostra e Variáveis Gráficos e Distribuição de Freqüências Renata Souza Conceitos Antigos de Estatística stica a) Simples contagem aritmética Ex.:

Leia mais

4) Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos:

4) Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos: INE 7002 LISTA DE EXERCÍCIOS PROBABILIDADE Lista de Exercícios - Probabilidade 1 1) Lâmpadas que se apresentam em perfeitas condições são ensaiadas quanto ao tempo de vida. Um instrumento é acionado no

Leia mais

Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas

Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas Aula 11 Esperança e variância de variáveis aleatórias discretas Nesta aula você estudará os conceitos de média e variância de variáveis aleatórias discretas, que são, respectivamente, medidas de posição

Leia mais

Universidade Federal do ABC. Sinais Aleatórios. Prof. Marcio Eisencraft

Universidade Federal do ABC. Sinais Aleatórios. Prof. Marcio Eisencraft Universidade Federal do ABC Sinais Aleatórios Prof. Marcio Eisencraft São Paulo 2011 Capítulo 1 Probabilidades Neste curso, trata-se dos fenômenos que não podem ser representados de forma determinística

Leia mais

UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS

UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ ALI UNITAU APOSTILA PROAILIDADES ibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: ianchini&paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores:

Leia mais

Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade

Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade Estatística e Probabilidade Aula 4 Cap 03 Probabilidade Estatística e Probabilidade Método Estatístico Estatística Descritiva Estatística Inferencial Nesta aula... aprenderemos como usar informações para

Leia mais

MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBBILIDDE Quando estudamos algum fenômeno através do método estatístico, na maior parte das vezes é preciso estabelecer uma distinção entre o modelo matemático que construímos para

Leia mais

O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48

O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48 Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração

Leia mais

Noções de Probabilidade e Estatística CAPÍTULO 2

Noções de Probabilidade e Estatística CAPÍTULO 2 Noções de Probabilidade e Estatística Resolução dos Exercícios Ímpares CAPÍTULO 2 Felipe E. Barletta Mendes 8 de outubro de 2007 Exercícios da seção 2.1 1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço

Leia mais

Eventos independentes

Eventos independentes Eventos independentes Adaptado do artigo de Flávio Wagner Rodrigues Neste artigo são discutidos alguns aspectos ligados à noção de independência de dois eventos na Teoria das Probabilidades. Os objetivos

Leia mais

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos?

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos? Questão 1. Num porta-cds, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formando uma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 de música clássica. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de

Leia mais

Inferência Estatística

Inferência Estatística Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Inferência Estatística Ana Maria Lima de Farias Departamento de Estatística Conteúdo 1 Inferência estatística Conceitos básicos 1 1.1

Leia mais

RESUMO TEÓRICO. n(a) P(A) = n(u) 0 P(A) 1

RESUMO TEÓRICO. n(a) P(A) = n(u) 0 P(A) 1 RESUMO TEÓRICO Experimentos aleatórios: são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Exemplo: Lançar um dado e verificar qual é a face voltada

Leia mais

CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral

CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral CAP5: Amostragem e Distribuição Amostral O que é uma amostra? É um subconjunto de um universo (população). Ex: Amostra de sangue; amostra de pessoas, amostra de objetos, etc O que se espera de uma amostra?

Leia mais

Estatística stica para Metrologia

Estatística stica para Metrologia Estatística stica para Metrologia Aula 2 Definições básicas Introdução à robabilidade Mônica Barros, D.Sc. Março o de 2008 1 2 robabilidades Introdução robabilidade faz parte do nosso dia a dia, por exemplo:

Leia mais

4. σ 2 Var X p x q e σ Dp X Podemos escrever o modelo do seguinte modo:

4. σ 2 Var X p x q e σ Dp X Podemos escrever o modelo do seguinte modo: Distribuições de Probabilidades Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas administrativos, verificamos que muitos problemas apresentam as mesmas características o que nos permite estabelecer

Leia mais

3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes

3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 1) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas

Leia mais

Cap. 4 - Probabilidade

Cap. 4 - Probabilidade statística para Cursos de ngenharia e Informática edro lberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / ntonio Cezar Bornia São aulo: tlas, 2004 Cap. 4 - robabilidade OIO: undação de Ciência e Tecnologia de Santa

Leia mais

Distribuições de Probabilidade Distribuição Binomial

Distribuições de Probabilidade Distribuição Binomial PROBABILIDADES Distribuições de Probabilidade Distribuição Binomial BERTOLO PRELIMINARES Quando aplicamos a Estatística na resolução de situações-problema, verificamos que muitas delas apresentam as mesmas

Leia mais

Solução: X é Binomial(7; 0,4). (a) P(X = 0) = 0,6 7 = 0,0280. (b) P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] =

Solução: X é Binomial(7; 0,4). (a) P(X = 0) = 0,6 7 = 0,0280. (b) P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] = CAPÍTULO 2 Exercícios Resolvidos 1. Turbulência no avião A probabilidade de ocorrência de turbulência em um determinado percurso a ser feito por uma aeronave é de 0,4 em um circuito diário. Seja X o número

Leia mais

Probabilidade. Definições e Conceitos

Probabilidade. Definições e Conceitos Probabilidade Definições e Conceitos Definições Probabilidade Medida das incertezas relacionadas a um evento Chances de ocorrência de um evento Aplicação em: Avaliação de Desempenho de Sistemas Engenharia

Leia mais

Introdução à Inferência Estatística

Introdução à Inferência Estatística Introdução à Inferência Estatística 1. População: conjunto de indivíduos, ou itens, com pelo menos uma característica em comum. Também será denotada por população objetivo, que é sobre a qual desejamos

Leia mais

Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes

Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Para ampliar sua compreensão sobre probabilidade total e Teorema de Bayes, estude este conjunto de exercícios resolvidos sobre o tema.

Leia mais

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ Probabilidade Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá base teórica para o desenvolvimento

Leia mais

PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr.

PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - O intelecto faz pouco na estrada que leva à descoberta, acontece um salto na consciência, chameo de

Leia mais

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. VII Probabilidades Em todos os fenômenos estudados pela Estatística, os resultados, mesmo nas mesmas condições de experimentação, variam de uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado

Leia mais

Probabilidade. Distribuição Binomial

Probabilidade. Distribuição Binomial Probabilidade Distribuição Binomial Distribuição Binomial (Experimentos de Bernoulli) Considere as seguintes experimentos/situações práticas: Conformidade de itens saindo da linha de produção Tiros na

Leia mais

MD Teoria dos Conjuntos 1

MD Teoria dos Conjuntos 1 Teoria dos Conjuntos Renato Martins Assunção assuncao@dcc.ufmg.br Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br MD Teoria dos Conjuntos 1 Introdução O que os seguintes objetos têm em comum? um

Leia mais

PROBABILIDADE. Aula 5

PROBABILIDADE. Aula 5 Curso: Psicologia Disciplina: Métodos Quantitativos Profa. Valdinéia Data: 28/10/15 PROBABILIDADE Aula 5 Geralmente a cada experimento aparecem vários resultados possíveis. Por exemplo ao jogar uma moeda,

Leia mais

PROBABILIDADE. October 16, 2013. Bioestatística Parte I October 16, 2013 1 / 78

PROBABILIDADE. October 16, 2013. Bioestatística Parte I October 16, 2013 1 / 78 PROBABILIDADE October 16, 2013 Bioestatística Parte I October 16, 2013 1 / 78 PROBABILIDADE 1 Probabilidade Introdução Operações com Eventos Definição Clássica de Probabilidade Definição axiomática de

Leia mais

Cláudio Tadeu Cristino 1. Julho, 2014

Cláudio Tadeu Cristino 1. Julho, 2014 Inferência Estatística Estimação Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Brasil Mestrado em Nutrição, Atividade Física e Plasticidade Fenotípica Julho, 2014 C.T.Cristino

Leia mais

Espaços Amostrais Finitos

Espaços Amostrais Finitos EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 2: Espaços Amostrais Finitos Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Espaços Amostrais Finitos Espaço amostral S = {a 1, a 2, a 3,..., a k } (finito)

Leia mais

a) ½ b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6

a) ½ b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6 PROBABILIDADE 1) (ANEEL) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião,

Leia mais

NOTAS DE AULA - ESTATÍSTICA PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

NOTAS DE AULA - ESTATÍSTICA PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NOTAS DE AULA - ESTATÍSTICA ROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE ROBABILIDADE ISABEL C. C. LEITE SALVADOR BA 007 Estatística rof.ª Isabel C. C. Leite 1 Introdução robabilidades De modo geral ao estudarmos qualquer

Leia mais

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE ? CARA? OU? COROA? ? Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança até o final deste ano??? E qual será a taxa de inflação acumulada em 011???? Quem será o próximo prefeito de

Leia mais

7- Probabilidade da união de dois eventos

7- Probabilidade da união de dois eventos . 7- Probabilidade da união de dois eventos Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade

Leia mais

Avaliação e Desempenho Aula 4

Avaliação e Desempenho Aula 4 Avaliação e Desempenho Aula 4 Aulas passadas Motivação para avaliação e desempenho Aula de hoje Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Experimentos Aleatórios

Leia mais

Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais

Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais Experimentos Aleatórios e Espaços Amostrais Cláudio Tadeu Cristino 1 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil Primeiro Semestre, 2012 C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE) Experimentos Aleatórios

Leia mais

1 cartão de crédito mais de 1 cartão de crédito Renda até 10 S.M. 250 80 20 10 a 20 S.M. 100 200 40 20 a 30 S.M. 50 40 60 mais de 30 S.M.

1 cartão de crédito mais de 1 cartão de crédito Renda até 10 S.M. 250 80 20 10 a 20 S.M. 100 200 40 20 a 30 S.M. 50 40 60 mais de 30 S.M. ([HUFtFLRVÃÃ&DStWXORÃÃ Ã Tomou-se uma amostra de 000 pessoas num shopping center com o objetivo de verificar a relação entre o número de cartões de crédito e a renda familiar (em salários mínimos). Os

Leia mais

Estatística Aplicada ao Serviço Social Módulo 1:

Estatística Aplicada ao Serviço Social Módulo 1: Estatística Aplicada ao Serviço Social Módulo 1: Introdução à Estatística Importância da Estatística Fases do Método Estatístico Variáveis estatísticas. Formas Iniciais de Tratamento dos Dados Séries Estatísticas.

Leia mais

Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado

Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado Capítulo 2 Probabilidade 2.1 Espaços Amostrais e Eventos Espaço Amostral Espaço Amostral O espaço amostral de um experimento, denotado S, é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.

Leia mais

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Professor: Leandro Zvirtes UDESC/CCT Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Há dois tipos de

Leia mais

Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico

Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Comentário da prova de Agente Penitenciário Federal Funrio 01. Uma professora formou grupos de 2 e 3 alunos com o objetivo de conscientizar a população local sobre

Leia mais

Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade

Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade Nesta Unidade de estudo, até este ponto você aprendeu definições de probabilidade e viu como os conceitos se aplicam a várias situações. Observe agora

Leia mais

1 Probabilidade Condicional - continuação

1 Probabilidade Condicional - continuação 1 Probabilidade Condicional - continuação Exemplo: Sr. e Sra. Ferreira mudaram-se para Campinas e sabe-se que têm dois filhos sendo pelo menos um deles menino. Qual a probabilidade condicional que ambos

Leia mais

I NTRODUÇÃO. SÉRIE: Probabilidade

I NTRODUÇÃO. SÉRIE: Probabilidade SUMÁRIO 1. COMBINATÓRIA... 5 1.1. CONJUNTOS... 5 1.2. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS... 5 1.3. APLICAÇÕES DOS DIAGRAMAS DE VENN... 6 1.4. FATORIAL... 6 1.5. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO)...

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES Caros concurseiros, Como havia prometido, seguem comentários sobre a prova de estatística do ICMS RS. Em cada questão vou fazer breves comentários, bem como indicar eventual possibilidade de recurso. Não

Leia mais

1 Axiomas de Probabilidade

1 Axiomas de Probabilidade 1 Axiomas de Probabilidade 1.1 Espaço amostral e eventos seja E um experimento aleatório Ω = conjunto de todos os resultados possíveis de E. Exemplos 1. E lançamento de uma moeda Ω = {c, c} 2. E retirada

Leia mais

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Faculdade de Arquitetura e Urbanismo

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Faculdade de Arquitetura e Urbanismo UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Arquitetura e Urbanismo DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ESTIMAÇÃO AUT 516 Estatística Aplicada a Arquitetura e Urbanismo 2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL Na aula anterior analisamos

Leia mais

Tipos de Modelos. Exemplos. Modelo determinístico. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas Efeito. Determinístico. Sistema Real.

Tipos de Modelos. Exemplos. Modelo determinístico. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas Efeito. Determinístico. Sistema Real. Tipos de Modelos Sistema Real Determinístico Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ Probabilístico Modelo determinístico Exemplos Gravitação F GM M /r Causas Efeito Aceleração

Leia mais

Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios. Cálculo de Probabilidades. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios. Cálculo de Probabilidades. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios Cálculo de Probabilidades a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Probabilidade Miscelânea de Exercícios Cálculo de Probabilidades 1 Exercícios

Leia mais

INE 5111 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade INE 5111 LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

INE 5111 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade INE 5111 LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE INE 5 LISTA DE EERCÍCIOS DE PROBABILIDADE INE 5 Gabarito da Lista de Exercícios de Probabilidade ) Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 5 de um dado ser transmitido erroneamente.

Leia mais

1. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum (52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X = número de cartas vermelhas sorteadas.

1. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum (52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X = número de cartas vermelhas sorteadas. GET007 Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I Lista de Exercícios - variáveis Aleatórias Discretas Profa. Ana Maria Farias. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum ( cartas, de cada naipe sem

Leia mais

Probabilidade. O segundo aspecto é a incerteza inerente às decisões que podem ser tomadas sobre determinado problema.

Probabilidade. O segundo aspecto é a incerteza inerente às decisões que podem ser tomadas sobre determinado problema. Probabilidade No capítulo anterior, procuramos conhecer a variabilidade de algum processo com base em observações das variáveis pertinentes. Nestes três próximos capítulos, continuaremos a estudar os processos

Leia mais

Probabilidade. Distribuição Normal

Probabilidade. Distribuição Normal Probabilidade Distribuição Normal Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua tem uma distribuição normal se sua distribuição é: simétrica apresenta (num gráfico) forma de um sino Função Densidade

Leia mais

Elementos de Matemática Discreta

Elementos de Matemática Discreta Elementos de Matemática Discreta Prof. Marcus Vinícius Midena Ramos Universidade Federal do Vale do São Francisco 9 de junho de 2013 marcus.ramos@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~marcus.ramos Marcus

Leia mais

Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE Estatística 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof. Ânderson Vieira Probabilidade Espaço Amostral Em cada um dos exercícios a 0. Determine o espaço amostral.. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

Leia mais

Probabilidade - aula III

Probabilidade - aula III 27 de Março de 2014 Regra da Probabilidade Total Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Usar a regra da multiplicação para calcular probabilidade de eventos Usar a Regra da Probabilidade

Leia mais

Probabilidade. Multiplicação e Teorema de Bayes

Probabilidade. Multiplicação e Teorema de Bayes robabilidade Multiplicação e Teorema de ayes Regra da Multiplicação Num teste, são aplicadas 2 questões de múltipla escolha. Na primeira questão, as respostas possíveis são V ou F. Na segunda, a, b, c,

Leia mais