AULA 2 AULA4 Introdução à Teoria das Probabilidades

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1 UL UL4 Introdução à Teoria das robabilidades rof. itor Hugo Lahos Davila

2 Coneitos ásios Experimento leatório ou Fenômeno leatório Situações ou aonteimentos ujos resultados não podem ser previstos om erteza. Exemplos: Condições limátias do próximo domingo; Taxa de inflação do próximo mês; Resultado ao lançar um dado ou moeda; Tempo de duração de uma lâmpada. Espaço mostral Conjunto de todos os possíveis resultado de um experimento aleatório ou fenômeno aleatório.

3 Exemplos:. Lançamento de um dado. ={,,3,4,5,6}. Tipo sanguíneo de um individuo. ={,,,0} 3. Opinião de um eleitor sobre um projeto. ={Favorável,Contrário} 4. Tempo de duração de uma lâmpada ={t; t>0 Evento subonjunto do espaço amostral Notação:,, C,... Exemplos: No exemplo, alguns eventos: : sair fae par: ={,4,6} : Sair fae maior que 3 ={4,5,6} C: sair fae C={} D: sair fae 7 D={ } evento impossível= onjunto vazio 3

4 Operação om eventos Sejam os eventos e definidos no mesmo espaço amostral : União dos eventos e. Representa a oorrênia de pelo menos um dos eventos ou : Interseção dos eventos e. Representa a oorrênia simultânea dos eventos e. e são disjuntos ou mutuamente exlusivos quando não têm elementos em omum, isto é, = e são omplementares se sua interseção é vazia e sua união o espaço amostral, isto é. = e =. O omplementar de um evento é representado por C ou 4

5 Exemplo: Lançamento de um dado = {,, 3, 4, 5, 6} Eventos: = {, 4, 6}, = {4, 5, 6} e C = {} : = {, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma fae par e maior que 3 C = {, 4, 6} {} = e C disjuntos sair uma fae par e fae = {, 4, 6} {4, 5, 6} = {, 4, 5, 6} sair uma fae par ou maior que 3 C = {, 4, 6} {} = {,, 4, 6} sair uma fae par ou fae C = {, 3, 5} não sair fae par 5

6 robabilidade ergunta: Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? 6

7 Definições de probabilidades Definição Clássia ou a priori Se um experimento aleatório tiver n resultados mutuamente exlusivos e igualmente prováveis e se um evento tiver n desses resultados. probabilidade do evento representado por, é dado por: n n Exemplo: Considere o lançamento de dados balaneados. Calular a probabilidade de: a Obter soma 7; b Obter soma maior que 0; Que resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo. 7

8 ,, 3, 4, 5, 6,,, 3, 4, 5, 6,,3,3 3,3 4,3 5,3 6,3,4,4 3,4 4,4 5,4 6,4,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5,6,6 3,6 4,6 5,6 6,6 a ={6,,5,,4,3,3,4,,5,6,} =n/n=6/36=/6 b ={5,6,6,5,6,6} => = 3/36. C= 5/36. 8

9 Definição frequentista ou a posteriori Suponhamos que realizamos um experimento n vezes n grande e destas o evento oorre exatamente r<n vezes, então a frequênia relativa de vezes que oorreu o evento, r/n, é a estimação da probabilidade que oorra o evento, ou seja, r n Essa estimação da probabilidade por frequênia relativa de um evento, é próxima da verdadeira probabilidade do evento, quando n tende ao infinito. Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calular a probabilidade de ={ resultado obtido é ara}. fr fr fr 3 fr 4 fr Cara /5 6/0 /50 47/00 0,5 Coroa 3/5 4/0 8/50 53/00 0,5 n

10 0 Definição axiomátia probabilidade de um evento define-se om o número, tal que satisfaz os seguintes axiomas: n i i n Se iii ii i n i i então são eventosmutuamenteexlusivos,,,, 0 ropriedades,,, 5.,, 4., 3.,. 0. C C C C C então C Se então Se então Se então Se Regra da adição de probabilidades

11 Exemplo. Na tabela, apresenta-se a omposição por raça e sexo de uma população de um país. Tabela : Distribuição da população por raça e sexo. Sexo Raça Masulino Feminino Total rana Outra Total Suponha que seleionamos um habitante desse país e onsideremos os eventos: H: "o habitante seleionado é do sexo masulino" H :"o habitante seleionado é do sexo feminino" : "o habitante seleionado é da raça brana" : "o habitante seleionado é de outra raça" H : "o habitante seleionado é de sexo masulino e da raça brana" H : "o habitante seleionado é de sexo masulino ou da raça brana" H : "o habitante seleionado é de sexo feminino e da raça brana" H : "o habitante seleionado é de sexo feminino ou da raça brana" H :"o habitante seleionado é de sexo feminino e de outra raça " H "o habitante seleionado é de sexo feminino ou de outra raça"

12 s probabilidades de ada um destes eventos são: 0,880. 0,404 0,739 0,549 0,404; ,855; 0,33 0,735 0,45 0, ,65; 0,735 0, ,549; 0,45 0,45; H H H H H H H H H H H

13 robabilidade Condiional e Independênia Definição:[robabilidade ondiional] Sejam e dois eventos em um mesmo espaço amostral,, a probabilidade ondiional de dado que oorreu o evento, é representado por é dado por:, 0. Exemplo. Seleionamos uma semente, ao aaso, uma a uma e sem reposição de uma saola que ontem 0 sementes de flores vermelhas e 5 de flores branas. Qual é a probabilidade de que : a a primeira semente seja vermelha.? b a segunda seja brana se a primeira foi vermelha.? 3

14 Sejam os eventos: a :" :" :" :" a a 0 5 a a 3 b 4 sement eé sement eé brana" sement eé 5 vermelha" ; vermelha" ; sement eé brana" Essas probabilidades podem ser representados em um diagrama da árvore de probabilidades, a qual é mostrado na figura 4

15 Figura : Diagrama de árvore de probabilidade Resultados Total robabilidade Da expressão, pode-se deduzir uma relação bastante útil,, Que é onheida omo regra do produto de probabilidades ou probabilidade da interseção 5

16 Exemplo 3: No exemplo, suponha que temos interesse em determinar a probabilidade que as duas sementes seleionadas sejam branas. O evento é : "a a e a semente são branas" Teorema : Se é um evento em, tal que >0, então:. 0.Se,, então : ou 3. Se,, C, então : C C C. 6

17 Exemplo 3: Na Cidade de São aulo, a probabilidade de huva no primeiro dia de setembro é 0,50 e a probabilidade que huva nos dois primeiros dias de setembro é 0,40. Se no primeiro de setembro hoveu, qual é a probabilidade que não hova no dia seguinte? Solução: Sejam os eventos: : hove no primeiro de setembro, : hove no segundo dia de setembro. Do enuniado do problema temos : =0,50 e =0,40. probabilidade pedida é: * * elo teorema.. 0,40 0,50 0,0 7

18 Definição[Independênia de eventos] Dois eventos e são independentes se a informação da oorrênia ou não de não altera a probabilidade da oorrênia de. Isto é, =, >0 Conseqüentemente, temos que somente se, =. dois eventos e são independentes se Exemplo 4: Em uma esola o 0% dos alunos tem problemas visuais, o 8% problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Seleionamos um aluno desta esola ao aaso: asão os eventos de ter problemas visuais e auditivos eventos independentes? b se aluno seleionado tem problemas visuais, qual é a probabilidade de que tenha problemas auditivos? qual é a probabilidade de não ter problemas visuais ou ter problema auditivos? 8

19 Solução: sejam os eventos: : o aluno tem problemas visuais : o aluno tem problemas auditivos. Do enuniado temos: =0,0, =0,08 e =0,04. a Como b 0, 0,08 0,06 0,04., 0,04 0,0 e não 0,0. são independentes. 0, 0,08 0,08 0,04 0,08 0,84 9

20 Teorema : Se, eventos em são eventos independentes, então: i e ii iii são independentes. e são independentes e são independentes Exemplo 5: Um atirador aerta o 80% de seus disparos e outro na mesmas ondições de tiro, o 70%. Qual é a probabilidade de aertar se ambos atiradores disparam simultaneamente o alvo.? Considere que o alvo foi aertado quando pelo menos, uma das duas balas tenha feito impato no alvo. 0

21 Sejam os eventos : 0,7. Logo, i :"o atirador i aerta o alvo", i 0,8 0,7 0,8 0,7 0,94,. 0,8 e lternativamente este exemplo, podeser resolvido de uma segunda [ 0,8][ 0,7] 0,94. forma :

22 Teorema de ayes Definição [artição do espaço amostral]. Uma oleção de eventos,, formam uma partição do espaço amostral se eles não têm k interseção entre si e sua união é igual ao espaço amostral. para i i j j e k i i Teorema da probabilidade total. Se,,, formam uma partição do espaço amostral, então qualquer evento em, satifaz: k k k i i k i

23 Teorema ayes. Se em, então:,, k, formam uma partição do espaço amostral, e é qualquer evento i k i i i i i Exemplo 6: Uma montadora trabalha om forneedores e de uma determinada peça. s hanes de que uma peça proveniente dos forneedores e esteja fora das espeifiações são 0% e 5% respetivamente. montadora reebe 30% das peças do forneedor e 70% de. Se uma peça do estoque inteiro é esolhido ao aaso: a Calule a probabilidade de que ela esteja fora das espeifiações. b Se uma peça esolhida ao aaso está fora das espeifiações, qual é a probabilidade que venha do forneedor forneedor? 3

24 Solução: Sejam os eventos: : peça seleionada seja do forneedor : peça seleionada seja do forneedor E: peça seleionada esteja fora das espeifiações Do enuniado do problemas temos:=0,30; =0,70; E =0,0 e E =0,05. 4

25 elo teorema da probabilidade total temos: a E=E +E =0,300,0+0,700,05=0,065 b E=? elo teorema de ayes temos: E 0,30 0,0 0,03 E 0,46 E E 0,30 0,0 0,70 0,05 0,065 solução do exemplo anterior é failitada pelo diagrama de árvore de probabilidades. 5

26 Exemplo 7: Temos três profissionais: Um agrônomo, um biólogo e um engenheiro ivil. Cada um deles plantou 0 mudas de álamos em vasos numa asa de vegetação. Sobreviveram 9 das plantadas pelo agrônomo; 5 pelo biólogo e pelo engenheiro ivil. Dos 30 vasos esolhe-se um vaso ao aaso, e verifia-se se a muda sobreviveu. Se ela sobreviveu, qual a probabilidade de ela ter sido plantada pelo engenheiro ivil? 6

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